Rachunek Prawdopodobieństwa Wykład 2 Miara i przestrzeń probabilistyczna

(1)

Rachunek Prawdopodobieństwa Wykład 2

Miara i przestrzeń probabilistyczna

Na dzisiejszym wykładzie poznamy poj¸ecie miary i przestrzeni probabilistycznej.

Załóżmy, że mamy do czynienia z pewnym zjawiskiem losowym (doświadczeniem lo- sowym). Każdy z możliwych wyników tego zjawiska jest zdarzeniem elementarnym . Zdarzenia elementarne b¸edziemy oznaczać zwykle liter¸ a ω. Zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych do ´ wiadczenia losowego b¸edziemy oznaczać przez Ω.

Na przykład doświadczenie polega na na badaniu czasu pracy komputera do jego pierw- szej awarii (tzw. badanie niezawodnościowe).

Możemy przyj¸ ać, że zdarzenia elementarne w tym doświadczeniu s¸ a określone nast¸epuj¸ aco:

ω = {czas pracy do pierwszej awarii wynosi t, t ≥ 0}

Wówczas

Ω = {ω : t ≥ 0}

Zastanówmy si¸e, czy z punktu widzenia zastosowań badań niezawodnościowych wyżej podany zbiór Ω jest wystarczaj¸ acy? Odpowiedź nie.

Może nas na przykład interesować czas bezawaryjnej pracy komputera w czasie t > t ₀ (t ₀ ≥ 0 ), czyli zdarzenie :

S = {ω ∈ Ω : t > t ₀ }

a także zdarzenia

T = {ω ∈ Ω : t ≤ t ₁ }

U = {ω ∈ Ω : t ₀ < t ≤ t ₁ }

W = {ω ∈ Ω : t ≤ t ₀ ∨ t > t ₁ }

Powyższe zbiory powinny również być zdarzeniami.

(2)

Dla dowolnych chwil 0 ≤ t ₀ ≤ t ₁ mamy T = Ω − S,

U = S ∩ T ,

W = (Ω\S) ∪ (Ω\T ),

Wynika st¸ ad, że z punktu widzenia zastosowań teorii prawdopodobieństwa, dopełnienia, iloczyny i sumy dowolnych dwóch zdarzeń powinny być zdarzeniami. Jak si¸e przekonamy:

iloczyny sumy skończonej, nieskończonej i przeliczalnej ilości zdarzeń powinny być zda- rzeniami.

Klasa zdarzeń, któr¸ a oznaczymy liter¸ a F powinna wi¸ec spełniać nast¸epuj¸ ace warunki:

W1. F 6= ∅;

W2. J eli A ∈ F, to A

⁰

∈ F ; W3. J eli A _i ∈ F to S ∞

i=1 A _i ∈ F

Mówimy, że klasa zdarzeń powinna wi¸ec być σ - ciałem podzbiorów zbioru Ω.

Z podanych warunków wynika, że Ω = A ∪ A

⁰

∈ F ;

jeśli Ω ∈ F , wobec tego ∅ = Ω

⁰

∈ F .

Zdarzenie Ω zachodzi zawsze i nazywa si¸e zdarzeniem pewnym, natomiast ∅ nazywamy zdarzeniem niemożliwym.

Jesteśmy teraz gotowi do zaj¸ecia minimalnymi rozs¸ adnymi wymaganiami, dotycz¸ acymi prawdopodobieństwa zwanego także miar¸ a probabilistyczn¸ a.

Ponieważ prawdopodobieństwo( miara probabilistyczna) ma służyć do oceny szans zaj- ścia rozmaitych zdarzeń, powinno si¸e zachowywać podobnie do cz¸estości wyst¸epowania zdarzenia przy powtarzaniu doświadczenia. Dlatego miar¸ a probabilistyczn¸ a b¸edziemy nazywać dowoln¸ a funkcj¸e P , określon¸ a na σ - ciele zdarzeń F ⊂ 2 ^Ω , o wartościach nie- ujemnych spełniaj¸ ac¸ a nast¸epuj¸ ace warunki( aksjomaty):

A1: P : F → R + ; A2: P(Ω) = 1;

A3: Jeśli A _i ∈ F , i = 1, 2, . . . oraz A _i ∩ A _j = ∅ dla i 6= j, to P ( S ∞

i=1 A _i ) = P ∞

i=1 P(A _i ).

