Funkcje wielu zmiennych
8 Pochodna kierunkowa funkcji
Definicja Niech funkcja f okre´slona b¸edzie w otoczeniu punktu P0 = (x0, y0) oraz niech ~v = [vx, vy] b¸edzie wektorem. Pochodn¸a kierunkow¸a funkcji f w punkcie (x0, y0) w kierunku wektora
~
v okre´slamy wzorem
fv0(x0, y0) = lim
t→0
f (x0+ tvx, y0+ tvy) − f (x0, y0)
t .
Przyk lad Obliczymy pochodn¸a kierunkow¸a funkcji f (x, y) = xy w punkcie P0 = (1, 2) w kierunku wektora ~v = [2, 1]. Poniewa˙z f (1, 2) = 2 oraz f (1 + 2t, 2 + t) = 2t2+ 5t + 2, wi¸ec
f[2,1]0 (1, 2) = lim
t→0
2t2 + 5t + 2 − 2
t = 5.
Twierdzenie Je˙zeli funkcja f ma ci¸ag le pochodne cz¸astkowe rz¸edu pierwszego w punkcie P0 = (x0, y0), to
fv0(x0, y0) = fx0(x0, y0) · vx+ fy0(x0, y0) · vy. Uwaga Powy˙zszy wz´or mo˙zna zapisa´c w postaci
fv0(x0, y0) = gradf (x0, y0) ◦ ~v.
Przyk lad Obliczymy pochodn¸a kierunkow¸a funkcji f (x, y) = xy w punkcie P0 = (1, 2) w kierunku wektora ~v = [2, 1]. Poniewa˙z fx0 = y, fy0 = x, to
f[2,1]0 (1, 2) = [2, 1] ◦ [2, 1] = 2 · 2 + 1 · 1 = 5.
9 Pochodne cz¸astkowe drugiego rz¸edu
Niech P = (x, y) ∈ R2 oraz niech funkcja f b¸edzie okre´slona w otoczeniu U (P ). Pochodne cz¸astkowe drugiego rz¸edu funkcji f w punkcie P okre´slamy wzorami
∂2f
∂x2(x, y) = ∂
∂x
∂f
∂x
(x, y), ∂2f
∂x∂y(x, y) = ∂
∂x
∂f
∂y
(x, y),
∂2f
∂y∂x(x, y) = ∂
∂y
∂f
∂x
(x, y), ∂2f
∂y2(x, y) = ∂
∂y
∂f
∂y
(x, y).
Uwaga Powy˙zsze wzory mo˙zna zapisa´c w postaci
fxx00 (x, y) = (fx0)0x(x, y), fxy00(x, y) = (fy0)0x(x, y), fyx00 (x, y) = (fx0)0y(x, y), fyy00 (x, y) = (fy0)0y(x, y).
Twierdzenie (Schwarza) Je˙zeli funkcja f ma ci¸ag le pochodne mieszane fxy00, fyx00 w punkcie P0 = (x0, y0), to
fxy00 (x0, y0) = fyx00 (x0, y0).
Przyk lad Obliczymy pochodne cz¸astkowe drugiego rz¸edu funkcji f (x, y) = xy. Mamy kolejno fx0 = y, fy0 = x, fxx00 = (y)0x = 0, fxy00 = (x)0x = 1, fyx00 = (y)0y = 1, fyy00 = (x)0y = 0.
Obliczymy teraz pochodne cz¸astkowe drugiego rz¸edu funkcji f (x, y) = x2 + y2. Mamy kolejno fx0 = 2x, fy0 = 2y, fxx00 = (2x)0x = 2, fxy00 = (2y)0x = 0, fyx00 = (2x)0y = 0, fyy00 = (2y)0y = 2.
10 Ekstrema lokalne funkcji dw´och zmiennych
Definicja Funkcja f ma w punkcie P0 = (x0, y0) minimum lokalne, je˙zeli istnieje s¸asiedztwo S(P0) tego punktu takie, ˙ze dla dowolnego P = (x, y) ∈ S(P0) zachodzi nier´owno´s´c
f (x, y) > f (x0, y0).
Definicja Funkcja f ma w punkcie P0 = (x0, y0) maksimum lokalne, je˙zeli istnieje s¸asiedztwo S(P0) tego punktu takie, ˙ze dla dowolnego P = (x, y) ∈ S(P0) zachodzi nier´owno´s´c
f (x, y) < f (x0, y0).
Przyk lad Funkcja f (x, y) = 5 − x6− y6 ma w punkcie P0 = (0, 0) maksimum, gdy˙z f (x, y) = 5 − x6 − y6 < 5 = f (0, 0) dla (x, y) 6= (0, 0).
