Rzut stereograficzny W przestrzeni R3 definiujemy sfere x, 2+ y2+ z o ´srodku w punkcie (x0, y0, z0

WYKLAD Z ANALIZY ZESPOLONEJ z dn. 8 kwietnia 2020r.

Aby zdefiniowa´c jej domkniecie podamy najpierw definicj_, e przekszta lcenia zwanego rzutem_, stereograficznym.

Rzut stereograficzny

W przestrzeni R³ definiujemy sfere x_, ²+ y²+ z − ¹₂
2

= ¹₄ o ´srodku w punkcie (x₀, y₀, z₀) = (0, 0,¹₂) i promieniu r = ¹₂, styczna do p laszczyzny uk ladu OXY w pocz_, atku uk ladu wsp´_, o lrzednych._, Punkt N = (0, 0, 1) ∈ S² nazywa´c bedziemy biegunem p´_, o lnocnym sfery.

Konstrukcja rzutu stereograficznego

Ka˙zdemu punktowi z = x + iy ∈ C przyporzadkujemy punkt Z(ξ, η, ζ) ∈ S_, ²\ {N } bed_, acy_, punktem przeciecia odcinka l_, acz_, acego punkt z ∈ C z punktem N ._,

Definicja Odwzorowanie

P : C z =⇒ Z ∈ S²\ {N }, z = x + iy =⇒ Z = (ξ, η, ζ), gdzie

ξ = x

1 + |z²|, η = y

1 + |z²|, ζ = |z|² 1 + |z²|, nazywamy rzutem stereograficznym.

Uwaga

Rzut stereograficzny posiada przekszta lcenie odwrotne

P⁻¹ : S²\ {N } =⇒ C, Z = (ξ, η, ζ) =⇒ z = x + iy, zdefiniowane wzorem x = _1−ζ^ξ , y = _1−ζ^η .

Zatem rzut stereograficzny jest bijekcja mi_, edzy p laszczyzn_, a otwart_, a C i sfer_, a bez bieguna_, p´o lnocnego, kt´oremu nie odpowiada ˙zaden punkt na p laszczy´znie.

Uwaga

Um´owimy sie, ˙ze punktowi N odpowiada punkt w niesko´_, nczono´sci (ozn. ∞).

1

Definicja

P laszczyzna domnki_, et_, a, kt´_, ora oznaczamy symbolem ¯C nazywamy sume C∪{∞} i uto˙zsamiamy_, ja z dwywymiarow_, a sfer_, a zwan_, a sfer_, a Riemanna._,

Metryki w C i ¯C

W p laszczy´znie otwartej C wprowadzamy metryke euklidesow_, a_, d(z₁, z₂) :=p

(Rez₁− Rez₂)²+ (Imz₁− Imz₂)² = |z₁− z₂|.

W p laszczy´znie domknietej ¯_, C wprowadzamy metryke sferyczn, a, w kt´_, orej odleg lo´s´c miedzy_, punktami z₁, z₂ rozumiemy odleg lo´s´c euklidesowa mi_, edzy ich obrazami przy rzucie stereogra-_, ficznym na sferze tzn.

ρ(z₁, z₂) := d(P (z₁), P (z₂)) = |z₁− z₂|

p1 + |z1|²p1 + |z2|² z₁ 6= z₂ ∈ C, ρ(z, ∞) := 1

p1 + |z|², z 6= ∞.

Uwaga

Aby otrzyma´c drugi wz´or z pierwszego nale˙zy za z₁ podstawi´c z i podzieli´c licznik oraz mianownik przez z₂.

ρ(z, z₂) = |z − z₂|

p1 + |z|²p1 + |z₂|² = |_z^z

2 − 1|

p1 + |z|²q

1+|z2|²

|z2|²

→ 1

p1 + |z|² jesli z₂ → ∞.

Uwaga

∀z₁, z₂ ∈ ¯C, 0 ≤ ρ(z₁, z₂) ≤ 1.

Uwaga

P laszczyzna domknieta ¯_, C z metryka sferyczn_, a jest przestrzeni_, a metryczn_, a zwart_, a._, Uwaga

Na zbiorach ograniczonych, zawartych w C obie metryki euklidesowa i sferyczna sa r´_, ownowa˙zne tzn. je´sli A ⊂ {z : |z| ≤ R}, (R < ∞), to

|z₁− z₂|

1 + R² ≤ ρ(z₁, z₂) ≤ |z₁− z₂| ∀z₁, z₂ ∈ A.

Definicja

Zbi´or U (z₀, ) = {z ∈ C : d(z, z0) = |z − z₀| < } nazywamy -otoczeniem punktu z₀ ∈ C w p laszczy´znie C (otwartej).

2

Definicja

Zbi´or U (z₀, ) = {z ∈ ¯C : ρ(z, z0) < } nazywamy -otoczeniem punktu z₀ ∈ ¯C w p laszczy´znie C (domkni¯ etej). Zatem:_,

U (∞, ) = {z ∈ ¯C : ρ(z, ∞) < } = {z ∈ C :¯ 1

p1 + |z|² < } = {z ∈ ¯C : |z| >

r1

² − 1},  − ma le.

Otoczeniem punktu w ∞ w p laszczy´znie ¯C jest dope lnienie domknietego ko la o ´_, srodku w zerze.

Definicja

- Otoczeniem nak lutym punktu z₀ ∈ C w p laszczy´znie C nazywamy zbi´or U(z0, ) \ {z₀} = {z ∈ C : 0 < |z − z0| < }.

- Otoczeniem nak lutym punktu z₀ ∈ ¯C w p laszczy´znie ¯C nazywamy zbi´or U (z₀, ) \ {z₀} = {z ∈ C : 0 < ρ(z, z0) < }.

3