UZUPEŁNIA ZDAJĄCY KOD PESEL P

(1)

Strona 1 z 25 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY

KOD PESEL

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY

DATA: MARZEC 2020 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA:9:00 CZAS PRACY:180 MINUT

LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA:50 Instrukcja dla zdającego

1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 26 stron (zadania 1 – 16). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.

2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym.

3. Odpowiedzi do zadań zamkniętych (1 – 4) przenieś na kartę odpowiedzi, zaznaczając je w części karty przeznaczonej dla zdającego. Zamaluj pola do tego przeznaczone. Błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe.

4. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego (6 – 16) może spowodować, że za to rozwiązanie nie otrzymasz pełnej liczby punktów.

5. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem.

6. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.

7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.

8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego.

9. Na tej stronie oraz na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i kod ucznia.

10. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora.

(2)

Strona 2 z 25 Zadanie 1. (0-1)

Ciąg

(𝒙

_𝒏

)

jest ciągiem arytmetycznym w którym

𝒙

_𝟑

= 𝟐

. Wartość wyrażenia:

𝒙

_𝟏

+ 𝒙

_𝟐

+ 𝒙

_𝟑

+ 𝒙

_𝟒

+ 𝒙

_𝟓 wynosi:

Zbiór wartości funkcji

𝐟(𝐱) = 𝒄𝒐𝒔

^𝟒

𝐱 + 𝐬𝐢𝐧

^𝟒

𝐱

gdzie

𝐱𝐑

^{to :}

A. 〈𝟎; 𝟐〉

Zadanie 3. (0-1)

B. 〈𝟎; √𝟐〉 C. 〈^𝟏

𝟐; 𝟏〉 D. 〈𝟎;^√𝟐

𝟐〉

Wielokąt foremny o kącie wewnętrznym

135

⁰ma:

A. 8 boków i 40 przekątnych.

B. 8 boków i 20 przekątnych.

C. 10 boków i 40 przekątnych.

D. 10 boków i 35 przekątnych.

Zadanie 4. (0-1)

W rombie o przekątnych długości 𝐝_𝟏i 𝐝_𝟐gdzie 𝐝_𝟏< 𝐝_𝟐 połączono kolejno środki jego boków tworząc nowy czworokąt. Które z poniższych zdań nie są prawdziwe:

1. Powstały czworokąt jest rombem.

2. Powstały czworokąt jest prostokątem.

3. Powstały czworokąt jest kwadratem.

4. Pole otrzymanego czworokąta wynosi: ^𝟏

𝟒𝐝_𝟏𝐝_𝟐.

A. 1 , 2 B. 1 , 3 C. 1 , 3 , 4 D. 2 , 3

Zadanie 5. (0-2)

Oblicz

: (𝐥𝐨𝐠

_𝟓

𝟐𝟎 ∙ 𝐥𝐨𝐠

^𝟐

𝟓 + 𝐥𝐨𝐠

^𝟐

𝟐): 𝐥𝐨𝐠

_𝟐

𝟐𝟓𝟔

Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku otrzymanego wyniku A. 32

Zadanie2. (0-1)

B. 10 C. 20 D. 24

(3)

Strona 3 z 25

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

(4)

Strona 4 z 25 Zadanie 6. (0-3)

Wiedząc, że

|𝐱 − 𝟏| ≤ 𝟑 i |𝐲 + 𝟑| ≤ 𝟓,

wyznacz największą i najmniejszą wartość iloczynu

𝒙 ∙ 𝒚

.

