• Nie Znaleziono Wyników

Czy istnieje pochodna w tych punktach? Czy f jest w tych puktach holomorczna? 2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Czy istnieje pochodna w tych punktach? Czy f jest w tych puktach holomorczna? 2"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

Analiza zespolona 2019/2020

Zadania domowe - cz¦±¢ 1

Funkcje zmiennej zespolonej, holomorczno±¢, funkcje elementarne, reczywiste funkcje harmoniczne

1. Sprawdzi¢ w jakich punktach z ∈ C nast¦puj¡ce funkcje speªniaj¡ warunki Cauchy- Riemanna: (a) f(z) = |z|2 + 12z2 , f(z) = z + z2. Czy istnieje pochodna w tych punktach? Czy f jest w tych puktach holomorczna?

2. Zbada¢ istnienie pochodnej funkcji f(z) = (z¯z)3, z ∈ C.

3. Wyprowadzi¢ równania Cauchy-Riemanna w zmiennych biegunowych:

(a) ∂u∂r = 1r∂v∂θ ∂u∂θ = −r∂v∂r, (b) f0(z) = e−iθ(ur+ ivr),

(c) korzystaj¡c z (a) sprawdzi¢ w jakich punktach istnieje pochodna funkcji f (z) =√

reiθ/2. Obliczy¢ f0(z)w tych punktach korzystaj¡c z (b). W jakich punktach f jest holomorczna?

4. Niech f(z) = (z + 1)|z|2. Obliczy¢ pochodne: (a) ∂f∂x(z)i ∂f∂y(z), (b) ∂f∂ ¯z(z), (c) w jakich punktach pªaszczyzny C funkcja f jest holomorczna?

5. Niech f(z) = (z + 1)2|z|. Obliczy¢ pochodne: (a) ∂f∂x(z)i ∂f∂y(z), (b) ∂f∂ ¯z(z), (c) w jakich punktach pªaszczyzny C funkcja f jest holomorczna?

6. Niech f ∈ H(D(0, R)) (gdzie D(a, r) := {z ∈ C : |z − a| < r}). Wykaza¢, »e je±li g(z) := f (z) to g ∈ H(D(0, R)).

7. Udowodni¢, »e je±li f i ¯f s¡ funkcjami holomorcznymi w D(z0, R), to f musi by¢

funkcj¡ staª¡.

8. Wyznaczy¢ cz¦±¢ rzeczywist¡ i urojon¡ funkcji: (a) f(z) = sinh z, (b) f(z) = cosh z, (c) f(z) = tgz, (d) f(z) = tghz

9. (a) Jaki zachodzi zwi¡zek mi¦dzy f(z) = tgz i g(z) = tghz?

(b) Wykaza¢, »e tan z 6= ±i i tanh z 6= ±1.

10. Wykaza¢, »e dla dowolnego z ∈ C zachodzi (a) cosh2z − sinh2z = 1,

(b) cosh(z1± z2) = cosh z1cosh z2± sinh z1sinh z2, (c) sinh(2z) = 2 sinh z cosh z.

11. Wykaza¢, »e je±li (a) f(z) jest funkcj¡ trygonometryczn¡, (b) funkcj¡ hiperbo- liczn¡ to f(¯z) = f(z) dla ka»dego z ∈ C.

1

(2)

12. Wykaza¢, »e: (a) Ln(1 + i)2 = 2Ln(1 + i), (b) Ln(−1 + i)2 6= 2Ln(−1 + i). 13. Obliczy¢: (a) (1 + i)i, (b) (−1)π, (c) (1 − i)4i (d) sin z = 2, (e) sin−1

5

14. Niech D := {z ∈ C : 0 < Arg(z) < n}. Znale¹¢ obraz f(D) dla f(z) = zn dla n ∈ N.

15. Niech C \ {z ∈ C : Imz = 0 ∧ Rez ≥ 0}. Znale¹¢ obraz tego obszaru dla ka»dej z gaª¦zi funkcji f(z) = z1/n, n ≥ 2. wyprowadzi¢ wzór Moivre'a korzystaj¡c z denicji funkcji pot¦gowej f(z) = z1/n.

16. Niech f : C → C \ {0} b¦dzie dana wzorem f(z) = exp(z). Znale¹¢ obrazy: (a) prostych pionowych Rez = a, a ∈ R, (b) prostych poziomych Imz = b, b ∈ R.

Korzystaj¡c z tych wªasno±ci wyznaczy¢ f(A), f(B) gdzie A := {z ∈ C : π2 <

Imz < 2 }, B := {z ∈ C : x1 ≤ Rez ≤ x2}.

