Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia

Grawitacja

Fizyka I (Mechanika)

Wykład VIII:

• Prawo powszechnego ci ˛a˙zenia

• Ruch w polu siły centralnej

• Prawa Kepplera

• Pole odpychaj ˛ace

• Do´swiadczenie Rutherforda

Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia

Prawo powszechnego ci ˛a˙zenia Newtona (1687):

r

m F F M

F = G m M r² Opisuje zarówno spadanie jabłka z drzewa jak i ruchy Ksi ˛e˙zyca i planet.

Grawitacja jest opisywana przez jeden parametr, stał ˛a Newtona: G ≈ 6.67 · 10^{−11 Nm}_kg2²

W warunkach laboratoryjnych potwierdzona przez do´swiadczenie Cavendisha (1798), w którym zmierzył oddziaływanie kul ołowianych masach m = 0.73 kg i M = 158 kg.

Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia

Prawo powszechnego ci ˛a˙zenia sformułowane zostało dla mas punktowych.

Ale stosuje si ˛e tak˙ze dla ddziaływa ´n ciał sferycznie symetrycznych

F = G m M r²

r

m F F M

Siła ci ˛a˙zenia dla ciała przy powierzchni Ziemi:

F = G m M_Z

R²_Z ≡ g · m

⇒ g = G M_Z R²_Z

Ruch satelity

R

V F R_Z

Satelita na orbicie kołowej o promieniu R.

Siła grawitacji

F = G m M_Z R²

jest sił ˛a do´srodkow ˛a, konieczn ˛a do utrzy- mania satelity na orbicie:

G m M_Z

R² = m V ² R

⇒ V =

sG M_Z R

Pierwsza pr ˛edko´s´c kosmiczna (R = R_Z):

V₁ = 7.91 km/s

pr ˛edko´s´c pozioma konieczna do “oderwa- nia” od Ziemi (zaniedbuj ˛ac jej ruch wirowy)

Ruch satelity

R

V F R_Z

Okres obiegu dookoła Ziemi:

T = 2πR V

Podstawiaj ˛ac wyra˙zenie na pr ˛edko´s´c:

T = 2πR

s R

G M_Z = 2πR^3/2

√G M_Z Im wy˙zsza orbita tym dłu˙zszy okres obiegu...

Odwracaj ˛ac t ˛a zale˙zno´s´c:

R = ³

sG M_Z T²

4π² = ³

s

g R²_Z T² 4π² Dla okresu obiegu równego okresowi obrotu Ziemi (23^h 56^m 4.09^s):

R = 42 164 km ^satelita geosta jonarny

Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia

Siła grawitacji (jak ka˙zda siła centralna) jest zachowawcza:

W_AB =

ZB

A

F (~~ r) · d~r =

r_B Z r_A

−F (r) · dr = −∆E^p

⇒ ∆E_p =

r_B Z r_A

G M m

r² · dr =



−G M m r

_rB r_A

Energia potencjalna masy m w polu grawitacyjnym masy M: E_p(r) = − G M m

r + C

okre´slona z dokladno´sci ˛a do stałej.

Zwyczajowo przyjmuje si ˛e C = 0, co jest równowa˙zne ustaleniu E_p(∞) = 0

Siła centralna

Rozwa˙zmy przypadek ogólny ruchu punktu materialnego o masie m w polu centralnej siły zachowawczej F = F (r) ·~i~ r

⇒ zasada zachowania energii: E = ^mv₂² + E_p(r) = const

⇒ zasada zachowania momentu p ˛edu: L = m~~ r × ~v = const Zachowanie momentu p ˛edu ⇒ ruch płaski (w płaszczy´znie ~r i ~v)

Pr ˛edko´s´c we współrz ˛ednych biegunowych:

~v = ~i_r · dr

dt +~i_θ · rdθ dt

⇒ v² =

dr dt

2

+ r²

dθ dt

2

=

dr dt

2

+ r² ω²

θ

r

X

Y

r θ

V V

Siła centralna

Pr ˛edko´s´c k ˛atow ˛a mo˙zemy wyrazi´c przez warto´s´c momentu p ˛edu:

L = m r² ω ⇒ ω = L mr² Otrzymujemy wyra˙zenie na kwadrat pr ˛edko´sci:

v² =

dr dt

2

+

 L mr

2

Wstawiaj ˛ac do wyra˙zenia na energi ˛e całkowit ˛a:

E = E_k + E_p

= m 2

dr dt

2

+ L²

2 m r² + E_p(r)

= m 2

dr dt

2

+ E_p^eff(r)

⇒ równanie ró˙zniczkowe dla składowej radialnej ⇒ problem jednowymiarowy

Siła centralna

Energia efektywna

“Efektywna” energia potencjalna w polu siły centralnej:

E_p^eff(r) = L²

2 m r² + E_p(r)

energia

od±rodkowa

Je´sli L 6= 0 to zasada zachowania momentu p ˛edu

“przeciwstawia si ˛e” zbli˙zeniu ciała do ´zródła siły (r = 0).

bariera centryfugalna

“energia od´srodkowa” ⇔ siła od´srodkowa

F_o = − d dr

L² 2 m r²

!

