ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE III (1959)
J.
Br o w k i n(Warszawa)
Rozwiązanie pewnego zagadnienia A . Schinzla
A. Schinzel postawił pytanie: czy istnieje zbiór liczb naturalnych A 0 tej własności, że każda liczba naturalna da się jednoznacznie przed
stawić w postaci щ — aj, gdzie ai f ajeA. Używając nazw wprowadzo
nych przez L. Bćdei i A. Bónyi w pracy [1], pytanie to można sformu
łować w sposób następujący: czy istnieje zbiór liczb naturalnych A będący dokładną bazą (bazą w ścisłym sensie) dla zbioru wszystkich liczb naturalnych. W niniejszej pracy podaję pozytywne rozwiązanie powyższego zagadnienia.
O z n a c z e n i a i d e f i n i c j e (patrz także [1]). Mech В będzie pew
nym zbiorem liczb całkowitych. Przez B' będziemy oznaczali zbiór róż
nic elementów В, a przez B'+ zbiór różnic dodatnich elementów zbioru B.
Jeśli H С В', to В nazywamy bazą zbioru H. Jeśli każdy element b' eB' 1 Ъ' Ф 0 da się jednoznacznie przedstawić w postaci b' = b1 — b2, gdzie 61? b2<żB, to В nazywamy dokładną bazą zbioru B\ a także dokładną bazą zbioru B'+ .
Tw i e r d z e n i e.
Istnieje zbiór łiczb naturałnyeh A będący dokładną bazą dla zbioru wszystkich łiczb naturalnych.
D o w ó d . Określam zbiory А г (i = 1 , 2 , . . . ) .
=- 1) a2 = 2, Aj — ^
2}*
А г jest oczywiście dokładną bazą dla zbioru Сг = {l}.
Przypuśćmy, że mam już takie liczby naturalne ax, a2, ...., ak, że ax < a2 < ... < ak oraz A n = [a11 a2, . .. , ak\ jest dokładną bazą dla pewnego zbioru liczb naturalnych Gn, zawierającego liczby 1 , 2 , ..., n (i być może inne). Chcę teraz tak rozszerzyć zbiór A n, by otrzymać do
kładną bazę dla pewnego zbioru Gn+1, zawierającego między innymi liczby 1 , 2 , . . . , n-\-1.
Jeśli w-fle(7n, to mogę przyjąć A n+1 = A n, gdyż zbiór ten ma już żądane własności.
Jeśli nĄ- li Gm to biorę takie liczby naturalne ak+1, ak+2, że
i % + 2 = a k +1 + ^ + 1*
(
1
)a
k + 1> 2 ak
2 0 6 J. B r o w k i n
Określam następnie A n+1 = {ax, ..., ak, ak+1, afc+2}. Oczywiście < ...
. . . < ak < ak+1 < ak+2. Łatwo też zauważyć, że J.„+1 jest bazą dla j l , w + lj.' Istotnie, A n C A n+l jest bazą dla {1, ..., n] oraz |ал+1, ak+2j C A n+1 jest bazą dla jw + l). Wykażę teraz, że An+1 jest dokładną bazą, czyli że z warunku
®i —
t y= ty — a>8 dla i > j, r > s, i, j, r,
s e{ l , 2,
. . . ,fc-j-2) wynika г = r oraz j — s.
Bez zmniejszenia ogólności możemy założyć, że i ^ r. Przypuśćmy, wbrew tezie, że i > r.
1° Gdyby i < Jc, to żądana własność wynikałaby z założenia indu
kcyjnego.
2° Gdyby i = + 2 lub г = & -fl oraz r < Tc i j < &, to
(t-l = dj -j— (lr -- < dj "j- Ctr JŚC2
dk )co jest sprzeczne z wzorem (1).
3° Gdyby i = Л+ 2 , r < ft, j = ft+1, to
71 ~j~ 1 — ^ A : + l — ty ty — ?
wbrew temu, że n-\-l4Cn.
4° Gdyby i = ft + 2, r = ft-fl, j < ft, to di—dj — dr—as, czyli
7Ъ —f- 1 — ® k + 2 ^ k -j-1 — Q'v — t y >
wbrew temu, że nĄ-l4Cn.
5° Gdyby wreszcie i = /с+ 2, j = ft + l, r = ft + 1, to
7 1 \
==t y
== «в == ^A:+l rA% + l — a k > = a k— < * 1 + 1 ^ + 1?
co oczywiście jest niemożliwe.
Otrzymana sprzeczność dowodzi, że A n+X jest ścisłą bazą dla pew
nego zbioru liczb naturalnych Cn+1 Э {1 ,2 , ..., w + l}. ISTa mocy indukcji O O
matematycznej jako szukany zbiór A można przyjąć A — ^ A n.
n=1
Praca cytowana
[1] L. R e d e i, A . R e n y i, О представлении чисел 1 , 2 , . . . , N посредством разностей, Матем. Сборник т. 24 (6 6) (1949), str. 385-389.
Rozwiązanie pewnego zagadnienia A . 8chinzla 20 7
Г . Бр о в к и н ( В а р ш а в а )
РЕШ ЕНИ Е Н ЕК О ТО Р О Й ПРОБЛЕМЫ А. Ш ИНЦЛЯ
РЕЗЮМЕ
В э т о й р а б о т е д о к а з а н а т е о р е м а :
Существует такое множество натуральных чисел А , что каждое натураль
ное число представимо единственным образом в виде разности двух чисел множе
ства А .
J. Br o w k i n (Warszawa)
SO LU TIO N OF C E R T A IN P R O B LE M OF A . SCH IN ZEL
S U M M A R Y
In this paper I prove the following Theorem:
There exists such a set of positive integers A , that every positive integer can be represented in a unique way as a difference of two numbers of set A .
