O pojęciu „zobowiązania ontologicznego ”

(1)

Przegląd Filozoficzny — Nowa Seria 2001, R. X, Nr 1 (37), ISSN 1230-1493

Krzysztof Wojtowicz

O pojęciu „zobowiązania ontologicznego ”

1.Wstęp

Celem artykułujest przeanalizowanie kilku zagadnień, związanychze sfor

mułowanym przez Quine’a problemem zobowiązań ontologicznych oraz pre zentacja pewnegouogólnienia jego kryterium istnienia.

Quine odrzuca możliwość podziału teorii na częśćczysto konwencjonalną i część dotyczącąrzeczywistości (tzn. na wyróżnienie składnika czysto anali tycznego i syntetycznego). Według holistycznego poglądu Quine’a, empirycz nie testowane sąnie poszczególne zdania, ale całe teorie. Nie ma możliwości częściowegopotwierdzenia,w szczególności potwierdzeniatylkoniektórychtez egzystencjalnych danej teorii T. Tym samym postulaty ontologiczne dotyczące obiektów obserwacyjnych, teoretycznych i matematycznych mają ten sam sta

tus. Przyjmując realistyczną interpretację teorii T należy więc uznać istnienie wszystkich bytów, „o jakich mowa w teorii”. To sformułowanie jest doprecyzo wane w postaci kwantyfikatorowego kryterium istnienia: (w myślteorii T) ist

nieją te obiekty,które są wartościami zmiennych kwantyfikacji. Istnienie obiek

tu typu <p jest wyrażone przez zdanie egzystencjalne3x<p(x), a nie przez predy kat istnienia.

„Algorytm” identyfikowania zobowiązań ontologicznych jest więc bardzo prosty. Jednak taksformułowane kryterium ma pewne słabości. Sformułowane jest bowiem jedynie wkontekścielogiki elementarnej, zaśaspekty semantyczne

nie są uwzględnionew dostatecznym stopniu.

Przedmiotem analiz w tym artykule będzie pojęcie „zobowiązania ontolo

gicznego”imożliwość jegosformułowania w kontekścieszerszej klasy logik.

2. Logiki nieelementarne

Logika elementarna (tzn. logika pierwszegorzędu) ma wygodne własności metalogiczne, spośród których najważniejsząjest pełność. Jednak ceną, jaką trzebaza to zapłacićjestniewielkamoc wyrażeniowa logiki elementarnej. Wie le naturalnychpojęćmatematycznych, takich jak pojęcie „skończoności”, „nie skończoności”, „przeliczalności”,„bycia ciałem charakterystyki0” itd., niemo-

(2)

122 Krzysztof Wojtowicz

że zostać wyrażonych w logice elementarnej. Mimo to jednak, dość powszech nie logikaelementarna jest uważana za „prawdziwąlogikę”. Można tu wskazać dwazasadniczepowody:

1. W języku pierwszego rzędu zaksjomatyzowano szereg ważnych teorii matematycznych, takich jak arytmetyka Peano czy teoria mnogości Zerme- lo-Fraenkla. (Argument ten możnawięc nazwać „argumentemz praktyki mate matycznej”).

2. Olbrzymi wpływ na dyskusję filozoficzną miał Quine. W jego mniema

niu,zobowiązania ontologiczneteorii elementarnych są minimalne — zobowią zujemysiętylko do istnienia indywiduów, anie zbiorów czy relacji. Jego kryte rium zobowiązań ontologicznych zostało więc sformułowane dla logiki elemen tarnej. Quine zdecydowanie opowiadał sięza „tezą o logice pierwszego rzędu” (first-orderthesis'), w myśl której klasa pojęć logicznych (w odróżnieniu od po

jęć matematycznych czy teoriomnogościowych) jest adekwatnie reprezentowa

na w logiceelementarnej, zaś logika drugiego rzędu, to „teoria mnogości w prze

braniu”.

Teza o logice pierwszegorzędu oczywiściezależy od filozoficznychzało

żeń dotyczących roli i statusu logiki (w szczególności od rozstrzygnięcia, czy relacja należenia „e” jest terminem logicznym czy pozalogicznym). Dyskusja filozoficzna nie została zakończona w konkluzywny sposób. Nie wchodząc w szczegóły, możnajednak wyróżnić tutaj dwa zasadniczestanowiska:

1. Logika służy opisowi rozumowań i dedukcji stosowanych w nauce. Za

sadniczyjest zatemproblem efektywności procedurdowodowych.

