VII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków
Matematyka Stosowana Kraków, 20-26 września 2004
ss. 203-210
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE W MECHANICE OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
BOLESŁAW SZAFIRSKI
Wiele procesów przyrodniczych przebiegaw środowisku cieczy lub gazów. Toteż główna uwagakoncentrujesię na badaniu tych ośrodków ciągłych.Naszą uwagę skon
centrujemy na środowisku cieczy. Wyobraźmy sobie przestrzeń R3 wypełnioną cieczą, którajestw ruchu. Zadaniem przyrodnikówi matematyków jestopisać ten ruch. Uży wa siędo tego celu pewnychpólwektorowych. Wymieniętutrzyz nich, czwarte poja
wi siępóźniej. Chodzi o polewektorowe prędkości, pole wektorowe położeń oraz pole wektorowe rotacjipola prędkości. Referat powstał w oparciu oprace [1, 2, 3,4, 6, 7]
orazmonografię [5].
Przez v = = (vi(x,t),V2(x,t),V3(x,t)) oznaczmy wektor prędkości cząstecz
ki cieczy w punkcie x € R3 i w chwili t 0. Mamy zatem pole wektorowe prędkości v(x,t) G R3, xG R3, t G [0,oo).
Przez X(a,t) oznaczmy położenie tej cząsteczki cieczy w chwili i, która w chwili początkowej i = 0 znajdowała się w punkcie a G R3. Mamy więc pole wektorowe położeń X(a,t) G R3, X(a,0) = a o składowych (Xi,X2,Xs). Cząsteczka porusza się po pewnym torzez prędkością v styczną do tego toru.
Przez w —iu(i,i) — (wi,W'2,W3) oznaczmy pole wektorowe rotacji pola prędkości.
Wektor a) wyraża się więcwzorem
_ / dv3 dv2 dvi dv3 dv2 dv\ \ W \ di2 di3 ’dx3 dxi’ dxi dx2)
Mamy więc pola wektorowe v(x, i), X(a, t), w(x, t). Jest rzecząważnązbadać związ ki między tymi polami. Równość (1) daje związek między vi w. Między v iX zachodzi związek oczywisty
^^=v(X(a,t),t). (2)
Później zajmiemy się również innymizwiązkami.
Nie każde pole wektorowenadaje się do opisu ruchu cieczy. Ruchem cieczy rządzą pewne prawa fizyki, któreda się ująć wformierównań różniczkowych. Itak, ruchem cieczy lepkiej nieściśliwej rządząprawa fizyki, które prowadzą do równań Naviera - Stokesa postaci
í +(v• V)v= -Vp +¡lAv
| V • v = 0 (3)
Użyliśmy tu symboliki
W układzie (3) występuje pole skalarne p(x, t) interpretowane jako ciśnienie. Jeżeli w układzie(3) przyjmiemy stalą p =0 to otrzymamy równania Euleracieczy idealnej.
Zadanie dla matematyki polega teraz na tym aby zbadać rozwiązania układu (3).
Układ ten bada się zwykle zwarunkiem początkowym
u(x,0) =vo(x), x € R3. (4)
Przez rozwiązanie regularne układu (3) rozumiemy funkcję v klasy C2 względem x i klasy C1 względem t, dlaktórej istnieje funkcja p taka, żepara (y,p) spełnia (3).
Jest oczywiste, że dlavo = 0 pole v(x,t) = 0 i p(x,y) = const spełniają (3) i (4).
Dowodzi się,że jeżeli vq jest dostatecznie małeto istnieje jedyne rozwiązanie globalne w czasie. Dla dowolnegovq dowodzi się, że istnieje przedział [0,T), w którym istnieje jedyne rozwiązanieproblemu (3), (4). Przy większych uo przedział [0,T) jest mniejszy.
Powstaje pytanie czydladowolnychvqistnieje rozwiązanie regularne globalnew czasie t.zn. dlat G [0,oo)? Pytanie to stanowi treść VI problemu milenijnego : Wiadomości Matematyczne,t.38 (2002), s. 61 - 62, 121 - 130. Za rozwiązanie tego problemu jest obietnicanagrody w wysokości 1 miliona dolarów.Z przyrodniczego punktu widzenia problemten jest bardzo ważny. Być może jegorozwiązanie pomogłoby wyjaśnić jakie czynniki powodują przejście ruchu laminarnego w ruch turbulentny (demonstracja).
