Czy istnieje pochodna w tych punktach? Czy f jest w tych puktach holomorczna? 2

Analiza zespolona 2019/2020

Zadania domowe - cz¦±¢ 1

Funkcje zmiennej zespolonej, holomorczno±¢, funkcje elementarne, reczywiste funkcje harmoniczne

1. Sprawdzi¢ w jakich punktach z ∈ C nast¦puj¡ce funkcje speªniaj¡ warunki Cauchy- Riemanna: (a) f(z) = |z|² + ¹₂z² , f(z) = z + z². Czy istnieje pochodna w tych punktach? Czy f jest w tych puktach holomorczna?

2. Zbada¢ istnienie pochodnej funkcji f(z) = (z¯z)³, z ∈ C.

3. Wyprowadzi¢ równania Cauchy-Riemanna w zmiennych biegunowych:

(a) ^∂u_∂r = ¹_r^∂v_∂θ ^∂u_∂θ = −r^∂v_∂r, (b) f⁰(z) = e^−iθ(u_r+ iv_r),

(c) korzystaj¡c z (a) sprawdzi¢ w jakich punktach istnieje pochodna funkcji f (z) =√

re^iθ/2. Obliczy¢ f⁰(z)w tych punktach korzystaj¡c z (b). W jakich punktach f jest holomorczna?

4. Niech f(z) = (z + 1)|z|². Obliczy¢ pochodne: (a) ^∂f_∂x(z)i ^∂f_∂y(z), (b) ^∂f_{∂ ¯z}(z), (c) w jakich punktach pªaszczyzny C funkcja f jest holomorczna?

5. Niech f(z) = (z + 1)²|z|. Obliczy¢ pochodne: (a) ^∂f_∂x(z)i ^∂f_∂y(z), (b) ^∂f_{∂ ¯z}(z), (c) w jakich punktach pªaszczyzny C funkcja f jest holomorczna?

6. Niech f ∈ H(D(0, R)) (gdzie D(a, r) := {z ∈ C : |z − a| < r}). Wykaza¢, »e je±li g(z) := f (z) to g ∈ H(D(0, R)).

7. Udowodni¢, »e je±li f i ¯f s¡ funkcjami holomorcznymi w D(z0, R), to f musi by¢

funkcj¡ staª¡.

8. Wyznaczy¢ cz¦±¢ rzeczywist¡ i urojon¡ funkcji: (a) f(z) = sinh z, (b) f(z) = cosh z, (c) f(z) = tgz, (d) f(z) = tghz

9. (a) Jaki zachodzi zwi¡zek mi¦dzy f(z) = tgz i g(z) = tghz?

(b) Wykaza¢, »e tan z 6= ±i i tanh z 6= ±1.

10. Wykaza¢, »e dla dowolnego z ∈ C zachodzi (a) cosh²z − sinh²z = 1,

(b) cosh(z1± z₂) = cosh z₁cosh z₂± sinh z₁sinh z₂, (c) sinh(2z) = 2 sinh z cosh z.

11. Wykaza¢, »e je±li (a) f(z) jest funkcj¡ trygonometryczn¡, (b) funkcj¡ hiperbo- liczn¡ to f(¯z) = f(z) dla ka»dego z ∈ C.

1

12. Wykaza¢, »e: (a) Ln(1 + i)² = 2Ln(1 + i), (b) Ln(−1 + i)² 6= 2Ln(−1 + i). 13. Obliczy¢: (a) (1 + i)ⁱ, (b) (−1)^π, (c) (1 − i)⁴ⁱ (d) sin z = 2, (e) sin⁻¹√

5

14. Niech D := {z ∈ C : 0 < Arg(z) < ^2π_n}. Znale¹¢ obraz f(D) dla f(z) = zⁿ dla n ∈ N.

15. Niech C \ {z ∈ C : Imz = 0 ∧ Rez ≥ 0}. Znale¹¢ obraz tego obszaru dla ka»dej z gaª¦zi funkcji f(z) = z^1/n, n ≥ 2. wyprowadzi¢ wzór Moivre'a korzystaj¡c z denicji funkcji pot¦gowej f(z) = z^1/n.

16. Niech f : C → C \ {0} b¦dzie dana wzorem f(z) = exp(z). Znale¹¢ obrazy: (a) prostych pionowych Rez = a, a ∈ R, (b) prostych poziomych Imz = b, b ∈ R.

Korzystaj¡c z tych wªasno±ci wyznaczy¢ f(A), f(B) gdzie A := {z ∈ C : ^π₂ <

Imz < ^3π₂ }, B := {z ∈ C : x1 ≤ Rez ≤ x₂}.