= L²

m r³ = m r ω² = m r

dθ dt

2

Siła centralna

Ruch radialny

Jednowymiarowe zagadnienie ruchu radialnego:

dr

dt =

s 2 m

E − E_p^eff(r)^

t =

Zr

r_◦

dr^′

r 2 m

E − Ep^eff(r^′)^

E_p^eff(r) = L²

2 m r² + E_p(r)

Ruch mo˙ze si ˛e odbywa´c tylko w obszarze E − Ep^eff(r) ≥ 0

⇒ dla L 6= 0 istnieje ograniczenie na odległo´s´c najmiejszego zbli˙zenia: r ≥ rmin teoretycznie mo˙zna wymy´sle´c sił ˛e centraln ˛a silniejsz ˛a od siły od´srodkowej

⇒ je´sli E < E_p^eff(∞) to ciało nie mo˙ze dowolnie oddali´c si ˛e od centrum siły: r ≤ rmax

⇒ ruch w ograniczonym obszarze

Siła centralna

Ruch k ˛atowy

Zachowany moment p ˛edu: L = m r² ω

⇒ ω = dθ

dt = L m r²

θ − θ_◦ =

Zt

0

L

m r² dt^′

Mo˙zemy wyprowadzi´c równanie na tor ciała porównuj ˛ac zale˙zno´sci od czasu:

dt = dr

r2 m

E − Ep^eff(r)^

= m r² L dθ

⇒ θ − θ_◦ =

Z L dr

m r²

r 2 m

E − Ep^eff(r)^

równanie toru we współrz ˛ednych biegunowych

Siła centralna

Ruch k ˛atowy

∆Θ

Zmiana k ˛ata biegunowego przy przej´sciu ciała od r_min do r_max

∆θ =

r_max Z r_min

L dr m r²

r2 m

E − Ep^eff(r)^

Tor b ˛edzie krzyw ˛a zamkni ˛et ˛a, je´sli ∆θ = 2π^m_n

m, n - liczby całkowite Warunek ten spełniony jest tylko dla dwóch pól:

(niezale˙znie od warunków pocz ˛atkowych)

• E_p(r) ∼ ¹_r - siła grawitacyjna, siła kulombowska (∆θ = π)

• E_p(r) ∼ r² - siły spr ˛e˙zysto´sci (∆θ = ^π₂)

Ruch w polu grawitacyjnym

energia efektywna

r E (r)_p

graw.

ods.

eff

Ε Ε1

Ε2 3

Pole grawitacyjne

Ogólne wyra˙zenie na energi ˛e potencjaln ˛a:

E_p(r) = −k r

k > 0 ⇒ siła przyci ˛agaj ˛aca wybieramy E_p(∞) = 0

Charakter ruch zale˙zy od energii całkowitej:

• E₁ > 0 - tor otwarty

• E₂ < 0 - tor zamkni ˛ety

• E₃ = E_min - ruch po okr ˛egu

Ruch w polu grawitacyjnym

Model

Dwuwymiarowy ruch ciała po zakrzywionej powierzchni.

Profil wysoko´sci odpowiada energii potencjalnej pola: h(x, y) ∼ E^p(r)

Ruch w polu grawitacyjnym

Równanie toru

Rozwi ˛azaniem s ˛a tzw. krzywe sto˙zkowe postaci (we współrz ˛ednych biegunowych)

r(θ) = p

1 + ε · cos(θ − θ◦) ε - mimo´sród orbity

ε =

r

1 + ^2EL2

mk² p = _mk^L2

• ε = 0 - ruch po okr ˛egu o promieniu p

• ε < 1 - ruch po elipsie E < 0

• ε = 1 - ruch po paraboli E = 0

• ε > 1 - ruch po hiperboli E > 0

Osie elipsy:

• 2a = ^2p

1−ε² = ^k

- zale˙zy tylko od energii2|E|

• 2b = √^2p

1−ε² = √ ^L

2m|E|

- zale˙zy tak˙ze od momentu p ˛edu

Ruch w polu grawitacyjnym

Ruch po okr ˛egu

E (r)_p

r

Ε₃

r

x y

Przypadek szczególny: ε = 0 E = E_min = −m k²

2 L² minimalna energia całkowita

przy ustalonym L

Inny przypadek szczególny:

