Ekstrema funkcji uwikłanych 

(1)

EKSTREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Przykład Znaleźć ekstrema lokalne funkcji

z y z x x y z y x

f 2

) 4 , , (

2

2  



 (xyz 0)

WK:















 



























 





















 



2 0 2

.) (

) (

2 0

2 2

4 4 0

1

2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2

y z z z f

y z y z y z y y z

z x y y f

x y x y x x y

y x

f

sprz

) 1 , 1 , ( )

1 , 1 , . (

1 2

2 2 1 2

1 1

2      





























 P P

z y z x y

sprz WW: budujemy macierz drugiej różniczki d²f













































3 2

2 3

2 2

2 3

2

2 2 2 2

4 2 0 2

2 2

2 1 2

2 0 2

y z y

z y

z x x

y x

y

z f y z

f x z

f

z y

f y

f x y

f

z x

f y x

f x

f

W punkcie P₁ macierz drugiej różniczki ma postać



















6 2 0

2 3 2

0 2 4

. Z kryterium Sylwestera

(obliczamy minory) (,,) w

P

₁jest minimum lokalne właściwe

f

_min

 f ( P

₁

)  4

dla





















6 2 0

2 3 2

0 2 4

P2 (

 , ,  

)(ujemnie określona)



w P₂jest

f

_max

 f ( P

₂

)   4

Ekstrema funkcji uwikłanych

Przykład (wprowadzający) Zbadać ekstrema funkcji uwikłanej y y(x) określonej równaniem 0

) , (x y 

f .

Zakładamy regularność funkcji f tak, aby wyliczone poniżej pochodne miały sens, czyli, że są spełnione założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej.

 

dx x d

y x

f , ( ) 0

y f x f

x y x

y y f x f









 



 







 ( ) 0 ( ) o ile 0



 y f

) (x

y ma ekstremum w punkcie x  (z WK) y x( )0 0



 x f

Otrzymaliśmy więc WK istnienia ekstremum funkcji uwikłanej

(2)

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 13 – dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

WK:















 











 



0 0 ) , (

0

y f

y x f

x

f Rozwiązujemy pierwszy układ i dostajemy punkty krytyczne

P

_i, dla których sprawdzamy ostatni warunek.

Badanie rodzaju ekstremum może przebiegać za pomocą badania znaku y(x) w otoczeniu punktu krytycznego

P

_i lub badania znaku y (x). Pierwszy sposób jest nieco kłopotliwy. Nawet badanie znaku formy kwadratowej wymagało specjalnego narzędzia – kryterium Sylvestera ( są też inne).

Różniczkując ponownie otrzymamy



( )



( ) 0

) ( 2

0 ) ( )

( ) ( )

( 0 ) (

2 2

2

2 2 2 2

2 2

 



 

 



 



 



 





 







 



 



 

 



 



 







x y y x f

y y x f x y y

f x

f

x y y x f y x y y

f y x x f x y y

f x

f

dx x d

y y f x f

w punktach krytycznych y x( )0 wiec

y f x f

x y









  ² ²

2

)

( - tylko w punkcie krytycznym

)

( 0 )

( P y x

y 

_i

 

ma w punkcie

x

_i minimum lokalne właściwe

y ( x

_i

)  y

_i Podobnie postępujemy wyznaczając ekstrema funkcji uwikłanej wielu zmiennych

Przykład. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej z( yx, ) zadanej równaniem f(x,y,z)0. Przypuśćmy, że są spełnione odpowiednie założenia regularności (gwarantujące sens)

 

y x x z y x

f 

 0  ) , ( ,

,

 

y y x z y x

f 

 0  ) , ( , ,

z f x f

x z

x z z f x f









 



 







 0

z f y f

y z

y z z f y f





 



 







 0















 



















 



 



0 0 ) , , (

0 0

z f

z y x f

y f x f

 punkty krytyczne P_i(x_i,y_i,z_i)

(3)

WW: Badamy określoność macierzy drugiej różniczki

W celu wyliczenia powyższych pochodnych cząstkowych różniczkujemy jeszcze raz odpowiednie równania ⁽^, ^, ⁽^, ⁾⁾ ⁽^, ^, ⁽^,







z f x

f ^x ^y ^z^x ^y ^x ^y ^z^x ^y zmiennych. W punkcie krytycznym

y z y x

z

x y

z x

z

















2 2 2

i badamy jej określoność stosując kryterium Sylvestera Jeżeli np. oba minory kątowe są dodatnie (++), to w punkcie P_i(x_i,y_i) funkcja uwikłana

właściwe równe

z

_i).

