0171 Jak rozróżnić układ inercjalny od układu nieinercjalnego?
Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela
Czy to nie ciekawe?
Czy kosmonauta w rakiecie jest w stanie określić (bez patrzenia na komputer sterujący), czy rakieta porusza się względem Ziemi ze stałą prędkością, czy przyspiesza bądź hamuje? A gdybyśmy zamknęli oczy i zasłonili uszy, czy bylibyśmy w stanie stwierdzić, czy samochód, którym jedziemy, właśnie hamuje dojeżdżając do skrzyżowania?
Opisane wyżej zjawiska mogą zachodzić w inercjalnych lub nieinercjalnych układach odniesienia.
Zapoznaj się z e‑materiałem, aby dowiedzieć się, jak można odróżnić od siebie takie układy.
Twoje cele
dowiesz się, jak za pomocą obserwacji odróżnić układ inercjalny od nieinercjalnego;
zastosujesz zdobytą wiedzę do przeprowadzenia prostych doświadczeń wskazujących na istnienie układów nieinercjalnych.
0171 Jak rozróżnić układ inercjalny od układu nieinercjalnego?
Przeczytaj
Warto przeczytać
Inercjalny układ odniesienia to taki, w którym wszystkie obiekty, na które nie działają żadne siły lub działające siły równoważą się, poruszają się ze stałą (w szczególności równą zero) prędkością. Z kolei nieinercjalny układ odniesienia to taki, którego prędkość względem dowolnego układu inercjalnego cały czas się zmienia. Innymi słowy: układ nieinercjalny porusza się względem inercjalnego
z przyspieszeniem. Przyspieszeniejest wielkością fizyczną opisującą zmianę prędkości danego ciała (rozumianej jako wektor – posiadający pewną wartość, kierunek i zwrot). Przykłady zjawisk, w których występuje przyspieszenieto:
hamowanie (Rys. 1a.) i rozpędzanie (Rys. 1.c),
zmiana kierunku ruchu, np. w ruchu po okręgu lub jego fragmencie (Rys. 1b.).
Rys. 1. We wszystkich fazach ruchu samochód jest nieinercjalnym układem odniesienia: 1a. zwalnia, zbliżając się do zakrętu; 1b.
utrzymuje prędkość stałą co do wartości, ale w zakręcie zmienia się jej kierunek; 1c. przyspiesza, oddalając się od zakrętu
Jak rozróżnić między dwoma rodzajami układów odniesienia?
Układy inercjalne i nieinercjalne bez problemu można rozróżnić, jeśli stoisz poza badanym układem i obserwujesz, co się z nim dzieje (Rys. 1.). Stojąc na chodniku i patrząc na przejeżdżające obok
samochody jesteś w stanie jednoznacznie określić, czy pojazdy poruszają się ze stałą prędkością, czy też hamują bądź przyspieszają. Rozpoznasz też zmianę kierunku jazdy. Co będzie jednak w sytuacji, gdy znajdujesz się wewnątrz układu, np. jako pasażer samochodu? Czy bez zerkania na prędkościomierz jesteś w stanie określić, czy Twój samochód jedzie ze stałą, czy zmienną prędkością? Czy rozpoznasz, bez zerkania za okno, czy Twój samochód skręca?
Na pierwszy rzut oka mogłoby wydawać się, że nie. Dla osoby przypiętej pasami wewnątrz samochodu jej prędkość względem chodnika jest cały czas taka sama, jak prędkość samochodu. Zatem niezależnie, czy pojazd jedzie ze stałą prędkością, hamuje przyspiesza czy skręca – pasażer jedzie, hamuje, przyspiesza, skręca razem z nim.
Jest jednak pewien efekt, który pozwala na rozróżnienie tych sytuacji. Zwróć uwagę, co dzieje się, gdy samochód przyspiesza – czujesz wtedy, że coś wgniata Cię w fotel. Podobnie, gdy samochód hamuje, odczuwasz popychanie do przodu i wyraźniejszy nacisk pasów. Odczucia te przypominają działanie siły.