Dla L = 0 mamy ruch po odcinku o długo´sci 2a = _2|E|^k ;b = 0

Ruch w polu grawitacyjnym

Ruch po elipsie

E (r)_p

r Ε2

min rmax

r

x y

Warunek: E_min < E < 0

Ruch ograniczony do: r_min < r < r_max E_p^eff(r_min) = E_p^eff(r_max) = E

Zródło siły znajduje si ˛e w jednym z ognisk elipsy.´ Długa póło´s zale˙zy wył ˛acznie od energii;

“spłaszczenie” zale˙zy od momentu p ˛edu

Ruch w polu grawitacyjnym

Prawa Keplera

I. Ka˙zda planeta kr ˛a˙zy po elipsie ze Sło ´ncem w jednym z jej ognisk

II. Promie ´n wodz ˛acy ka˙zdej planety zakre´sla równe pola w równych czasach III. Kwadrat okresu obiegu ka˙zdej planety wokół Sło ´nca

jest proporcjonalny do sze´scianu półosi wielkiej elipsy

Okres obiegu mo˙zemy wyznaczy´c z pr ˛edko´sci polowej ^dS_dt ⁼ _2m^{L ,} 2a = _2|E|^k , 2b = √ ^L

2m|E|

T = S

dS dt

 = π a b

2mL

= πk

s m 2|E|³

Podnosz ˛ac do kwadratu

T² = π²k²m

2|E|³ = 4π²m

k · a³

Ruch w polu grawitacyjnym

Ruch po paraboli

E (r)_p

r

rmin

x y

Ε₁

Przypadek szczególny: E = 0 Ruch jest niesko ´nczony,

ciało nie jest zwi ˛azane przez centrum siły.

Jednak oddalaj ˛ac sie do niesko ´nczono´sci ciało b ˛edzie porusza´c si ˛e coraz wolniej.

Asymptotycznie zatrzyma si ˛e.

Ruch w polu grawitacyjnym

Ruch po hiperboli

E (r)_p

r

rmin

x y

Ε 1

Dla E > 0

Ruch jest niesko ´nczony.

Asymptpotycznie pr ˛edko´s´c ciała d ˛a˙zy do

v_∞ =

s2E

m > 0

orbity komet nieperiodycznych

Im mniejsze L

tym mniejsza odległo´s´c zbli˙zenia r_min

Ruch w polu grawitacyjnym

Rodzaje orbit

Kształt orbity zale˙zy od energii całkowitej E i momentu p ˛edu ciała L ε =

r

1 + ^2EL2

mk²

Orbity o tej samej warto´sci L, lecz o ró˙znych warto´sciach E E = 0

E < 0 E > 0

Ruch satelity

Jak powinien si ˛e zachowa´c kosmonauta w rakiecie na orbicie kołowej, je´sli chce zbli˙zy´c si ˛e do powierzchni Ziemi?

A B

F

V

Odpalenie silników w kierunku Ziemi daje efekt przeciwny do zamierzonego!

L = const, E ro´snie

⇒ Srednia odległo´s´c od Ziemi ro´snie!´

r E (r)_p

graw.

ods.

eff

A B

Ruch satelity

Lepszym sposobem na przej´scie na ni˙zsz ˛a orbit ˛e jest wł ˛aczenie silników hamuj ˛acych

A B

C

V

F

L maleje, E maleje

⇒ Srednia odległo´s´c od Ziemi maleje´

r E (r)_p

graw.

B A

C

Powtórne hamowanie po połowie obiegu umo˙zliwia przej´scie na ni˙zsz ˛a orbit ˛e kołow ˛a.

Ruch w polu sił

Potencjał odpychaj ˛acy

E_p(r) = +k

r k > 0

Ruch w polu sił

Potencjał odpychaj ˛ac

E (r)_p

ods.

eff

graw.

r

rmin

Ε

x y

Uzyskane rozwi ˛azanie pozostaje

słuszne, z dokładno´sci ˛a do zmiany znaku k ⇒ zmiana znaku p

r(θ) = p

ε · cos(θ − θ_◦) − 1

Jak porzednio ε =

r

1 + ^2EL2

mk²

Teraz jednak zawsze E > 0

Im wi ˛eksze ε, tym wi ˛ekszy k ˛at rozwarcia hiperboli

Do´swiadczenie Rutherforda

Model Thomson

Po odkryciu elektronu (1897),

J.J.Thomson zaproponował model atomu w postaci “ciastka

z rodzynkami”.

