ANALIZA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU DLA WYBRANYCH SPÓŁEK INDEKSU WIG20

Agnieszka Surowiec

Politechnika Lubelska Wydział Zarządzania

Katedra Metod Ilościowych w Zarządzaniu a.surowiec@pollub.pl

Witold Rzymowski

Politechnika Lubelska Wydział Podstaw Techniki Katedra Matematyki Stosowanej w.rzymowski@pollub.pl

ANALIZA LOGARYTMICZNYCH STÓP ZWROTU DLA WYBRANYCH SPÓŁEK INDEKSU WIG20

Streszczenie: W pracy przeanalizowano rozkłady logarytmicznych stóp zwrotu wybranych spółek indeksu WIG20. Kryterium wyboru spółek stanowił wspólny i możliwie długi okres notowań. Głównym celem pracy było zbadanie możliwości wyznaczenia analitycznej postaci dystrybuant i funkcji gęstości.

Słowa kluczowe: logarytmiczna stopa zwrotu, dystrybuanta, funkcja gęstości, funkcja Boltzmanna.

Wprowadzenie

Analizowane będą logarytmiczne stopy zwrotu:

1

ln

−

=

t t t

P

x P , (1)

gdzie P_t, t =1 ,2 ,...,N jest kursem zamknięcia akcji wybranej spółki indeksu WIG20 spośród czternastu spółek: Assecopol (ACP), Boryszew (BRS), BRE, GTC, Handlowy (BHO), Kernel (KER), KGHM (KGH), Lotos (LTS), PeKaO (PEO), PKN Orlen (PKN), PKOBP (PKO), Synthos (SNS), TPSA (TPS), oraz TVN. W wyborze spółek kierowaliśmy się ich maksymalną liczbą w możliwie

długim, wspólnym dla wszystkich spółek okresie obserwacji. W pracy proponu- jemy i badamy prostą analityczną postać dystrybuanty i funkcji gęstości rozkła- du dla logarytmicznych stóp zwrotu spółek giełdowych.

W pierwszym etapie badań analizujemy notowania spółek pochodzące z okresu 30.06.2009–29.06.2012, N

= 757

, w celu ustalenia analitycznej posta- ci dystrybuanty. Następnie dla wybranych spółek giełdowych na podstawie da- nych z okresu 30.06.2009–10.12.2012, N

= 870

, badamy czy dystrybuanta zachowuje ustaloną wcześniej funkcyjną postać.

W pracy będziemy używać następujących symboli:

• Ξ=

{ }

ξ_k ^N_k=1, gdzie ξ₁≤ξ₂ ≤...≤ξ_N oznacza uporządkowany ciąg elementów ciągu X =

{ }

x_{t t}^N₌₁. Elementy ciągów X i Ξ będziemy nazywać stopami zwrotu.

• k⁻ =max

{

k:ξ_k <0

}

, k⁰ =max

{

k:ξ_k =0

}

, k⁺ =min

{

k:ξ_k >0

}

.

• τ⁻= k⁻ (liczba ujemnych elementów ciągu Ξ ), τ⁰ =k⁰−k⁻ (liczba zerowych elementów ciągu Ξ ), τ⁺ =N−k⁰ (liczba dodatnich elementów ciągu Ξ ). War- tości

τ

⁻

, τ

⁰

, τ

⁺ zawiera tab. 1.

1. Asymetria

Dla logarytmicznych stóp zwrotu analizowanych spółek indeksu WIG20 wyznaczamy dwa standardowe współczynniki asymetrii γ i A₃[Krysicki i in., 1997, s. 30; Podgórski, 2001, s. 73] oraz wzorując się na współczynniku Giniego [Podgórski, 2001, s. 75] wyznaczamy:

− +

Γ

= Γ

κ ,

gdzie

ξN

τ⁺

+ =

Γ jest współczynnikiem koncentracji elementów ciągu Ξ

w przedziale [

ξ

_k+,

ξ

_N], a

ξ1

ξ τ

= − Γ

−

− − k

jest współczynnikiem koncentracji

elementów tego ciągu w przedziale [

ξ

₁,

ξ

k−].