Funkcja f (x, y) = x2 − 2y2 nie ma ekstremum w punkcie P0 = (0, 0), poniewa˙z dla dowolnego ε > 0 zachodzi
f (ε, 0) = ε2 > 0 = f (0, 0) oraz
f (0, ε) = −2ε2 < 0 = f (0, 0).
Twierdzenie (warunek konieczny ekstremum) Je˙zeli funkcja f spe lnia warunki:
• ma ekstremum w punkcie P0 = (x0, y0),
• ma pochodne cz¸astkowe fx0(x0, y0), fy0(x0, y0),
to (
fx0(x0, y0) = 0 fy0(x0, y0) = 0
Uwaga
Uk lad r´owna´n
( fx0(x0, y0) = 0
fy0(x0, y0) = 0 mo˙zna zapisa´c w postaci gradf (x0, y0) = 0.
Przyk lad Funkcja f (x, y) = 5 − x6− y6 ma maksimum w punkcie P0 = (0, 0) oraz fx0 = −6x5, fy0 = −6y5, co oznacza, ˙ze f spe lnia warunek konieczny ekstremum fx0(0, 0) = 0, fy0(0, 0) = 0.
Funkcja f (x, y) = x2 − 2y2 nie ma ekstremum w punkcie P0 = (0, 0), ale fx0 = 2x, fy0 = −4y, co oznacza, ˙ze f spe lnia warunek konieczny ekstremum fx0(0, 0) = 0, fy0(0, 0) = 0.
Definicja Macierz postaci
"
fxx00 (x0, y0) fxy00 (x0, y0) fyx00(x0, y0) fyy00(x0, y0)
#
nazywamy hesjanem (macierz¸a Hessego) funkcji f w punkcie P0 = (x0, y0) i oznaczamy symbolem Hf(x0, y0).
Twierdzenie (warunek dostateczny ekstremum) Je˙zeli funkcja f ma ci¸ag le pochodne cz¸astkowe pierwszego i drugiego rz¸edu w punkcie P0 = (x0, y0) oraz spe lnia warunki:
• gradf (x0, y0) = 0,
• det Hf(x0, y0) > 0,
to f ma esktremum w punkcie P0, przy czym f (x0, y0) = fmin, gdy fxx00 (x0, y0) > 0 albo f (x0, y0) = fmax, gdy fxx00 (x0, y0) < 0.
Uwaga Je˙zeli det Hf(x0, y0) < 0, to f nie ma ekstremum w punkcie P0. Je˙zeli det Hf(x0, y0) = 0, to badanie, czy f ma ekstremum w punkcie P0przeprowadza si¸e innymi metodami (np. korzystaj¸ac z definicji).
Przyk lad Wyznaczymy ekstrema funkcji f (x, y) = x3 + y3 − 9xy. Poniewa˙z fx0 = 3x2− 9y, fy0 = 3y2− 9x, to otrzymujemy uk lad r´owna´n
( x2− 3y = 0 y2− 3x = 0
kt´ory ma dwa rozwi¸azania P0 = (0, 0), P1 = (3, 3). Ponadto fxx00 = 6x, fxy00 = fyx00 = −9, fyy00 = 6y oraz
det Hf(0, 0) =
0 −9
−9 0
= −81 < 0
co oznacza, ˙ze f nie ma ekstremum w punkcie P0 = (0, 0),
det Hf(3, 3) =
18 −9
−9 18
= 243 > 0
oraz fxx00 (3, 3) = 18 > 0, co oznacza, ˙ze f (3, 3) = fmin = −27.
11 Ekstrema warunkowe funkcji dw´och zmiennych
Definicja Funkcja f ma w punkcie P0 = (x0, y0) minumum warunkowe z warunkiem g(x, y) = 0, gdy g(x0, y0) = 0 oraz istnieje liczba δ > 0 taka, ˙ze f (x, y) > f (x0, y0) dla ka˙zdego punktu P = (x, y) ∈ S(P0, δ) spe lniaj¸acego warunek g(x, y) = 0.
Funkcja f ma w punkcie P0 = (x0, y0) maksimum warunkowe z warunkiem g(x, y) = 0, gdy g(x0, y0) = 0 oraz istnieje liczba δ > 0 taka, ˙ze f (x, y) < f (x0, y0) dla ka˙zdego punktu P = (x, y) ∈ S(P0, δ) spe lniaj¸acego warunek g(x, y) = 0.