Zdaniemprzyrodników wyjaśnienie tej kwestii byłoby przełomowe dla naukprzyrod niczych. W przypadku dwuwymiarowym problem ten ma pozytywnerozwiązanie.
Ponieważbezpośredniebadanie problemu (3) okazało się tak trudnepowstaje py tanie czy możliwe byłoby nie bezpośredniebadanie problemu (3) lecz przy pomocy innych pól wektorowych. Jest to możliwe. Punktem wyjściado tego jest obserwacja, że w środowisku cieczy podczas ruchuczęsto zachodzą różnorodne procesynp. zawi
rowania lub dyfuzja. Powstaje więcpytanie czyz zachowania siętych procesów można wnioskować o ruchu cieczy. Referat jest związany z tym pytaniem. Powstał pomysł aby pole prędkości badać przy pomocy pól wektorowych związanych z tymi procesa
mi. Powstał pomysł abyrozwiązania układu(3) badaćprzy pomocy pola rotacji pola prędkości.Prawdziwe jest bowiem
Twierdzenie 1. Dlapola wektorowego gładkiego, które zerujesię dostatecznieszybko gdy|i| —> oo problem (3), (4) jest równoważny problemowi dla rotacji
— +dw v ■ Vcj = w• Vv + pAw, u(x, 0) = rotVo(T).
(5) (6)
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE W MECHANICE OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 205
Wektor v występujący w równaniu (5) wyraża się przy pomocy w wzorami v(x,t) = -y)a>(y,t)dy, K2(x) = dian = 2 (7) i
v(x,t)=[ K3(x-y)u(y,t)dy, K3(x)h = 7-^73^ dla n = 3. (8)
JR3 4?r |z|ó
Do równania (5) dochodzi się poprzez wzięcie rotacji z obu stron układu (3). Dla uzyskania wzorów (7) i (8) bada się układ równań
V • v = 0
rot v = OJ (9)
Jest to układ, który zawiera 4 równaniao trzech funkcjach niewiadomych. Może nie mieć rozwiązań. Układ (9) majednak rozwiązanie zerujące się w 00. Rozwiązanie to ma postać
v = — rot i/s
gdzie wektor i/' jest tzw. polem wektorowym prądu i wyznacza się go z równania Poissona
Zlt/' = tJ-
Wzory (7) i (8) pokazują,żepole wektoroweprędkości możebyć badane przy pomocy pola rotacji. Służy do tego układ (5) z wzorami (7) i (8). Po wykorzystaniu wzorów (7) i (8), mamy samodzielne równanie(5) dlabadania pola rotacji. Dziękitemu mamy Twierdzenie 2 ([1]). 1°. Jeżeli dla każdego T > 0 istnieje M > 0 takie, że rotacja
spełnia nierówność
i \w(-,t)\L°°dt ś: M Jo
toistnieje rozwiązanie globalne problemu (5).
2°. Jeżeli maksymalny czas T istnienia rozwiązaniaproblemu (5) jest skończony to lim / |w(-, r)| £00 dr — 00.
t—Jo
Gdybyśmy umieli wykazać, przy pomocy Twierdzenia 1, punkt 1° Twierdzenia 2 dlan — 3 uzyskalibyśmy rozwiązanie problemu milenijnego.
Weźmy układ (5) dla n= 2. Rotacjaw tym przypadku nie jest wektorem dwuwy miarowym lecz skalarem
_ dv2 dvi dxi dx2
Układ (5)staje sięwtedy jednym równaniem, w dodatku bez członu • V)v. Można do tego równania zastosować zasadę maksimum, z której wynika, że |w(-, t) ko(-)l L00 •Spełnione jest zatem założeniew punkcie pierwszym Twierdzenia 2 idzięki temu VI problem milenijny dla n = 2 ma pozytywne rozwiązanie. Człon (w ■ V)v dla n = 3 nie zeruje sięjednak i fakt ten sprawia głównątrudność. Na tym przykładzie widać w szczególności różnicę między przypadkiem n = 2 i n = 3.
