Zestaw zadań dotyczących relacji
1. Dla podanych poniżej relacji określ, które właściwości (Z, PZ, NZ, S, PS, AS, P, Sp) te relacje spełniają:
a) realacja ojcowstwa w zbiorze ludzi (𝑥 ~!" 𝑦, wtw gdy 𝑥 jest ojcem 𝑦);
b) relacja lubienia kogoś w zbiorze ludzi;
c) relacja pokrewieństwa w zbiorze ludzi;
d) w zbiorze ludzi 𝑥 ~!" 𝑦, wtw gdy 𝑥 jest zakochany w 𝑦;
e) w zbiorze ludzi 𝑥 ~!" 𝑦, wtw gdy 𝑥 ma taki sam wzrost jak 𝑦;
f) w zbiorze ludzi 𝑥 ~!"# 𝑦, wtw gdy 𝑥 i 𝑦 mają tą samą matkę;
g) dla dowolnych dwóch pracowników firmy 𝑥 ~!"# 𝑦, wtw gdy 𝑥 ma co najmniej taki sam staż pracy jak pracownik 𝑦;
h) dla dowolnych dwóch pracowników firmy 𝑥 ~!"! 𝑦, wtw gdy 𝑥 ma większy staż pracy jak pracownik 𝑦;
i) dla dowolnych dwóch pracowników firmy 𝑥 ~!"# 𝑦, wtw gdy 𝑥 ma taki sam staż pracy jak pracownik 𝑦;
j) w zbiorze słów występujących jako hasła w „Słowniku języka polskiego”
𝑥 ~!"#! 𝑦, wtw gdy słowo 𝑥 ma tyle samo liter, co słowo 𝑦.
k) w zbiorze słów występujących jako hasła w „Słowniku języka polskiego”
𝑥 ~!"#$ 𝑦, wtw gdy słowo 𝑥 zaczyna się na tę samą literę, co słowo 𝑦.
2. Dla podanych poniżej relacji w zbiorze 𝑆 = 0,1,2,3 określ, które właściwości ta relacja spełnia:
a) (𝑚, 𝑛) ∈ 𝑅!, jeżeli 𝑚 + 𝑛 = 3;
b) (𝑚, 𝑛) ∈ 𝑅!, jeżeli 𝑚 − 𝑛 jest liczbą nieparzystą;
c) (𝑚, 𝑛) ∈ 𝑅!, jeżeli 𝑚 ∗ 𝑛 ≤ 4.
3. Określ właściwości niżej podanych relacji:
a) w zbiorze liczb rzeczywistych 𝑥 ~! 𝑦, wtw gdy 𝑥 > 𝑦;
b) w zbiorze liczb rzeczywistych 𝑥 ~! 𝑦, wtw gdy 𝑥 ≥ 𝑦;
c) w zbiorze liczb rzeczywistych 𝑥 ~≪! 𝑦, wtw gdy 𝑥 ≤ 𝑦!; d) w zbiorze liczb naturalnych 𝑥 ~≪! 𝑦, wtw gdy 𝑥 ≤ 𝑦!;
e) w zbiorze liczb całkowitych 𝑥 ~!"# 𝑦, wtw gdy 𝑥 − 𝑦 = 2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ; (różnica jest liczbą parzystą);
f) w zbiorze liczb całkowitych: 𝑥 ~!"#$ 𝑦, wtw gdy 𝑥 − 𝑦 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ ℤ;
g) w zbiorze liczb całkowitych ℤ: 𝑥 ~! | 𝑦, wtw gdy 5 | (𝑥 − 𝑦); (5 dzieli (x-y));
h) w zbiorze liczb całkowitych ℤ: 𝑥 ~! | ! 𝑦, wtw gdy 2 | (𝑥 − 𝑦);
i) w zbiorze liczb całkowitych ℤ: 𝑥 ~! | !" 𝑦, wtw gdy 2 | (𝑥!− 𝑦!);
j) w zbiorze liczb całkowitych ℤ: 𝑥 ~!"#$% 𝑦, wtw gdy 𝑥 | 𝑦;
k) w zbiorze liczb całkowitych ℤ: 𝑥 ~!"# 𝑦, wtw gdy 𝑥 − 𝑦 ≤ 1;
l) w zbiorze ℕ 𝑥 ℕ (𝑘, 𝑙) ~!"# (𝑚, 𝑛), wtw gdy 𝑘 + 𝑚 = 𝑙 + 𝑛;
m) w zbiorze ℕ 𝑥 ℕ (𝑘, 𝑙) ~!"#$ (𝑚, 𝑛), wtw gdy 𝑘 + 𝑙 = 𝑚 + 𝑛;
n) w zbiorze ℕ 𝑥 ℕ (𝑘, 𝑙) ~!"#2 (𝑚, 𝑛), wtw gdy 𝑘 + 𝑛 = 𝑙 + 𝑚;
o) w zbiorze potęgowym zbioru 𝐾 ≠ ∅ (zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru 𝐾) 𝐴 ~⊆𝐵, wtw gdy 𝐴 ⊆ 𝐵;
p) w zbiorze lini na płaszczyźnie (𝑅!) 𝑙 ~||𝑘, wtw gdy 𝑙 || 𝑘;
q) w zbiorze lini na płaszczyźnie (𝑅!) 𝑙 ~!𝑘, wtw gdy 𝑙 ⊥ 𝑘.
4. Które realacje podane z zadaniu 1 i 3 są relacjami porządku, liniowego porządku?
5. Które realacje podane z zadaniu 1 i 3 są relacjami równoważnościowymi? Dla relacji równoważnościowych podaj klasy abstrakcji.
6. Wykaż, że poniższe relacje są relacjami równoważnościowymi. Wyznacz klasy abstrakcji:
a) 𝑅 ⊂ ℝ!, 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥! = 𝑦!; b) 𝑅 ⊂ ℝ!, 𝑥𝑅𝑦 ⇔𝑥 − 𝑦 𝜖 ℚ;
c) 𝑅 ⊂ ℝ!, 𝑥𝑅𝑦 ⇔𝑥 = 𝑦;
d) 𝑅 ⊂ ℤ!,𝑎𝑅𝑏 ⇔ 7|(𝑎!−𝑏!);