Uzyskane wyniki zostały przedstawione w tab. 1.

Tabela 1. Liczba ujemnych, zerowych oraz dodatnich elementów ciągu Ξ i miary asymetrii roz- kładu dla spółek ACP, BRS, BRE, GTC, BHO, KER, KGH, LTS, PEO, PKN, PKO, SNS, TPS, TVN z okresu 30.06.2009–29.06.2012

Spółka τ⁻ τ⁰ τ^{+ γ A3 κ}

ACP 355 43 359 0,01201 −0,04930 0,99 BRS 334 112 311 −11,04004 −0,02308 5,23 BRE 355 21 381 0,09980 0,01254 1,18 GTC 394 33 330 −0,03503 −0,04505 0,99 BHO 340 49 368 −0,15495 0,04037 1,38 KER 357 52 348 0,69680 0,00475 0,44 KGH 350 24 383 −0,65508 0,07155 2,19

LTS 357 16 384 −0,10506 −0,07106 1,30 PEO 363 33 361 0,11604 0,04049 1,04 PKN 355 16 386 −0,24160 0,00944 1,91 PKO 352 22 383 0,01075 −0,00923 1,22

SNS 318 83 356 −0,29662 0,28467 1,29

TPS 349 34 374 −0,84428 0,04949 1,34 TVN 368 34 355 −0,27606 -0,01185 1,30

W przypadku analizowanych spółek indeksu WIG20 liczba zerowych ele- mentów ciągu Ξ stanowi często (patrz tab. 1) znaczną część liczby wszystkich elementów tego ciągu. W skrajnym przypadku (spółka BRS) liczebność τ⁰ sta- nowi prawie 15% liczby wszystkich elementów ciągu Ξ . Dla drugiej w kolejności spółki SNS liczebność τ⁰ stanowi prawie 11% liczby wszystkich elementów tego ciągu, a dla czterech następnych spółek odpowiedni procent jest większy niż 5.

W większości przypadków wartości współczynników

γ

, A₃ i κ potwier- dzają znany fakt wyraźnej asymetrii rozkładów stóp zwrotu [A. Weron, R. Weron, 1998, rozdz. 9.2.1; M. Doman, R. Doman, 2009, rozdz. 1.6].

2. Analityczna postać dystrybuant i gęstości

Dystrybuantą empiryczną ciągu

Ξ

jest funkcja ^F

^{: R →} [ ] ^{0 , 1}

^{dana wzo-}

rem [Krysicki i in., 1997, s. 113, wzór (3.3.13)]:

( ) ⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

≥

−

=

<

≤

<

=

₊

.

, 1 ..., , 2 , 1 ,

, ,

1 , , 0

1 k

1

N k

emp k N

N F k

ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ

ξ

ξ

Dla każdej z wybranych czternastu spółek szacujemy parametry modelu:

( ) ξ

= F

( ) ( ) ξ

+

ε ξ

F_emp ,

gdzie z uwagi na asymetrię rozkładu oraz na to, że liczba zerowych elementów ciągu Ξ stanowi znaczną część liczby wszystkich elementów tego ciągu:

( ) ( )

⎩ ( )

⎨ ⎧

≥

=

⁻₊

<

. 0 gdy ,

, 0 gdy ,

ξ ξ

ξ ξ ξ

F F F

Szukamy takich funkcji F⁻

: ( −∞ , 0 ] → [ 0 , 1 ]

, F⁺

: [ 0 , +∞ ) → [ 0 , 1 ]

, dla których:

( ) ( )

0,05

max0 − ≤

= ⁻

<

− emp k k

def F F

k

ξ ξ

δ ξ i max

( ) ( )

0,05

0 − ≤

= ⁺

>

+ emp k k

def F F

k

ξ ξ

δ ξ .