2. Logikawinna formalizować pojęcia służące do opisu i charakteryzowa

niastruktur. Ważniejszy jest zatem problem siły wyrażeniowej

W tym artykule przyjmuję drugi punkt widzenia, zgodny ze stanowiskiem np. Barwise’a (por. [Barwise 1985]). Twierdzi on, że teza o logice pierwszego rzędu opiera się na nieporozumieniu, myli bowiem cel i przedmiot logiki z jed

nym z jej narzędzi, gdyż logika elementarna jest po prostujednym z wielu na

rzędzi używanych do opisu pojęćstosowanych w rozumowaniach matematycz

nych. Nie ma powodu, aby wierzyć, że jej status jest w jakikolwieksposób wy

różniony. Istotnesą bowiem możliwości opisania badanej struktury. Aby stwier dzić,jakie metody okażąsię najbardziej efektywne, mamy swobodę w tworze niu nowych pojęć.Według Barwise’a „niejest możliwypowrótdo tezy, iż logi

kajest logiką pierwszego rzędu”.

Logikaelementarna może być rozszerzana na wiele sposobów, np. poprzez dodanie nowych pojęć (takich jak pojęcie „nieskończoności”, „nieprzeliczalnoś- ci”, „dobrego porządku”, pojęć probabilistycznych czy topologicznych) jako pierwotnych pojęć semantycznych. Badanie silnych logik pozwala na stwier

dzenie, w jaki sposób funkcjonują nowe pojęcia, występujące w naszych teo riach,jakie sąich wzajemne zależności (jest to możliwe dzięki porównywaniu zbudowanych z ich użyciem logik). To z kolei pozwala na bardziej precyzyjny

(3)

O pojęciu „zobowiązania ontologicznego” 123 opis przedmiotu badań. Natomiast ograniczanie badań jedynie dologiki elemen

tarnejzmniejszaszanse na zrozumienieszeregu pojęć, pojawiających się w nau

ce i wnaszym opisierzeczywistości. Ograniczenie tonieznajduje uzasadnienia w praktyce naukowej. Naukowiec jest gotów zaakceptować takie języki, które umożliwiąmuefektywne sformułowanie teorii, skuteczne wyjaśnienie zjawisk;

kryterium może nawet być „elegancja” danego formalizmu. Nie będzie skłonny do ograniczania swojego instrumentarium ze względu na specyficzne założenia filozoficzne dotyczące statusu i roli logiki.

Naturalne więcbędzie przeanalizowanie problemu zobowiązań ontologicznych w kontekście szerszejklasylogik.

3. Dwie interpretacje kryterium istnienia Quine’a

Zwięzłe sformułowanie kryterium zobowiązań znajdziemy w artykule O po

glądach Carnapa na ontologię-.„Bytami, do których zobowiązuje nas dany dys kurs, sąte byty, które musząnależeć do przedmiotów reprezentowanych przez zmienne, jeślitwierdzenia akceptowanew tym dyskursie mają być prawdziwe” [Quine 1951, 165].

Sformułowanie to wydaje sięjednoznaczne, wymaga jednak dodatkowych uściśleń.Rozważmy bowiem następujący przykład:

NiechTnn składa się z aksjomatów liniowego porządku oraz z nieskończo

nego zbioru zdań {3anx (x<c): neo)}. Jest to teoria sformułowana w języku, któregopozalogiczna część to {<,c}. Wkażdym modelu MeMod(T|in) istnieje obiekt, który ma nieskończenie wiele poprzedników (każdytaki model mapo stać M = (M,<,a),więc a — interpretacja stałej c — ma tę własność). Jednak nie można wyrazić tego faktu za pomocą pojedynczego zdania elementar

nego. Nie istniejebowiem zdanieelementarneo takie,że ojest prawdziwe do kładnie wtych modelach M, w których istnieje obiektaeMmający nieskoń

czeniewiele poprzedników. Pojawia się więcpytanie, czy w związku z tym ist nienie obiektu posiadającego nieskończenie wiele poprzedników należy uznać za zobowiązanie ontologiczne teorii T czy nie?

