Statystyka I semestr zimowy 2017, seria XI
1. (Twierdzenie Karlina - Rubina) Niech X ∼ fθ(·). Załóżmy, że istnieje statystyka T (x) taka, że dla każdej pary θ1> θ0iloraz wiarygodności ffθ1(x)
θ0(x) jest rosnącą funkcją statystyki T (x).
(a) Pokaż, że jeśli Pθ0(T (X) > c) = α to test o obszarze krytycznym {T (X) > c} jest jednostaj- nie najmocniejszym testem na poziomie istotności α dla testowania H0 : θ = θ0 przeciw H1 : θ > θ0.
(b) Pokaż, że test z punktu a) jest również testem jednstajnie najmocniejszym dla hipotezy H0 : θ ≤ θ0 przy alternatywie H1 : θ > θ0.
2. Niech S ∼ Bin(n, p). Dla problemu testowania hipotezy H0: p = p0 przeciw alternatywie H1: p = p1gdzie p0< p1Skonstruowano test o obszarze krytycznym K = {x ≥ c}. Oznaczmy funkcję mocy przez Gn,p(t) = Pp(S ≥ t). Pokaż, że dla dowolnego poziomu istotności spełniającego α ∈ Gn,p({0, . . . , n}) istnije c takie, że test o obszarze krytycznym K jest najmocniejszy.
3. Niech X1, . . . , Xn będzie próbką z rozkładu N (µ, σ2) o znanej wartości oczekiwanej. Pokaż, że dla dowolnego poziomu istotności α test o obszarze krytycznym
K =
Pn
i=1(Xi− µ)2 σ02 ≥ c
jest testem jednostajnie najmocnijeszym dla testowania H0 : σ2 = σ20 przeciw H1 : σ2 > σ02. Jak wyznaczyć c?
4. Niech X1, . . . , Xn będzie próbką z rozkładu N (µ, σ2) o nieznanej wartości oczekiwanej. Pokaż, że dla dowolnego poziomu istotności α test o obszarze krytycznym
K =
Pn
i=1(Xi− ¯X)2 σ02 ≥ c
jest równoważny testowi opartemu na ilorazie wiarygodności dla problemu testowania H0: σ2= σ02 przeciw H1: σ2> σ20. Jak wyznaczyć c?
5. Załóżmy, że mamy dwie niezależne próbki X1, . . . , Xn∼ exp(θ) oraz Y1, . . . , Yn∼ exp(µ).
(a) Znajdź test oparty na ilorazie wiarygodności dla problemu testowania H0: θ = µ przeciw H1: θ 6= µ.
(b) Pokaż, że statystyka testowa z punktu a) może być przedstawiona w postaci
T = P Xi
P Xi+P Yi
.
(c) Znajdź rozkład T zakładając prawdziwość H0. Wskazówki:
• Jeżeli dla każdej pary θ1 > θ0 iloraz wiarygodności ffθ1(x)
θ0(x) jest rosnącą funkcją statystyki T (x). To test o obszarze krytycznym {T (X) > c} jest najmocniejszym testem na poziomie istotności α dla testowania H0 : θ = θ0 przeciw H1 : θ = θ1.
• Dla testu najmocniejszego moc testu nie jest mniejsza od poziomu istotności. Można roz- ważyć test który losuje wynik z prawdopodobieństwem równym poziomowi istotności.
1