Jeżeli

^max { ^δ

⁻

^{, δ}

⁺

} ^{≤ 0 , 05}

, to można przyjąć, że z prawdopodobieństwem większym niż 0,95 funkcja F nie różni się od prawdziwej dystrybuanty [Kry- sicki i in., 1997, s. 116]. Łatwo sprawdzić, że powyższy warunek nie będzie spełniony w przypadku każdej spółki, dla której

τ

⁰

> 1 + 0 , 1

N

.

Takimi spółka- mi są BRS oraz SNS. W przypadku tych spółek warunek

^max { ^δ

⁻

^{, δ}

⁺

} ^{≤ 0 , 05}

nie może być spełniony przez żadną dystrybuantę ciągłą.

2.1. Model dystrybuanty ciągłej

Podobnie jak w przypadku proponowanych w literaturze rozkładów α-stabilnych (giełda amerykańska) czy rozkładów hiperbolicznych (giełda nie- miecka) [A. Weron, R. Weron, 1998, rozdz. 9], proponujemy rozkład unimodalny:

( ) ( )

−

−

−

−

−

+ +

−

−

+

= +

c b

c b c

e e e F F

ξ

ξ

ξ

1

0 1 oraz

( ) ( )

+ +

+ + +

+

+ +

+

+

−

= −

c b

c b c

e

e e F F F

ξ

ξ

ξ

1

1 ₀

0

będący prostą modyfikacją funkcji Boltzmanna.

Tabela 2. Wartości parametrów funkcji F⁻ oraz F⁺ dla spółek ACP, BRS, BRE, GTC, BHO, KER, KGH, LTS, PEO, PKN, PKO, SNS, TPS, TVN dla N=757 oraz dla N=870

N = 757 N = 870

F0 _b⁻ _c⁻ _b⁺ _c⁺ F₀ b⁻ c⁻ b⁺ c⁺

ACP 0,507 77,939 −1,363 69,249 657,530 0,508 76,397 −1,879 72,207 656,859 BRS 0,516 45,638 −262,84

9 42,057 361,022 0,514 49,233 −2,172 43,699 652,016 BRE 0,501 60,200 −4,706 76,705 0,249 0,485 66,598 −2,062 71,755 1,080 GTC 0,539 63,387 −0,813 52,642 657,422 0,528 65,400 −0,885 53,026 659,182 BHO 0,486 90,583 −0,749 77,311 1,663 0,477 85,856 −0,886 74,780 1,797 KER 0,498 74,654 −0,689 53,956 654,002 0,494 58,410 −3,632 54,510 653,866 KGH 0,473 59,322 −1,006 70,858 0,016 0,464 58,266 −1,376 75,482 −0,096 LTS 0,485 68,087 −0,875 74,862 0,461 0,475 69,802 −0,848 76,292 0,335 PEO 0,495 76,302 −0,510 77,528 0,320 0,493 77,149 −0,656 79,886 0,356 PKN 0,487 82,983 −0,044 87,020 −0,142 0,482 83,539 −0,156 89,595 −0,122 PKO 0,487 78,633 −0,782 86,922 0,326 0,487 81,847 −0,751 89,828 0,329 SNS 0,463 82,860 −0,670 55,674 2,018 0,470 83,909 −0,616 57,447 1,920 TPS 0,490 95,215 −0,917 86,145 1,385 0,495 91,628 −1,605 83,817 2,656 TVN 0,501 63,183 −1,717 66,268 1,317 0,501 62,195 −1,601 65,295 1,288

Rozkład Boltzmanna jest od niedawna wykorzystywany do analizy danych giełdowych [Kleinerta, Chen, 2007; Chu, Viet, Lien, 2011].

Tabela 2 zawiera wartości parametrów funkcji F⁻oraz F⁺ dla N

= 757

oraz N

= 870

.

Dla wszystkich wybranych spółek indeksu WIG20 zastosowano następujące testy zgodności danego rozkładu z rozkładem empirycznym dla poziomu istotno- ści

α

=0,05: test

χ

_p² z podziałem na klasy o jednakowym prawdopodobieństwie dla liczby klas dwadzieścia siedem [Krysicki i in., 1997, s. 110. (wartość krytyczna wynosi 38,89) oraz test Kołmogorowa (wartość krytyczna wynosi 1,354).