E

α

Cała obj ˛eto´s´c atomu była jednorodnie naładowana dodatnio (“ciastko”),

a wewn ˛atrz “pływały” elektrony (“rodzynki”).

Poniewa˙z ładunek był rozło˙zony równomiernie w du˙zej obj ˛eto´sci, nie powinien silnie zakłóca´c ruchu przechodz ˛acy cz ˛astek α.

Oczekujemy jedynie niewielkich odchyle ´n toru...

Wpływ elektronów mo˙zna zaniedba´c ze wzgl ˛edu na mał ˛a mas ˛e.

Do´swiadczenie Rutherforda

W modelu Thomsona mo˙zna było

oszacowa´c maksymalny k ˛at rozproszenia cz ˛astki α i był on mały θ^max ≪ π.

Odpowiada to sytuacji rozproszenia

“pocisku” na du˙zo l˙zejszej “tarczy”.

Masa przypadaj ˛aca na jednostk ˛e

“rozmytego” ładunku atomu wynosiła ok. ¹₈ masy cz ˛astki α.

Do´swiadczenie Rutherforda

Rozpraszanie cz ˛astek α na cienkiej złotej folii

Obserwowano błyski wywoływane przez padaj ˛ace cz ˛astki na ekranie scyntylacyjnym

Do´swiadczenie Rutherforda

Pokaz

Θ

α Au zrodlo

detektor

Przed wsuni ˛eciem tarczy cz ˛astki α obserwujemy tylko dla Θ ≈ 0.

Wi ˛azka cz ˛astek ze ´zródła jest dobrze skolimowana.

Oddziaływanie z tarcz ˛a zmniejsza strumie ´n cz ˛astek lec ˛acych “do przodu” (Θ ≈ 0)

Rozproszone cz ˛astki α obserwu- jemy w szerokim zakresie k ˛atów rozproszenia, tak˙ze dla θ ≥ ^π₂

Do´swiadczenie Rutherforda

Wyniki pomiarów

Przeprowadzonych przez H.Geigera i E.Marsdena (1911):

Oczekiwane Uzyskane

Do´swiadczenie Rutherforda

Wyniki pomiarów

Przeprowadzonych przez H.Geigera i E.Marsdena:

50 100 150

Zliczenia

102

103

104

Zaobserwowano rozproszenia cz ˛astek α pod bardzo du˙zymi k ˛atami, θ ≫ θ_{T h}^max, czego nie mo˙zna było wyja´sni´c w modelu Thomsona

“To było tak jakby´scie wystrzelili

pi ˛etnastocalowy pocisk w kierunku kawałka bibułki, a on odbił si ˛e i was uderzył.”

E. Rutherford

Do´swiadczenie Rutherforda

Model Rutherforda

Rutherford zaproponował j ˛adrowy model atomu.

Cały dodatni ładunek atomu (10⁻¹⁰m) skupiony jest w praktycznie punktowym (10⁻¹⁴m) j ˛adrze

α

R E

Przechodz ˛aca cz ˛astka zawsze czuje cały ładunek dodatni ⇒ k ˛aty rozproszenia s ˛a du˙zo wi ˛eksze.

Do´swiadczenie Rutherforda

Model Rutherforda

Poniewa˙z cz ˛astka α rozprasza si ˛e na j ˛adrze jako cało´sci, a masa j ˛adra M_Au ≫ M^α

⇒ brak ogranicze ´n na k ˛at rozproszenia cz ˛astki α

mo˙zliwe nawet (cho´c mało prawdopodobne) rozproszenie o θ > π/2.

Rozkład k ˛atowy

Obserwowany rozkład k ˛atowy rozproszonych cz ˛astek α proporcjonalna do tzw. rózniczkowego przekroju czynnego

N (θ) ∼ dσ

dΩ = Z²α² 4E² sin^{4 θ}₂ Wzór Rutherforda

Sko ´nczone prawdopodobie ´nstwo rozproszenia θ = π !