Najbardziej drastyczną odmianą takiej sytuacji jest wypadek samochodowy, w którym pojazd uderza w przeszkodę, co prowadzi do jego gwałtownego zatrzymania. Wspomniana siła jest wtedy na tyle duża, że gdyby nie pasy bezpieczeństwa, wyrzuciłaby Cię z fotela. Z jeszcze inną odmianą tego zjawiska mamy do czynienia gdy pojazd skręca – wtedy mówimy, że podobna siła próbuje wyrzucić nas na zewnątrz zakrętu. Skręcanie jest również rodzajem przyspieszenia, gdyż wtedy zmienia się kierunek prędkości, nawet jeśli jej wartość pozostaje taka sama.
Siła bezwładności
Widzimy zatem, że jeśli znajdujemy się w układzie nieinercjalnym, czyli poruszającym się
z przyspieszeniem, to staje się to odczuwalne z powodu pewnej dodatkowej siły. Nazywa się ona siłą bezwładności. Pozwala ona odróżnić układ inercjalny od nieinercjalnego, gdyż występuje jedynie w układach poruszających się z przyspieszeniemwzględem układu inercjalnego. Nie występuje ona, jeśli układ jest inercjalny, niezależnie od prędkości, z jaką porusza się on względem innego układu
inercjalnego.
Rys. 2. Manekin podczas testów zderzeniowych uderza w poduszkę powietrzną samochodu. Jego przemieszczenie względem samochodu, będącego układem nieinercjalnym, nastąpiło wskutek działania siły bezwładności. [Źródło: Calspan Corpora on, Na onal Highway Traffic Administra on [Public domain], via Wikimedia Commons]
Dlatego znajdując się wewnątrz układu inercjalnego nie jesteśmy w stanie określić, czy porusza się on ze stałą prędkością, czy spoczywa. Przykład: jeśli dwa pociągi jadą jednocześnie po dwóch torach w tę samą stronę i z tą samą prędkością, a my siedzimy w jednym z nich, to patrząc przez okno na drugi pociąg będziemy mieć wrażenie, że jesteśmy w pociągu, który stoi w miejscu. Inny przykład: jeśli jadący ze stałą prędkością pociąg mija stojące przy torach słupy energetyczne, to - z naszej perspektywy - znajdujemy się w spoczynku, a słupy oddalają się od nas w przeciwną stronę. Z kolei jeśli pociąg stałby w miejscu, to z naszej perspektywy zarówno my, jak i słupy za oknem nie poruszają się. Widzimy więc, że w przypadku układu inercjalnego nie jesteśmy w stanie określić, czy znajdujemy się w ruchu czy w spoczynku, gdyż efekt naszej obserwacji jest w obydwu przypadkach dokładnie taki sam.
Zauważ, że napisaliśmy wyżej o „odczuciach przypominających działanie siły”. Tak jak gdyby nie była to zwykła siła będąca miarą oddziaływania. Tak jest w istocie. Na gwałtownie hamujący samochód, który jest układem nieinercjalnym, działa siła tarcia pochodząca od hamulców. Jednak na pasażera w kierunku ruchu nie działa żadna siła. Będzie się on zatem poruszał z prędkością, jaką miał samochód przed rozpoczęciem hamowania. W wyniku tego, w układzie odniesienia samochodu pasażer przyspiesza - porusza się ku przodowi i powoduje napięcie pasów albo uderza w przednią szybę. Ktoś obserwujący tę sytuację w zewnętrznym układzie inercjalnym mógłby powiedzieć: „to, co odczuwasz jako siłę
(bezwładności) w układzie nieinercjalnym, jest brakiem siły hamującej Ciebie w układzie inercjalnym”.
Warto podkreślić, że wszyscy mieszkańcy i wszystkie pozostałe obiekty znajdujące się na naszej planecie są w układzie nieinercjalnym, gdyż Ziemia wiruje wokół własnej osi (Rys. 3.). Mamy więc do czynienia z sytuacją, w której prędkość (w tym przypadku – głównie jej kierunek, nie wartość) danego obiektu na Ziemi cały czas się zmienia, musi więc istnieć odpowiednie przyspieszenie. Tak jest w istocie, choć nie odczuwamy na co dzień, w skali ludzkiej, siły bezwładności związanej z ruchem dobowym Ziemi.
Przyjmujemy zatem, w przybliżeniu, że Ziemia jest inercjalnym układem odniesienia.