Tabela 3. Wyniki testów statystycznych dla spółek ACP, BRS, BRE, GTC, BHO, KER, KGH, LTS, PEO, PKN, PKO, SNS, TPS, TVN dla N=757 oraz dla N=870

N = 757 N = 870 N = 757 N = 870 N = 870 dla parametrów z przypadku N = 757 2

χ

p

χ

_p² _NdN

ACP 43,26 50,11 1,03 1,09 1,04 BRS 406,35 620,21 2,07 2,73 2,67 BRE 58,24 47,63 0,89 0,57 1,02

GTC 34,42 38,26 0,69 0,86 0,78

BHO 76,79 82,32 1,00 1,09 1,31 KER 71,08 73,63 1,15 1,03 0,94

KGH 25,29 35,46 0,61 0,62 0,80

LTS 18,08 30,25 0,63 0,53 0,82

PEO 32,49 26,40 0,76 0,89 0,81

PKN 25,07 18,77 0,50 0,57 0,70

PKO 24,22 24,17 0,61 0,67 0,67

SNS 195,35 182,94 1,85 1,82 2,05 TPS 50,97 43,53 0,81 0,78 0,87 TVN 61,60 52,72 0,82 0,89 0,88

s p P t z K m

d

2

p r

α

R

n t t p

k są t przy Pod twie z w Koł moż

dys

2.2.

przy rycz

α−

a)

Rys.

na k tyw tycz pod

kład W taki y

α

dobn erdz wyjąt łmo

żna N tryb

. Gę K ypa zny Pr

−sta

. 1. P p d

N klas wnyc znej dstaw

W dy s

Wyn ie s=

α

nie, zają tkie ogor a stw Na p

bua

ęsto Kieru adkó ym.

rop abiln

Poró przy dla s

Na p sy ch w

j fu wie Wiad stóp

niki am 0 ,

=0 , wy ą p em row wier pod anta

ość ując ów

ono ne i

ówn y za spół

przy o je wyn unk e 30 dom p zw

test e d 05d ynik post

wsp wa d rdz dstaw

a za

ć ro c si pro

owa i hip

nanie stos łki A

ykła edn nik kcji 0 kl mo ż

wro tu

χ

dla N dla ki t tać

pom dla zić s

wie acho

ozkł ę w opo

any perb

e teo sowa ACP

adzi nako ach gęs las d że, otu

2

χ

p

N = na testu

zał mnia

N = stało e w owu

ładu wyni onow

roz bol

orety aniu P (a)

ie s owy h tes stoś dla

op ma

z p

= 75 astęp u K łożo any

= 8 ość wyni uje u

u ikam wan

zkła licz

yczn pod ora

spół ym stów ści

N = róc ają j

A

pod 57 pują Kołm

one ych 870 ć po ików

usta

mi ny w

ad j ne.

nej dzia

z PK

łek pra w)

z e

= 75 cz s

jesz

ACP (N

dzia i N ący mog ego

wc dla osta

w p alon

test w p

jest

funk ału n

KO (

AC awd na emp

57, koś zcze

N = 7

łem N =

ych goro

roz cześ a dy ci f prze ną w

tu K prac

t ro

kcji na kl (b) w

CP ( dop

rys piry

sto śno e je

757)

m na 870 spó owa zkła śniej ystr funk

eds wcz

Koł cy t

zkł

gęs lasy w ok

(o n odo s. 1 yczn osuj

ści, edną

em teo

a kl 0. P ółek a są adu ej B rybu

kcji staw ześn

łmo typ

łade

stośc y o r kres

neg obie

prz ną jąc , lep ą ni

mp.

or.