Jest to szczególny przypadekpewnego szerszego problemu opisu: dla ana

lizyproblemu zobowiązań istotnajest definiowalność własności obiektów wję zyku (i szerzej: wyrażalność pewnych pojęć w języku). Może się bowiem zdarzyć, że pewne własności obiektów nie będą mogły być wyrażone w danym języku L, w którym formułowana jest teoria opisująca rzeczywistość (język L jestzbyt ubogi,aby wyrazić wszystkie interesujące pojęcia).

Problem identyfikacjizobowiązańontologicznych jest ściślezwiązany z prob

lemem, czym jestwłasność i jak winny być identyfikowanewłasności.Rozważ

my dwa stanowiska w tej sprawie:

1. Jedyna informacja, jakanas może interesować, to informacja wyrażalna w ustalonym języku L. Jeśli interesujące nas pojęcia (np. pojęcie „nieskończo ności”) nie sąwyrażalne w języku L, towłasności przedmiotu badań sformuło-

(4)

wanez użyciem tychpojęć nie mają sensu;nie mogą być zrozumiane ani nawet sformułowane.

Zgodnie z tym stanowiskiem, wybór systemu pojęć niejako konstytuuje przedmiot badań. Własności przedmiotu badań stanowią logiczne konstrukty, zależne odjęzyka.Nie ma sensu pytaćo to, czy w innym języku możnabyłoby lepiej opisaćprzedmiot badań,ponieważpojęcie „własności badanego obiektu”

jestkonstytuowaneprzez wybór języka.

2. To, jaki jest przedmiot badań,jest faktemobiektywnym, a zadaniem teo

rii jestjego opis — w szczególności opis wszelkich możliwych własności, nie zależnieod tego,jakich środków formalnych należy w tymcelu użyć. Fakt, że wkażdym modeludlaTjestobiekt o własności q> jest faktem obiektywnymnie zależnie od tego, że być może dla sformułowania własności <p konieczne jest odwołanie się do środków wykraczających poza językL.

Ten pogląd wydaje się bliższystanowiska realistycznego, podczas gdy po gląd pierwszy może wywoływać skojarzenia z idealizmem. Nie podejmuję tutaj tego zagadnienia, chcę jedynie wskazać na fakt, że ujęcie w tym artykulejest zdecydowanie bliższe stanowiska 2.

Uznanie, że opis klasy modeli dla L-teorii Tmoże odwoływać się do środ

ków wykraczających poza logikę L, wymusza doprecyzowanie pojęcia „zobo wiązania ontologicznego”.

Rozważmy najpierw następującąjego precyzację(interpretację):

Interpretacja I: Istnienie obiektu o własności (p jest zobowiązaniem ontologicznym teorii T wtedy i tylko wtedy, gdy (pjest własnością wyrażalną wję zyku elementarnym iw każdymmodelu dla T znajduje sięobiekt owłasności (p (T |=3x(p(x), czyli Mod(T)c Mod(3x<p(x))).

W myśl tej interpretacji, istnienie obiektuonieskończenie wielupoprzedni

kach nie jest zobowiązaniem ontologicznym teorii Tiin, gdyż zdanie „3x(x ma nieskończenie wiele poprzedników)” wykorzystuje nieelementame pojęcia. In terpretacja taka byłaby zgodnaz tezą, iż w badaniach powinniśmy ograniczać się jedynie dojęzyka elementarnego i tym samym jedynie dowłasnościdefinio

walnychśrodkami elementarnymi. Skorowięcdopuszczalnesą jedynie elemen tarne środki wyrazu, to konsekwentnie jedynie logika elementarna może służyć do wyrażania zobowiązań ontologicznych. To kończydyskusję problemu zobo

wiązań.

Interpretacja I niejest jednakuzasadniona. Wszakw każdym modelu dlaTUn faktycznie istni ej e obiekt o nieskończenie wielu poprzednikach, czyi i Tlin se mantycznie implikuje istnienie takiego obiektu. Nie da się tego faktu wyrazić elementarnie, ale przecież powinien byćon uwzględniony w rozważaniach do tyczących zobowiązań. (Tu przyjmuję założenie, że zobowiązania ontologiczne winny być wyrażanepojedynczymi zdaniami, a nie całymi teoriami). Istnienie takiego obiektu jest jednak wyrażalne w metateorii. Sugeruje to drugą inter pretację:

(5)

O pojęciu „zobowiązania ontologicznego” 125 Interpretacja II: Istnienie obiektuowłasności (p jest zobowiązaniem ontologicznym teorii T wtedy i tylkowtedy, gdy każdy model M dlateorii Tzawie ra obiekt aeM o własności (p (gdzie <pjest własnościądefiniowalną metateoretycznie).

