Liczby zespolone – podstawowe własności
W tym tekście omówione zostanie Wielkie Twierdzenie Fermata dla n = 4 i dla n = 3.
Zostanie też pokazany dowód wzoru Leibniza przedstawiającego liczbę π4 w postaci nieskończo- nej sumy naprzemiennej odwrotności kolejnych liczb nieparzystych. Wykorzystywać będziemy własności liczb zespolonych, co upraszcza rozumowania istotne, choć można tego unikać. Na potrzeby tych wyników udowodnimy twierdzenie o jednoznaczności rozkładu w niektórych zbio- rach liczbowych. Rzecz rozpoczniemy od omówienia podstawowych własności liczb zespolonych wraz z kilkoma standardowymi przykładami ich użycia do zagadnień, w których sformułowaniu liczby zespolone nie występują.
Definicja 1.1 ( liczb zespolonych i działań na nich)
Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojon, a,, przyjmujemy, że i2 =−1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb zespolonych z, 1 = a+bi i z2 = c + di to z1+ z2 = (a + c) + (b + d)i. Iloczyn liczb zespolonych z1 = a + bi i z2 = c + di to z1z2 = (ac− bd) + (ad + bc)i. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczany jest (na całym świecie z wyjatkiem polskich szkół średnich) przez, C.
Stwierdzenie 1.2 (przemienność działań)
Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2 zachodza równości,
z1+ z2 = z2+ z1 oraz z1z2 = z2z1, czyli dodawanie i mnożenie sa działaniami przemiennymi.,
Dowód. Uzasadniamy to w nastepuj, acy sposób: z, 1+ z2 = (a + c) + (b + d)i = (c + a) + (d + b)i = z2+ z1, bo wynik dodawania liczb rzeczywistych nie zależy od kolejności składników.
Teraz mnożenie:
z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i = (ca − db) + (cb + da)i = (c + di)(a + bi) = z2z1, bo dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych sa przemienne.,
Zamiast pisać a+0i bedziemy pisać a, zamiast pisać 0+bi b, edziemy pisać bi. Liczby postaci, bi, b ∈ R nazywać bedziemy urojonymi. Dzi, eki tej umowie liczby rzeczywiste to szczególne, liczby zespolone – „te w których nie ma i”. Liczbe a nazywamy cz, eści, a rzeczywist, a liczby, z = a + bi, piszemy Re z = a; liczbe b – cz, eści, a urojon, a liczby z = a + bi, piszemy Im z = b,
W taki sam sposób sprawdzić można, że zachodzi
Stwierdzenie 1.3 (łaczność, rozdzielność, istnienie różnicy i ilorazu),
• Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2, z3 zachodza równości, (z1+ z2) + z3 = z1+ (z2+ z3) — dodawanie jest łaczne,, (z1z2)z3 = z1(z2z3) — mnożenie jest łaczne,,
z1(z2+ z3) = z1z2+ z1z3 — mnożenie jest rozdzielne wzgledem dodawania.,
• Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2 istnieje dokładnie jedna taka liczba zespolona z, że z1+ z = z2, liczba ta zwana jest różnica liczb z, 2 i z1 i oznaczana symbolem z2− z1.
• Dla dowolnych liczb zespolonych z1 ̸= 0 i z2 istnieje dokładnie jedna taka liczba zespolona z, że z1z = z2, liczba ta zwana jest ilorazem liczb z2 i z1 i oznaczana symbolem zz2
1
lub z2/z1.
Liczby zespolone Michał Krych
Dowód. Przemienność i łączność działań wynika natychmiast z ich definicji i analogicz- nych własności liczb rzeczywistych. Podobnie rozdzielność. Jedynie dowód istnienia ilorazu różni sie nieco od nich. Przyjmijmy, że z, 1 = a + bi, z2 = c + di. Szukamy liczby zespolonej z = x + yi, dla której z2 = zz1, czyli c + di = (a + bi)(x + yi) = (ax− by) + (ay + bx)i. Ma wiec być c = ax, − by i jednocześnie d = ay + bx. Otrzymaliśmy wiec układ równań z niewia-, domymi x, y. Mnożac pierwsze z nich przez a, drugie przez b i dodaj, ac stronami otrzymujemy, ac + bd = (a2+ b2)x, zatem x = ac+bda2+b2, dzielenie jest wykonalne, bo 0̸= a + bi, wiec co najmniej, jedna z liczb a, b jest ̸= 0. Analogicznie otrzymujemy wzór y = ada2+b−bc2.
Wykazaliśmy wszystkie podstawowe własności działań. Jest oczywiste, że w zbiorze liczb zespolonych zachodza równości 1, · z = z, 0 · z = 0 i 0 + z = z dla dowolnego z ∈ C.
Na liczbach zespolonych możemy wiec wykonywać działania tak, jak na liczbach rzeczywi-, stych. Na przykład:
c+di
a+bi = (c+di)(a(a+bi)(a−bi)−bi) = (c+di)(aa2−(bi)−bi)2 = (ac+bd)+(ad−bc)i
a2−b2i2 = (ac+bd)+(ad−bc)i
a2−b2(−1) = ac+bda2+b2 + ada2−bc+b2i.
Niestety, nie wszystko jest tak, jak w przypadku liczb rzeczywistych. W zbiorze C nie można w sensowny sposób wprowadzić nierówności. Nadamy temu zdaniu postać twierdzenia, a nastepnie udowodnimy je.,
Twierdzenie 1.4 o nieistnieniu nierówności w zbiorze liczb zespolonych W zbiorzeC nie istnieje taka relacja ≺, że
1. Jeśli z1, z2 ∈ C, to zachodzi dokładnie jedna z trzech możliwości:
z1 = z2 albo z1 ≺ z2 albo z2 ≺ z1 (każde dwie liczby można porównać);
2. jeśli z1 ≺ z2 i z2 ≺ z3, to z1 ≺ z3 (nierówność ma być przechodnia);
3. jeśli z1 ≺ z2 i z ∈ C, to z1+ z ≺ z2 + z (do obu stron nierówności wolno dodać dowolna, liczbe z, ∈ C);
4. jeśli z1 ≺ z2 i 0 ≺ z, to zz1 ≺ zz2 (nierówność wolno pomnożyć obustronnie przez dowolna liczb, e z wi, eksz, a od 0).,
Dowód. Załóżmy bowiem, że udało nam sie w taki sposób zdefiniować nierówność, ≺, że spełnione sa warunki 1 – 4. Jeśli 0, ≺ z, to 0 = 0 · z ≺ z · z = z2, czyli kwadraty liczb dodatnich sa dodatnie. Mamy oczywiście z, 2 = (−z)2. Jeśli z ≺ 0, to 0 = z +(−z) ≺ 0+(−z) = −z, zatem 0 ≺ (−z)2 = z2, wiec również w tym przypadku 0, ≺ z2. Wobec tego kwadraty liczb różnych od zera musza być dodatnie. Mamy 1, 2 = 1 i i2 = −1, zatem 0 ≺ 1 i jednocześnie 0 ≺ −1.
Dodajac do obu stron pierwszej z tych nierówności liczb, e, −1 otrzymujemy −1 ≺ (−1) + 1 = 0, co przeczy temu, że 0≺ −1. Dowód został zakończony.
Okazało sie wi, ec, że liczb zespolonych porównywać si, e nie da. Można oczywiście definiować, jakieś nierówności miedzy liczbami zespolonymi rezygnuj, ac z cz, eści warunków 1 – 4, ale takie, nierówności nie sa użyteczne, wi, ec na ogół nikt tego nie robi.,
Liczby zespolone, więc uporządkowane pary liczb rzeczywistych, można traktować jako punkty płaszczyzny. Przyjmujemy, że cześć rzeczywista liczby zespolonej — to pierwsza współ-, rzedna (czyli pozioma), a cz, eść urojona — to druga współrz, edna (pionowa) punktu płaszczyzny., Przy takiej interpretacji suma z1 + z2 liczb zespolonych może być potraktowana jako koniec wektora, który jest suma wektorów, −→
0z1 i−→
0z2.
Liczby zespolone Michał Krych
Definicja 1.5 (wartości bezwzględnej)
Wartościa bezwzgl, edn, a,|z| liczby zespolonej z = a+bi nazywamy liczbe, √
a2+ b2, argumentem arg z liczby z = a + bi̸= 0 – dowolna liczb, e φ tak, a, że cos φ =, √ a
a2+b2 oraz sin φ = √ b a2+b2. Z definicji tej wynika, że liczba |z| jest odległościa punktu z od punktu 0, a argument, liczby z, to kat mi, edzy wektorami, −→
01 i−→
0z mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
arg 2 = 0 lub arg 2 = 2004π, arg i = π2 lub arg i = −3π2 , arg(−1 + i) = π − π4 = 34π itp.
|2| = 2 = | − 2| = |2i| = | − 2i|, |1 + i| = | − 1 + i+ = |1 − i| = | − 1 − i| =√ 2.
Stwierdzenie 1.6 (Nierówność trójkata),
Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2 zachodzi nierówność |z1 + z2| 6 |z1| + |z2|, jest ona równościa jedynie wtedy, gdy punkty płaszczyzny odpowiadaj, ace liczbom 0, z, 1, z2leża na jednej, prostej, przy czym 0 nie leży miedzy, 1 z1 i z2.