lasy Potw k: G ą ta u pr RS uant i roz wion niej

ogor roz

em

b) ci z równ ie 3

gaty eńst zed

[Kr pod pto iepr

y o j wie GTC akie

rzy ora ty o zkł nyc j fu

row zkła

uni

em nej d

0.06

ywn twi staw rysi dzia

kur rzyj

jedn erdz

C, e sa

α

az S okre adu ch w unkc

wa, m adu

imo

mpiry dług 6.20

nym e) o wio icki ał n rtoz yjem

nak zają KG ame=

α

SNS eślo u w w t cyjn

moż jes

odal

yczn gośc 09−

m wy ora ono

i i i na k

zy i mną

kow ą po GH, dla 0 , 0 S. P onej

cza tab.

ną p

żna st zg

lnym

ną u ci dla

−29.0

yni z P po in., klasy

i tzw ą ce

wym osta LT a N 05d Pona

j dl asie 3 post

a prz god

m,

uzysk a lo 06.2

ku PKO

rów 19 y je w.

chę m pr

ać z TS, N =

dla adto la p e.

mo tać.

zyją dny

pod

kaną gary 2012

tes O (o wna 997, edna

gru ę, zw

rawd zało

PE 757 wsz o na przy

ożn .

ąć, z r

dob

ą na ytmi 2

tu o w anie

, s.

ako ubyc wan

PK

dop żon EO, 7 i zys a po ypad

na s

że rozk

bnie

a po iczn

χ

2

wszy e us

6]

owe ch ną z

KO (N

podo nego , PK

N = stkic odst dku

stwi

w w kład

e jak

odsta nych

z ystk stalo uz ej dł ogo zgru

N = 75

obi o ro KN

= 8 ch taw u N

ierd

wię dem

k ro

awie stó

pod kich onej zysk ług onó upo

57)

eńs ozk N, P 70.

spó wie t N =

dzić

ększ m em

ozk

e 30 p zw

dzia h p ej te

kan ośc ów, owa

teor.

emp.

stwi kład PKO

Po ółek test

757

ć, ż

zośc mpi

kład

0 kla wrot

ałem ozy eore ą n ci.

roz ania ie du O.

o- k, tu 7,

że

ci i-

dy

as tu

m y- e- na

z- a-

mi zmienności [M. Doman, R. Doman, 2009, s. 29]. Analizując histogramy czternastu spółek indeksu WIG20, powstałe przez podzielenie każdego z prze- działów [ξ₁,0) i (0,ξ₇₅₇] na 10 podprzedziałów o równej długości, otrzymuje- my łącznie 20 klas. Częstości empiryczne 8 spółek: BRS, BRE, KER, KGH, PEO, PKN, TPS i TVN są zerowe w niektórych podprzedziałach. W przypadku spółki BRS ma to miejsce w siedmiu podprzedziałach.

Wpływ wspomnianej nieregularności rozmieszczenia elementów ciągu Ξ na empiryczną funkcję gęstości staje się jeszcze bardziej widoczny po dokonaniu po- działu na klasy o równych prawdopodobieństwach [Krysicki i in., 1997, s. 109].

Każdy z przedziałów [

ξ

₁,

ξ

k−], [

ξ

_k+,

ξ

_N] dzielimy na szesnaście przedziałów.

Dokonujemy tego w czterech etapach. W pierwszym etapie każdy z przedziałów ]

,

[

ξ

₁

ξ

k− , [

ξ

_k+,

ξ

_N] dzielimy na dwa przedziały o równych licznościach. Jeżeli przedział [

ξ

₁,

ξ

k−] zawiera parzystą liczbę elementów, to dzielimy go na prze- działy

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

2 1,ξ_k

ξ ,

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−+ k

k ξ

ξ ,

2 1

, a jeżeli nieparzystą, to na przedziały o wspól-

nym końcu

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+ −

2 1,ξ1 _k

ξ ,

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

+k− ξk

ξ ,

2

1 .