Interpretacja II pozwala na proste opisanie i zidentyfikowanie (w metateorii) zobowiązań ontologicznych i dlatego wydaje się dość atrakcyjna. Za równo przy Interpretacji I, jak i przy Interpretacji II niezmienia się klasa bada

nych modeli — ta klasa modelijest stała (jestto bowiem po prostu Mod(T)), zmienia siętylko jej opis, a konkretnie klasa własności, któreprzypisujemyele mentom modeli i których egzemplifikację uznajemy za zobowiązanie ontologiczneteorii. Przy Interpretacji I sąto tylko własności definiowalne elemen

tarnie. Przy Interpretacji II należałoby uwzględniać wszystkie możliwe własności definiowalnewmetateorii. Opiszobowiązań byłbywtedy pełny.

Jednak pomimo swej pozornej atrakcyjności, Interpretacja II nie jest możli wa doutrzymania. Wynika zniej bowiem nieadekwatna definicja zobowiązania ontologicznego. Następujące przykłady stanowiąilustrację tego faktu:

Przykład 1. Rozważmy teorię Tiin. Każdymodel dla T|in jestnieskończony.

Rolę metateorii pełni teoria mnogości, więc modele dla T|in znajdują się w uni- wersum mnogościowym, są zatem zbioramii ich elementy też są zbiorami. Zna czy to, że w każdymmodeluMdlaTijnjest zbiór dowolnie wysokiegoskończo nego rzędu1 (gdyż żaden model M dlaTiin nie może —jako zbiór nieskończony

—być zawarty wżadnym Vn, dlanem). Czyjednakten fakt winien zostać uzna ny za zobowiązanie ontologiczne teorii Tiin? Z pewnościąnie — w teorii THn mamy tylko relację porządku <, a nie mówimy o zbiorach, o niepustości zbio rów, o rzędach zbiorów itd. Jednak niewątpliwie metateoretyczne zdanie „W mo delu M istnieje zbiór rzędu wyższego niż n” jest —dla dowolnego n — praw

dziwe wkażdym modelu M dla teorii T|jn (podobnie jak np. zdanie „W modelu M istnieje zbiór niepusty”). Gdyby więc zaakceptować Interpretację IIw poda

nym wyżej sformułowaniu, to wówczasistnieniezbioru rzędu większego niż n (zbioru niepustego itd.) należałoby uznać za zobowiązanie ontologiczne teorii Tiin-

1 Przez rząd zbioru x określamy najmniejszą liczbę porządkową a taką, że xe Va.

Przykład 2. Czy ZFC zobowiązuje się do istnienia nieprzeliczalnej liczby kardynalnej? Oczywiście tak — istnienie takiej liczby głosi jedno z podstawo wych twierdzeń ZFC.Rozważmy jednak przeliczalnyprzechodni model M dla ZFC. Dowolny element oeM jest co najwyżej przeliczalny. W metateorii może

my więc stwierdzić, że nie istnieje nieprzeliczalny zbiór aeM. Tymczasem, zgodnie z Interpretacją II, aby istnienie takiego obiektu zaliczyć do zobowiązań ontologicznychZFC, to obiekt taki powinienwystępować wkażdym modeluM dla ZFC. A zatem istnienie nieprzeliczalnej liczbykardynalnej niejest zobowią

zaniemontologicznym ZFC.

(6)

W pierwszym przykładzie pojawiły się pewne „nadwyżkowe” zobowiąza

nia. W drugim—pewne zobowiązania „zniknęły”. Obate przykłady opierają się jednak naoczywistym nieporozumieniu. Wprawdzie żaden obiekt oeM nie jest naprawdę nieprzeliczalny (czyli nieprzeliczalny z punktu widzenia meta teorii), ale w każdym modelu dla ZFC postaci M=(M,E) (gdzie EęrM2 jest in

terpretacją predykatu należenia) istnieją obiekty aeM, które sąnieprzeliczalne

„z punktu widzenia” (M,E)2. Interpretacjąpredykatunależenia w modelu M jest relacja EczM2, która nie musi pokrywać się znależeniem e w rozumieniu uni- wersum V. Kiedy mowa jest o własnościach obiektu a wmodelu M, to mowa jest o własnościach relatywnie do modelu M, a nie z jakiegoś „zewnętrznego”