17. Niech D = {z ∈ C : ex1 ≤ |z| ≤ ex2}. Znale¹¢ obraz f(D) dla f(z) = ln z.

18. Wykaza¢, »e dla funkcji cos z = u(x, y) + iv(x, y) obrazem:

(a) prostej {z = x0+ iy : 0 < x0 < π, y ∈ R} jest gaª¡¹ hiperboli

u2

cos2x0sinv22x0 = 1 o ogniskach w punktach ±1. Na co przechodzi prosta Rez = x0 = 0?

(b) odcinka {z = x + iy0 : 0 < x < π, y0 ∈ R \ {0}} jest cz¦±c elipsy

u2

cosh2x0 + sinhv22x0 = 1 o ogniskach w punktach ±1. Na co przechodzi odcinek {z = x + i0 : −π < x < π}?

(c) Korzystaj¡c z tych wªasno±ci opisa¢ jak f(z) = cos z przeksztaªca pas {z ∈ C : −π < Rez < π}. Wykaza¢ ró»nowarto±ciowo±¢ f(z) w tym pasie.

19. Znale¹¢ dla funkcji tgz obraz:

(a) prostych {z = x0 + iy : −π/2 < x0 < π/2, y ∈ R}, (b) odcinków {z = x + iy0 : −π/2 < x < π/2, y0 ∈ R},

(c) Korzystaj¡c z tych wªasno±ci opisa¢ jak f(z) = tgz przeksztaªca pas

{z ∈ C : −π/2 < Rez < π/2}. Wykaza¢ ró»nowarto±ciowo±¢ f(z) w tym pasie.

20. Wykaza¢, »e funkcje odwrotne do funkcji trygometrycznych i funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych wyra»aj¡ si¦ za pomoc¡ funkcji logarytmicznej i pot¦go- wej. Policzy¢ pochodne wymienionych funkcji odrwotnych i porówna¢ z pochod- nymi tych funkcji w przypadku rzeczywistym.

21. Wyprowadzi¢ wzór na pochodn¡ f(z) = zµ dla z ∈ C \ {0}, µ ∈ C.

22. Sprawdzi¢ czy

(a) u(x, y) = (x2 − y2)excos y − 2xyexsin y jest harmoniczn¡. Znale¹¢ funkcj¦

holomorczn¡ tak¡, »e u(x, y) = Ref. Zapisa¢ f jako funkcj¦ zmiennej z (b) v(x, y) = − sinh x sin y jest harmoniczn¡. Znale¹¢ funkcj¦ holomorczn¡ tak¡,

»e v(x, y) = Imf. Zapisa¢ f jako funkcj¦ zmiennej z

(3)

(b) u(x, y) = x sin x cosh y − y cos x sinh y jest harmoniczn¡. Znale¹¢ funkcj¦

holomorczn¡ tak¡, »e u(x, y) = Ref. Zapisa¢ f jako funkcj¦ zmiennej z.

ODPOWIEDZI

1. (a) dla prostej {z = iy : y ∈ R}, wtedy f0(z) = −iy, f /∈ H({z = iy : y ∈ R}).

(b) tylko dla z = −12, f0(−12) = 0, f /∈ H({−12}). 2. f0(z)istnieje tylko dla z = 0, f0(0) = 0.

3. (a) Zapiszemy cz¦±¢ rzeczywist¡ i urojon¡ we wspólrz¦dnych biegunowych: u(x, y) = u(r cos θ, r sin θ), v(x, y) = v(r cos θ, r sin θ). Zatem

(1) ur = uxxr+ uyyr = uxcos θ + uysin θ (2) uθ = uxxθ+ uyyθ = −uxr sin θ + uyr cos θ (3) vr = vxxr+ vyyr = vxcos θ + vysin θ (4) vθ = vxxθ+ vyyθ = −vxr sin θ + vyr cos θ.

Korzystaj¡c z faktu, »e f jest holomorczna czyli speªnia warunki C-R (uy =

−vx i ux = vy) zapiszemy (3) i (4) jako

(5) vr = vxcos θ + vysin θ = −uycos θ + uxsin θ (6) vθ = −vxr sin θ + vyr cos θ = uyr sin θ + uxr cos θ.

Z (1) i (6) dostajemy ur = 1rvθ czyli pierwsze równanie C-R zapisane we wspóªrzêdnych biegunowych. Z kolei z (2) i (5) otrzymamy uθ = −rvr, czyli drugie równanie C-R.