Podobnie postępujemy w przypadku przedziału [

ξ

_k+,

ξ

_N]. Po czterokrot- nym powtórzeniu tej operacji otrzymujemy przedziały

{

^P1⁻

^,

^P2⁻

^{, ...,}

^P16⁻

} ^⊂ [ ^ξ

1

^{, ξ}

_k⁻

]

oraz

{

P₁⁺

,

P₂⁺

, ...,

P₁₆⁺

} ⊂ [ ξ

k+

, ξ

N

]

o licznościach odpowiednio l i ⁻ l . Następnie wyznaczamy środki ⁺ ηi⁻, η⁺_j i długości δ_i⁻,

+j

δ przedziałów P , _i⁻ P_j⁺ i gęstości:

( )

^{− = −}₋

i

i N

gη ^lδ ,

( )

^{+ = +}₊

j

j N

gη ^lδ .

Dodatkowo przyjmujemy z uwagi na własności funkcji gęstości:

( )

^{= N}

(

_k⁺⁺⁻ _k⁻

)

g ξ ξ

τ 2

0

0

.

T

( n w

R

m d w u l g ż

Tabe

(−∞

nież wan

a) Rys.

moż daln wal uwa loka gęst żąd

ela 4

Spó AC BR BR GT BH KE KG LT PE PK PK SN TP TV

Ta

∞,0) ż m nych

. 2. P p m

N żna noś lut [ agę alny tośc ani

4. G PK

ółka CP RS RE TC HO ER GH TS EO KN KO NS PS VN

ak ) (_m maks h sp

Poró przy micz

Na p a tw ci w [J.P

tak ych ci n

e, b

Gęsto KN,

wy

−

maxl

sim pół

ówn y za znyc

pod wierd

wys P.M kie h i m

nie by f

ości , PK

zna

− lok) mum ek d

nanie astos ch s

staw dzić stęp Morg ro mo da funk

emp KO, S

l− 23 21 23 25 22 23 22 23 23 23 22 20 22 23

aczo i (0 m lo dla

e em sowa tóp

wie ć, ż puje gan/

ozkł że adzą

kcje

piryc SNS

−

2 2

2 0 2

one 0,∞

okal N =

mpir aniu zwr

e pr że ro e na

/Re łady zer ą si e g

czne S, TP

e gę ) (m lnym

= 7

ryczn u po

rotu

rzep ozk awe eute y, k row

ię o ęsto

ACP

e dla PS, T

l+

23 20 24 2 22 22 24 24 23 25 24 23 24 23

ęsto max m.

757

nej odzia

dla

prow kład et w ers, któr wać

opis ości

P (N =

a sp TVN

+

3 0 4 1 2 2 4 4 3 5 4 3 4 3

ości

+

xlok) Szc ora

funk ału n spół

wad dy s w pr 199 rych się sać i m

= 757

ółek N z o

ma ). Z czeg az ry

kcji na k łki A

dzo stóp rzyp 96, h f

w pro miały

7)

k AC okre

ają Z wy

góły ys.

gęs klasy ACP

onyc p zw padk s.

funk pew osty y tę

em teo

CP, esu 3

Li ma

kilk yjąt y p 2 d

stośc y o P (a)

ch wro

ku b 65, kcja wny ym ę sa

mp.

or.

BRS 30.0 czba

−

axlok

5 5 3 3 3 4 4 3 3 4 3 4 5 3

ka tkie prez dla s

b) ci z

jed ) ora

bad tu s bar rys a g ych wz amą

S, B 06.20

a

k

ma em zent spó

teo dnak az PK

dań są u rdzi

s. 4 gęsto h po

zor ą po

BRE 009–

aksi spó tuje ółek

orety kowy KO

do unim iej r 4.16 ośc odpr

em osta

, GT –29.

mó ółki e tab k AC

yczn ym p

(b) w

otyc mod regu 6]. N

i m rze . D ać a

TC, .06.2

g 9 333

4 5 6 14

3 4 3 5 6 3 4 4

ów l i TP b. 4 CP

ną u praw w ok

cząc daln ular Nal moż dzi Doda

anal

BH 2012

( )0 g 7,40 335,9

9,81 7,31 5,01 47,13

1,42 4,00 9,86 1,99 6,85 3,12 3,43 3,94

loka PS,

4 d ora

uzysk wdop kres

cyc ne.

rny leża że m

ałac atko ityc

HO, K 2

) 08

975 4 6 2 39 27 02 66 95 5 28 0 45

alny wa la w az P

kaną pod sie 3

h f Poz ch ałob mie ch.

ową czn

P

KER

ych arto

wsz PKO

ą na dobie 30.06

funk za t stóp by z eć k Te ą tr ą d

PKO

R, K

h w ść g zyst O.

a po eństw 6.20

kcji tym p zw zate kilk ego rud dla k

(N =

KGH L m

w pr g(0 tkic

odsta wie 009–

i gę m br wro em ka e

typ dnoś każ

= 757)

H, LT Licz max 4 4 4 3 3 5 2 3 5 5 5 4 5 4

zed ) je ch a

awie dla –29.0

ęsto rak otu wz ekst pu ść s

dej

)

TS, zba

+

xlok

dzia est r anal

e 33 a log

06.2

ości uni kur iąć trem fun stan

spó

emp teor

PEO

ałac rów lizo

3 kla gary 2012

i ni imo rsów

po mów nkcj

now ółk

p.

r.

O,

ch w-

o-

as yt-

2

ie o- w od w je wi ki.

W związku z tym i przeprowadzonymi testami statystycznymi potwierdzającymi zgodność rozkładu danego za pomocą zmodyfikowanej funkcji Boltzmanna z empi- rycznym dla znacznej liczby analizowanych spółek, proponowany w pracy rozkład unimodalny pomimo swojej unimodalności może być dobrym, wstępnym przybli- żeniem rzeczywistych rozkładów stóp zwrotu.

Wnioski

1. Liczebność zerowych wartości stóp zwrotu może mieć wpływ na typ rozkła- du. W szczególnych przypadkach, typu spółki BRS, można uwzględnić roz- kłady z dystrybuantą nieciągłą.

2. Funkcje dystrybuanty i gęstości mogą mieć inną postać analityczną w prze- działach (−∞,0) i (0,∞).

3. Stosunkowo duża liczba zerowych wartości ciągów Ξ sugeruje tendencję utrzymywania stałej ceny akcji danej spółki. Z drugiej strony rozkłady stóp zwrotu są najmniej regularne w bezpośrednim otoczeniu zera.

Literatura

Doman M., Doman R. (2009), Modelowanie zmienności i ryzyka. Metody ekonometrii finansowej, Oficyna a Wolters Kluwer Business, Kraków.

Chu T.A.,Viet N.A., Lien D.H., (2011), Simple Model for Market Returns Distribution,

„Proceedings National Conference Theoretical Physics”, Vol. 36, No. 2, s. 234-238.

J.P. Morgan/Reuters (1996), RiskMetrics^TM − Technical Document, Morgan Guaranty Trust Company of New York, New York.

Kleinerta H., Chen X.J. (2007), Boltzmann Distribution and Market Temperature, „Physi- ca A”, Vol. 383, No. 2, s. 513-518.

Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasilewski M. (1997), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Część II Statystyka matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.

Podgórski J. (2001), Statystyka dla studiów licencjackich, PWE, Warszawa.

Weron A., Weron R. (1998), Wycena instrumentów pochodnych. Symulacje komputerowe.

Statystyka Rynku, WNT, Warszawa.

ANALYSIS OF THE LOG PRICE CHANGE FOR SELECTED WIG20 COMPANIES

Summary: This paper deals with the quantitative analysis of the log price change (con- tinuously-compounded return) for selected WIG20 instruments. The purpose of these investigations was to research the possibility of determination of analytical form of the probability density function and the cumulative distribution function. The modified Boltzmann function was proposed as the cumulative distribution function.

Keywords: log price change, probability density function, cumulative distribution func- tion, Boltzmann function.