Rys. 3. Ziemia wiruje wokół własnej osi, w związku z czym jej powierzchnia stanowi nieinercjalny układ odniesienia.
Stan nieważkości
Na koniec zasygnalizujmy, że nieco inna sytuacja występuje, gdy nieinercjalny układ odniesienia przyspiesza wyłącznie pod wpływem siły grawitacji. Pomyślmy o zamieszkanej przez kosmonautów Międzynarodowej Stacji Kosmicznej. Wspomnieliśmy, na przykładzie hamującego samochodu i pasażera, że siła bezwładności działająca na pasażera może być interpretowana jako brak działającej na niego siły hamującej. Rozumowanie to nie jest stosowalne, jeśli rozważymy kosmonautę znajdującego się wewnątrz stacji kosmicznej.
Pochodząca od Ziemi siła grawitacji działa zarówno na stację, jak i na kosmonautę. Mimo to na
kosmonautę siła bezwładności działa, powodując stan zwany nieważkością (siła bezwładności równoważy wtedy siłę grawitacji). Rozróżnienie układów inercjalnych i nieinercjalnych, gdy przyspieszeniewywołane jest tylko siłą grawitacyjną, to szczególne i bardzo ciekawe zagadnienie, które jest dokładniej omówione w e‑materiale „W jakich warunkach występuje stan nieważkości?” oraz dwóch innych, także
poświęconych stanowi nieważkości.
Słowniczek
Układ odniesienia
(ang.: reference frame) ciało, względem którego prowadzona jest obserwacja otaczającego świata i zjawisk.
Układ inercjalny
(ang.: inertial reference frame) układ odniesienia, w którym wszystkie ciała nieoddziałujące z innymi ciałami poruszają się ze stała prędkością (w szczególności równą zero). z j. łac. inertia - bezczynność.
Układ nieinercjalny
(ang.: non‑inertial reference frame) układ związany z ciałem, które porusza się ze zmienną prędkością (czyli posiadającym niezerowe przyspieszenie) względem inercjalnego układu odniesienia.
Przyspieszenie
(ang.: acceleration) wielkość wektorowa mówiąca o tym, jak zmienia się wektor (czyli długość, kierunek i zwrot) prędkości. Przyspieszenie dane jest wzorem a→= Δ v→ Δ t. Jednostką przyspieszenia jest m/s2.
Układ laboratoryjny
(ang.: laboratory reference frame; lab frame) każdy układ, z którego zachodzi obserwacja zjawisk w innych układach.z j. łac. labor -praca.
Film samouczek
Układ inercjalny i nieinercjalny
Obejrzyj film, w którym przedstawiono dwa różne opisy tego, co dzieje się z kierowcą przyspieszającego samochodu. Jeden opis jest charakterystyczny dla inercjalnego układu odniesienia, drugi dla układu nieinercjalnego. Zwroć uwagę na różnicę w tych opisach.
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Polecenie 1
Wyobraź sobie sytuację, w której przedstawiony na filmie samochód skręcałby w prawo, ale kierowca utrzymywałby stałą co do wartości prędkość. Na rysunku przedstawiającym widok „z góry”, wektor przyspieszenia samochodu byłby skierowany
(wskaż najbardziej trafne uzupełnienie)
w prawo.
w lewo.
do przodu.
do tyłu.
Żadne z powyższych - skoro wartość prędkości się nie zmienia, to w takim ruchu przyspieszenie nie występuje.
Na tym samym rysunku siła bezwładności działająca na kierowcę winna mieć zwrot
w lewo.
w prawo.
do tyłu.
do przodu.
Żadne z powyższych - skoro wartość prędkości się nie zmienia, to samochód stanowi układ inercjalny i siła bezwładności nie występuje.
Sprawdź się
Ćwiczenie 1
Wyobraź sobie, że jesteś obserwatorem, poruszającym się rowerem po prostej drodze ze stałą prędkością. Po przeciwnym pasie zbliża się do Ciebie samochód. Uzupełnij odpowiednio zdania.
Z początku samochód poruszał się ze stałą prędkością, układ z nim związany był układem
inercjalnym/nieinercjalnym. Gdy kierowca samochodu zauważył nadjeżdżający rower, zaczął hamować.