punktu widzenia. Pojęcie „nieprzeliczalności” jest zatem interpretowane (na dwa różne sposoby) w (M,E) oraz w (V,e), w zależności od tego, czy mamy na myśli poziom teoriiczy metateorii. Psychologicznym źródłem tego typu możli wego (choć — należy tuprzyznać— mało prawdopodobnego)nieporozumienia jest fakt,żerolę metateorii dlateorii mnogości pełnitakże teoria mnogości.

2 Tzn.: w modelu (M,E) spełnione jest zdanie „a jest nieprzeliczalny”.

3 W ten sposób metaforycznie wyrażam fakt, że brak jest warunków semantycznych umożliwiających zinterpretowanie w strukturze M języka L(e). Ilustracją tego stwierdzenia jest następujący fakt: w języku, w którym mówimy o świecie tylko w kategoriach kolorów, nie ma sensu mówić o tym, że dany przedmiot jest z metalu, albo nie jest z metalu — nawet jeśli model dla tego języka faktycznie (z punktu widzenia zewnętrznego obserwatora, czyli metateorii) składa się z przedmiotów, które są (albo nie są) metalowe. Wprowadzenie pojęć metateoretycznych przypomina taką właśnie sytuację. To, że zewnętrzny obserwator powie nam, że przedmioty są metalowe, nie ma żadnego znaczenia, gdyż to jego stwierdzenie bę

dzie dla nas niezrozumiałe. W szczególności zdanie „w każdym modelu znajduje się metalo

wy przedmiot” nie może być uznane za zobowiązanie ontologiczne.

Z kolei w modelach dla Tnn nadajemy interpretację symbolompozalogicz- nym teorii Tnn, czyli {<,c}, niejest natomiast interpretowany metateoretyczny predykat „e”. O obiektach w modelu dla teorii Tnn nie myślimy jako o zbiorach

— fakt, że „tak naprawdę” są one zbiorami, nie ma znaczenia, nie ma bowiem w naszym języku w ogóle takiej kategorii pojęciowej jak „zbiór”, „ranga zbio ru”, „niepustość zbioru” itd. Mówiąc swobodnie, mieszkaniec modelu M nie może rozumiećjęzyka L(e)3. Jednak, jeśli istnienie obiektu o własności cp jest zobowiązaniem ontologicznym teoriiT, to mieszkaniecmodelu M dla T winien móc zdanie ,,3xtp(x)” zrozumieć, co znaczy po prostu, żemożna podać warunki semantyczneumożliwiająceinterpretację tegozdaniawmodelu M.

Jest topodstawowezałożenie metodologiczne, które przyjmuję w tymarty

kule. Zdanie wyrażającezobowiązanieontologiczne teorii T musi być interpre- towalne w modelach dla T. Warunek ten ogranicza zatem klasę zdań, które można uznać za zdaniawyrażające zobowiązania. Aby stwierdzić, czy warunek ten jest spełniony w wypadku danego języka L, konieczne jest rozważenie dwóch problemów:

(7)

O pojęciu „zobowiązania ontologicznego” 127 (i) Jakie są pojęcia pierwotne językaL, tzn. jaki jest słownikrinterpretowa ny w modelu.

(ii) Jakie są warunki prawdziwości zdania o wyrażającego zobowiązanie ontologiczne.

Ad (i). Musi byćspełniony warunek, aby terminy pozalogiczne, występują ce w zdaniuo były interpretowane wmodelu M.

Ad (ii). Jest to pytanie o to, jaka semantyka umożliwia interpretację zdania o w modelu M. Model jest klasyczną strukturą relacyjną M=(M,{Rj:ieI}, {fjjej}, {ck:keK}), a dana struktura relacyjna może stanowić model dla róż nych logik (np: L(Q0), L(QH), itd.4). Warunki semantyczne dla tych logik są różne. Różnice te wyrażająsię w klasie pojęć, które dany obserwator ma do dyspozycji, i zdań, któremoże interpretować w modelu5. To, co można powie dzieć odanym modelu, zależy od tego,jaką wybierzemy logikę, czyli: jaką kla sę zdań L[t] sformułujemy i jakie warunki semantyczne, aby zdania języka L[r]

interpretować w StrfrJ. Środki semantycznelogiki L można interpretować jako odbicie możliwości poznawczych danego „obserwatora”, czyli użytkownikaję zyka L[t].