Warunek (A1) stwierdza, że prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jest nieujemne, tak¸ a własność ma również cz¸estość. Warunek A2 wzi¸ ał si¸e st¸ ad, że cz¸estość zdarzenia pewnego wynosi 1. Warunek A3 oznacza, że dla zdarzeń wykluczaj¸ acych si¸ e , czemu odpowia- daj¸ a zbiory rozł¸ aczne, prawdopodobieństwo sumy równa si¸e sumie prawdopodobieństw.

Cz¸estość spełnia ten warunek. Nazywamy go przeliczaln¸ a addytywności¸ a prawdopodo-

(3)

bieństwa (miary probabilistycznej).

Powyższe warunki zostały sformułowane po raz pierwszy przez matematyka radzieckiego Andrieja , Nikołajewicza Kołmogorowa w roku 1933- jako aksjomaty teorii prawdopodo- bieństwa.

Załóżmy, że dana jest pewna miara probabilistyczna P określona na σ - ciele F oraz, że A, B ∈ F s¸ a dowolnymi zdarzeniami. Poniższe twierdzenia zawieraj¸ a podstawowe własności miary probabilistycznej.

Twierdzenie 1

Jeśli zdarzenia A ₁ , A ₂ , . . . ,A _n ∈ F wykluczaj¸ a si¸ e parami, to

P

n

[

i=1

A _i

!

=

n

X

i=1

P(A _i )

Dowód. Twierdzenie to wynika z przeliczalnej addytywności.

Wystarczy przyj¸ ać V

k>n A _k = Ø.

Twierdzenie 2

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero.

Dowód

Zauważmy, że zdarzenia Ω i Ø wykluczaj¸ a si¸e . Zatem na mocy twierdzenia 1 mamy P(Ω ∪ Ø) = P(Ω) + P(Ø)

Ale Ω ∪ Ø = Ω oraz na mocy aksjomatu (A2) P(Ω) = 1. Wobec tego mamy P(Ω) = P(Ω) + P(Ø) ⇒ 1 = 1 + P(Ø) ⇒ P (Ø) = 0

Twierdzenie 3

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego spełnia równość

P(A) = 1 − P(A)

(4)

Dowód

Zauważmy, że zdarzenia A i A s¸ a rozł¸ aczne oraz A ∪ A = Ω. Wykorzystuj¸ ac twier- dzenie 2 otrzymujemy

1 = P(Ω) + P(A) + P(A).

Twierdzenie 4

Jeśli A ⊂ B , to P(A) ≤ P(B)

Dowód

Jeśli A ⊂ B to zdarzenie B można przedstawić w postaci sumy zdarzeń rozł¸ acznych B = A ∪ (B\A). Korzystaj¸ ac z twierdzenia 1 otrzymujemy

P(B) = P(A) + P(B\A) Ponieważ z definicji P(B\A) ≥ 0

Twierdzenie 5 V

A∈F 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Dowód

Fakt, że P(A) ≥ 0 wynika z samej definicji miary probabilistycznej.

Fakt, że P(A) ≤ 1 wynika z twierdzenia 4, bo dla A ⊂ Ω, P(A) ≤ P(Ω) = 1.

Twierdzenie 6

Prawdopodobieństwo różnicy dwóch dowolnych zdarzeń wyraża si¸ e wzorem

P(B\A) = P(B) − P(A ∩ B).

Dowód

Dla dowolnych dwóch zdarzeń mamy B = (B\A)∪(A∩B), przy czym B\A)∩(A∩B) = Ø.