W swoim układzie odniesienia zaobserwujesz, że kierowca przemieścił się do przodu/przemieścił się do tyłu względem samochodu, dzięki czemu jesteś w stanie stwierdzić, że samochód zaczął poruszać się ze stałą prędkością/z przyspieszeniem. Wynika z tego, że układ odniesienia związany z kierowcą pozostał inercjalny/zmienił się na nieinercjalny.
Ćwiczenie 2
Wyobraź sobie, że jesteś obserwatorem, poruszającym się rowerem po prostej drodze ze stałą prędkością. Po przeciwnym pasie zbliża się do Ciebie samochód, który hamuje. Uzupełnij odpowiednio zdania.
Gdy hamujący kierowca jadący z naprzeciwka zorientował się, że może bezpiecznie Cię minąć, przestał hamować i dalej porusza się w Twoją stronę ze stałą, mniejszą prędkością. Układ odniesienia związany z kierowcą stał się w tym momencie {#inercjalny}/{nieinercjalny}, gdyż kierowca {#już nie przemieszcza się}/{nadal przemieszcza się} do przodu względem samochodu.
Ćwiczenie 3
Wyobraź sobie, że jesteś obserwatorem, poruszającym się rowerem po prostej drodze ze stałą prędkością. Po przeciwnym pasie zbliża się do Ciebie samochód. Tuż przed momentem mijania się Twojego roweru
i samochodu, jednocześnie wjeżdżacie w zakręt. W tej sytuacji, widzisz że:
Kierowca znajduje się w układzie nieinercjalnym i pod wpływem siły bezwładności zaczyna przemieszczać się (względem samochodu) do środka zakrętu.
Ty znajdujesz się w układzie inercjalnym, w związku z tym nie pojawia się żadna dodatkowa siła.
Obaj z kierowcą znajdujecie się w układach nieinercjalnych i pojawiające się siły wypychają Was na zewnątrz toru ruchu (względem Waszych pojazdów).
Ty znajdujesz się w układzie nieinercjalnym, a kierowca w inercjalnym, w związku z czym w Twoim układzie pojawia się siła spychająca Cię na zewnątrz zakrętu, a w układzie kierowcy nie dzieje się nic.
Ćwiczenie 4
Na krzesełku kręcącej się karuzeli siedzi dziewczynka trzymająca w ręce przekąskę, którą próbuje złapać biegnący obok pies. Pies również porusza się po okręgu. Uzupełnij zdania.
Pies w swoim układzie odniesienia pozostaje {w ruchu}/{#w spoczynku}. Aby biec, musi odpychać się łapami od ziemi. Oprócz siły oddziaływania z nawierzchnią i siły grawitacji, na psa (w jego układzie odniesienia) {#działają}/{nie działają} siły bezwładności. Jest to spowodowane tym, że układ związany z psem jest
układem {inercjalnym}/{#nieinercjalnym}. Wypadkowa siła działająca na psa, w jego układzie odniesienia, jest {#równa zero}/{różna od zera}.
Ćwiczenie 5
Z dalekich części Układu Słonecznego w okolice Słońca przylatuje kometa. W pobliżu gwiazdy siła grawitacji jest bardzo duża, co powoduje, że tor ruchu komety zakrzywia się i zaczyna ona poruszać się po łuku wokół Słońca. Po przebyciu pewnego fragmentu łuku kometa zaczyna ponownie oddalać się od gwiazdy. W dużej odległości od Słońca siła grawitacji, będąca jedyną siłą działającą na kometę, staje się zaniedbywalna i ruch komety staje się w przybliżeniu jednostajny prostoliniowy. Uzupełnij odpowiednio zdania.
Z dala od Słońca układ związany z kometą jest {#inercjalny}/{nieinercjalny}. Gdy zbliża się ona do gwiazdy i zaczyna poruszać się po łuku, układ z nią związany staje się układem {inercjalnym}/{#nieinercjalnym}, w którym {#występują}/{nie występują} dodatkowe oddziaływania. Zewnętrzny obserwator (np. astronom, który obserwuje tę sytuację przez teleskop) {widzi efekty}/{#nie widzi efektów} działania sił bezwładności.
