Rola znaczeniaw rozumowaniach matematycznych

R O C Z N IK I P O L S K IE G O T O W A R Z Y S T W A M A T E M A T Y C Z N E G O SE R IA V : D Y D A K T Y K A M A T E M A T Y K I 24(2002)

Zbigniew Semadeni

Rola znaczenia

w rozumowaniach matematycznych

1. W s t ę p . Praca ta* ma swe źródło w słynnych artykułach Ronę Thoma (1974a, 1974b); kwestionował on główne założenia ówczesnych reform progra­ mów nauczania, przeprowadzanych pod hasłami „nowej matematyki” . Istotna część jego uwag dotyczyła znaczenia** symboli i zdań w matematyce.

Prawdziwym problemem, jakiemu musi stawić czoło nauczanie matema­ tyki, nie jest problem ścisłości, lecz problem rozwoju „znaczenia”, „ist­ nienia” przedmiotów matematycznych. (...)

Matematyk nadaje sens każdemu zdaniu, co pozwala mu zapomnieć, jakie jest miejsce tego zdania w jakiejkolwiek istniejącej sformalizowanej teorii. Sens nadaje temu zdaniu status ontologiczny, niezależny od jakiej­ kolwiek formalizacji.

(...) osiągnięcie absolutnej ścisłości jest możliwe tylko przez elimina­ cję znaczenia. Ale jeśli będę miał wybierać między ścisłością a sensem, to wybiorę bez wahania sens.

(...) sens w matematyce jest owocem pewnej konstrukcji, pewnego nauczania i nigdy nie było dwóch matematyków (ani nawet dwóch stu­ dentów), których doświadczenia matematyczne miałyby tę samą historię (Thom, 1974b, s. 136-138).

W tych samych latach Mostowski (1972, cytowany szerzej w: Semadeni, 2 0 0 2a) wyraził zdecydowaną dezaprobatę dla obserwowanego przezeń naduży­ wania logiki matematycznej w szkole. Napisał przy tym, że

(...) istotą matematyki są pojęcia: prawdy i znaczenia (Mostowski, 1972, s. 84);

wcześniej tę samą myśl, powołując się na Posta, wyraził on w książce (Mo­ stowski, 1948, s. 373).

Cytowane tu wypowiedzi pochodzą od matematyków o wyjątkowej pozycji (Thom w 1958 r. otrzymał medal Fieldsa; Mostowski był po 1945 r. wielkim, niekwestionowanym autorytetem w zakresie l o g i k i matematycznej). Obaj podkreślili fundamentalną rolę „znaczenia” . Jednakże próżne byłoby szukanie o k r e ś l e n i a terminu „znaczenie” w publikacjach z matematyki. Nie ma też tego terminu (ani jego synonimu: sens) w indeksie do trzytomowego dzieła Krygowskiej (1977), ani w indeksie do książki Mostowskiego (1948), ani w in­ nych polskich publikacjach adresowanych do matematyków.

Nasuwa się więc naturalne pytanie: Czym jest owo „znaczenie” , do któ­ rego Mostowski i Thom przywiązywali taką wagę i to w związku z nauczaniem szkolnym?

Celem tej pracy jest teoretyczna analiza kilku możliwych ujęć tego, czym jest z n a c z e n i e (nazw, symboli, wyrażeń, zdań itp.) w m a t e m a t y c e oraz zaproponowanie pewnej systematyzacji związanych z tym zagadnień.

Wyróżnimy osiem rodzajów znaczenia w matematyce, nadając im nazwy: 1) znaczenie definicyjne (przy definicji wyraźnej), 2) znaczenie szerokokon- tekstowe, 3) uogólnione znaczenie kontekstowe, 4) znaczenie celowe, 5) zna­ czenie pozamatematyczne, 6) znaczenie proceduralne, 7) znaczenie operacyjne, 8) znaczenie asocjacyjne.

Większość tych znaczeń jest znana matematykom, używają ich bowiem w praktyce, jakkolwiek bez żadnych etykietek ani określeń. Na ogół pojęcie matematyczne ma kilka z podanych tu rodzajów znaczeń. Specjalnie intere­ sujące są jednak przypadki osobliwe, np. gdy jakieś bardzo ważne pojęcia są powszechnie używane bez podania ich znaczenia definicyjnego („szereg” i „wie­ lomian” , przykłady 11 i 12 w 4.8), choć nie są to pojęcia pierwotne teorii.

Ro l a z n a c z e n i a w r o z u m o w a n i a c h m a t e m a t y c z n y c h 147

w tej pracy jest zwrócenie uwagi na to, że znaczenie w matematyce — takie, jakiego się w praktyce używa — to n ie t y l k o d e f i n i c j a . Znaczenie należy traktować znacznie szerzej, z rozmaitych punktów widzenia. Ograniczanie się do podejścia semiotycznego, które ujmuje termin „znaczenie” dwuargumen- towo jako relację: (znak, znaczenie znaku), z pewnością nie odpowiadałoby temu, co wyraził Thom. Z tego powodu przyjmujemy inne podejście, poglą­ dowo przedstawione jako

(pojęcie matematyczne, wielostronne znaczenie temu przypisywane). Zaakceptowanie proponowanego tu, wzbogaconego ujmowania znaczenia, mo­ że przyczynić się do uznania, że w nauczaniu (szkolnym i uniwersyteckim) podstawowe pojęcia mogą i powinny być wprowadzane m n i e j f o r m a l n i e , a większy nacisk powinno się kłaść na ukazywanie ich w bogatym kontekście.

Ograniczanie się w nauczaniu do znaczenia definicyjnego i do, z trudem przyswajanego, znaczenia proceduralnego i operacyjnego jest jedną z przyczyn trudności, jakie ludziom sprawia matematyka. Warto dodać, że to unikanie znaczenia nie dotyczy jedynie okresu „nowej matematyki” (kiedy to przybrało karykaturalne rozmiary), ale istniało znacznie wcześniej, było częścią tradycji, którą Lakatos (1976, s. 142) określił jako metodologię euklidesową lub styl

deduktywistyczny. Jedną z jej cech jest ukrywanie znaczenia (jako czegoś gor­

szego, określanego jako „intuicja” , nie odpowiadającego ideałowi matematyki). W założeniu swym praca ta wykracza poza sformułowane wyżej cele i jest zarazem p r z e g l ą d e m najrozmaitszych aspektów pojęcia znaczenia, jakie mogą mieć związek z matematyką i jej nauczaniem. Zasygnalizujemy m. in. związki znaczenia z rozumieniem (część 5 oraz 4.6) oraz różnice między zna­ czeniem a oznaczaniem (część 6).

2. O p is sto so w a n e j m e to d y . Nie znalazłszy w literaturze zadowala­ jącego określenia terminu „znaczenie” , sformułowanego w języku używanym przez matematyków, dokonamy w części 3 p r z e g l ą d u najważniejszych kon­ cepcji dotyczących terminu „znaczenie” w naukach p o k r e w n y c h , wybiera­ jąc z nich tylko to, co da się dostosować do specyfiki matematyki . *

Następnie, w części 4, wyróżnimy po kolei osiem wymienionych powyżej rodzajów znaczenia w matematyce. Objaśnimy je na odpowiednio dobranych p r z y k ł a d a c h . Przykłady te będą dwojakiego rodzaju. Jedne z nich będą zwykłymi ilustracjami omawianych określeń. Inne, którym poświęcimy szcze­ gólną uwagę, będą specjalnie wyszukanymi sytuacjami, w których potrafimy ujawnić d y s o n a n s p o z n a w c z y między znaczeniem danego terminu, wyni­ kającym z jego definicji, a pewnymi innymi interpretacjami, wyraźnymi w in­ nym kontekście. Metoda, którą będziemy stosować, zbliżona jest do metody opisanej w (Semadeni, 2002b).

3. T e rm in „z n a c z e n ie ” w naukach h u m a n isty czn y ch . Termin ten jest wieloznaczny, ma wiele różnych określeń w filozofii, logice i językoznaw­ stwie (Bocheński, 1992; Marciszewski, 1970; Marciszewski, 1987, s. 271-280; Polański, 1993; Wójcicki, 1999; Quine, 1998; Quine, 2000a). Przyjmuje się rozmaite definicje „znaczenia” , zależnie od teorii. Te same nazwy mogą być rozmaicie interpretowane przez różnych autorów. Sierpińska (1994, s. 3-26) analizuje wiele aspektów pojęcia „znaczenie” , zaczynając od uwagi, że mało pojęć sprawiało tyle kłopotów w filozofii, co właśnie to pojęcie; Quine (2000a, s. 163) pisze wręcz o „niewesołym stanie teorii znaczenia” . Sierpińska i Lerman (1996) dają krótki przegląd epistemologii znaczenia w kontekście dydaktyki matematyki.

Przytoczymy tu niektóre z określeń podawanych w literaturze, wybrane i zaadaptowane tak, aby mogły być pomocne przy rozważaniach, jak powinno się określać „znaczenie” w sposób odpowiadający specyfice matematyki.

Gdy mamy na myśli, że „ x znaczy y ” , to x może oznaczać znak* lub układ znaków; w węższym sensie, mogą to być symbole lub nazwy pojęć mate­ matycznych, a w szerszym — mogą to być również wyrażenia matematyczne, zdania logiczne lub formy zdaniowe, figury geometryczne, wykresy, algorytmy, zdania o treści matematycznej wypowiedziane lub napisane w jakimś języku narodowym (np. polskim) itp.