Zatem na mocy twierdzenia 1 otrzymujemy

P(B) = P(B\A) + P(A ∩ B)

(5)

Twierdzenie 7

Jeśli A ⊂ B, to P(B\A) = P(B) − P(A)

Dowód

Twierdzenie to wynika z równości w twierdzeniu 4 lub z twierdzenia 6, bo w tym przy- padku, jeśli A ⊂ B, to A ∩ B = A

Twierdzenie 8

Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń A i B wyraża si¸ e wzorem

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Dowód

Sum¸e zdarzeń A i B możemy zapisać jako sum¸e trzech zdarzeń wykluczaj¸ acych si¸e A ∪ B = [(A\(A ∩ B)] ∪ (A ∩ B) ∪ [(B\(A ∩ B)]

Zatem na mocy twierdzenia 1 otrzymujemy

P(A ∪ B) = P(A\(A ∩ B) + P(A ∩ B) + P(B\(A ∩ B)) Ponadto A ∩ B ⊂ A i A ∩ B ⊂ B. Wi¸ec na mocy twierdzenia 7 mamy

P(A ∪ B) = P(A) − P(A ∩ B) + P(A ∩ B) + P(B) − P(A ∩ B)

Twierdzenie 9

Niech A ₁ , A ₂ , . . . , A _n ∈ F b¸ed¸ a dowolnymi zdarzeniami, wtedy

P

n

[

i=1

A _i

!

=

n

X

i=1

P (A _i )− X

1≤i<j≤n

P(A _i ∩A _j )+ X

1≤i<j<k≤n

P(A _i ∩A _j ∩A _k )+· · ·+(−1) ⁿ⁺¹ P(A ₁ ∩A ₂ ∩· · ·∩A _n ).

Dowód

Wprowadzaj¸ ac zbiory wskaźników sumowania I _n = {1, 2, . . . , n} oraz I ⊂ I _n wzór po- wyższy zwany wzorem ( zasad¸ a) wł¸ aczeń i wył¸ aczeń lub wzorem Poincare.

(Henry Jules Poincare(1854-1912)- matematyk, fizyk francuski, od 1886 roku profesor

Sorbony w Paryżu), możemy przepisać w postaci:

(6)

P

n

[

i=1

A _i

!

= X

Ø6=I⊂I

n

(−1) ^|I|+1 P \

i∈I

A _i

!

Udowodnimy twierdzenie metod¸ a indukcji zupełnej.

Dla n = 1 wzór jest prawdziwy. Przypuśćmy że jest prawdziwy dla pewnego n = k, wykażemy jego prawdziwość dla n = k + 1

Mamy

P



 [

i∈I

_k+1

A _i



 = P

[

i∈I

_k

A _i

!

∪ A _k+1

!

= P( [

i∈I

_k

A _i

!

+P(A _k+1 )−P

[

i∈I

_k

A _i

!

∩ A _k+1

!

=

= X

Ø6=I⊂I

_k

(−1) ^|I|+1 P \

i∈I

A i

!

+P (A k+1 )−P [

i∈I

k

(A i ∩ A k+1 )

!

= X

Ø6=I⊂I

_k

(−1) ^|I|+1 P \

i∈I

A i

!

+P (A k+1 )+

− X

Ø6=I⊂I

k

(−1) ^|I|+1 P \

i∈I

(A _i ∩ A _k+1

!

= X

Ø6=I⊂I

k+1

(−1) ^|I|+1 P \

i∈I

A _i

!

To oznacza, że wzór jest prawdziwy dla n = k + 1

Przestrzeń probabilistyczna

Z definicji miary probabilistycznej wynika, że matematyczny model doświadczenia lo- sowego to trójka (Ω, F, P), gdzie P jest miar¸ a probabilistyczn¸ a określon¸ a na σ-ciele F podzbiorów zbioru Ω. Trójk¸e t¸e nazywać b¸edziemy przestrzeni¸ a probabilistyczn¸ a .

Jeśli wi¸ec chcemy zbudować model probabilistyczny pewnej obserwacji, to musimy okre- ślić:

- jakie s¸ a możliwe wyniki obserwacji, tzn. zbiór zdarzeń elementarnych Ω;

- jakie zdarzenia b¸edziemy rozważać, tzn.σ-ciało F zdarzeń losowych;

- jakie prawdopodobieństwa przypiszemy rozważanym zdarzeniom, tzn. miar¸e probabili- styczn¸ a P.