Przykładowe zadania z funkcji uwikłanych

1. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej a) x²-2xy+2y²+2x+1=0.

b) x²e^y-y⁴+1=0.

2. W dostatecznie małym otoczeniu punktu (1, określonej równaniem x²lny-y

Ekstrema warunkowe

Np.: f :R² ER E R

E R

g: ²   ciągła

Oznaczmy E₀ 



⁽x^,y⁾E^:g⁽x^, i niech

( x

₀

, y

₀

)  E

₀, czyli

E

₀



Rozpatrzmy funkcję f obciętą do Ekstremum funkcji f obciętej do warunkiem g(x,y)0

Def. Funkcja f ma w punkcie

( x

₀

 _S₍_x_,_y₎₍_x_,_y₎__S₍_x _,_y₎_

WW: Badamy określoność macierzy drugiej różniczki















2 2 2

y z y x

z

x y

z x

z

w punktach krytyc

W celu wyliczenia powyższych pochodnych cząstkowych różniczkujemy jeszcze raz odpowiednie

) 0

, (

)) 



 x z^x ^y

y , ⁽^, ^, ⁽^, ⁾⁾ ⁽^, ^, ⁽^, ⁾⁾ ⁽^, ⁾0







y z z f y

f ^x ^y ^z^x ^y ^x ^y ^z^x ^y ^x ^y zmiennych. W punkcie krytycznym Pi dostajemy macierz liczbową

Pi

z f y f

z f x y

f

z f x y

f

z f x f























2 2 2

i badamy jej określoność stosując kryterium Sylvestera Jeżeli np. oba minory kątowe są dodatnie (++), ) funkcja uwikłana z(x,y) określona w otoczeniu P_i ma minimum lokalne

Przykładowe zadania z funkcji uwikłanych

Znaleźć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y(x) określonej równaniem

W dostatecznie małym otoczeniu punktu (1,y0) narysować wykres funkcji uwikłanej ylnx = 0.

Ekstrema warunkowe

E – otwarty ciągła



0 ) ,y 



niepusty.

obciętą do

E

₀:

obciętej do

E

₀ nazywać będziemy ekstremum warunkowym funkcji

) ,

₀

0

y

maksimum lokalne warunkowe właściwe )

, ( ) ,

(x y f x₀ y₀

E f 



w punktach krytycznych.

W celu wyliczenia powyższych pochodnych cząstkowych różniczkujemy jeszcze raz odpowiednie 0 po odpowiednich

i badamy jej określoność stosując kryterium Sylvestera Jeżeli np. oba minory kątowe są dodatnie (++), ma minimum lokalne

) narysować wykres funkcji uwikłanej y(x)

nazywać będziemy ekstremum warunkowym funkcji f pod

(4)

Zakładając, że równanie g(x,y)0 określa funkcje uwikłaną y(x) problem sprowadza się do szukania ekstremum funkcji jednej zmiennej



(x) f(x,y(x)). Zakładając regularność

z WK istnienia ekstremum otrzymujemy ( ) 0 '( )0







 

  y x

y f x x f

 ,

a z warunku

dx x d

y x

g( , ( ))0 

 ( )  0



 



 y x

y g x

g

obliczamy y(x). Stąd otrzymujemy

WK:



 





 



 



 



0 )) ( , (

0 ) ( 0 x

y x g

x x g y f y g x

f 

Można zauważyć, że równanie pierwsze WK jest wynikiem rugowania parametru



z następującego

układu równań:

 



 



 

 



 

 



0 0

y g y

f

x g x

f



, gdzie

Lewe strony są pochodnymi cząstkowymi funkcji L(x,y,) f(x,y)g(x,y)

WK jest więc 















 



 



 



0 0 0

 L y L x L

Badanie sprowadza się do badania funkcji Lagrange’a L(x,y,



) z mnożnikiem Lagrange’a



. Metodę tę można uogólnić dla funkcji wielu zmiennych.

Metoda mnożników Lagrange’a

n m R

E R g

R E R f

m n

n









 : :



^: ⁽ ⁾ ⁰

 ^

⁽ 1^,..., ⁾ ^: 1⁽ 1^,..., ⁾ ⁰^,..., ⁽ 1^,..., ⁾ ⁰

^

0  xE g x   x x_n E g x x_n  g_m x x_n 

E 

Szukanie ekstremum funkcji f pod warunkiem g(x)=0

Algorytm: Tworzymy funkcję Lagrange’a

) ,..., ( ...