206 BOLESLAW SZAFIRSKI
Przechodzę do innych korzyści wynikających z zastosowania rotacji pola prędko ści. Powiedziałemwcześniej o otwartej i ważnej kwestii przejścia ruchu laminarnego w turbulentny. Teraz do tego nawiążę. Ruch laminarny zaczyna się psuć z chwilą po
jawienia się wirów. Rotacja nadaje się bardzodobrze do badania ruchów wirowych.
Rozpocznijmy od przykładów.
1. Obrót. Rozważmy na płaszczyźnie pole wektorowe określonewzorem v(x) = (-22,2i,0).
Jest to pole stacjonarne opisujące obrót wokół początku układu współrzędnych.
Rotacja jest wektorem niezerowym w — (0,0,1). Mamy do czynienia z ruchem wirowym.
2. Wybuch. Rozważmy pole stacjonarne określonewzorem v(x) = (“21,“22,2i + 22).
Rotacja w = (0,0,0). Z równania (2) wynika, że pole wektorowe położeńma postać
Zauważmy, że odległość cząsteczki w chwili tod osi wyraża się wzorem (Ä-!2 + A"2)(a,t) =e 4l(a2 4- cĄ).
Ruch cząsteczki zależy od położenia początkowego a.
3. Wybuch z obrotem. Rozważmyzłożeniepoprzednichruchów. Mamy więcpolewek torowe
V(x,t) = (-Xi - 12,21 - 22,2x3)-
Rotacjaw= (0,0,2).
Odległość cząsteczki w chwili t od osi 13 wyraża się takim samym wzorem jak w poprzednim przykładzie.
Zauważmy, żew pierwszym przykładziei trzecimrotacja jest różna od0. Faktyte będą miały znaczenie wogólnej sytuacji.
Dla opisu ruchu wirowego cieczy używa się pojęcia cyrkulacji pola wektorowego prędkości. Aby do tegoprzejść rozważmy najpierw odwzorowanie
X(-,i):a-HX(tt,t), a e R3,X(a,t) € R3.
Niech ii oznacza dowolnyobszar w przestrzeni R3 o brzegu gładkim. Dla obszaru fit =X(ii,t) = {X(a,t),a e /2}
i dla funkcji f : Si x [0,00) —> R gładkiej prawdziwe jest następująca równość
i = L,
zwana twierdzeniem o transporcie. Dla badań pola wektorowego prędkości wprowa
dza się pojęcie cyrkulacji tego pola wzdłuż danej krzywej. Przez S oznaczmy płat
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE W MECHANICE OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 207
powierzchniowy w przestrzeniK3 o brzegu C zorientowanym. Utwórzmy ich obrazy St i Ct poprzez odwzorowanie X(-,t). Całkę
I vds= vi(i,t)dxi +V2(,x,t)dx2 + V3(i,t)di3
Jct JCi
nazywamy cyrkulacją pola wektorowego v(x, i) wzdłuż krzywej Ct- Jest rzeczą ważną wiedzieć kiedy cyrkulacjapola wektorowego jest równa 0. Zbadajmy teraz zależność cyrkulacjiodczasu. Dotychczaszajmowaliśmysię cyrkulacją przy ustalonym i. Bardzo ważne dla naszych celówjest następujące
Twierdzenie 3 (o transporcie cyrkulacji). Dla krzywej zamkniętej gładkiej Ct i pola wektorowego gładkiego w(i,t) zachodzi równość
■ ds.
W dowodzie twierdzenia wykorzystuje sięrównanie (2).
Z Twierdzenia 3 wynika następujące
Twierdzenie 4 (prawozachowania cyrkulacji). Jeżeli pole wektorowe v(x,t) spełnia równania Eulera w D to cyrkulacja po krzywej Ct zawartejw D nie zależy od t.
Dowód. Z twierdzenia 3 i z postacirównańEulera wnioskujemy, że zachodzi równość
skąd wynika teza. Odpowiednik twierdzenia 4 dla równań Naviera - Stokesa nie jest prawdziwy. Wystarczy zauważyć, że pochodna fc¡ v ■ ds = fę (—Vp+ pAv) • ds =
p fc Av ■ ds nie musi byćrówna0. □
Z twierdzenia 4 wynika w szczególności, że podczas ruchu cieczy idealnej nie po- wstają nowe wiry. Nie zanikają też wiryjuż istniejące.