(5)

Strona 5 z 25 Zadanie 7. (0-3)

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

(6)

Strona 6 z 25

(7)

Strona 7 z 25 Zadanie 8. (0-3)

Dany jest okrąg

𝒌

_𝟏o równaniu

𝐱

^𝟐

+ 𝐲

^𝟐

+ 𝟔𝐱 + 𝟓 = 𝟎

oraz okrąg

𝒌

_𝟐 o równaniu

𝐱

^𝟐

+ 𝐲

^𝟐

− 𝟏𝟐𝐱 + 𝟖𝐲 + 𝟐𝟕 = 𝟎

. Wiadomo, że obrazem okręgu

𝒌

_𝟏 w jednokładności o ujemnej skali jest okrąg

𝒌

_{𝟐 .}Oblicz współrzędne środka tej jednokładności i jej skalę .

(8)

Strona 8 z 25

(9)

Strona 9 z 25 Zadanie 9. (0-4)

Dany jest funkcja:

𝒇(𝒙) = √𝒙

^𝟐

− 𝟔𝒙 + 𝟗 + |𝒙 − 𝟏| , 𝒙 ∈ 𝑹.

a)

Sporządź wykres funkcji

f

.

b)

Podaj rozwiązanie nierówność :

|𝒇(|𝒙|)| ≤ 𝟐.

(10)

Strona 10 z 25 Zadanie 10. (0-4)

Ośmiu chłopców i pięć dziewczynek ustawiamy w szereg w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia : Żadne dwie dziewczynki nie stoją obok siebie.

( Wynik końcowy podaj w postaci ułamka nieskracalnego)

(11)

Strona 11 z 25

(12)

Strona 12 z 25 Zadanie 11. (0-5)

Dane jest równanie :

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟖.

a) Wyznacz ilość wszystkich rozwiązań postaci (x , y , z) podanego równania wiedząc, że

𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑵

₊

.

b) Wyznacz ilość wszystkich rozwiązań postaci (x , y , z) podanego równania wiedząc, że

𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑵.

(13)

Strona 13 z 25

(14)

Strona 14 z 25 Zadanie 12. (0-4)

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu

𝐖(𝐱) = 𝟐𝟎𝟐𝟎𝒙

^{𝟐𝟎𝟏𝟗}

– 𝟐𝟎𝟏𝟖𝐱

^{𝟐𝟎𝟏𝟕}

– 𝟏

przez wielomian

𝐐(𝐱) = (𝐱 – 𝟏)(𝒙 + 𝟏)

.

(15)

Strona 15 z 25 Zadanie 13. (0-4)

Dla jakich wartości parametru

m

(m 𝜖𝑅) jeden z pierwiastków równania:

𝒙

^𝟐

+ 𝒎 = 𝟏𝟐𝒙

jest o

𝟐√𝟓

większy od drugiego?

(16)

Strona 16 z 25

(17)

Strona 17 z 25 Zadanie 14. (0-5)

Dany trójkąt równoramienny podzielono na dwie części odcinkiem, którego końce dzielą jedno ramię w stosunku

𝟑: 𝟐

, a drugie w stosunku

𝟐: 𝟑

. W wyniku podziału powstał czworokąt, w który można wpisać okrąg. Wiedząc, że podstawa trójkąta ma długość

𝟏𝟐

, oblicz długość ramienia tego trójkąta.

(18)

Strona 18 z 25

(19)

Strona 19 z 25 Zadanie 15. (0-4)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt

𝛂

taki, że

𝒕𝒈𝜶 = 𝟐

. Odległość środka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej jest równa

𝒎

. Oblicz objętość ostrosłupa.

(20)

Strona 20 z 25 Zadanie 16. (0-5)

(21)

Strona 21 z 25

Znajdź równanie prostych

k

oraz

l

stycznych do krzywej, będącej wykresem funkcji

𝐟(𝐱) = −𝐱

^𝟐

− 𝟗

przechodzących przez punkt

A( 4 , 0 ).

Oblicz pole trójkąta ABC gdzie

B , C

są punktami styczności prostych

k

i

l

do tego wykresu.

(22)

Strona 22 z 25

(23)

Strona 23 z 25

RUDNOPIS (nie podlega ocenie)

(24)

Strona 24 z 25

BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

(25)

Strona 25 z 25