) ,..., ( )

,..., ( ) ,..., , ,...,

( x

₁

x

_n ₁ _m

f x

₁

x

_n ₁

g

₁

x

₁

x

_n _m

g

_m

x

₁

x

_n

L        

(5)

Warunek konieczny:















 



 



 



 



0 0 0 0

1 1

m n

L L x

L x

L





 P ( x

₁

,..., x

_n

, 

₁

,..., 

_m

)  P ( x ,  )

Warunek wystarczający. traktując mnożniki



jako parametry wyznaczyć w punktach krytycznych drugą różniczkę

d

²

L  ( x ,  ),  x 

P(x,), przy czym przyrosty

 x

spełniają układ równań

 g  ( x ,  )     

_m__n

 x  0

.

Wyznaczając m przyrostów jako funkcję n-m pozostałych przyrostów badamy określoność

 x x 

L

d

²

( ,  ), 

jako funkcję n-m przyrostów, czyli formę kwadratową n-m zmiennych, czyli badamy określoność macierzy tej formy.

Przykład Znaleźć ekstrema f(x,y)xy przy warunku g(x,y)xy10

 I metoda rozwikływania ograniczeń:

x y

y x

g( , )0 1 ) 2

1 ( ) 1 , ( )

~(

x x x x x x f x

f       f~

ma w punkcie x₀ ₂¹maksimum lokalne, wiec f ma w punkcie

(

₂¹

,

₂¹

)

ma maksimum lokalne warunkowe

 II metoda Lagrange’a:

) 1 (

) , ( ) , ( ) , ,

(x y  f x y  g x y xy xx

L   

WK:



₂¹^,₂¹^, ¹₂



₁

0 1 0

0 0

P y

L x y x L x y L





























 









 









 





WW:

   

_



 







 



 



 







 y

y x x y x y x L

d 1 0

1 , 0

) , )(

, ,

2 ( 



^x ^y



^x ^y

L

d² (¹₂,¹₂,¹₂)( , ) 2  -(forma nieokreślona)

Należy skrępować przyrosty 0

1





 







 



 







y x y g x g

P

czyli w punkcie P1 mamy

 

^x ^y ^y ^x

y

x     



 







 0 0

1 1

(6)

Wstawiamy uzyskaną zależność do drugiej różniczki ²



( , , )( , )



2 ( ) 2( )²

1 x x x

x x y x L

d    _P     

otrzymując formę kwadratową (przyrostu x ) ujemnie określoną. Wobec tego f ma w punkcie

)

,

(

₂¹ ₂¹ maksimum lokalne warunkowe.

Ekstrema globalne.

R E R

f :

ⁿ

 

Def: Funkcja f ma w

x   E

maksimum globalne właściwe   ( ) ( )



 f x f x

x x E

x .

Jeżeli funkcja jest ciągła na zbiorze zwartym E, to z tw. Weierstrassa wynika, że istnieją w zbiorze E punkty, w których funkcja osiąga ekstrema globalne (kres górny i kres dolny zbioru swoich wartości)

Algorytm poszukiwania ekstremów globalnych:

1. poszukujemy punktów krytycznych w int E (wnętrze):

- punkty, w których zerują się pochodne cząstkowe - punkty, w których pochodne cząstkowe nie istnieją

2. „przeszukiwanie brzegu g(x)0” (szukamy punktów ekstremalnych funkcji przy warunku 0

) (x 

g )

W krokach 1 i 2 znajdujemy punkty krytyczne, w których funkcja może mieć ekstrema globalne.

Jeżeli w wyniku tych poszukiwań otrzymamy skończoną ilość punktów, to wyznaczamy wartość funkcji w tych punktach i wybieramy największą i najmniejszą wartość.

Uwaga. Nie ma powodu, aby w punktach krytycznych sprawdzać, czy funkcja ma w tych punktach ekstrema lokalne czy warunkowe- nie stosujemy więc WW dla ekstremów lokalnych czy warunkowych, wystarczy ze skończonej listy wybrać wartość największą i najmniejszą.

Przykład. Znaleźć najmniejszą i największą ) wartość funkcji f(x,y)=x²+y²-xy+x+y w trójkącie domkniętym ograniczonym przez proste x=0, y=0, x+y+3=0.

Odp. Max = f(-3,0)=f(0,-3)=6 Min= f(-1,-1)=-1