Znajdowanie ekstrem´ow warunkowych funkcji dw´och zmiennych z warunkiem g(x, y) = 0 odbywa si¸e wed lug nast¸epuj¸acego algorytmu:
1. krzyw¸a Γ : g(x, y) = 0 dzielimy na luki, kt´ore s¸a wykresami funkcji postaci y = h(x), gdzie x ∈ I ⊂ R lub postaci x = k(y), gdzie y ∈ J ⊂ R,
2. szukamy ekstrem´ow funkcji jednej zmiennej H(x) = f (x, h(x)) w przedziale I lub funkcji K(y) = f (k(y), y) w przedziale J ,
3. por´ownujemy warto´sci otrzymanych ekstrem´ow na krzywej Γ i ustalamy ekstrema warunkowe.
Przyk lad Wyznaczymy ekstrema warunkowe funkcji f (x, y) = xy z warunkiem x + y = 2.
Mamy Γ : y = 1 − x, gdzie x ∈ R. Wobec tego rozwa˙zmy funkcj¸e H(x) = x(2 − x) = 2x − x2, gdzie x ∈ R. Poniewa˙z Hmax = H(1) = 1, to fmax war.= f (1, 1) = 1.
Uwaga Je˙zeli krzywa Γ ma opis parametryczny: x = α(t), y = β(t), gdzie t ∈ T ⊂ R, to szukamy ekstrem´ow funkcji F (t) = f (α(t), β(t)) w przedziale T .
Przyk lad Wyznaczymy ekstrema warunkowe funkcji f (x, y) = xy z warunkiem x2+ y2 = 4.
Mamy tutaj Γ : x = 2 cos t, y = 2 sin t, t ∈ [0, 2π]. Rozwa˙zmy funkcj¸e F (t) = 4 sin t cos t = 2 sin 2t, t ∈ [0, 2π]. Poniewa˙z F0(t) = 4 cos 2t, to F0(t) = 0, gdy t = π4, 3π4 , 5π4 , 7π4 . Ponadto F00(t) = −8 sin 2t, wobec tego mamy kolejno:
F00
π 4
= −8 < 0 =⇒ F
π 4
= Fmax =⇒ f (√ 2,√
2) = fmax war. = 2 F00 3π
4
= 8 > 0 =⇒ F 3π 4
= Fmin =⇒ f (√ 2, −√
2) = fmin war. = −2 F00 5π
4
= −8 < 0 =⇒ F 5π 4
= Fmax =⇒ f (−√ 2, −√
2) = fmax war.= 2 F00 7π
4
= 8 > 0 =⇒ F 7π 4
= Fmin =⇒ f (−√ 2,√
2) = fmin war. = −2
12 Warto´s´c najmniejsza i najwi¸eksza funkcji dw´och zmien- nych w obszarze domkni¸etym
Znajdowanie warto´sci najmniejszej finf i najwi¸ekszej fsup funkcji dw´och zmiennych w obszarze
1. we wn¸etrzu obszaru szukamy punkt´ow, w kt´orych funkcja mo˙ze mie´c esktremum (w kt´orych gradient funkcji jest r´owny zero),
2. na brzegu obszaru szukamy punkt´ow, w kt´orych funkcja mo˙ze mie´c ekstremum warunkowe.
3. por´ownujemy warto´sci funkcji w otrzymanych punktach i na tej podstawie ustalamy warto´s´c najwi¸eksz¸a i najmniejsza¸a funkcji.
Przyk lad Wyznaczymy najwi¸eksz¸a i najmniejsz¸a warto´s´c funkcji f (x, y) = x2+ y2 w obszarze D : −1 ≤ x ≤ 3, −4 ≤ y ≤ 2.
Poniewa˙z gradf (x, y) = [2x, 2y], wi¸ec gradf (0, 0) = 0 oraz f (0, 0) = 0
(punkt (0, 0) nale˙zy do wn¸etrza obszaru D).
Brzeg obszaru D stanowi¸a cztery odcinki (boki prostok¸ata D). Rozwa˙zmy ka˙zdy z nich:
Γ1 : y = −4, −1 ≤ x ≤ 3. Mamy tutaj H1(x) = f (x, −4) = x2+ 16, st¸ad f (0, −4) = 16.
Γ2 : x = 3, −4 ≤ y ≤ 2. Mamy tutaj K2(y) = f (3, y) = 9 + y2, st¸ad f (3, 0) = 9.
Γ3 : y = 2, −1 ≤ x ≤ 3. Mamy tutaj H3(x) = f (x, 2) = x2+ 4, st¸ad f (0, 2) = 4.
Γ4 : x = −1, −4 ≤ y ≤ 2. Mamy tutaj K4(y) = f (−1, y) = 1 + y2, st¸ad f (−1, 0) = 1.
Obliczymy jeszcze warto´sci f w wierzcho lkach prostok¸ata D:
f (−1, −4) = 17, f (3, −4) = 25, f (3, 2) = 13, f (−1, 2) = 5.
Zatem ostatecznie mamy:
finf = f (0, 0) = 0, fsup= f (3, −4) = 25.