4 Logika L(Q0) to logika z dodanym kwantyfikatorem Qo, interpretowanym jako „istnieje nieskończenie wiele”. Zdanie Qox<p(x) jest prawdziwe w strukturze M, gdy {aeM:M |= <p(a)}

jest nieskończony. Logika L(QH) jest logiką z dodanym rozgałęzionym kwantyfikatorem Henkina. Logika LU|W to logika, w której można tworzyć nieskończone koniunkcje.

5 „Klasa pojęć” to nie to samo, co „zbiór terminów pozalogicznych r”. Ten zbiór t jest wspólny, zmienia się natomiast klasa warunków semantycznych i tym samym — klasa możliwych do sformułowania zdań.

6 Posługując się wspomnianą wcześniej analogią (por. przypis 3) istotne są tylko kolory przedmiotów, ale nie materiał, z którego przedmioty zostały wykonane, pomimo iż — pa

trząc „z zewnątrz” — przedmiotom przysługują również inne cechy, nie tylko kolor. Jednak to, z czego są zrobione, nie jest dostępne poznawczo.

Wwypadku zdań metateoretycznych trudność pojawia się jużna poziomie problemu (i), bowiem terminymetateoretyczne nie mają interpretacji w modelu.

Zdania metateoretyczne nie są więc interpretowane w modelach („zrozumiałe dla mieszkańców modeli”), dlatego Interpretacja II nie może być — w podanej wyżej ogólnej postaci — przyjęta jako definicja zobowiązania ontologicznego.

Wprowadzone zostają bowiem pojęcia pozateoretyczne, tymczasem np. „świat linowego porządku”(M,<) opisywanyjest wyłącznie w terminach predykatu porządku (interpretowanegow M jako <).Wybór językaL[<],jako języka opi

sującego świat, jest wyborem motywowanym epistemologicznie (lub pragma tycznie): poznawczo dostępne (lub istotne) sąjedynie własności obiektówwyra- żalne za pomocą predykatu <, alenie żadne inne6.

Interpretacja II nie możebyć zatem przyjęta, jednak rozważania dotyczące metateoretycznego opisu modeli dla analizowanych teorii kierują uwagę na is totny aspekt zagadnienia i pozwalają nasformułowanie „pośredniego”wariantu.

(8)

128 Krzysztof Wójtowicz

InterpretacjaI jest bowiem zbyt restryktywna, zaś InterpretacjaII — zbyt sze

roka. Wyraża ona jednak ideę, że nie tylko zdania elementarne mogą być ważne wkontekście zobowiązań —że istotne mogą być również niektóre zdania metateoretyczne. Ta intuicja zostanie przeanalizowana i doprecyzowana w dalszej części artykułu.

4. Ogólneuwagi na tematzobowiązań ontologicznych

4.1. Pojęcie „zobowiązania ontologicznego” jest pojęciem metateoretycz- nym, opisującym pewną relację między teoriami a własnościami. Gdy mówimy, iżistnienie obiektu o własności <p jest zobowiązaniem ontologicznym teorii T, mamy namyśli istnienie egzemplifikacji własności q> we wszystkich modelach dlaT.

Rozważana relacja między teoriami a własnościami jestrelacją semantycz ną. Interesować nasbędzieto, co jest egzemplifikowane w modelach dla T, a nie to, jakie zdania egzystencjalne dająsię dowieść w takim czy innym systemie.

Prezentowanetuujęcie jestzatemczysto semantyczne.

4.2. Jakwynikaz analizowanych przykładów,formuły elementarne definiu ją zbyt ubogąklasę własności. Z kolei nie wszystkie metateoretyczne formuły

wyrażają zobowiązania. Pojawia się problem identyfikacji formuł metateoretycznych wyrażających zobowiązania czy inaczej — opisu klasy definiowal

nych metateoretycznie własności, którychegzemplifikację uznamy za zobowią zanie ontologiczne.