(b) Wiemy, »e f0(z) = ux + ivx. Chcemy pochodn¡ f0(z) zapisa¢ jako funkcj¦

zale»n¡ od ur i vr. Z (1) i (2) dostajemy ukªad równa«

(7) ur = uxcos θ + uysin θ uθ = −uxr sin θ + uycos θ.

Jest to ukªad Cramera o wyznaczniku równym r. Zatem (8) ux = urcos θ − uθsin θ

r

Wstawiaj¡c uθ = −rvr dostaniemy (9) ux = urcos θ + vrsin θ. Analogicznie z (3) i (4) otrzymamy, »e

(10) vr= vxcos θ + vysin θ vθ = −vxr sin θ + vycos θ.

Jest to ukªad Cramera o wyznaczniku równym r. Zatem (11) vx= vrcos θ − vθsin θ

r .

Wstawiaj¡c vθ = rur do (11) dostaniemy (12)vx = V − r cos θ − ursin θ. St¡d f0(z) =ux+ ivx = urcos θ + vrsin θ + i(vrcos θ − iursin θ)

= ur(cos θ − i sin θ) + ivr(cos θ − i sin θ) = e−iθ(ur+ ivr)

(4)

(c) Dla f(z) = √

reiθ/2 funkcje u(x, y) = √

r cos(2θ) v(x, y) = √

r sin(θ2). Za- tem ur = 21rcos(2θ), uθ = −12

r sin(θ2), vr = 21rsin(θ2), vθ = 12

r cos(θ2). Spelnione s¡ warunki Cauchy-Riemana we wspóªrz¦dnych biegunowych poza z = 0 czyli f jest w tych punktach holomorczna. St¡d korzystaj¡c z (b) f0(z) = e−iθ(ux+ ivx) = e−iθ 12r(cos(θ2) + i sin(θ2)) = 21z.

4. (a) ∂f∂x(x, y) = 3x2+ y2+ 2x + i2xy, ∂f∂y(x, y) = 2xy + 2y + i(x2+ 3y2) (b) ∂f∂ ¯z(z) = x2 − y2+ x + i(2xy + y), ∂f∂ ¯z(z) = 0 ⇔ (z1 = 0 ∨ z2 = −1)

(c) f nie jest holomorczna w »adnym punkcie z ∈ C.

5. (a) Pochodne ∂f∂x(0, 0) i ∂f∂y(0, 0)trzeba policzy¢ z denicji, f0(0) nie istnieje

∂f

∂x(z) = (3x3+4x2+2y2+xy2−x)+i(2y3+4x2y+2yx)

x2+y2 dla z = x + iy 6= 0

∂f

∂y(z) = (x3−2y3−2yx2−xy2+2x2+x)+i(2x3+2x2+4xy2+4y2)

x2+y2 dla z = x + iy 6= 0.

(b) ∂f∂ ¯z(z) = 12

∂f

∂x(z) + i∂f∂y(z) - podstawi¢ pochodne otrzymane w punkcie (a) dla z = x+iy 6= 0. Inny sposób - korzystaj¡c z wªasno±ci pochodnych funkcji elementarnych, otrzymamy, »e ∂f∂ ¯z(z) = 12(z + 1)2pz

¯

z dla z 6= 0. St¡d f0(z) istnieje tylko dla z = −1 i wynosi f0(−1) = 0.

(c) f nie jest holomorczna w »adnym punkcie z ∈ C.

8. (a) sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y, (b) cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y, (c) tgz = cos(2x)+cosh(2y)sin(2x) + icos(2x)+cosh(2y)sinh(2y) , (d) tghz = cosh(2x)+cos(2y)sinh(2x) + icosh(2x)+cos(2y)sin(2y) . 9. (a) f(z) = tg(iz) = itghz

13. (a) (1 + i)i = e−(π/4+2kπ)ei ln

2, k ∈ Z, (b) (−1)π = e2(1+2k), k ∈ Z,

(c) (1 − i)4i = eπei(2 ln 2) (d) zk = ln(2 +√

3) + i(π2 + 2kπ), k ∈ Z lub z0k= ln(2 −√

3) + i(π2 + 2kπ), k ∈ Z, (e) zk = (4k + 1)π/2 +i ln(√

5 +2), k ∈ Z lub zk0 = (4k + 1)π/2 +i ln(√

5−2), k ∈ Z.

14. f(D) = {z ∈ C : 0 < Arg(z) < 2π}.

15. gk(D) = {w ∈ C : 2(k−1)πn < Arg(w) < 2kπn }, gdzie gk oznacza k-t¡ gaª¡¹ funkcji z1/n, k = 1, . . . , n, n ∈ N. Przy wyprowadzaniu wzoru Movre'a wykaza¢ cyklicz- no¢ gaª¦zi funkcji ln z.