Wobec tego, w zależności od prowadzonych obserwacji możemy budować różne prze- strzenie probabilistyczne.

W ci¸ agu naszych wykładów omówimy dwa podstawowe typy przestrzeni probailistycz-

nych, przestrzenie dyskretne i ci¸ agłe.

Rachunek Prawdopodobieństwa Wykład 2 Miara i przestrzeń probabilistyczna

Rachunek Prawdopodobieństwa Wykład 2

Miara i przestrzeń probabilistyczna

Na dzisiejszym wykładzie poznamy poj¸ecie miary i przestrzeni probabilistycznej.

Na przykład doświadczenie polega na na badaniu czasu pracy komputera do jego pierw- szej awarii (tzw. badanie niezawodnościowe).

Możemy przyj¸ ać, że zdarzenia elementarne w tym doświadczeniu s¸ a określone nast¸epuj¸ aco:

ω = {czas pracy do pierwszej awarii wynosi t, t ≥ 0}

Wówczas

Ω = {ω : t ≥ 0}

Zastanówmy si¸e, czy z punktu widzenia zastosowań badań niezawodnościowych wyżej podany zbiór Ω jest wystarczaj¸ acy? Odpowiedź nie.

Może nas na przykład interesować czas bezawaryjnej pracy komputera w czasie t > t 0 (t 0 ≥ 0 ), czyli zdarzenie :

S = {ω ∈ Ω : t > t 0 }

a także zdarzenia

T = {ω ∈ Ω : t ≤ t 1 }

U = {ω ∈ Ω : t 0 < t ≤ t 1 }

W = {ω ∈ Ω : t ≤ t 0 ∨ t > t 1 }

Powyższe zbiory powinny również być zdarzeniami.

Dla dowolnych chwil 0 ≤ t 0 ≤ t 1 mamy T = Ω − S,

U = S ∩ T ,

W = (Ω\S) ∪ (Ω\T ),

Wynika st¸ ad, że z punktu widzenia zastosowań teorii prawdopodobieństwa, dopełnienia, iloczyny i sumy dowolnych dwóch zdarzeń powinny być zdarzeniami. Jak si¸e przekonamy:

iloczyny sumy skończonej, nieskończonej i przeliczalnej ilości zdarzeń powinny być zda- rzeniami.

Klasa zdarzeń, któr¸ a oznaczymy liter¸ a F powinna wi¸ec spełniać nast¸epuj¸ ace warunki:

W1. F 6= ∅;

W2. J eli A ∈ F, to A

∈ F ; W3. J eli A i ∈ F to S ∞

i=1 A i ∈ F

Mówimy, że klasa zdarzeń powinna wi¸ec być σ - ciałem podzbiorów zbioru Ω.

Z podanych warunków wynika, że Ω = A ∪ A

∈ F ;

jeśli Ω ∈ F , wobec tego ∅ = Ω

∈ F .

Zdarzenie Ω zachodzi zawsze i nazywa si¸e zdarzeniem pewnym, natomiast ∅ nazywamy zdarzeniem niemożliwym.

Jesteśmy teraz gotowi do zaj¸ecia minimalnymi rozs¸ adnymi wymaganiami, dotycz¸ acymi prawdopodobieństwa zwanego także miar¸ a probabilistyczn¸ a.

A1: P : F → R + ; A2: P(Ω) = 1;

A3: Jeśli A i ∈ F , i = 1, 2, . . . oraz A i ∩ A j = ∅ dla i 6= j, to P ( S ∞

i=1 A i ) = P ∞

i=1 P(A i ).

Cz¸estość spełnia ten warunek. Nazywamy go przeliczaln¸ a addytywności¸ a prawdopodo-

bieństwa (miary probabilistycznej).

Powyższe warunki zostały sformułowane po raz pierwszy przez matematyka radzieckiego Andrieja , Nikołajewicza Kołmogorowa w roku 1933- jako aksjomaty teorii prawdopodo- bieństwa.

Załóżmy, że dana jest pewna miara probabilistyczna P określona na σ - ciele F oraz, że A, B ∈ F s¸ a dowolnymi zdarzeniami. Poniższe twierdzenia zawieraj¸ a podstawowe własności miary probabilistycznej.

Twierdzenie 1

Jeśli zdarzenia A 1 , A 2 , . . . ,A n ∈ F wykluczaj¸ a si¸ e parami, to

P

n

[

i=1

A i

!

=

n

X

i=1

P(A i )

Dowód. Twierdzenie to wynika z przeliczalnej addytywności.

Wystarczy przyj¸ ać V

k>n A k = Ø.

Twierdzenie 2

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero.

Dowód

Zauważmy, że zdarzenia Ω i Ø wykluczaj¸ a si¸e . Zatem na mocy twierdzenia 1 mamy P(Ω ∪ Ø) = P(Ω) + P(Ø)

Ale Ω ∪ Ø = Ω oraz na mocy aksjomatu (A2) P(Ω) = 1. Wobec tego mamy P(Ω) = P(Ω) + P(Ø) ⇒ 1 = 1 + P(Ø) ⇒ P (Ø) = 0

Twierdzenie 3

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego spełnia równość

P(A) = 1 − P(A)

Dowód

Zauważmy, że zdarzenia A i A s¸ a rozł¸ aczne oraz A ∪ A = Ω. Wykorzystuj¸ ac twier- dzenie 2 otrzymujemy

1 = P(Ω) + P(A) + P(A).

Twierdzenie 4

Jeśli A ⊂ B , to P(A) ≤ P(B)

Dowód

Jeśli A ⊂ B to zdarzenie B można przedstawić w postaci sumy zdarzeń rozł¸ acznych B = A ∪ (B\A). Korzystaj¸ ac z twierdzenia 1 otrzymujemy

P(B) = P(A) + P(B\A) Ponieważ z definicji P(B\A) ≥ 0

Twierdzenie 5 V

A∈F 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Dowód

Fakt, że P(A) ≥ 0 wynika z samej definicji miary probabilistycznej.

Fakt, że P(A) ≤ 1 wynika z twierdzenia 4, bo dla A ⊂ Ω, P(A) ≤ P(Ω) = 1.

Twierdzenie 6

Może nas na przykład interesować czas bezawaryjnej pracy komputera w czasie t > t ₀ (t ₀ ≥ 0 ), czyli zdarzenie :

S = {ω ∈ Ω : t > t ₀ }

T = {ω ∈ Ω : t ≤ t ₁ }

U = {ω ∈ Ω : t ₀ < t ≤ t ₁ }

W = {ω ∈ Ω : t ≤ t ₀ ∨ t > t ₁ }

Dla dowolnych chwil 0 ≤ t ₀ ≤ t ₁ mamy T = Ω − S,

∈ F ; W3. J eli A _i ∈ F to S ∞

i=1 A _i ∈ F

A3: Jeśli A _i ∈ F , i = 1, 2, . . . oraz A _i ∩ A _j = ∅ dla i 6= j, to P ( S ∞

i=1 A _i ) = P ∞

i=1 P(A _i ).

Jeśli zdarzenia A ₁ , A ₂ , . . . ,A _n ∈ F wykluczaj¸ a si¸ e parami, to

A _i

P(A _i )

k>n A _k = Ø.

Niech A ₁ , A ₂ , . . . , A _n ∈ F b¸ed¸ a dowolnymi zdarzeniami, wtedy

A _i

P (A _i )− X

P(A _i ∩A _j )+ X

P(A _i ∩A _j ∩A _k )+· · ·+(−1) ⁿ⁺¹ P(A ₁ ∩A ₂ ∩· · ·∩A _n ).

Wprowadzaj¸ ac zbiory wskaźników sumowania I _n = {1, 2, . . . , n} oraz I ⊂ I _n wzór po- wyższy zwany wzorem ( zasad¸ a) wł¸ aczeń i wył¸ aczeń lub wzorem Poincare.

A _i

(−1) ^|I|+1 P \

A _i

A _i