4.3. Zasadna i naturalna wydaje sięteza,że metateoretyczne zdanie:

(cti) „W każdym modelu dla T|in jest obiekt będący zbiorem rzędu wyższego niż 500 (lub: obiekt będący zbiorem niepustym)”

nie wyraża zobowiązańteorii Tnn, natomiastmetateoretyczne zdanie:

(CC2) „W każdym modeludla Tnnjest obiekt mający nieskończenie wiele

<-poprzedników”

wyrażazobowiązanieteorii T|in.

Jednak przy InterpretacjiIIoba te zdania wyrażają zobowiązaniaT|in; przy Interpretacji I — żadne znich. Zarówno Interpretacja I, jaki Interpretacja II są niezadowalające. Należy więc odpowiedzieć na pytanie, kiedy pewien metateo retycznie wyrażalny fakt natemat modeli dla Tiin należy uznać za fakt mający znaczenie dla problemu zobowiązań — tj. kiedy fakt ten mówi o egzemplifi kacjiwłasności w modelu7.

7 Można wskazać szereg innych zdań metateoretycznych, które są prawdziwe o mode

lach nieskończonych M=(U,<), np.:

(Pi) Istnieje funkcja różnowartościowa.

(P2) Istnieje podzbiór właściwy U|ęU, równoliczny z U.

(P3) Moc produktu UxU jest równa mocy U.

Jednak na poziomie języka mówimy wyłącznie o własnościach wyrażalnych w terminach L[r],

(9)

O pojęciu „zobowiązania ontologicznego” 129

4.4. Mówiąc o wyrażalności metateoretycznegozdania a zapomocą zdania oa języka L,będę miał na myśli następujący fakt:

(*) a jest prawdziwe omodeluM, wtedy i tylko wtedy, gdy jest praw dziwe w modelu M.

Jest to szczególny przypadek problemu, kiedy metateoretyczna formuła <p, odnosząca się domodeli, ma swój L-odpowiednik a89, taki,że<p(M) wtedyityl

ko wtedy, gdy M ho9. Formalnie rzecz biorąc,pytamy więc, czyformuła meta teoretyczna z jedną zmienną wolną <p ma odpowiednik postaci i|/(x):=x |=o9 taki, że twierdzeniem metateorii jest VM [(<p(M)<=>\|/(M)j, czyli VM [(cp(M)<=>

M l=cr9)].

8 Nie istnieje takie zdanie o języka L(Q0), iż dla dowolnego modelu M, M 1=0 wtedy i tyl

ko wtedy, gdy M zawiera zbiór rzędu wyższego niż 500.

Zauważmy, że modelami dla teorii liniowego, dyskretnego porządku sąnp.:

Mt=<0, {0}, {{0}},...>

M2 = <cd, 0, {co}, {0}, {{co}}, ...>

M3 = < co, P(co), P(P(co)), P(P(P(<0))),...>

„Natura” elementów tych obiektów jest — z punktu widzenia metateorii — różna. Jed

nak są one izomorficzne z punktu widzenia języka L[<], w którym formułowana jest teoria porządku i jako modele dla T|in nie są one rozróżniane. Jednak tylko w modelu M3 spełnione jest metateoretyczne zdanie: „Istnieje obiekt mocy nieprzeliczalnej”.

9 Jest tu pewna analogia do problemów rozważanych w ramach modalnej teorii kores

pondencji, w której badana jest zależność między wewnątrzjęzykowymi (modalnymi) zda

niami, a metateoretycznymi warunkami definiującymi relację dostępności między światami.

Fakt wyrażony przez zdanie cc2 nie jest wyrażalnyelementarnie, jednak jest wyrażalnynp. w języku L(Q0), zapomocą zdaniao=3xQ0y(y<x). Z kolei zda

nie a! nie jest wyrażalne w L(Qo)8. Motywacja dla powyższej definicji jest czytelna: jeśli mamy do czynienia zdokładnie tą samą klasą modeli, to wtedy

„treść”zdania metateoretycznego a (którego „odbiciem” jest klasa modeli) od powiada treści zdaniao“ zlogiki L9.

Pojawia się zatem swoisty problem, którynazwę problemem reprezentacji.

