Miara i caªka Lebesgue'a cz. 4: caªkowanie

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna II; MAT. S-II⁰. 3 listopada 2015

Miara i caªka Lebesgue'a cz. 4: caªkowanie

Zadania

1. Wyznacz je±li istniej¡ caªki Lebesgue'a:

a) R¹

0

∞

P

n=1 1 n^{2 3}√

x−1dx wskazówka: P^∞

n=1 1

n² = ^π₆², b) ^+∞R

0

∞

P

n=1 (−1)ⁿ

2ⁿ e^−2nxdx

2. Wyka», »e istniej¡ i oblicz podane caªki a) R^π

0

π

R2

0

sin(x + y)dxdy, b) R¹

0 2

R

0

x · sgn (x + y − 1)dxdy, c) R¹

0 1

R

0 x−y

x²+y²dxdy, d) RR

A

cos(x + y)dxdy, gdzie A jest obszarem ograniczonym prostymi y = 0, y = x, x + y =

π 2, e) RRR

A

(xy² + z)dxdydz, gdzie A = {(x, y, z) ∈ R³; 0 ≤ x ≤ 1, |y| ≤ x.|z| ≤ x}

3. Wyka», »e podane caªki w sensie Lebesque'a nie istniej¡:

a) R¹

0 1

R

0 1 x−ydxdy b ^+∞R

1 +∞

R

1

x−y

(x²+y²)²dxdy (a caªki iterowane istniej¡!!!) c) R¹

0 1

R

0 xy

(x²+y²)²dxdy (wykona¢ po zadaniu 4)

4. Wprowadzaj¡c odpowiednie wspóªrz¦dne obliczy¢ caªki po wskazanych obszarach a) RRR

A

(x²+ y²+ z²)dxdydz gdzie A = {(x, y, z) ∈ R³; x²+ y² ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 1}

b) RR

A

f (x, y)dxdy gdzie A = {(x, y) ∈ R²; (x − 2)²+ (x + 1)² < 1} oraz f (x, y) =

(lnp(x − 2)²+ (x + 1)² dla (x, y) 6= (2, −1)

0 dla (x, y) = (2, −1),

c) RRR

A

ze^−9x2+4y22 dxdydz gdzie A = {(x, y, z) ∈ R³; ^x₄² + ^y₉² ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 2}, d) RRR

A

zdxdydz gdzie A = {(x, y, z) ∈ R³; x²+ y²+ z² < 1, px²+ y² < z, z > 0},

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna II; MAT. S-II⁰. 3 listopada 2015

5. Dokonuj¡c odpowiednie podstawienie wyznacz caªki Lebesgue'a a) RR

A

(x + y)dxdy gdzie A = {(x, y) ∈ R²; 0 ≤ x ≤ y ≤ 2x, x + y ≤ 1};

b) RR

A y²

x⁴y⁴+1dxdy gdzie A = {(x, y) ∈ R²; 0 < y < x};

6. Oblicz (granice ci¡gów funkcyjnych) a) lim

n→∞

RR

An sin^x_ndxdy, gdzie A jest trójk¡tem o wierzchoªkach (0, 0), (0, 1), (1, 2), b) lim

n→∞

RR

A

pxn ²+ y²· χ_(0,∞)(x · y) + (1 − x²− y²) · χ_(−∞,0)(x · y)dxdy, gdzie A = {(x, y) ∈ R²; x² + y² ≤ 1}.

Informacje pomocnicze

Twierdzenie 1. (caªkowanie szeregów nieujemnych wyraz za wyrazem)

Je»eli (fn) jest ci¡giem nieujemnych funkcji mierzalnych okre±lonych na zbiorze A, to Z

A

∞

X

n=1

f_ndl =

∞

X

n=1

Z

A

f_ndl.

Twierdzenie 2. (o caªkowaniu szeregów)

Niech (fn) b¦dzie ci¡giem funkcji caªkowalnych na zbiorze mierzalnym A. Je»eli P^∞

n=1

R

A

|f_n|dl < ∞, to funkcja P^∞

n=1

fn jest caªkowalna oraz

Z

A

∞

X

n=1

f_ndl =

∞

X

n=1

Z

A

f_ndl.

Twierdzenie 3. (Fubiniego)

Niech (X, F1, µ) oraz (Y, F2, ν) b¦d¡ przestrzeniami z miarami σ−sko«czonymi oraz f : X × Y → R jest funkcj¡ mierzaln¡ wzgl¦dem F1× F2 oraz f ∈ L1(X × Y ). Wówczas: funkcje:

f_y(x) = Z

Y

f (x, y)dν(y), f_x(y) = Z

X

f (x, y)dµ(x) (1)

s¡ okre±lona prawie wsz¦dzie, nale»¡ odpowiednio do L1(X, F₁, µ), L₁(Y, F₂, ν)oraz zachodz¡ równo-

±ci:

Z

X×Y

f (x, y)d(µ × ν)(x, y) = Z

X



 Z

Y

f (x, y)dν(y)



dµ(x) = Z

Y



 Z

X

f (x, y)dµ(x)



dν(y). (2) Twierdzenie 4. (Tonellego)

Je»eli funkcja f : X × Y → R jest mierzalna i nieujemna to funkcje fy, f_x okre±lone wzorem (1) s¡ mierzalne i zachodz¡ równo±ci (2).

2

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna II; MAT. S-II⁰. 3 listopada 2015

Twierdzenie 5. (caªkowanie przez podstawienie)

Niech T : U → V b¦dzie dyfeomorzmem (odwzorowanie ró»nowarto±ciowe, nieosobliwe klasy C¹, takie, »e T⁻¹ jest ci¡gªe), gdzie U, V ⊂ Rⁿ, U −zbiór otwarty. Ponadto, niech b¦dzie dana funkcja f okre±lona na zbiorze T(U).Wówczas:

a) funkcja f jest caªkowalna na zbiorze T (U) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f(T (t))J (T ), b) je»eli funkcja f jest mierzalna i nieujemna lub caªkowalna na T (U), to zachodzi tzw. wzór na

caªkowanie przez podstawienie:

Z

T (U )=V

f (x)dx = Z

U

f T (t)


J (T (t))

dt (w sensie Lebegue'a),

gdzie J (T ) oznacza jakobian przeksztaªcenia T.

3