°] Θ [

0 50 100 150

Ωdσd

Oddziaływanie dwóch ciał

Ruch wzgl ˛edny

Dotychczasowe rozwa˙zania prowadzili´smy przyjmuj ˛ac, ˙ze centrum siły jest nieruchome. Odpowiada to zało˙zeniu, ˙ze

M_Slonca ≫ MZiemi ^lub M_Ziemi ≫ MSatelity

Układ izolowany + III zasada dynamiki ⇒ m₁ ~a₁ = − m2 ~a₂

Srodek masy

v

v

F

F

Wzgl ˛edne poło˙zenie (np. ciała 2 wzgl ˛edem 1):

~r₁₂ = ~r₂ − ~r1

Wzgl ˛edna pr ˛edko´s´c:

~v₁₂ = ~v₂ − ~v1 = d~r₁₂ dt Przyspieszenie wzgl ˛edne:

~a₁₂ = d~v₁₂

dt = ~a₂ − ~a1 = ~a₂ + m₂ m ~a₂

Oddziaływanie dwóch ciał

Masa zredukowana

Przyspieszenie w ruchu wzgl ˛ednym:

~a₁₂ = m₁ + m₂

m₁ ~a₂ = m₁ + m₂

m₁ · F~₁₂ m₂ Mo˙zemy sprowadzi´c równania ruchu do postaci:

µ ~a₁₂ = µ d²~r₁₂

dt² = ~F₁₂ ^~r₁₂^

gdzie µ = m₁ m₂

m₁ + m₂ - masa zredukowana (1

µ = 1

m₁ + 1 m₂)

Problem wzgl ˛ednego ruchu dwóch oddziałuj ˛acych ciał mo˙zemy sprowadzi´c do problemu ruchu jednego ciała o masie µ w polu siły F~₁₂ (~r₁₂)

Scisłe w przypadku klasycznym (nierelatywistycznym) dla układu izolowanego.´

Prawa Kepplera pozostaj ˛a słuszne tak˙ze gdy nie zaniedbujemy masy planety/satelity!

Oddziaływanie dwóch ciał

Przykład

Układ Ziemia-Ksi ˛e˙zyc

m_K : m_Z ≈ 1 : 81

µ ≈ 0.988 mK

Ziemia i Ksi ˛e˙zyc kr ˛a˙z ˛a wokół wspólnego ´srodka masy, który znajduje si ˛e ok. 4700 km od ´srodka Ziemi.

Cz ˛esto´s´c obiegu jest

sm_K

µ raza wi ˛eksza ni˙z gdyby Ziemia była “nieruchoma” (0.6%) przy danych masach i odległo´sci Ziemia-Ksi ˛e˙zyc : µ ω² r₁₂ = F (r₁₂)

Ruch Ziemi dookoła Sło ´nca: m_Z : m_S ≈ 1 : 335 000

Ruch w polu grawitacyjnym

Uzupełnienie

Rozwi ˛azanie równania toru dla pola grawitacyjnego: E_p(r) = −^k_r

θ − θ_◦ =

Z L dr

m r²

r2 m

E − Ep^eff(r)^

=

Z ^dr

r² s

2m L²



E + ^k_r − _2mr^L22



= −

Z d^1_r^

r

2mE

L² + ^2mk

L²

₁ r

 − ^1_r^2

= −

Z d ^1_r − ¹_p^

r ε²

p² − ^1_r − ¹_p^2 Gdzie wprowadzili´smy parametry: p = _mk^L2 oraz ε =

r

1 + ^2EL2

mk²

Otrzymali´smy całk ˛e postaci:

−

Z dx

q

1 − x²

= arccos(x) =⇒ r = p

1 + ε · cos(θ − θ_◦)

Egzamin

Przykładowe pytania testowe:

1. Pierwsza pr ˛edko´s´c kosmiczna to pr ˛edko´s´c przy której ciało

A mo˙ze wej´s´c na orbit ˛e dookoła Sło ´nca B kr ˛a˙zy na orbicie geostacjonarnej C porusza si ˛e tu˙z nad powierzchni ˛a Ziemi D mo˙ze odlecie´c do niesko ´nczono´sci

2. W centralnym polu grawitacyjnym, najwy˙zszym warto´sciom energii całkowitej odpowiada ruch po

A okr ˛egu B hiperboli C elipsie D paraboli

3. Satelita kr ˛a˙zy na orbicie kołowej. Po wł ˛aczeniu na krótki czas silników hamuj ˛acych przejdzie na orbit ˛e A paraboliczn ˛a B hiperboliczn ˛a C eliptyczn ˛a D kołow ˛a o mniejszym promieniu

4. Satelita kr ˛a˙zy po orbicie eliptycznej takiej, ˙ze jego najmniejsza i najwi ˛eksza odległo´s´c od Ziemi rapo = 4r_per. Pr ˛edko´sci satelity w tych punktach

A vapo = ₂¹ vper B vapo = 2 vper C vapo = ¹₄ vper D vapo = 4 vper

5. Maksymalny k ˛at rozproszenia cz ˛astek α na j ˛adrach Au (do´swiadczenie Rutherforda) wynosi

A 2π B π/4 C π D π/2

Projekt współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego