Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne

9. Proces Poissona — zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 9.1 (P., Ex. 3.2 p. 33) Klienci pojawiają się w banku zgodnie z rozkładem Poissona z czę- stotliwością 2 na minutę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w każdym z dwóch rozłącznych 2-minutowych odcinków czasu liczba klientów jest

1. dokładnie równa 3, 2. równa 3 lub mniejsza, 3. równa 3 lub większa?

Zad. 9.2 (P., Ex. 3.3 p. 33) Przy założeniach poprzedniego zadania znajdź:

1. średnią liczbę klientów jaka pojawi się w banku w ciągu 5 minut, 2. wariancję liczby klientów jaka pojawi się w banku w ciągu 5 minut,

3. prawdopodobieństwo, że w ciągu 5 minut w banku pojawi się co najmniej 1 klient.

Zad. 9.3 (P., Ex. 3.5 p. 33) Jakie jest prawdopodobieństwo, że partia złożona z 4 sztuk pew- nego towaru będzie zalegać w magazynie więcej niż 1 dzień, jeśli sprzedaż tego towaru jest opisywana przez proces Poissona

1. ze średnią 4 sztuk dziennie,

2. ze średnią dzienną sprzedażą będącą zmienną losową przyjmującą wartości 3, 4, 5 z prawdopodobieństwami odpowiednio 0, 25, 0, 5, 0, 25.

Zad. 9.4 (S., Ex. 3.9 p. 34) Rozważamy liczbę samobójstw w mieście, w którym zdarzenia ta- kie odnotowuje się z częstotliwością 2 na tydzień (zakładamy, że liczba samobójstw jest opisywana przez proces Poissona).

1. Znajdź prawdopodobieństwo odnotowania w ciągu tygodnia co najmniej 6 samobójstw.

2. Jaka jest oczekiwana liczba tygodni w roku, w których zostanie odnotowanych co naj- mniej 6 samobójstw?

3. Czy jest zaskakującą informacja, że w ciągu roku były co najmniej 2 tygodnie, w których odnotowano co najmniej 6 samobójstw?

Zad. 9.5 (P. P., Zad. 2 str. 373) Proces Poissona (N_t, t ­ 0) i zmienna losowa Y o rozkładzie P (Y = 0) = P (Y = 1) = ¹₂ są niezależne. Zbadaj, czy proces (N_t+ Y, t ­ 0) jest

1. procesem o przyrostach niezależnych, 2. procesem Markowa.

Zad. 9.6 (P. P. Zad. 3 str. 373) Niech N = (Nt, t ­ 0) będzie procesem Poissona. Zbadaj, czy proces Y = (N_t³+ 1, t ­ 0) jest procesem Markowa.

Zad. 9.7 (S., Ex. 17b-c p. 368 i Ex. 8.22(2)b-c p. 389) Wykaż, że jeśli N = (N_t, t ­ 0) jest procesem Poissona z parametrem λ, to

1. V_t= (Nt− λt)²− λt,

2. Wt= exp(−θNt+ λt(1 − e^−θ)), θ ∈ R

z filtracją F_t = σ(N_s, 0 ¬ s ¬ t) są martyngałami. Niech T = min{t; N_t= a}. Korzystając z twierdzenia Dooba, wykaż, że

a) Var T = _λ^a2, b) Ee^−θT =^_λ+θ^{λ a}.

Zad. 9.8 (L., Ex. 3.2 p. 69) X_t i Yt są dwoma niezależnymi procesami Poissona z parametrami odpowiednio λ₁ i λ₂ mierzącymi liczbę klientów przybywających do dwóch sklepów.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że klient przybędzie do sklepu I zanim ktokolwiek po- jawi się w sklepie II?

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w czasie pierwszej godziny całkowita liczba klientów obu sklepów będzie równa 4?

3. Wiedząc, że dokładnie 4 klientów pojawiło się w obu sklepach łącznie, oblicz prawdo- podobieństwo, że wszyscy czterej byli w sklepie I.

4. Niech T oznacza czas przybycia pierwszego klienta do sklepu II, a X_T liczbę klientów, jaka znajduje się w tym momencie w sklepie I. Znajdź rozkład zmiennej X_T.