Znak — to przedmiot lub zjawisko, które wskazuje, zastępuje, odnosi się, czyli oznacza inny przedmiot, zjawisko, stan rzeczy konkretny lub abs­ trakcyjny. To, co znak oznacza, jest jego desygnatem. Relacja między znakiem a desygnatem jest relacją oznaczania lub— ogólniej — znacze­ nia; znak traktowany jest jako nośnik znaczenia (Kurcz, 1992, s. 12).

Najistotniejsze jednak różnice, między rozmaitymi określeniami terminu „znaczenie” , dotyczą tego, co się dopuszcza jako y w określeniu: „ x znaczy y ” . *

Ro l a z n a c z e n i a w r o z u m o w a n i a c h m a t e m a t y c z n y c h 149

3.1. Zgodnie z teorią asocjacjonistyczną, znaczenie y jest tworem psychicz­

nym, pewnym przedstawieniem (ideą, myślą) kojarzonym z x. Określenie to

jest wprawdzie dość ogólnikowe, ale dobrze odpowiada pewnym przykładom użycia go w rozumowaniach matematycznych, zwłaszcza w sytuacjach wyma­ gających myślenia twórczego (przy rozwiązywaniu zadań lub usiłowaniu znale­ zienia dowodu twierdzenia), gdzie wykorzystuje się rozmaite subtelne związki

(wrócimy do tego w 4.9).

3.2. Inne podejście polega na określeniu znaczenia x jako zespołu cech cha­ rakteryzujących x. Należy podkreślić, że do wyboru mamy dwie możliwości. Jedna — to uznać za znaczenie pojęcia jego d e f i n i c j ę , jeżeli jest ona po­ staci: „wyrażenie x ” znaczy „wyrażenie złożone y ” , przy założeniu, że chodzi o stosunek r ó w n o z n a c z n o ś c i między definiendum (argumentem definio­ wanym) a jego definiensem; typowym przykładem jest definicja: „kwadrat” znaczy „prostokąt równoboczny” . Druga możliwość — to uznanie, że znaczenie

x obejmuje w s z y s t k i e cechy, jakie ma x.

3.3. Jeszcze inne, bardzo ważne podejście do znaczenia, mianowicie defi­

nicja kontekstowa, pochodzi od Benthama . Zauważył on, że aby wyjaśnić

dany termin, nie musimy budować wyrażenia, które jest jego synonimem. W y­ starczy w tym celu w y j a ś n i ć wszystkie z d a n i a , w których termin ten jest używany. Jest to zasada semantyczna Fregego (Murawski, 1986, s. 179; Quine, 1998, s. 16, 21, 112-113; Quine 2000a, s. 60, 6 8; Bocheński, 1992, s. 93).

Docenienie definicji kontekstowej — odkrycia Benthama — zaważyło na tym, że współcześnie traktujemy zdania jako podstawowe nośniki znacze­ nia. Jest to pogląd, którego w sto lat po Benthamie z wielkim wigorem bronił Gottlob Frege.

Kilkadziesiąt lat po odkryciu Benthama definicje kontekstowe po­ jawiły się w matematyce, w pracach George’a Boole’a. (...) Innowacja Boole’a polegała natomiast na skrótowym zapisywaniu takiej sumy, jak

Logicy (począwszy od Arystotelesa) odróżniają d e fin ic je rea ln e i d e fin ic je n o m in a ln e . Definicja realna mówi, czym jakaś rzecz jest; nominalna odnosi się nie do rzeczy, lecz do zna ku. Przykładem definicji realnej jest: kwadrat to prostokąt równoboczny; przykładem definicji nominalnej jest: „kwadrat” to tyle co „prostokąt równoboczny” (por. Bocheński, 1992, s. 92; Wójcicki, 1999, s. 32). Podstawowe zasady użycia cudzysłowu w logice, a także rozróżnianie między np. liczb ą a n a z w ą lic z b y objaśniają m. in. Mostowski (1948, s. VI, 3-4, 310-315), Bocheński (1992, s. 63), Quine (1998, s. 95 i 136), Quine (2000b, s. 219-223). Matematycy na ogół nie interesują się takimi rozróżnieniami. W praktyce nie odróżniają też znaków od nazw, używają rozmaitych zbitek pojęciowych i skrótów myślowych, nieraz traktują pojęcie i jego symbol jako zamienne synonimy.

^ f ( x , y , z ) +

^ z ) +

w postaci (Jjr + + -§^) f(x, y, z) i manipulowaniu nią potem tak, jak gdyby stanowiła ona sumę trzech właściwych wielkości mnożoną przez

f ( x , y , z ) (Quine, 1998, s. 17-18).

rj2 q2 p 2

Obecnie symbol A = ^ 4- nazywa się laplasjanem; do operatora tego nawiązujemy parokrotnie: w 4.5, 4.8 oraz w (Semadeni, 2002c, część 5).

3.4. Systematyczne stosowanie definicji kontekstowych jest jedną z cech charakterystycznych Innego słownika języka polskiego P W N (Bańko, 2000). Oto próbki określeń zaczerpniętych z tego słownika:

dowieść, dowodzić. 1 Jeśli dowiedliśmy, że coś jest prawdą, to wy­ kazaliśmy to za pomocą jakichś argumentów lub swojego postępowania. (...) Dowiódł mi, jak bardzo się mylę. (...)

prostopadły. 1 Jeśli dwie linie są prostopadłe, to tworzą kąt prosty. (...) Poczta znajdowała się u zbiegu dwóch prostopadłych ulic (...) liczyć. 1 Kiedy liczymy, to 1 .1 wykonujemy działania arytmetyczne. (...) Ewa w skupieniu liczy coś na kalkulatorze. 1.2 wymieniamy kolejne liczby od jednego wzwyż. (...)

Jak widać, znaczenie wyrazów objaśniane jest na dwa uzupełniające się sposoby: przez bezpośrednie objaśnienie i przez cytat. Zwykłą czcionką druko­ wane są objaśnienia znaczenia każdego wyrazu; te przykłady są tak dobrane, aby pokazywały objaśnianie wyrazu hasłowego od razu w kontekście. Ponad­ to są tu cytaty (drukowane kursywą, zaczerpnięte z najprzeróżniejszych, re­ prezentatywnych źródeł współczesnego języka polskiego). Cytaty te ilustrują sposób użycia danego wyrazu i zarazem dostarczają dodatkowych przykładów, pozwalających lepiej zrozumieć znaczenie tego wyrazu i zakres jego stosowal­ ności.

O oto te same hasła zaczerpnięte z bardziej tradycyjnego słownika (Szym­ czak, 1978/1981):

dowieść, dow odzić 1. «Wykazać prawdziwość czegoś, przedstawiając dowody; udowodnić, uzasadnić, przekonać»: Dowieść, dowodzić swojej racji, słuszności czegoś. (...)

prostopadły «tworzący z daną prostą albo płaszczyzną kąt prosty (li­ niowy lub dwuścienny)»: Ulice prostopadłe do siebie. (...)

liczyć 1. «wykonywać działania arytmetyczne, rachować, wymieniać licz­ by wr kolejności»: Liczyć dobrze, szybko (...)

Ro l a z n a c z e n i a w r o z u m o w a n i a c h m a t e m a t y c z n y c h 1 5 1

„Definicje mają charakter słownikowy, tj. wyjaśniający znaczenie wyra­ zu. (...) Prócz definicji realnoznaczeniowej (...) stosowane są także de­ finicje strukturalnoznaczeniowe [np. szachista «ten, kto uprawia grę w szachy»], strukturalne [np. spirytusowy «przym. od spirytus»] i gra­ matyczne [np. szósty «liczebnik porządkowy odpowiadający liczbie 6»]

(Szymczak, 1978/1981, s. XVIII).

A oto kilka cytatów ze wstępu do słownika (Bańko, 2000), które mają wyraźne odniesienia do problemu, czym jest znaczenie kontekstowe.

Najbardziej uderzającą cechą tego słownika są definicje: pełnozdaniowe, ujmujące definiowaną jednostkę w jej naturalnym kontekście. (...) Nie wszystkie wyrazy dają się objaśnić w kontekście. (...) kontekst w defini­ cji stanowi ważne kryterium rozróżniania znaczeń (...) W wielu słowni­ kach przeważają definicje synonimiczne. Są zwięzłe, co jest ich niebaga­ telną zaletą, i stosunkowo łatwe do pisania, gdyż nie wymagają analizy myślowej definiowanego pojęcia, a tylko przywołania kojarzonych z nim wyrażeń bliskoznacznych. Wadą definicji synonimicznych jest jednak to, że w istocie nie objaśniają one pojęcia — nie rozbijają go na składniki i nie ukazują jego struktury. (...)

Mówiąc językiem leksykografii tradycyjnej, jednostką leksykalną jest, każde znaczenie zamieszczonego w tym słowniku wyrazu i każde zna­ czenie zamieszczonego w nim wyrażenia (...) (Bańko, 2000, s. XIX-XX, XXII, XVI).

Dodajmy, że przedstawione tu założenia ukazują zarazem pewną wadę tego słownika: jeśli ktoś nie potrzebuje objaśnienia wyrazów, lecz jego synonimów, to na ogół ich tu nie znajdzie.