Ćwiczenie 6
Wskaż prawidłowy ciąg przyczynowo-skutkowy.
układ inercjalny → brak dodatkowych sił
ruch ze stałą prędkością → obecność dodatkowych sił ruch ze zmienną prędkością → brak dodatkowych sił układ inercjalny → obecność dodatkowych sił Ćwiczenie 7
Wskaż wszystkie prawidłowe ciągi przyczynowo-skutkowe.
układ inercjalny → ruch ze stałą prędkością → brak dodatkowych sił ruch ze stałą prędkością → układ inercjalny → obecność dodatkowych sił układ nieinercjalny → ruch ze zmienną prędkością → obecność dodatkowych sił ruch ze zmienną prędkością → układ nieinercjalny → obecność dodatkowych sił
Ćwiczenie 8
Masz do dyspozycji długi sznurek oraz mały ciężarek o dużej masie, które możesz umieścić w samochodzie.
Zaproponuj doświadczenie, w którym zbadasz, czy układ związany z samochodem jest układem inercjalnym czy nieinercjalnym, bez pomocy prędkościomierza samochodu.
Swoje propozycje, opisy i oczekiwania wpisz w przygotowane miejsce i następnie porównaj z przykładową odpowiedzią.
a) Zapisz/narysuj, w jaki sposób umieścisz przedmioty w samochodzie i jak połączysz je ze sobą (jeśli zamierzasz to robić).
b) Opisz, jak wyznaczyć kierunek przyspieszenia (w układzie nieinercjalnym). Opisz spodziewany wynik doświadczenia dla danego kierunku przyspieszenia.
c) Wykonaj doświadczenie i porównaj swoje przypuszczenia z rzeczywistym wynikiem eksperymentalnym.
d) Podaj dodatkowo, czy istnieje sposób porównania różnych przyspieszeń samochodu (w przypadku układu nieinercjalnego).
Uzupełnij
Dla nauczyciela
Konspekt (scenariusz) lekcji
Imię i nazwisko autora: Przemysław Michalski
Przedmiot: Fizyka
Temat zajęć: Zapnij pasy, czyli jak poczuć przyspieszenie?
Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres podstawowy/rozszerzony
Podstawa programowa:
Cele kształcenia - wymagania ogólne
I. Wykorzystanie pojęć i wielkości fizycznych do opisu zjawisk oraz wskazywanie ich przykładów w otaczającej rzeczywistości.
Zakres podstawowy
Treści nauczania - wymagania szczegółowe I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:
15) wyodrębnia zjawisko z kontekstu, nazywa je oraz wskazuje czynniki istotne i nieistotne dla jego przebiegu;
II. Mechanika. Uczeń:
9) rozróżnia układy inercjalne i nieinercjalne; posługuje się pojęciem siły bezwładności;
Zakres rozszerzony
Treści nauczania - wymagania szczegółowe I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:
19) wyodrębnia zjawisko z kontekstu, nazywa je oraz wskazuje czynniki istotne i nieistotne dla jego przebiegu;
II. Mechanika. Uczeń:
18) rozróżnia układy inercjalne i nieinercjalne; omawia różnice między opisem ruchu ciał w układach inercjalnych i nieinercjalnych;
posługuje się pojęciem siły bezwładności;
Kształtowane kompetencje kluczowe:
kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji, kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,
kompetencje cyfrowe,
kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.
Cele operacyjne:
Uczeń:
1. stosuje definicje układu inercjalnego i nieinercjalnego w różnych sytuacjach,
2. odróżnia układ inercjalny od nieinercjalnego w konkretnych sytuacjach i przykładach,
3. wykonuje eksperyment pozwalający określić typ układu odniesienia, w którym się znajduje.
Strategie nauczania: IBSE Metody nauczania: - dyskusja,
- eksperyment.
Formy zajęć: - praca zespołowa,
- wykorzystanie multimedium bazowego.
Środki dydaktyczne:
- komputer, - projektor,
- niezbędna jest sala sporej wielkości oraz krzesła obrotowe,
Środki dydaktyczne: - niezbędna jest sala sporej wielkości oraz krzesła obrotowe, - przepaski na oczy,
- zatyczki do uszu.
Materiały pomocnicze: Nagranie z jazdy w tzw. diabelskiej pętli.