Problemtenjestanalizowanywkontekściepewnejmetateorii, w której sformu

łowane sąpojęciasemantyczne dotyczącelogiki L, np. pojęcia „modelu”,„speł nianiazdania w modelu” itd Rozważmy bowiem teorię T,pewną logikę Li pew

nezdanie metateoretyczne a. Chcemywiedzieć, czya jestreprezentowalnew L w sensie (*), tj., czy istnieje o“eL takie, że spełnionyjest warunek (*). W tym sformułowaniu jest to problem czysto techniczny, któregorozwiązane zależy od teorii T, zdania a oraz logiki L. Sformułowanie problemu reprezentacji jako problemu technicznego wymaga ustalenia logiki L (klasy L takich logik), dla których problem ten będzie badany. Niebędę siętu zajmował problemem tech

nicznym, lecz filozoficznymi aspektami tego zagadnienia, istotnymi z punktu widzenia problemu zobowiązań.

4.5. Dla problemuzobowiązańistotny jest więc problem reprezentacji metateoretycznych zdań, wyrażających istnienie obiektów o pewnych własnościach

(10)

130 Krzysztof Wójtowicz

wmodelach dla T. Te zdania, którebędą reprezentowane w logikach uznanych za dopuszczalne,uznamy zaistotnedla problemu zobowiązań.

Jeśli VM[<p(M)<=>M l=cr], tzn., że zdanie o=3x\|/(x) jest odpowiednikiem zdaniametateoretycznego <p(np.: zdanieQox(x=x) jest odpowiednikiem stwier dzenia, iż dla dowolnego ne©, istnieje zbiór rzędu >n). Czy zatem teoriaTUn faktycznie zobowiązuje się do tego, aby tego typu zbiory istniały, skoro każdy modelmusi taki zbiór zawierać? Odpowiedźjest negatywna: reprezento

wanie zdań metateoretycznychza pomocąL-zdań ma — mówiąc obrazowo — służyć „zapominaniu” nieistotnych (niedostępnych poznawczo) własności.

Przejście <p->a<p stanowi niejako taki „funktor zapominania” —tzn. zapomina my, że są w modelach takie zbiory, apamiętamy jedynie oistnieniuobiektuonie skończenie wielu poprzednikach. Fakt, że w każdym modelu dla T|in znajduje się zbiór nieskończony, jest faktem nieistotnym z punktu widzenia analizy zo

bowiązańontologicznych10. Kiedy rozważamy zdanie ct’gL,to ograniczamy się do własności wyrażalnych w językuL. Ma to czytelnąmotywację epistemolo- giczną — metateoria służy bowiem do opisu naszych zdolności poznawczych, jednak świat (model)opisujemy w ramach naszych możliwości poznawczych.

10 Równoważność: VM[<p(M)<=>M ho’] jest równoważnością metateoretyczną, a dopie

ro w metateorii można mówić o zbiorach, o ich mocy itd.

4.6. LogikaL, służąca do reprezentowania interesujących nas zdańmetateo

retycznych a wyrażających zobowiązania ontologiczne teorii T, winna oczy

wiście umożliwiać interpretację teorii T. Spełnione musząbyć więc następujące ogólne warunki metodologiczne,nakładane na semantykę logik, relatywnie do których będziemy formułować pojęcie„zobowiązania ontologicznego”:

(i) Logika L ma umożliwiać rozumienie teorii T, tzn. muszą być dla niej sformułowane warunki semantyczne, umożliwiające interpretację teoriiT w struk

turachbędącychmodelami logiki L.

(ii) Zdania ct logiki L, wyrażające zobowiązania egzystencjalne teorii T, winny byćmożliwe do zinterpretowaniaw modelach dla T. Innymi słowy, se mantyka logiki L winna umożliwiać interpretacjęzdania ctwmodelachdlaT.

Logiki, jakie będziemy rozważać, różnią się od logiki elementarnej niew swej części słownika, ale w semantyce(pomijamy aspektysyntaktyczne). Różnicete dotyczą w szczególności siływyrażeniowej. Na przykład logika L(Q0) różni się od logiki elementarnej obecnością nowego warunku definicyjnego w semanty

ce. Klasy L-elementame (tzn. klasy elementarne z punktu widzenia logiki L — por. następny rozdział) mogąbyć inne niż dla logiki elementarnej. Natomiast klasa wszystkich struktur Str[r] (przy ustalonym słowniku r) jest wspólna dla wszystkich rozważanych logik.

Problem reprezentacji ma następującą postać: dla danego metateoretycz

negozdania a(uznanego za interesującezpunktu widzenia zobowiązań ontolo gicznych), znaleźć ogL, reprezentujące a. Nasuwa się pytanie o logikę L: czy