Przytoczone tu przykłady pokazują, jakie efekty można osiągnąć, gdy zre­ zygnuje się z konieczności określania wyrazów w konwencji ,,x znaczy y v. Nie­ które wyrazy tego słownika objaśnione są wyłącznie przez podanie ich w kon­ tekście. Z tego słownika można więc zarówno dowiedzieć się o znaczeniu danego wyrazu, jak i o sposobach jego użycia.

jakie mogą pełnić symbole matematyczne (np. Freudenthal, 1991, s. 82), jed­ nakże postępowanie studenta, zajmującego się matematyką, często przebiega zgodnie z regułami naśladowczymi, których treści, a nawet istnienia nie uprzy­ tomnia sobie ani student, ani nieraz ten, którego on naśladuje.

Wittgenstein przyrównał wyrażenia językowe do n a r z ę d z i , a ich znacze­ nie do roli, jaką pełnią; znaczenie danego znaku lub wyrażenia jest określone przez sposób posługiwania się nim (Wittgenstein, 1998; Marciszewski, 1970, s. 378; Polański, 1993, s. 643; Sierpińska, 1994, s. 17).

4. R o z m a ite in te rp r e ta c je zn a czen ia w m a te m a ty ce . Opiszemy tu osiem wspomnianych wyżej interpretacji słowa „znaczenie” w kontekście matematyki. Mowa będzie o znaczeniu symboli, wyrażeń, zapisów, zdań oraz związków między nimi.

4.1. Znaczenie definicyjne pojęcia określa jego definicja, jeśli albo ma po­ stać wyraźną, w której pewnej nowej nazwie lub symbolowi nadaje się ściśle określony sens, wyrażony za pom ocą znanych już słów i symboli, albo da się do takiej postaci sprowadzić przez przeformułowanie określenia. W praktyce składnia zdania definicyjnego bywa różna. Inaczej zbudowane są zdania, który­ mi definiuje się pojęcie mające postać rzeczownika, a inaczej zdania określające przymiotniki. Ponadto specyfika danego pojęcia oraz potrzeba urozmaicenia tekstu powodują, że autorzy posługują się rozmaitymi zwrotami.

Działaniem (dwuargumentowym) w zbiorze A nazywamy dowolne prze­

kształcenie f : A x A A. (...) Działanie o nazywamy łącznym, jeśli (...)

Mówimy, że działanie □ jest rozdzielne względem o, gdy (...)

Będziemy mówili, że wielomian f = ao+ai A" + .. .+anX n jest stopnia

n, gdy an ± 0. (...)

Można więc (...) określić w zbiorze (...) pewną operację, która (...) Operację tę nazywamy mnożeniem wektora przez liczbę rzeczywistą a.

Każdy n-elementowy ciąg ( ai , .. .an) spełniający podany wyżej wa­ runek nazywa się bazą (Białynicki-Birula, 1976, str. 20, 21, 28, 32-33, 37). Zestawiliśmy powyżej kilka przykładów takich różnorodnych sformułowań definicyjnych. W niektórych z nich już w samej definicji pojawia się kontekst oraz sposób użycia. Można by przeredagować je na zdania typu „ x jest to y ” , tekst jednak stałby się wtedy trudniejszy dla osoby uczącej się.

Ro l a z n a c z e n i a w r o z u m o w a n i a c h m a t e m a t y c z n y c h 153

4.2. W teoriach dedukcyjnych (takich jak geometria Euklidesa) znacze­ nie terminów pierwotnych (np. punkt, prosta) określone jest przez aksjomaty; w takim przypadku mówimy o definicjach uwikłanych. Znaczenie to ujaw­ nia się więc pośrednio, kontekstowo, przez twierdzenia teorii, w których poję­ cia te występują* **. Tego typu definicji uwikłanej nie wyodrębnimy jako osob­ nego rodzaju znaczenia, bowiem zawiera się w znaczeniu szerokokontekstowym (powiązanym ze znaczeniami: operacyjnym i pozamatematycznym); widać to m. in. w przypadku pojęć pierwotnych geometrii, które powstają w wyniku abstrahowania pojęć wyrażających wyidealizowane stosunki przestrzenne. Do­ dajmy, iż Frege uważał, że znaczenie definicyjne należy traktować tak, jak uwikłane.

Definicja przedmiotu jako taka nie mówi o nim właściwie nic, tylko ustala znaczenie znaku. Gdy jednak zostało to już dokonane, definicja zamienia się w sąd dotyczący przedmiotu; nie określa go już ona, lecz stoi w rów­ nym rzędzie z innymi o nim wypowiedziami (G. Frege, Die Grundlagen

der Arithmetic 1884, s. 78; cyt. za Mostowskim, 1948, s. 251).

4.3. W praktyce matematyk, myśląc o jakimś pojęciu i stosując je w ro­ zumowaniach, wykorzystuje znaczenie szerokokontekstowe , które obejmuje nie tylko definicję, ale i rozmaite zależności, w jakich pojęcie to występuje. Dotyczy to w zasadzie wszystkich pojęć, których używa matematyk; terminy pierwotne (takie jak „linia prosta” w aksjomatyce Euklidesa) nie są definio­ wane, ale mają znaczenie szerokokontekstowe.

P RZ Y K Ł A D 1. Znaczenie n. Zacznijmy od wstępnej uwagi, że konieczne jest rozróżnianie dwóch rodzajów pytań:

• Czego s y m b o l e m jest ta grecka litera, co ona o z n a c z a ? • Jakie znaczenie (sens) przypisujemy liczbie n jako takiej?

W pierwszym przypadku pytającego interesuje notacja, sposób zapisu (uży­ liśmy słowa „litera” ); w drugim — sens pojęcia matematycznego, znaczenie definicyjne lub szerokokontekstowe (użyliśmy słowa „liczba” ). W pracy tej (z wyjątkiem części 6) chodzi nam wyłącznie o pytania drugiego z wymie­ nionych rodzajów; nie zajmujemy się kwestiami dotyczącymi nazw i symboli,

* Stanisław Leśniewski uważał (nawiązując do Arystotelesa i Fregego), że wszelkie de­ finicje powinny być formułowane (gdy tylko to jest możliwe) w postaci zdań danej teorii aksjomatycznej i że powinny mieć taki sam status, jaki mają aksjomaty. Innymi słowy, defi­ nicje powinny być twierdzeniami teorii (López-Escobar i Miraglia, 2002, s. 8-16). Można to interpretować następująco: każdą definicję należy traktować jako kontekstową.

a prowadzone tu rozważania są niezależne od doboru takich czy innych znaków przez matematyków.

Znaczenie definicyjne liczby 7r, to „stosunek obwodu koła do jego średnicy” . Znaczenie szerokokontekstowe liczby 7r obejmuje wszystkie związki, w któ­ rych uwikłane jest n. Matematyk, myśląc o ir lub używając tej liczby, bierze pod uwagę najrozmaitsze sytuacje, w których tt bywa używane, na przykład

równości typu 1 /n2 = 7r2/ 6 lub eni — —1, zdania takie jak „okresem funkcji sin jest 27t” , czy też użycie n we wzorach, np. \ / 2 n we wzorze na rozkład Gaussa w rachunku prawdopodobieństwa. Rzadko, zwłaszcza w zaawansowa­ nych rozumowaniach, matematyk odwołuje się bezpośrednio do obwodu koła. Używając określeń Thoma (1974a, s. 123), można stwierdzić, że w każdym z tych czterech przykładów użycia liczby 7r dystans semantyczny między ir a obwodem koła jest tak duży, że nie ma to już wpływu na prowadzone ro­ zumowania. W logice jest przyjęte, że definicja wyraźna (taka jak definicja liczby 7r), to zastąpienie pewnego wyrażenia ( definiens) przez nowe ( definien-

dum) i każdorazowo, gdy w jakimś wyrażeniu pojawia się definiendum (np. 7r),

można je zastąpić przez definiens („stosunek obwodu koła do jego średnicy” ). Widać tu wyraźnie, że matematyk na ogół wcale tak nie postępuje; nie odwo­ łuje się bezpośrednio do definicji 7r, lecz do swojej wiedzy, do z n a c z e n i a tej liczby, jakie poznał w wielu różnych sytuacjach.

Zakres cech uzwględnianych w znaczeniu szerokokontekstowym zależy od teorii, w której dane pojęcie się rozpatruje, i od wiedzy osoby, która go używa.

(...) ważną charakterystyką pojęcia jest ich związek z innymi pojęcia­ mi. (...) Często dajemy uczniom precyzyjną, analityczną definicję słowa lub „wyrażenia”, ale zaniedbujemy dyskusję, jak ten termin umieszczony jest w szerszym kontekście lub jak jest powiązany z innymi wyrażeniami, operacjami i pojęciami (...) (Confrey, 1981).

Znaczenie szerokokontekstowe obejmuje również cechy wynikające jedne z drugich. Cechy danego pojęcia i zależności, w których ono występuje, podle­ gają przy tym pewnej gradacji . Są cechy mniej ważne i bardziej ważne, a jedna z nich zostaje uznana za cechę definiującą dane pojęcie. Część cech, składa­ jących się na znaczenie szerokokontekstowe, jest równoważna definicji danego

pojęcia; inne są wnioskami z niej (warto przy tym pamiętać, że równoważność lub wynikanie na ogół nie są czymś absolutnym, lecz należy je rozumieć na gruncie jakiejś określonej teorii). To, którą z równoważnych cech przyjmie się za definicję, zależy od różnych czynników i jest nieraz decyzją autora tekstu.