PRZEBIEG LEKCJI Faza wprowadzająca:
Nauczyciel prezentuje nagranie z „diabelskiej pętli” w wesołym miasteczku. Prosi przy tym uczniów o zwrócenie uwagi na specyficzne zachowania pasażerów. Czy uczniowie zauważają podobieństwa do zachowań ludzi w samochodzie, na rowerze? W jakich sytuacjach?
Nauczyciel prosi uczniów o przypomnienie definicji przyspieszenia, układu inercjalnego,
nieinercjalnego (na zasadzie podania jej przez uczniów w dyskusji). Jeśli uczniowie nie znają całości definicji, nauczyciel zachęca ich, by samodzielnie spróbowali sformułować chociażby ich fragmenty;
prosi innych uczniów by pomogli w pełnym sformułowaniu; podsuwa wskazówki, jeśli uczniowie idą w kierunku błędnej definicji, chwali za poprawne fragmenty.
Faza realizacyjna:
1. Eksperyment: nauczyciel wybiera chętnego ucznia, który siada na krześle obrotowym, zasłania oczy opaską i zatyka uszy. Drugi ochotnik pcha krzesło, następnie je obraca. Zadaniem ucznia na krześle jest zasygnalizowanie (np. przez wyciągnięcie ręki) kiedy, jego zdaniem, układ w którym się znajduje staje się nieinercjalny, co ma miejsce, gdy krzesło zaczyna być przyspieszane, hamowane lub obracane. Po zakończonym doświadczeniu, osoba siedząca na krześle musi określić, na podstawie własnych doznań, jaki był kierunek i zwrot przyspieszenia. W innym wariancie tego doświadczenia potrzebujemy dwóch krzeseł obrotowych i dwóch osób na nich siedzących. Obserwują się one wzajemnie. Jedna osoba na krześle powinna znajdować się stale w układzie inercjalnym – czyli krzesło nie powinno być przesuwane ani obracane, a druga osoba winna znajdować się w układzie
nieinercjalnym. Osoba w układzie nieinercjalnym czuje działanie dodatkowych sił związanych z bezwładnością. Osoba w układzie inercjalnym widzi, że druga osoba została „wytrącona
z równowagi” i na tej podstawie jest w stanie określić, że znalazła się ona w nieinercjalnym układzie odniesienia. Względny ruch krzeseł powinien zachodzić wzdłuż linii je łączącej, tak, by nie było bezpośrednio dobrze widoczne, czy prędkość któregoś krzesła się zmienia.
2. Nauczyciel prosi uczniów o skomentowanie wyników eksperymentu. Nauczyciel rozpoczyna dyskusję z uczniami - czy jesteśmy, na podstawie tego, co zobaczyliśmy, w stanie określić, czy znajdujemy się w układzie inercjalnym czy nie, lub czy jesteśmy w stanie określić, czy układ który obserwujemy jest inercjalny, czy nie?
3. Nauczyciel prosi uczniów o podanie odniesień do codziennego życia – czy uczniowie mogą wymienić/zapisać sytuacje, w których są w stanie określić, czy znajdują się w układzie inercjalnym, czy nie?
4. Nauczyciel odtwarza bazowe multimedium i dodaje stosowny komentarz.
Faza podsumowująca:
1. Uczniowie podają warunki, jakie muszą być spełnione, by dany układ był inercjalny/nieinercjalny.
2. Uczniowie podają, jak odróżnia się jedne układy od drugich.
3. Nauczyciel nawiązuje do tematu zajęć - skąd bierze się „wciskanie w oparcie krzesła” lub „spadanie z niego” podczas ruchu krzesła w układzie nieinercjalnym? Jak ma się to do tematu zajęć (zapnij pasy...).
4. Nauczyciel prosi uczniów, by wspólnie poszukali sytuacji, w których widoczne są dodatkowe siły w układzie nieinercjalnym.
5. Uczniowie zadają pytania, by wyjaśniać ewentualne wątpliwości.
Praca domowa:
Uczniowie rozwiązują zadania z zestawu ćwiczeń. Pozwala to sprawdzić stopień osiągnięcia poszczególnych celów lekcji.
Wskazówki metodyczne
opisujące różne zastosowania danego multimedium
Film można wykorzystać we wstępnym etapie lekcji, jako wprowadzenie do zagadnienia.
Przetwarzam wzory matematyczne: 0%