16. f(A) = {z ∈ C : π2 < Arg(z) < 2 }, f(B) = {z ∈ C : ex1 ≤ |z| ≤ ex2}.

(5)

17. f(D) = {z ∈ C : x1 ≤ Rez ≤ x2}.

19. Z zad.7(c) wynika, »e u(x, y) = cos(2x)+cosh(2y)sin(2x) i v(x, y) = cos(2x)+cosh(2y)sinh(2y) . Zauwa»y¢,

»e tg(z) 6= ±i.

(a) Ruguj¡c zmienn¡ y ze wzorów na u(x, y) i v(x, y) oraz korzystaj¡c z to»samo-

±ci cosh2(2y) − sinh2(2y) = 1 otrzymamy, »e obrazem prostej {z = x0+ iy :

−π/2 < x0 < π/2, y ∈ R} jest ªuk okr¦gu ograniczonymi punktami ±i.

Okr¡g ma posta¢



u + cos 2x0 sin 2x0

2

+ v2 = 1 sin2(2x0).

Jest to p¦k hiperboliczny okr¦gów przechodz¡cych przez dwa punkty staªe

±i. W szczególno±ci o± urojona przechodzi w odcinek osi urojonej v l¡cz¡cy punkty −i, +i.

(b) Ruguj¡c zmienn¡ x ze wzorów na u(x, y) i v(x, y) otrzymamy, »e obrazem odcinka {z = x + iy0 : −π/2 < x < π/2, y0 ∈ R}, jest okr¡g pozbawiony jednego punktu le»¡cego na osi urojonej. Okr¡g ma posta¢

u2 +



v − cosh 2y0

sin 2y0

2

= 1

sinh2(2y0).

Jest to p¦k eliptyczny okr¦gów wzgl¦dem których punkty ±i s¡ symetryczne.

Okr¦gi te mo»na zapisa¢ w postaci |w−iw+i| = e−2y0. W szczególno±ci odcinek osi rzeczywistaj −π/2 < x < π/2 przechodzi na caª¡ o± rzeczywist¡ u.

20. (a) arcsinz = −iln(iz +√

1 − z2), (arcsinz)0 = 1

1−z2, (b) arccosz = −iln(z +√

z2− 1), (arccosz)0 = −1

1−z2, (c) arctgz = 2i1ln 1+iz1−iz

, (arctgz)0 = 1+z1 2, (d) arcctgz = −2i1ln iz+1iz−1

, (arcctgz)0 = −1+z12, (e) arsinhz = ln(z +√

z2+ 1) (area sinus hiperboliczny), (arsinhz)0 = 1

1+z2, (f) arcoshz = ln(z +√

z2− 1)(area cosinus hiperboliczny), (arcoshz)0 = z12−1, (g) artghz = 12ln 1+z1−z

(area tanges hiperboliczny), (artghz)0 = 1−z12, (h) arctghz = 12ln z+1z−1

(area cotanges hiperboliczny), (arctghz)0 = −1−z12. 22. (a) v(x, y) = (x2− y2)exsin y + 2xyexsin y + C , f(z) = z2eiz + iC, C ∈ R

(b) u(x, y) = cosh x cos y + C, f(z) = i cosh z + iC, C ∈ R.

(c) v(x, y) = y sin x cosh y + x cos x sinh y + C, f(z) = z sin z + iC ∈ R

Cytaty

Powiązane dokumenty

W tym prostym przypadku sprawa jest prosta i możemy to zrobić po prostu chwilę się zastanawiając... Chcielibyśmy znaleźć funkcję, która odwraca

Intuicyjne rozumienie jest proste - pochodna funkcji opisuje tempo zmiany danej

Intuicyjne rozumienie jest proste - pochodna funkcji opisuje tempo zmiany danej (nachylenie)

Jeśli natomiast f osiąga wartość największą na końcach przedziału, czyli mamy sytuację, którą w uproszczeniu można naszkicować jak na rysunku 3, to za punkt c przyjmiemy punkt,

Otóż jeśli jakiś obiekt (spadające ciało lub samochód na szosie) przebyło w określonym czasie określoną drogę, to średnia prędkość w czasie tego ruchu jest ilorazem

Pochodna

Naszkicować wykres funkcji f n oraz wykres jej po-

b) okre±l znak drugiej pochodnej-wyznaczamy przedziaªy wkl¦sªo±ci i wypukªo±ci funkcji oraz punkty przegi¦cia funkcji,. 6) zbierz otrzymane informacje o funkcji w tabeli 7)