Zajmiemy się zatem w dalszym ciągu powstawaniem i ewolucją wirów w ruchu cieczy lepkiej, w oparciu o równania Naviera - Stokesa.
Podstawowego związku międzycyrkulacją pola wektorowego a rotacją dostarcza Twierdzenie 5 (Stokesa).
i v • ds = i rotu•dS, (10)
Je Js
gdzie C jest brzegiem powierzchni S. Z równości (10) wynika, że jeżeli rotu - 0 w obszarze i? to cyrkulacja pola v jest równa 0 wzdłuż każdej krzywejzawartej w Q i pole tojest bezwirowe. Zatem głównym narzędziem do badania wirówpowstających w strumieniu cieczyjest rotacja pola prędkości.
Powróćmy jeszcze na chwilędocieczy idealnej ido równań Eulera. Odpowiednikiem równania (5) w tym przypadku jest oczywiście równanie postaci
da>
dt — (w • V)t> + (y■ V)w = 0. (11)
208 BOLESLAW SZAFIRSKI
Twierdzenie 6 (o transporcie rotacji). Przyzałożeniu, że poleprędkościv(x,t) zwią zane z polem położeń X(a,t) przez równość (2) oraz pole rotacji u>(x,t) spełniają równanie (11) otrzymujemy równość
w(X(a, t), t) = VoX(a, t)u(a,0). (12) Wniosek. Z twierdzenia 6 wynika, że ewolucja w czasie rotacjipola prędkości prze
biega jako działanie macierzyjakobianowej odwzorowania X(-,t) na rotację w chwili t= 0.
Jeżeliw(a, 0) to aj(X(a,y), t) = 0 Vf6[0iOO). Stąd wynika, że jeżeli polewektorowe v jest bezwirowe dla t = 0 to jest również bezwirowe dla i > 0. Wypada w tym miejscu powtórzyć stwierdzeniewypowiedziane wcześniej. W czasie ruchu cieczy idealnej nie powstająnowe wiry. Nie zanikająteż wiry już istniejące. Teza twierdzenia6 nie jest prawdziwa dlacieczy lepkiej opisywanej przy pomocy równań Naviera-Stokesa.
Zauważmy ponadto, że w przypadkun = 2 rozwiązanie (12) ma postać w(X(n,t),t) =w(n,0),
skąd wynika, że jest ono stałe na trajektoriach ruchu.
1. Przykład powstawania wirów. Rozważmy w przestrzeni R2 półpłaszczyznę wyznaczoną przez nierówność X2 Js 0,wypełnioną cieczą, którejruch odpowiadaukła dowi (3) dla n = 2. Przypuśćmy, że danesą warunki brzegowe
v(zi, 0, t) = 0, v(xi,oo,t) = U (13) dla t Ç. [0,oo). Wektor U jest stały i równoległy do osi xi. Poszukiwać będziemy rozwiązań v(xi,X2,t) = (v1(a:2,t),0) równoległych do osi xi i niezależnych od xi oraz ze stałym p (Xp = 0). Układ (3) i warunki (13) redukują się w tym przypadku do równania
“"ag- (14)
i warunkówbrzegowych
*>i(0,t) =0, vi(oo, i) = U. (15) Przez bezpośrednie sprawdzenie stwierdzamy, że rozwiązaniem problemu (14), (15) jest funkcja
. . 2|i/| 2
vi(x,t) = —-=■ / e ds.
y* Jo
Rotacja pola prędkości w przypadku dwuwymiarowymwynosi dv2 dvi
dii di2 W naszej sytuacjimamy
( dvi
W3(X2,U= -■£—
0X2
Rotacjajest ujemna. Ruch wirowy odbywa się zatem w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Odpowiada to naszej intuicji. Zauważmy również, że rotacja w3 spełnia równanie (14), któreopisuje zjawisko dyfuzji w kierunkuosi X2- Stąd wynika,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE W MECHANICE OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 209
że wiry powstające przy osi ii przemieszczają się w kierunku pionowym zgodnie z procesemdyfuzyjnym.
2. Procesy dyfuzyjne. Stwierdziłem na początku,że cząsteczka porusza siępopew nym torze z prędkością v styczną do tego toru. Do tej informacji dodamy terazfakt bardzoistotny. Występują tu ruchy Browna, którestanowiąpodstawę zjawiska dyfu
zji. Fakt ten powoduje, że rolę równania (2) przejmuje teraz równaniestochastyczne postaci
dX(a,t) = u(X(a,t))dt + 2v/MdW(t), X(a,0) = a, (16) gdzie W(t)jest procesemWienera w R2.
3. Wektor położeń. X(a, t) jest obecniewektoremlosowym. Równanie (16) opisuje zjawisko t.zw. dyfuzji molekularnej w polu prędkości v. Równanie (16) możnabadać przy pomocy gęstościp(x, s; y, t) prawdopodobieństwa przejścia
P(ar,s;i/,t) = P{X(a,t) < y\X(a,s) = z}.
Gęstośćtaspełnia następujące równanie Kołmogorowa(Fokkera- Plancka)
dp— + 4-(vp) = pAp. (17)
Równanie (17) jest identyczne zrównaniem(5)dlarotacjidla n = 2. Mamy więc wnio sek, że z matematycznego punktu widzeniazjawisko rozchodzenia się wirów i zjawisko dyfuzji dlan = 2 sąidentyczne. Dla n = 3 tak nie jest. Równaniedla gęstościjestska
larne arównaniedla rotacjijest układem 3 równań. Mamykolejny przykład istotnej różnicy między płaszczyzną a przestrzenią trójwymiarową.
Sytuacja jeszcze bardziej się komplikuje gdy mamy do czynienia z ruchem tur- bulentnym cieczy. Pole prędkości traktuje się wówczas jako pole losowe. Wektor v w równaniu (16) jest zatem wektorem losowym. Jeżeli w równaniu (16) zaniedbać człon dW(t) otrzymane równanie opisuje tzw. dyfuzje turbulentną. W porównaniu z dyfuzją molekularnąjest ona zjawiskiem znacznie szybszym i w związku z tym w konkretnych zastosowaniach jest zjawiskiem istotniejszym. Bada się ją,przy odpo
wiednich założeniach o polu prędkości, przy pomocy równania Hopfa dla funkcjonału charakterystycznegopola losowego. Jest to równaniepostaci
dF(Xt) dt
6F(X,t) 5X(x) dx
A(i/) d 5F(X,t)' dyt ¿A(y) dxdy, gdzie
F(X,t) = £l{exp(i(A,v))}, (A, u) = j v(x,t)X(x)dx.
Jest t-zw. pochodnąFrecheta funkcjonału F względem A w punkciey.
Istnieje pewienodpowiednikVI problemu milenijnego dlatego równania. Świadczy to o tym, że najtrudniejsze i najważniejsze problemy czekajątu narozwiązanie.
210 BOLESŁAW SZAFIRSKI
Spis literatury
[1] Beale, J.T., Kato, T., Majda, A., Remarks on the breakdown of smooth solutions fot the 3-D Euler equations, Commun.Math. Phys. 94 (1984), 61 - 66
[2] Brzeźniak, Z., Szafirski, B., On the blow up phenomena for the Navier - Stokes equations, Univ.Iagel. Acta Math., 32 (1995), 89 - 97
[3] Chow, P.-L., Function - space differential equations associated with a stochastic partial diffrential equation, Indiana Univ. Math. J., 25 (7) (1976), 609 - 627,
[4] Majda, A., Vorticity and mathematical theory of incompressible fluid flow. Comm. Pure Appl.
Math., 39 (1986), 187 - 220,
[5] Majda, A., Bertozzi, A., Vorticity and incompressible flow, Cambridge University Press, 2002, [6] Szafirski, B., Characteristic functionals and turbulent diffusion, Bull. Acad. Polon. Sci., Math.,
19 (1971), 785 - 789,
[7] Szafirski, B., Diffusion by turbulent movements. Bull. Acad. Polon. Sci., Math., 19 (1971), 791 - 797.