Znaczenie definicyjne nie jest więc obiektywną cechą pojęcia. *

Ro l a z n a c z e n i a w r o z u m o w a n i a c h m a t e m a t y c z n y c h 1 5 5

Pr z y k ł a d 2. Znaczenie definicyjne terminu homomorfizm grup podane jest w definicji homomorfizmu, a znaczenie szerokokontekstowe obejmuje wszelkie przypadki wykorzystywania homomorfizmów, zarówno w twierdze­ niach teorii grup, jak i w zastosowaniach do innych działów matematyki.

P R Z Y K Ł A D 3. Szerokokontekstowe znaczenie terminu koło obejmuje znajo­ mość k s z t a ł t u tej figury i świadomość, że koło zarazem jest czymś, co może się o b r a c a ć . Przy formalnym ujmowaniu znaczenia definicyjnego, całe to bogate pojęcie koła zostaje zastąpione przez zbiór punktów P , dla których od­ ległość od środka Po jest ^ r. Możliwość obracania koła daje się wypowiedzieć również w bardziej zaawansowanym języku: na koło działa grupa obrotów S 1.

P R Z Y K Ł A D 4. Przez miejsce zerowe funkcji wielomianowej f na R rozumie się pierwiastek wielomianu / , tzn. każdą liczbę a € R taką, że f ( a) = 0. Słowo

„miejsce” sugeruje jednak interpretację geometryczną. Liczbę a można iden­ tyfikować z punktem na o s i liczbowej, ale niejednokrotnie za miejsce zerowe funkcji uważa się też punkt na p ł a s z c z y ź n i e , w którym wykres przecina oś x (np. przy badaniu przebiegu funkcji w podręcznikach używa się określeń typu „wyznaczenie, jeśli istnieją, miejsc zerowych funkcji i punktów przecięcia z osią y ” ). Używając terminologii z (Semadeni, 2002a, 1 1.1) stwierdzamy, że mamy tu d u b l e t r o z s z c z e p i o n y . Jednej formie głębokiej „ miejsce, gdzie funkcja się zeruje” odpowiadają dwie różne formy powierzchniowe: pierwsza to liczba a na o s i x, druga — to para (a,0) na w y k r e s i e funkcji. Formal­ nie w podręcznikach szkolnych przez „miejsce zerowe” uważa się pojedynczą liczbę a. Jednakże w praktyce często myśli się o miejscu zerowym również jako punkcie na wykresie, czyli o parze (a, 0). Znaczenie szerokokontekstowe terminu „miejsce zerowe” obejmuje zarówno a, jak i (a ,0), z gradacją, przy której ajest dominujące, a (a, 0) poboczne. Zwróćmy uwagę na to, że synonim:

pierwiastek (wielomianu) już dubletem nie jest, bowiem jego interpretacja ja­ ko pojedynczej liczby ajest dość jednoznaczna. Mamy tu więc — w kontekście rysowania wykresów funkcji — subtelne przesunięcie znaczenia między „pier­ wiastek” a „miejsce zerowe” .

4.4. Zbliżone do poprzedniego jest uogólnione znaczenie kontekstowe, któ­ re obejmuje znaczenie szerokokontekstowe oraz ponadto znaczenie szerokokon­ tekstowe u o g ó l n i e ń danego pojęcia.

Uogólnione znaczenie kontekstowe stosuje się przede wszystkim do pojęć ogólnych i może być nieadekwatne w przypadku pewnych obiektów jednost­ kowych (takich jak liczba 7r). Jednakże również pewne obiekty jednostkowe mogą mieć pewne swoje uogólnienia, np. o liczbie 9 można myśleć jako o licz­ bie o 1 mniejszej od podstawy systemu pozycyjnego (pewne własności liczby 9 dają się w ten sposób uogólnić i tak też można traktować tę liczbę w pewnych rozumowaniach). Określenie uogólnionego znaczenia kontekstowego, ze swej natury, jest nieostre, nie jest bowiem jednoznacznie określone, co można zali­ czyć do uogólnień danego pojęcia. Mimo to, tak rozumiane znaczenie, odgrywa istotną rolę w rozumowaniach prowadzonych przez matematyków.

4.5. Jako następne z kolei wymienimy znaczenie pozamatematyczne, to jest znaczenie u j a w n i a j ą c e si ę przy stosowaniu tego pojęcia w życiu co­ dziennym, w fizyce* itd. Na przykład, „iloczyn liczb naturalnych” ma wiele różnych znaczeń w konkretnych sytuacjach rozpatrywanych w nauczaniu po­ czątkowym i później. Abstrakcyjne pojęcie długości łuku wywodzi się z em­ pirycznego mierzenia przedmiotów i ma zarazem podstawowe znaczenie np. w mechanice. Ze znaczeniem laplasjanu A = -f -I- -j^ (wspomnianego już w 3.3) ściśle wiąże się potencjał newtonowski, którego równanie w próżni ma postać A u = 0. Odrywanie pojęcia matematycznego od jego naturalnych źródeł, w szczególności od fizyki (typowe dla „nowej matematyki” ), prowadzi do jego zubożenia i do istotnej zmiany jego znaczenia.

(...) nauka nasza [matematyka] graniczy z jednej strony z filozofią, a z drugiej z fizyką, i dla tych dwóch sąsiadów pracujemy (Poincare, 1911, s. 21).

W połowie XX w. usiłowano oddzielić matematykę od fizyki. Rezul­ taty okazały się katastrofalne. Dorastały całe pokolenia matematyków nie znające połowy swojej dziedziny wiedzy i oczywiście nie mające pojęcia o żadnych innych naukach. Z kolei one zaczęły uczyć swojej szkaradnej pseudomatematyki studentów, a następnie dzieci w szkołach (Arnold, 2001, s. 17).

Ro l a z n a c z e n i a w r o z u m o w a n i a c h m a t e m a t y c z n y c h

157

Szczególną rolę znaczenie pozamatematyczne odgrywa u uczniów, z niego wywodzi się bowiem ukształtowane później, bardziej dojrzałe znaczenie, nie­ koniecznie oparte na definicji, zawierające w sobie uprzednie, zazwyczaj zmo­ dyfikowane aspekty pojęcia.

PRZYKŁAD 6. Kombinacją wypukłą elementów a i , . . . a n przestrzeni linio­ wej nazywamy każdą sumę postaci

Zbiór W nazywa się wypukłym, gdy każda kombinacja wypukła jego elementów należy do W . Jest to znaczenie definicyjne kombinacji wypukłej i zbioru wy­ pukłego. Znaczenie szerokokontekstowe jest bez porównania bogatsze. Obej­ muje m. in. średnią ważoną układu liczb oraz wartość oczekiwaną Pk%k,

gdzie p i , . . . ,p n są prawdopodobieństwami, że zmienna losowa przyjmie war­ tości x i , . . . , x n. Jeszcze bogatsze jest uogólnione znaczenie kontekstowe: obej­ muje przypadki, gdy XIaUi zastąpiona jest o (np. w rozkładzie Poissona zmiennej losowej) oraz przypadki, gdzie powyższe A i , . . . , A n zastąpione są przez miarę p nieujemną i taką, że miara całej przestrzeni jest równa 1 (np. w teorii Choqueta rozpatruje się zbiory wypukłe w przestrzeniach nieskoń­ czenie wymiarowych, a kombinacje wypukłe zastąpione są całkami względem takich miar). Takimi miarami są też prawdopodobieństwa P , a traktowanie wartości oczekiwanej f dP jako pewnego typu średniej ważonej, pozwala

na wykorzystanie analogii z przypadkami skończonych układów A i , . . . , A n. Wszystko to składa się na uogólnione znaczenie zbioru wypukłego i kombi­ nacji wypukłej. Znaczenie pozamatematyczne kombinacji wypukłej obejmuje m. in. środek ciężkości

układu punktów materialnych a i , . . . , a n o masach m i , . . . , m n, a rozmaite uogólnienia pojęcia środka ciężkości na dowolne układy mas wymagają przej­ ścia od sum do całek.

Pr z y k ł a d 7. Thurston (1994, s. 163) pisze, że poszczególne kawałki ma­ tematyki mogą być rozmaicie rozumiane, na przykład pochodna funkcji może być pomyślana na wiele sposobów:

1. Infinitezymalny: stosunek infinitezymalnej zmiany wartości funkcji do infinitezymalnej zmiany argumentu funkcji.

2. Symboliczny: pochodną x n jest n x " -1, pochodną sinx jest cos#, po­ chodną / o g jest ( / ' o g)g' etc.

n

Ai^i + . . . + Anan, gdzie Ai ^ 0 , . . . , An ^ 0 oraz

mi m n .

— a\ 4- . . . -I---an, gdzie m — m\ 4- . . . 4- ran,

3. Logiczny: f ' ( x ) = d wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego e istnieje £

f ( x + A x ) - f ( x )

takie, że gdy 0 < |A:r| < <5, to

A x - d

< £.

4. Geometryczny: pochodna to nachylenie linii stycznej do wykresu funkcji, jeśli wykres ma styczną.

5. Prędkość: chwilowa prędkość zmian f ( t ) , gdy t jest czasem.

6. Aproksymacja: pochodna funkcji jest najlepszym liniowym przybliże­ niem funkcji, blisko jednego punktu.

7. Mikroskopijny: pochodna funkcji jest granicą tego, co się dostrzega, gdy się patrzy na nią przez mikroskop o coraz silniejszym i silniejszym po­ większeniu.

Z tego 3) to znaczenie przyjmowane obecnie za definicyjne; znaczenia 1), 2), 4) i 6) zaliczymy do szerokokontekstowych (pierwsze z nich, które zawdzię­ czamy Leibnizowi, używane jest dziś w analizie niestandardowej), znaczenie 5) pochodzi z fizyki, a 7) można uznać za intuicyjne.

Thurston (laureat medalu Fieldsa z 1982 r.) napisał też, że pamięta, jak wchłaniał on każde z tych pojęć jako coś nowego i interesującego i, jak spędził dużo czasu i włożył wiele wysiłku w przetrawienie i wypraktykowanie każdego z tych znaczeń i pogodzenie jednych z drugimi. Pisze on również, że listę tę można kontynuować bez końca. Jako próbkę podaje sposób rozumienia, który

dla jednych osób jest jasnym obrazem mentalnym, a dla innych czymś zastraszającym: 37) Pochodną funkcji / o wartościach rzeczywistych w dziedzinie D jest przekrój Lagrange’a wiązki kostycznej T*(D), która (...) (Thurston, 1994, s. 163).

(w oryginale definicja ta zajmuje jeszcze dwie dalsze linijki bardziej zaawan­ sowanego tekstu). Ów numer „37” należy rozumieć jako wskazówkę, że można by wcześniej dodać ze trzydzieści innych określeń. Do tych wypowiedzi nawią­ żemy w części 5.

4.6. Znaczenie celowe obejmuje c e l e , dla których dane pojęcie jest wpro­

wadzone i rozważane. Nawiązuje to w pewien sposób do Arystotelesa, któ­ ry uważał, że określenie, czym coś jest, wymaga włączenia w to określenia,

dlaczego to coś jest, bo cel nie leży poza rzeczą, lecz w niej samej (Maedche,

2001, s. 13; Tatarkiewicz, 1958, s. 145).

Rola znaczenia w rozumowaniach matematycznych

159

lub po to, by był przydatny do innych twierdzeń. Znaczenie celowe pochodnej to cel, dla którego pojęcie to wprowadzono: wyklarowanie, czym jest prędkość w fizyce, czym jest styczna do krzywej itp.

PRZYKŁAD 9. Zdarza się, że zdolni uczniowie, gdy zaczynają się uczyć o granicach funkcji typu nieraz nie rozumieją sensu takiej granicy, a ściślej: czym to się różni od pojęcia wartości funkcji w punkcie? Po co taka zawiła defi­ nicja granicy, skoro i tak każdorazowo granicę tę oblicza się przez podstawienie odpowiedniej liczby do wzoru. Gdy obliczają na przykład

lub lim ~ 1 — x—>1 x ' lima; + 1 x —► 1 x—lim »0 v 1+x—v l —x 7 r — = h m 4 (x /r+ "x + y/l —x->02 x—► 1 x—>0'

widzą, że chodzi o drobiazg: ta kłopotliwa funkcja powstała ze „zwykłej” przez pomnożenie licznika i mianownika przez to samo wyrażenie (przez x — 1 bądź przez y/1 + x — y/1 — x), które tylko pozornie zmienia funkcję; wykresy funkcji

y = x + 1 i y = są w zasadzie identyczne, różnią się przecież w jednym tylko punkcie (dlatego zwolennicy „nowej matematyki” uciekali w formalizm i kładli wielki nacisk na problem dziedziny funkcji, co oczywiście nie usuwało źródła wątpliwości uczniów). W szkole oblicza się mnóstwo takich granic, ale na ogół innego typu przykładów nie ma — zawsze w końcu okazuje się, że należy obliczyć wartość funkcji. Uczniowie ci mają rację: czy ma sens wprowa­ dzać skomplikowane pojęcie granicy tylko po to, aby dać sobie radę z takimi prostymi sytuacjami, gdzie wystarczy przecież uprościć ułamek? Z tego po­ wodu wysuwano nieraz postulat, by w szkole nauczanie granic funkcji poprze­ dzić przykładami dotyczącymi np. prędkości chwilowej lub stycznej do krzywej i obliczać je, opierając się na intuicji zbliżania się pewnej liczby (wprowadzając termin „pochodna” lub nie). Po takim przygotowaniu granica typu jj ma już znaczenie c e l o w e : jest p o t r z e b n a do obliczania czegoś ważnego (prędko­ ści, kąta nachylenia stycznej). Inny postulat dydaktyczny — to zaczynanie od granicy przy x —> 0 z użyciem kalkulatora, w tym celu, by pokazać, że wartości funkcji zbliżają się do 1; tutaj nie da się nic uprościć i pojęcie granicy nabiera s e n s u .

PRZYKŁAD 10. Dla ucznia klasy II znaczenie celowe mnożenia liczb to m. in. rozumienie sytuacji, w których takie iloczyny (np. 8 - 6 = 48) są potrzebne. Jeśli uczniom podaje się jedynie formalne określenie, że 8 - 6 to skrócony zapis sumy 6+6+6 4-6+6+6-1-6+6, i każe się im nauczyć na pamięć tabliczki mnożenia (co jest dość typowe dla behawiorystycznego nastawienia szkół amerykańskich, ale zdarza się też w Polsce), nie widzą oni w tym sensu.

Zbigniew Semadeni

nia, że aby z r o z u m i e ć jakieś twierdzenie, trzeba choć raz je z a s t o s o w a ć .

Rozumienie jakiegoś pojęcia lub nazwy w matematyce wymaga świadomości celu, dla którego jest to wprowadzane. Gdy ktoś rozumie każdy człon definicji

jakiegoś pojęcia, ale nie wie, po co się je rozważa, doznaje uczucia niepokoju i czuje, że nie rozumie, o co chodzi (dotyczy to zarówno matematyków uniwer­ syteckich, jak i uczniów). Jeśli nie widzimy celu jakiejś czynności, odczuwamy, że jest pozbawiona sensu. Ten sens to znaczenie celowe: „Jeżeli jakieś działania mają sens, to są celowe, wartościowe lub pożyteczne” (Bańko, 2000, wyjaśnie­ nie hasła „sens” ).

4.7. Inny charakter ma znaczenie proceduralne nazwy, symbolu lub wy­ rażenia. Jest to c i ą g określonych c z y n n o ś c i (lub zbiór wielu możliwych ciągów czynności), które należy w y k o n a ć zgodnie z tym, co przekazuje nam ta nazwa lub znak. Znaczenie proceduralne może być rozpatrywane w odnie­ sieniu do pewnego następstwa czasowego, związanego z k o l e j n o ś c i ą wyko­ nywanych czynności.

Znaczenie proceduralne mają algorytmy, konstrukcje geometryczne (wyko­ nywane cyrklem i linijką) i wszelkie wyrażenia, których sensem jest p o l e c e ­ nie: „w ykonaj” , „oblicz” itp. Obejmuje to np. wyrażenie arytmetyczne takie jak, |(7 + 5), punkt o współrzędnych ( 2 ,- 4 ) (czynnością jest tu zaznacze­ nie tego punktu w układzie współrzędnych), pochodne lub całki, które można obliczyć (np. f x 2 s\nxdx), obrót figury o dany kąt itd. Takiemu znaczeniu nazw i symboli bardzo wiele uwagi poświęciła Krygowska (1977, cz. 1, s. 81- 128), pisząc o operatywnym charakterze matematyki.

4.8. Znak (wyraz lub symbol) ma znaczenie operacyjne, gdy znane są obowiązujące go reguły s y n t a k t y c z n e , tzn. gdy wiadomo, jak wolno go używać, w szczególności, gdy ustalone są reguły operowania tym znakiem; znak ten może mieć przy tym swój semantyczny odpowiednik (wtedy wiemy, co on oznacza lub co on znaczy), może jednak takiego odpowiednika nie być (Bocheński, 1992, s. 49). Na przykład, w cytacie Quine’a w 3.3 podane jest, że gdy Boole wprowadził laplasjan A = ^ -I- -f symbol A miał wyłącznie znaczenie operacyjne. Obecnie, dla ustalonego obszaru D C R 3, laplasjan A uważa się za operator / i-> A / , określony jako przyporządkowanie (z pewnego zbioru funkcji do pewnego zbioru funkcji), a więc ma również znaczenie definicyjne (przy danym D ). Warto dodać, że analogiczną sytuację będziemy mieli, gdy odłączymy od symbolu funkcji jakikolwiek operator (np., gdy w wyrażeniu odłączymy ^ od / ) i potraktujemy symbol ^ jako

Rola znaczenia w rozumowaniach matematycznych 1 6 1 samodzielny obiekt.

Porównajmy te określenia: znaczenie proceduralne to ciąg określonych c z y n n o ś c i , które n a l e ż y wykonać, a znaczenie operacyjne to zbiór wszys­ tkich r e g u ł określających, jak w o l n o stosować dane pojęcie.

Jeżeli wzór traktujemy czysto formalnie jako zbiór znaków, to gdybyśmy nie wiedzieli, co z tym zespołem znaków zrobić, nie przedstawiałby on dla nas żadnej wartości. W najbardziej nawet sformalizowanym ujęciu tak jednak nie jest; jeśli temu zespołowi znaków nie towarzyszy żadna interpretacja semantyczna, to znamy reguły przekształcania takich zapi­ sów. Wiemy np., że ilekroć wystąpi znak (a + b)2, to możemy go zastąpić znakiem a2 + 2ab + b2. (...) W sformalizowanym ujęciu cytowany zapis wiąże się z na s z y mi p o t e n c j a l n y m i c z ynno ś c i a mi . Ma on dla nas sens tylko wtedy, gdy wiemy, co z nim robić.

Uwzględniając semantyczny sens zapisu na przykład w arytmetyce, możemy go interpretować s t a t y c z n i e lub o p e r a t y wn i e (Krygow­ ska, 1977, cz. 1, s. 83-84).

Dać dojrzeć zarodkowi [pojęcia matematycznego] to w istocie rzeczy doprowadzić go stopniowo do świadomości, a zatem nadać mu sens, zna­

czenie bądź operacyjne, bądź koncepcyjne (Thom, 1974a, s. 136).

W ostatnim cytacie pojawia się określenie: znaczenie koncepcyjne; obej­ muje ono przypadki 4.1-4.6. Jednakże wiele osób przypisywało terminom ma­ tematycznym jedynie znaczenie operacyjne (które jest nieodzowne w matema­ tyce) oraz ewentualne znaczenie pozamatematyczne.

(...) użycie znaków poza obrębem matematyki, a więc ich znaczenie, czyni z gry w znaki matematykę (Wittgenstein, 2000, s. 213).

W koncepcji Gniedienki i jeszcze wyraźniej w jego pracach nad za­ stosowaniami matematyki, ścisłość i precyzja nie są identyfikowane z tre­ ściowo pustym formalizmem. „Sens” jest istotnym jądrem matematycz­ nej twórczości, aksjomatyzacja służy ujawnianiu i zdefiniowaniu pewnej szczególnej struktury, jednej z wielu możliwych struktur w rozważanym fragmencie rzeczywistości, bez żadnej pretensji do wyrażania w aksjoma­ tach wszystkich aspektów tej rzeczywistości (Krygowska, 1981, s. 28).

PRZYKŁAD 11. Omówimy kłopoty, jakie sprawiają podręcznikowe definicje pozornie jasnego pojęcia szeregu liczbowego, zapisywanego w postaci

W podręcznikach można znaleźć trzy ujęcia. Pierwsze to określenie szeregu jako „wyrażenia” (np. Leja, 1969) lub „symbolu” (Rudin, 1982). Zdarza się, że studenci, którzy dobrze rozumieją, czym są ciąg (an) i szereg (1), odczu­ wają niepokój, gdy czytają taką definicję, są bowiem świadomi, że termin

oo

(

)

1 6 2 Zbigniew Semadeni „wyrażenie” nie był nigdy zdefiniowany, a nie zadowala ich wyjaśnienie, że się jedynie formalnie operuje symbolami*. W drugim ujęciu (np. Kuratowski, 1948) ogólnego terminu „szereg” nie określa się w ogóle, ograniczając się do przypadku, gdy szereg jest zbieżny i definiując jedynie jego sumę. Nie wystar­ cza to jednak w przypadku, gdy pojawia się konieczność mówić o szeregach, którym nie można przypisać sumy. Wreszcie trzecie ujęcie (np. Apostoł, 1957) polega na tym, że szereg (1) definiuje się jako ciąg sum częściowych (sn); jest to semantycznie najtrafniejsze, choć początkowo może się zdawać, że to niezbyt odpowiada intuicjom związanym z zapisem (1). Niewątpliwie wszyscy wymienieni tu autorzy zdawali sobie sprawę z delikatności sytuacji i każdy wybrał inny sposób obejścia tej trudności. Z rozważań tych wynika, że dwa wyrażenia (1) napisane powyżej to układy znaków, którym albo

(a) można przypisać znaczenie, identyfikując symbol a n z ciągiem (sn), który jest dobrze osadzony w teorii mnogości, albo

(b) można uznać, że taki symbol jest wyrażeniem mającym jedynie zna­ czenie operacyjne, tzn. wiemy, jak go używać, ale nie pytamy, czym on jest.

P R Z Y K Ł A D 12. Podobne problemy, jak przy szeregach, pojawiają się przy definiowaniu pojęcia wielomianu. W nauczaniu szkolnym przez wielomian ro­ zumie się funkcję postaci

(2) ao + a\x + . . . + anx n.

Wiadomo, że określenie wielomianu jako funkcji byłoby nieodpowiednie w abs­ trakcyjnych pierścieniach, gdzie zachodzi potrzeba odróżniania wielomianu (2) od odpowiadającej mu funkcji zmiennej x. W uniwersyteckich podręcznikach algebry, wielomian określany jest na ogół jako „wyrażenie” postaci (2), gdzie a o , . . . , an należą do danego pierścienia; Birkhoff i MacLane (1963, s. 69) roz­ budowywali to określenie, pisząc: „Przez wielomian względem symbolu nie­ oznaczonego x rozumiemy wyrażenie (...)” . Krytycznie nastawionym studen­ tom trudność sprawia to, że nie wiadomo, czym jest i i i n, skoro nie są to elementy pierścienia. Oczywiście można po prostu stwierdzić, że x n należy do pewnego innego zbioru {a:, rr2, :r3, . . . } , dołączonego do pojęć pierwotnych teo­ rii, ale tego się zazwyczaj nie czyni, ograniczając się implicite do znaczenia operacyjnego. Pojęcie wielomianu można też ująć inaczej. Opial (1974) też

*Jak wiadomo, część formalistów głosiła, że matematyka to gra symboli pozbawionych znaczenia (Mostowski, 1948, s. 372; Mostowski, 1972, s. 81; Quine, 2000a, s. 43; Murawski, 1993, s. 57). Wittgenstein (2000, s. 22, 91, 92, 107, 192, 211, 230, 234, 247, 270, 297, 300, 315, 324, 326) używał w latach 1937-1944 (w kontekście matematyki) określenia S p r a c h s p ie l („gra językowa” ), nieraz zresztą odnosząc się do tego sceptycznie.

Rola znaczenia w rozumowaniach matematycznych 1 6 3 mówi o „wyrażeniu” , nie wspominając, czym jest oj, dodaje jednak na końcu komentarz:

Dla uniknięcia formalnych wyrażeń postaci (2) można w sposób równo­ ważny definiować wielomian jako ciąg (ao,. . . , an) dowolnych elementów pierścienia (...) Przez sumę i iloczyn takich dwóch ciągów należy rozumieć odpowiednie ciągi (...)

W tym ujęciu wielomiany są ciągami, a zapis (2) ma nam pomóc operować nimi przez wykorzystanie szkolnych nawyków rachunkowych; zapis ten prowa­ dzi zarazem do szeroko kontekstowego znaczenia wielomianu, obejmującego własności zwykłych wielomianów w R . Komentarz Opiala można interpreto­ wać następująco: ponieważ pojęcie ciągu (ao, . . . , an) może być zdefiniowane w terminach teorii mnogości, więc tak objaśnione wielomiany otrzymują zna­ czenie definicyjne, a nie tylko operacyjne.

Pr z y k ł a d 13. Turnau (1990, s. 160) pisze, że wyrażenie algebraiczne, takie

jak np. I}-a-w + b-w ma co najmniej cztery znaczenia: 1. jest programem

rachunku, tj. informuje, jakie działania i w jakiej hierarchii mają być wy­

konane, gdy dane są liczby reprezentowane w wyrażeniu przez litery; 2. jest

nazwą ogólną liczby, gdy wszystkie litery są także interpretowane jako nazwy

ogólne liczb; 3. jest wielkością zmienną, gdy jedną lub więcej liter interpre­ tujemy jako zmienne; 4. jest strukturą symboliczną o określonej budowie, tj.

formą lub postacią. Zgodnie z terminologią przyjętą w tej pracy, „program

rachunku” zaliczamy do znaczenia proceduralnego, a „strukturę symbolicz­ ną” można uznać za znaczenie operacyjne; „wielkość zmienną” (czyli funkcję w dawnym, tradycyjnym znaczeniu) zaliczymy do znaczenia szerokokontek- stowego. Natomiast „nazw” w ogóle nie uwzględniamy wśród rozpatrywanych w tej pracy znaczeń (należą do teorii oznaczania, por. 6.2).

Wśród dalszych znaczeń wyrażeń algebraicznych należy wymienić ich zna­ czenie szerokontekstowe (np. w powyższym przykładzie ^ • a • w + ^ • b- w jest wzorem na pole trapezu) i ich znaczenie w fizyce (np. wzór \at2 w mechanice).

4.9. Ostatnim z wyróżnionych tu rodzajów znaczeń jest znaczenie asocja­

cyjne, obejmujące wszelkie m a t e m a t y c z n i e i s t o t n e twory psychiczne

— przedstawienia i zależności, które dana osoba kojarzy z danym znakiem, zapisem, zdaniem lub wyrażeniem.

Znaczenie asocjacyjne pojęcia obejmuje szeroko rozumiany obraz pojęcia

(concept image, Tall i Vinner, 1981; Sierpińska, 1985, s. 114), czy też obiekt umysłowy (mental object, Freudenthal, 1991, s. 19) oraz (Vorstellung, Meiss­

164 Zbigniew Semadeni

4.10. Warto zwrócić uwagę na to, jak Thom (1974a, s. 124-129) analizo­ wał znaczenie spójników „ i” oraz „lu b” , posługując się przykładami takimi jak „Piotr jest bogaty i wysoki” i „Ten sztandar jest niebieski i biały” . Zależnie od skojarzeń semantycznych, spójniki te mogą być interpretowanie jako fi lub jako U. Szczególnie ważna jest zasada wyłączania Thoma: jeżeli X i Y są jakościami, to wyrażenia „ X lub Y ” i „ X i Y ” nie mają sensu jednocześ­

nie. Dopuszcza to jeden wyjątek: gdy podmiot jest pojęciem rozciągniętym w przestrzeni; spójnik „ i” ma wówczas znaczenie bliskości przestrzennej .

4.11. Jest oczywiste, że powyżej wymienione rodzaje znaczenia 4.1-4.9 różnią się znacznie s t o p n i e m o b i e k t y w i z m u . Znaczenie definicyjne jest na ogół powszechnie przyjęte lub jest explicite zadeklarowane. Znaczenie sze- rokokontekstowe, uogólnione znaczenie kontekstowe i znaczenie operacyjne za­ leżą od wiedzy danej osoby, ale są w zasadzie naukowo obiektywne. Znaczenie asocjacyjne jest ściśle subiektywne i trudne do badania; znaczenie pozama- tematyczne jest częściowo obiektywne (jeśli dane pojęcie stosowane jest do zagadnień z życia codziennego, przy matematyzacji takiej sytuacji dopuszcza się nieraz sporą dowolność).

5. Z n a cz e n ie a ro zu m ie n ie . Wróćmy do przykładu 7. Opisujemy tam wiele różnych znaczeń, jakie Thurston (1994, s. 163) przypisywał pojęciu po­ chodnej. Cytowane powyżej wypowiedzi Thurstona o rozumieniu oddają jego głęboko przemyślane poglądy, natomiast nie starał się on zapewne być w zgo­ dzie z terminologią wypracowaną poza matematyką. Użył on (w kontekście przykładowego pojęcia pochodnej) kilku określeń: r o z u m i e n i e [understan­

ding], p o m y ś l a n e j a k o [thought of], m y ś l e n i e o [thinking about], p o j ­

m o w a n i e [conceiving of]. Z kontekstu jego wypowiedzi wynika, że traktował je jako synonimy. Jest to odbicie ścisłego związku znaczenia i rozumienia; na­ leży tu mieć na względzie to, że to są odczucia twórczego m a t e m a t y k a , jednego z najwybitniejszych; w jego rozumowaniach ogromną rolę odgrywała intuicja (por. wypowiedzi MacLane’a i Thoma w: Atiyah et al., 1994, s. 191). Można przyjąć, że rozumienie jakiegoś pojęcia to rozumienie jego znaczenia. Ponieważ słowo „znaczenie” ma wiele aspektów, „rozumienie” w tym kontekś­ cie też ma wiele aspektów. Ponadto, jak dobrze wiadomo, na takie rozumienie nakładają się skomplikowane procesy psychiczne.

Wszechstronną, interdyscyplinarną analizę pojęcia rozumienia w matema­ tyce przedstawiła Sierpińska (1994). Pierwszy rozdział tej książki nosi tytuł

Rola znaczenia w rozumowaniach matematycznych 1 6 5

Rozumienie i znaczenie; tam są analizowane związki między tymi pojęciami.

Rozumienie jest sprawą indywidualną i wewnętrzną, której trudno być w pełni świadomym, trudno ją zrozumieć i często trudno ją przekazać (Thurston, 1994, s. 163).

6. Znaczenie a oznaczanie. Wiadomo, że należy odróżniać znaczenie

od oznaczania (Quine, 1998, s. 89; Quine, 2000a, s. 37, 50). Gdy przed la­ ty powiedziałem coś w rodzaju: „prawdziwość tego oznacza, że...”, profesor Mostowski poprawił mnie, mówiąc, że należało użyć słowa „znaczy”, wyjaś­ niając przy tym różnicę między „znaczy” i „oznacza”. Jego przykładów nie pamiętam, więc zacytuję fragmenty opublikowane:

(...) istnieje wiele znaków do oznaczania jednej i tej samej liczby, np. „10”, „a/ 100” , „2+8” itd. (Mostowski, 1948, s. 3). (...) zdanie: Merkury

ma zero księżyców znaczy to samo, co żaden przedmiot nie podpada pod pojęcie: księżyc Merkurego lub prościej: żaden przedmiot nie jest księży­ cem Merkurego (Mostowski, 1948, s. 177).

W początkowym okresie teorii mnogości, czyli na gruncie tzw. „naiw­ nej” teorii mnogości, posługiwano się intuicyjnym pojęciem zbioru, tzn. wyrazowi „zbiór” nadawano to samo znaczenie — mało zresztą sprecy­ zowane — co w języku potocznym (Kuratowski i Mostowski, 1952, s. 4). Dodajmy, że niełatwo jest znaleźć słowa „znaczy” lub „znaczenie” w takich książkach.

6.1. Bardzo klarownie sprawę rozróżnienia tych słów przedstawia Bocheń­ ski. Nazwa „trójkąt” oznacza wszystkie indywidualne trójkąty, a zarazem na­ zwa ta znaczy „ trój kąt ność” , czyli to, c z y m każdy trójkąt jest.

1 6 6 Zbigniew Semadeni Mimo to logika współczesna i przyrodoznawstwo wykazują uderza­ jącą tendencję do ekstensjonalnego myślenia, tzn. do używania nazw z uwzględnieniem wyłącznie ich oznaczania. (...) oznaczaniem jest o wiele łatwiej się posługiwać niż znaczeniem (Bocheński, 1992, s. 61-62).

Warto zwrócić uwagę na ten ostatni fragment. „Ekstensjonalne myślenie” to koncentrowanie się na tym, jakie elementy należą do rozpatrywanego zbio­ ru, a zarazem przesuwanie na dalszy plan znaczenia pojęcia, które służyło do określenia tego zbioru.

Widać przy tym, że Bocheński przez znaczenie nazwy rozumie pojedynczą cechę; odpowiada to znaczeniu definicyjnemu podanemu powyżej. Używa on tu pojęcia klasa, które ongiś było powszechnie stosowane w logice i w psycho­ logii (istotnie różne od rozumienia słowa „klasa” we współczesnych systemach aksjomatów teorii mnogości). Każda klasa (w dawniejszym sensie) ma swą

treść (cechę ją wyróżniającą) i zakres, czyli zbiór elementów tej klasy. Pojęcia

tego używała m. in. Szemińska.

Ogólne matematyczne pojęcie zbioru jest dla dziecka znacznie trudniejsze

od pojęcia zbioru elementów mających pewną wspólną cechę, wyróżniają­ cą je od innych na tyle, by uzasadnić wyodrębnienie ich. Takie węższe

pojęcie zbioru odpowiada temu, co w logice i psychologii nazywane jest

klasą (Szemińska 1991, s. 139).

Współczesne myślenie o tych zagadnieniach zdominowało pojęcie zbioru, oderwane od cechy je określającej.

Każda własność przedmiotów wyodrębnia ze zbioru pełnego pewien na ogół inny zespół przedmiotów, mianowicie zespół tych przedmiotów, na­ leżących do zbioru pełnego, które tę własność posiadają. Takie zespoły przedmiotów nazywamy zbiorami.

Pojęcie zbioru utożsamiamy z pojęciem własności w tym sensie, że wyrażenie: przedmiot x ma własność X uważamy za równoznaczne z wy­ rażeniem: przemiot x należy do zbioru X (...) Utożsamianie pojęć zbioru i własności jest celowe wówczas, gdy ograniczymy się tylko do rozpa­ trywania przedmiotów, należących do ustalonego raz na zawsze zbioru pełnego 1. (...) Ostatecznie sens, jaki nadajemy słowu zbiór — jak i każ­ dej nazwie — jest w znacznym stopniu kwestią umowy. Idzie o to, aby sens ten ustalić, gdyż w przeciwnym razie wyniknąć mogą nieporozumie­ nia, nieuniknione w wówczas, gdy tego samego słowa używamy w różnych znaczeniach (Mostowski, 1948, s. 83-85).

Rola znaczenia w rozumowaniach matematycznych 1 6 7 (...) nie należy utożsamiać z sobą pojęć: relacji (lub zbioru) i funkcji zdaniowej*. Funkcje zdaniowe są to pewne wzory logiczne i matematycz­ ne, relacje zaś i zbiory są to pewne twory abstrakcyjne, o których jest nam dogodnie założyć, że istnieją i że mają szereg własności (Mostowski, 1948, s. 89).

6.2. W języku potocznym słowa „znaczy” i „oznacza” traktowane są, jakby były synomimami, co uwidocznia się np. w przykładach cytowanych w słowni­ ku (Bańko, 2000, hasło „oznaczać” ); podobnie do tego podchodzą matematycy, np. gdy mówią: „pewnik wyboru oznacza, że ...” . W logice jednak rozróżnienie zakresu stosowania i sensu obu tych słów jest wyraźne.

Gdy odróżni się należycie znaczenie od oznaczania, problemy dyscypliny nazywanej w sposób swobodny semantyką rozpadają się na dwie dziedzi­ ny tak z gruntu odmienne, że w ogóle nie zasługują na wspólne miano. Można by je nazwać teorią znaczenia i teorią oznaczania. „Semanty­ ka” byłaby dobrą nazwą dla teorii znaczenia, gdyby nie okoliczność, że część najlepszej roboty w tak zwanej semantyce, zwłaszcza prace Tarskie- go, należy do teorii oznaczania. Głównymi pojęciami w teorii znaczenia, oprócz samego znaczenia, są: synonimiczność (czyli tożsamość znaczeń),

sensowność (czyli posiadanie znaczenia) i analityczność (czyli prawdzi­

wość na mocy znaczenia). Jeszcze innym pojęciem jest wynikanie logicz­

ne, czyli analityczność okresu warunkowego. Głównymi pojęciami w teorii

oznaczania są: nazywanie, prawdziwość, denotacja i zakres', ponadto po­ jęcie wartości zmiennej (Quine, 2000a, s. 161).

6.3. Na marginesie tych uwag Quine’a przypomnijmy, że słowo „semanty­ ka” określa, ogólnie to ujmując, dyscyplinę naukową zajmującą się znaczeniem, tj. problemami przyporządkowywania znakom szeroko rozumianych obiektów pozajęzykowych; semantyka przeciwstawiana jest syntaktyce, tj. regułom budo­ wania prawidłowych formuł i zdań. Szczegółowy zakres terminu „semantyka” bywa interpretowany bardzo różnie (w semiotyce, językoznawstwie itp.), za­ leżnie od teorii. W logice matematycznej termin ten używany jest w kon­ tekście semantyki teorii sformalizowanych (Mostowski, 1948, s. 309), a

przy-Matematycy często utożsamiają funkcję zdaniową z w a r u n k ie m , który mają spełniać elementy definiowanego zbioru, a z kolei warunek taki uważają za własność elementów tego zbioru. W ujęciu Mostowskiego „własność” oddzielona jest od funkcji zdaniowych, a utożsa­ miona ze zbiorem.

Kuratowski (1955, s. 35) przez relację g rozumiał formułę zdaniową < p ( x ,y ) dwóch zmien­ nych i zamiast < p ( x ,y ) wprowadził zapis x g y . Określenie to uzupełnił, dodając: „W praktyce często utożsamiamy relację g z e zbiorem R = { ( x , y ) : x g y } ” .

168 Zbigniew Semadeni

miotnik „semantyczny” używany jest m. in. w kontekście antynomii seman­

tycznych i modelu semantycznego (Mostowski, 1948, s. 315 i 356); ten ostatni

termin znaczy: m o d e l w teorii m n o g o ś c i . Dodajmy, że Grzegorczyk (1971, s. 224) określa „rzeczywistość matematyczną” jako konstrukcję z teorii mno­ gości (zbiory, funkcje, relacje); semantyka wiąże wyrażenia sformalizowanych teorii z taką „rzeczywistością” .

7. R o la zn a cze n ia w sy ste m a ch sform a lizow a n y ch . W takich syste­ mach każde „wyrażenie” , a ściślej: wyrażenie nazwowe (czyli term) uważa się za wyrażenie sensowne; pojęcie wyrażenia nazwowego można precyzyjnie sfor­ mułować dla danej teorii. W publikacjach z podstaw matematyki i z podstaw informatyki podaje się z reguły definicje indukcyjne. Najpierw określa się stałe teorii, zmienne, wyrażenia atomowe (pojedyncze symbole), a potem określa się (analogicznie do przejścia z n na n -fl w zwykłej indukcji) wyrażenia o jeden stopień bardziej skomplikowane, tzn. orzeka się, że jeżeli W jest wyrażeniem, to również wyrażeniami są układy symboli utworzonych z W ściśle określonymi sposobami (por. np. Malcew, 1970).

W formalistycznym ujęciu matematyki (w którym za naukowe uważa się wyłącznie teorie aksjornatyczne) symbole i nazwy pojęć matematycznych nie mają żadnego znaczenia (z wyjątkiem formalnie rozumianego znaczenia opera­ cyjnego lub uwikłanego). U Fregego desygnatem zdania (czyli tym, co zdanie oznacza) jest jego wartość logiczna: prawda lub fałsz (Bocheński, 1992, s. 61).

W typowym tekście matematycznym wywód dedukcyjny przeplata się z ko­ mentarzami wyjaśniającymi znaczenie poszczególnych kroków. Inaczej byłby bardzo trudny do zrozumienia. O roli języka potocznego w wyjaśnianiu pojęć formalnych pisał Quine:

(...) wszelka rewizja form notacyjnych, która upraszcza teorię, ułatwia obliczenia lub usuwa kłopoty natury filozoficznej, jest do przyjęcia, o ile tylko wszystkie zdania nauki można przetłumaczyć na formy zrewido­ wane, nie gubiąc przy tym żadnych treści istotnych z punktu widzenia zadań nauki. Język potoczny odgrywa nadal podstawową rolę, nie tylko genetycznie, lecz także jako środek ostatecznego wyjaśniania — na dro­ dze dowolnie skomplikowanych parafraz — takich sztucznych form języ­ kowych (Quine, 2000a, s. 137).

Rola znaczenia w rozumowaniach matematycznych 169 znakach pozbawionych znaczenia, zostały uzupełnione o wyjaśnienia (w zwy­ kłym języku) sensu pewnych formuł łub kroków rozumowania. Oto próbki takich wstawek, wyjaśniających sens formalnych ciągów znaków (do zoriento­ wania się, jaki jest charakter tych komentarzy, nie trzeba wiedzieć, czego one dotyczą):

Aby wyjaśnić, jak działa ta definicja, pokażemy że (...) Twierdzenie to mówi, że operacja podstawiania prowadzi od macierzy do macierzy i od wyrażeń numerycznych do wyrażeń numerycznych przy zastrzeżeniu, że „substituend” p jest wyrażeniem numerycznym (...) Aby wyjaśnić tę de­ finicję, zauważmy, że funkcja F może być zidentyfikowana ze zbiorem par uporządkowanych (n,F(n)) (...) (Mostowski, 1952, s. 28, 30, 60).

Aksjomat 2 mówi, że każda klasa, która jest elementem pewnej klasy, jest zbiorem (...) Dwie pary uporządkowane są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające elementy każdej z nich są równe (...) Zasada eksten- sjonalności dla relacji (4.22) daje następującą zasadę ekstensjonalności dla funkcji (...) Jest pożądane, by przypisać dobry porządek parom upo­ rządkowanym liczb porządkowych (Godeł, 1940, s. 3, 16, 28).

Ponadto widoczne są duże skróty myślowe i odwołania się do wcześniejszej wiedzy czytelników, którzy dzięki temu z łatwością mogą uzupełnić luki w ta­ kim dedukcyjnym wywodzie.

Trójka uporządkowana może być teraz zdefiniowana w terminach pary

uporządkowanej.

1.14 Dfn (xyz) = (x{yz))

Odpowiednie twierdzenie [o tym, że pary są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie elementy każdej z nich są równe] zachodzi dla trój­ ki uporządkowanej. Układ n elementów [n-tupie] może być zdefiniowany przez indukcję, jak następuje:

1.15 Dfn (xix2 ■ ■ . x n) = (xi(x2 ■ ■-xn})

(Godeł, 1940, s. 4).

Zauważmy, że w powyższej definicji 1.15 Godeł używa wyrażeń z wielokrop­ kami, których na ogół zabrania się używać w teoriach sformalizowanych. Godeł podał dowód ważnego i trudnego twierdzenia matematycznego; wiedział, że czytelnik rozumie znaczenie wielokropków, a ich eliminacja z dowodu nie sta­ nowi problemu.

170 Zbigniew Semadeni

W różnych dziedzinach humanistyki, w ramach poszczególnych teorii, au­ torzy starają się, by określenie „znaczenia” było jednoznaczne i sformułowane w terminach właściwych danej teorii. Natomiast matematyk może znaczenie

rozpatrywanych nazw i znaków dostosowywać do swych aktualnych potrzeb, pod warunkiem, że jego rozumowanie odpowiada standardom właściwym ma­ tematyce. Tak zapewne Thom rozumiał wyraz „meaning” w cytowanych na

początku zdaniach (zwłaszcza w ostatnim z nich). Choć matematyk deklaruje z przekonaniem, że opiera się wyłącznie na przyjętych definicjach, w praktyce, w swych rozumowaniach, mniej lub bardziej świadomie, wykorzystuje też inne aspekty znaczenia wykorzystywanych wyrażeń i zdań, a także znaczenie stoso­ wanych procedur i algorytmów. Wystarcza mu to, że wie, że t e o r e t y c z n i e m o ż l i w e jest sprowadzenie tego wszystkiego do czystej dedukcji.

Analiza najrozmaitszych tekstów potwierdza, że — zgodnie z opinią Thoma — wszystkie znaki i zdania, o których mówi lub pisze matematyk, mają dlań zawsze jakieś znaczenie, które istotnie wpływa na jego rozumowanie. Może się wprawdzie zdarzyć, że jest to wyłącznie znaczenie celowe i znaczenie ope­ racyjne, jednak na ogół dla prowadzonego rozumowania (zwłaszcza w fazie poszukiwań, pokonywania trudności, przebijania się przez nowe zagadnienia, rozwiązywania zadań) istotnych jest wiele znaczeń.

Gdy zajmujemy się matematyką, a w szczególności jej nauczaniem, wi­ dzimy, że pojęć matematycznych nie da się oderwać od ich wszechstronnego znaczenia. Jedynie do specjalnych celów, związanych z logiką i podstawami matematyki, konieczne jest świadome abstrahowanie od znaczenia nazw i sym­ boli, traktowanie ich w sposób czysto formalny i precyzyjny, który najlepiej wyraża często cytowany aforyzm Bertranda Russella: „Matematyka może być określona jako przedmiot, w którym nigdy nie wiadomo, o czym się mówi, i czy to, co się mówi, jest prawdziwe” . Podstawowy błąd reform programów szkolnych i programów kształcenia nauczycieli z lat sześćdziesiątych i siedem­ dziesiątych polegał na tym, że ścisłość, która była konieczna w badaniach nad

podstawami matematyki, starano się rozciągnąć na matematykę szkolną.