17. Niech D = {z ∈ C : e^x1 ≤ |z| ≤ e^x2}. Znale¹¢ obraz f(D) dla f(z) = ln z.

18. Wykaza¢, »e dla funkcji cos z = u(x, y) + iv(x, y) obrazem:

(a) prostej {z = x0+ iy : 0 < x₀ < π, y ∈ R} jest gaª¡¹ hiperboli

u²

cos²x0 − _sin^v2²x0 = 1 o ogniskach w punktach ±1. Na co przechodzi prosta Rez = x₀ = 0?

(b) odcinka {z = x + iy0 : 0 < x < π, y₀ ∈ R \ {0}} jest cz¦±c elipsy

u²

cosh²x0 + _sinh^v22x0 = 1 o ogniskach w punktach ±1. Na co przechodzi odcinek {z = x + i0 : −π < x < π}?

(c) Korzystaj¡c z tych wªasno±ci opisa¢ jak f(z) = cos z przeksztaªca pas {z ∈ C : −π < Rez < π}. Wykaza¢ ró»nowarto±ciowo±¢ f(z) w tym pasie.

19. Znale¹¢ dla funkcji tgz obraz:

(a) prostych {z = x0 + iy : −π/2 < x₀ < π/2, y ∈ R}, (b) odcinków {z = x + iy0 : −π/2 < x < π/2, y₀ ∈ R},

(c) Korzystaj¡c z tych wªasno±ci opisa¢ jak f(z) = tgz przeksztaªca pas

{z ∈ C : −π/2 < Rez < π/2}. Wykaza¢ ró»nowarto±ciowo±¢ f(z) w tym pasie.

20. Wykaza¢, »e funkcje odwrotne do funkcji trygometrycznych i funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych wyra»aj¡ si¦ za pomoc¡ funkcji logarytmicznej i pot¦go- wej. Policzy¢ pochodne wymienionych funkcji odrwotnych i porówna¢ z pochod- nymi tych funkcji w przypadku rzeczywistym.

21. Wyprowadzi¢ wzór na pochodn¡ f(z) = z^µ dla z ∈ C \ {0}, µ ∈ C.

22. Sprawdzi¢ czy

(a) u(x, y) = (x² − y²)e^xcos y − 2xye^xsin y jest harmoniczn¡. Znale¹¢ funkcj¦

holomorczn¡ tak¡, »e u(x, y) = Ref. Zapisa¢ f jako funkcj¦ zmiennej z (b) v(x, y) = − sinh x sin y jest harmoniczn¡. Znale¹¢ funkcj¦ holomorczn¡ tak¡,

»e v(x, y) = Imf. Zapisa¢ f jako funkcj¦ zmiennej z

(b) u(x, y) = x sin x cosh y − y cos x sinh y jest harmoniczn¡. Znale¹¢ funkcj¦

holomorczn¡ tak¡, »e u(x, y) = Ref. Zapisa¢ f jako funkcj¦ zmiennej z.

ODPOWIEDZI

1. (a) dla prostej {z = iy : y ∈ R}, wtedy f⁰(z) = −iy, f /∈ H({z = iy : y ∈ R}).

(b) tylko dla z = −¹₂, f⁰(−¹₂) = 0, f /∈ H({−¹₂}). 2. f⁰(z)istnieje tylko dla z = 0, f⁰(0) = 0.

3. (a) Zapiszemy cz¦±¢ rzeczywist¡ i urojon¡ we wspólrz¦dnych biegunowych: u(x, y) = u(r cos θ, r sin θ), v(x, y) = v(r cos θ, r sin θ). Zatem

(1) u_r = u_xx_r+ u_yy_r = u_xcos θ + u_ysin θ (2) u_θ = u_xx_θ+ u_yy_θ = −u_xr sin θ + u_yr cos θ (3) v_r = v_xx_r+ v_yy_r = v_xcos θ + v_ysin θ (4) v_θ = v_xx_θ+ v_yy_θ = −v_xr sin θ + v_yr cos θ.

Korzystaj¡c z faktu, »e f jest holomorczna czyli speªnia warunki C-R (uy =

−v_x i ux = v_y) zapiszemy (3) i (4) jako

(5) v_r = v_xcos θ + v_ysin θ = −u_ycos θ + u_xsin θ (6) v_θ = −v_xr sin θ + v_yr cos θ = u_yr sin θ + u_xr cos θ.

Z (1) i (6) dostajemy ur = ¹_rv_θ czyli pierwsze równanie C-R zapisane we wspóªrzêdnych biegunowych. Z kolei z (2) i (5) otrzymamy uθ = −rv_r, czyli drugie równanie C-R.

(b) Wiemy, »e f⁰(z) = u_x + iv_x. Chcemy pochodn¡ f⁰(z) zapisa¢ jako funkcj¦

zale»n¡ od ur i vr. Z (1) i (2) dostajemy ukªad równa«

(7) u_r = u_xcos θ + u_ysin θ u_θ = −u_xr sin θ + u_ycos θ.

Jest to ukªad Cramera o wyznaczniku równym r. Zatem (8) u_x = urcos θ − uθsin θ

r

Wstawiaj¡c uθ = −rv_r dostaniemy (9) ux = u_rcos θ + v_rsin θ. Analogicznie z (3) i (4) otrzymamy, »e

(10) v_r= v_xcos θ + v_ysin θ v_θ = −v_xr sin θ + v_ycos θ.

Jest to ukªad Cramera o wyznaczniku równym r. Zatem (11) v_x= v_rcos θ − v_θsin θ

r .

Wstawiaj¡c vθ = rur do (11) dostaniemy (12)vx = V − r cos θ − ursin θ. St¡d f⁰(z) =u_x+ iv_x = u_rcos θ + v_rsin θ + i(v_rcos θ − iu_rsin θ)

= u_r(cos θ − i sin θ) + iv_r(cos θ − i sin θ) = e^−iθ(u_r+ iv_r)

(c) Dla f(z) = √

re^iθ/2 funkcje u(x, y) = √

r cos(₂^θ) v(x, y) = √

r sin(^θ₂). Za- tem ur = ₂^√1_rcos(₂^θ), uθ = −¹₂√

r sin(^θ₂), vr = ₂^√1_rsin(^θ₂), vθ = ¹₂√

r cos(^θ₂). Spelnione s¡ warunki Cauchy-Riemana we wspóªrz¦dnych biegunowych poza z = 0 czyli f jest w tych punktach holomorczna. St¡d korzystaj¡c z (b) f⁰(z) = e^−iθ(ux+ ivx) = e^{−iθ 1}₂^√_r(cos(^θ₂) + i sin(^θ₂)) = ₂^√1_z.

4. (a) ^∂f_∂x(x, y) = 3x²+ y²+ 2x + i2xy, ^∂f_∂y(x, y) = 2xy + 2y + i(x²+ 3y²) (b) ^∂f_{∂ ¯z}(z) = x² − y²+ x + i(2xy + y), ^∂f_{∂ ¯z}(z) = 0 ⇔ (z₁ = 0 ∨ z₂ = −1)

(c) f nie jest holomorczna w »adnym punkcie z ∈ C.

5. (a) Pochodne ^∂f_∂x(0, 0) i ^∂f_∂y(0, 0)trzeba policzy¢ z denicji, f⁰(0) nie istnieje

∂f

∂x(z) = ^{(3x3+4x2+2y2+xy}√^{2−x)+i(2y3+4x2y+2yx)}

x²+y² dla z = x + iy 6= 0

∂f

∂y(z) = ^{(x3−2y3−2yx2−xy2+2x}√^{2+x)+i(2x3+2x2+4xy2+4y2)}

x²+y² dla z = x + iy 6= 0.

(b) ^∂f_{∂ ¯z}(z) = ¹₂

∂f

∂x(z) + i^∂f_∂y(z) - podstawi¢ pochodne otrzymane w punkcie (a) dla z = x+iy 6= 0. Inny sposób - korzystaj¡c z wªasno±ci pochodnych funkcji elementarnych, otrzymamy, »e ^∂f_{∂ ¯z}(z) = ¹₂(z + 1)²p_z

¯

z dla z 6= 0. St¡d f⁰(z) istnieje tylko dla z = −1 i wynosi f⁰(−1) = 0.

(c) f nie jest holomorczna w »adnym punkcie z ∈ C.

8. (a) sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y, (b) cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y, (c) tgz = cos(2x)+cosh(2y)^sin(2x) + icos(2x)+cosh(2y)^sinh(2y) , (d) tghz = cosh(2x)+cos(2y)^sinh(2x) + icosh(2x)+cos(2y)^sin(2y) . 9. (a) f(z) = tg(iz) = itghz

13. (a) (1 + i)ⁱ = e^{−(π/4+2kπ)}e^{i ln}

√

2, k ∈ Z, (b) (−1)^π = e^iπ2(1+2k), k ∈ Z,

(c) (1 − i)⁴ⁱ = e^πe^{i(2 ln 2)} (d) zk = ln(2 +√

3) + i(^π₂ + 2kπ), k ∈ Z lub z⁰k= ln(2 −√

3) + i(^π₂ + 2kπ), k ∈ Z, (e) zk = (4k + 1)π/2 +i ln(√

5 +2), k ∈ Z lub zk⁰ = (4k + 1)π/2 +i ln(√

5−2), k ∈ Z.

14. f(D) = {z ∈ C : 0 < Arg(z) < 2π}.

15. gk(D) = {w ∈ C : ^2(k−1)π_n < Arg(w) < ^2kπ_n }, gdzie gk oznacza k-t¡ gaª¡¹ funkcji z^1/n, k = 1, . . . , n, n ∈ N. Przy wyprowadzaniu wzoru Movre'a wykaza¢ cyklicz- no¢ gaª¦zi funkcji ln z.

16. f(A) = {z ∈ C : ^π₂ < Arg(z) < ^3π₂ }, f(B) = {z ∈ C : e^x1 ≤ |z| ≤ e^x2}.

17. f(D) = {z ∈ C : x1 ≤ Rez ≤ x₂}.

19. Z zad.7(c) wynika, »e u(x, y) = cos(2x)+cosh(2y)^sin(2x) i v(x, y) = cos(2x)+cosh(2y)^sinh(2y) . Zauwa»y¢,

»e tg(z) 6= ±i.

(a) Ruguj¡c zmienn¡ y ze wzorów na u(x, y) i v(x, y) oraz korzystaj¡c z to»samo-

±ci cosh²(2y) − sinh²(2y) = 1 otrzymamy, »e obrazem prostej {z = x0+ iy :

−π/2 < x₀ < π/2, y ∈ R} jest ªuk okr¦gu ograniczonymi punktami ±i.

Okr¡g ma posta¢



u + cos 2x₀ sin 2x0

2

+ v² = 1 sin²(2x₀).

Jest to p¦k hiperboliczny okr¦gów przechodz¡cych przez dwa punkty staªe

±i. W szczególno±ci o± urojona przechodzi w odcinek osi urojonej v l¡cz¡cy punkty −i, +i.

(b) Ruguj¡c zmienn¡ x ze wzorów na u(x, y) i v(x, y) otrzymamy, »e obrazem odcinka {z = x + iy0 : −π/2 < x < π/2, y0 ∈ R}, jest okr¡g pozbawiony jednego punktu le»¡cego na osi urojonej. Okr¡g ma posta¢

u² +



v − cosh 2y0

sin 2y₀

2

= 1

sinh²(2y₀).

Jest to p¦k eliptyczny okr¦gów wzgl¦dem których punkty ±i s¡ symetryczne.

Okr¦gi te mo»na zapisa¢ w postaci |^w−i_w+i| = e^−2y0. W szczególno±ci odcinek osi rzeczywistaj −π/2 < x < π/2 przechodzi na caª¡ o± rzeczywist¡ u.

20. (a) arcsinz = −iln(iz +√

1 − z²), (arcsinz)⁰ = ^{√ 1}

1−z², (b) arccosz = −iln(z +√

z²− 1), (arccosz)⁰ = ^√−1

1−z², (c) arctgz = _2i¹ln ^1+iz_1−iz

, (arctgz)⁰ = _1+z¹ 2, (d) arcctgz = −_2i¹ln ^iz+1_iz−1

, (arcctgz)⁰ = −_1+z¹2, (e) arsinhz = ln(z +√

z²+ 1) (area sinus hiperboliczny), (arsinhz)⁰ = ^{√ 1}

1+z², (f) arcoshz = ln(z +√

z²− 1)(area cosinus hiperboliczny), (arcoshz)⁰ = ^√_z¹₂₋₁, (g) artghz = ¹₂ln ^1+z_1−z

(area tanges hiperboliczny), (artghz)⁰ = _1−z¹2, (h) arctghz = ¹₂ln ^z+1_z−1

(area cotanges hiperboliczny), (arctghz)⁰ = −_1−z¹2. 22. (a) v(x, y) = (x²− y²)e^xsin y + 2xye^xsin y + C , f(z) = z²e^iz + iC, C ∈ R

(b) u(x, y) = cosh x cos y + C, f(z) = i cosh z + iC, C ∈ R.

(c) v(x, y) = y sin x cosh y + x cos x sinh y + C, f(z) = z sin z + iC ∈ R