Dowodu nie podajemy, bo wynika on ze znanych własności figur geometrycznych (np.
trójkata), a ci którzy ich nie pami, etaj, a, mog, a bez kłopotu wykazać, że dla dowolnych liczb rze-, czywistych a1, b1, a2, b2 zachodzi nierówność √
(a1+ a2)2+ (b1+ b2)2 6 √
a21+ b21+√
a22+ b22, staje sie ona równości, a wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista t, > 0 taka, że z1 = tz2 lub z2 = tz1.
Z równości z = a + bi, r =|z|, cos φ = √a2a+b2 i sin φ = √ b
a2+b2 wynika, że zachodzi równość z = r(cos φ + i sin φ). Zapisaliśmy liczbe z w postaci trygonometrycznej.,
Załóżmy, że z1 = r1(cos φ1+ i sin φ1) i z2 = r2(cos φ2+ i sin φ2). Wtedy z1z2 = r1r2(
cos φ1cos φ2− sin φ1sin φ2+ i(cos φ1sin φ2+ cos φ2sin φ1))
=
= r1r2(
cos(φ1+ φ2) + i sin(φ1+ φ2)) – skorzystaliśmy tu z wzorów cos(φ1 + φ2) = cos φ1cos φ2 − sin φ1sin φ2 oraz sin(φ1+ φ2) =
= cos φ1sin φ2+cos φ2sin φ1, z którymi wiele osób spotyka sie czasem w szkołach. Wykazaliśmy, w ten sposób, że wartość bezwzgledna iloczynu dwu liczb zespolonych równa jest iloczynowi, ich wartości bezwzglednych, a argument iloczynu dwu liczb zespolonych równa jest sumie ich, argumentów. Stosujac otrzymany wzór wielokrotnie otrzymujemy,
Twierdzenie 1.7 (Wzór de Moivre’a) (r(cos φ + i sin φ))n
= rn(
cos(nφ) + i sin(nφ)) .
Z tego wzoru wynika, że dla każdej liczby zespolonej w ̸= 0 i każdej liczby naturalnej n istnieje dokładnie n różnych liczb zespolonych z1, z2,. . . ,zntakich, że zjn= w dla j = 1, 2, . . . , n.
Załóżmy bowiem, że w = ϱ(cos ψ + i sin ψ). Jeśli z = r(cos φ + i sin φ) i w = zn, to musza, być spełnione równości ϱ = rn oraz nφ = ψ + 2kπ dla pewnej liczby całkowitej k. Wynika stad, że r =, √nϱ, zatem r jest wiec wyznaczone jednoznacznie. Musi też być φ =, ψn + 2kπn . Zastepuj, ac liczb, e k liczb, a k + n zwi, ekszamy k, at φ o 2π, co nie zmienia liczby z. Różne liczby z, otrzymujemy przyjmujac kolejno k = 0, k = 1,. . . , k = n, − 1. Otrzymujemy wiec dokładnie n, różnych wartości. Łatwo zauważyć, że odpowiadajace im punkty płaszczyzny s, a wierzchołkami, n–kata foremnego wpisanego w okr, ag o promieniu r =, √nϱ o środku w punkcie 0. Jeśli w = 1, to wśród tych liczb jest liczba 1.
1nieostro, jedna z liczb z1, z2może być zerem
Liczby zespolone Michał Krych
Definicja 1.8 (pierwiastka algebraicznego z liczby zespolonej)
Algebraicznym pierwiastkiem n–tego stopnia z liczby zespolonej w nazywamy każda liczb, e, zespolona z, dla której w = z, n.
Przykłady
1. Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 2 z liczby 1 = cos 0 + i sin 0 sa,
z1 = cos0π2 + i sin0π2 = cos 0 + i sin 0 = 1 oraz z2 = cos2π2 + i sin2π2 = cos π + i sin π = −1.
2. Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 3 z liczby 1 = cos 0 + i sin 0 sa, z1 = cos0π3 + i sin0π3 = 1, z2 = cos2π3 + i sin2π3 =−12 + i√23 oraz z3 = cos4π3 + i sin4π3 =−12 − i√23.
3. Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 3 z liczby −1 = cos π + i sin π sa, z1 = cosπ3 + i sinπ3 = 12 + i√23, z2 = cosπ+2π3 + i sinπ+2π3 =−1 oraz z3 = cosπ+4π3 + i sinπ+4π3 = 12 − i√23.
4. Ponieważ cos 2α + i sin 2α = (cos α + i sin α)2 = cos2α + 2i cos α sin α + i2sin2α =
= cos2α− sin2α + 2i cos α sin α, cześci rzeczywiste s, a równe i cz, eści urojone s, a równe,, wiec cos 2α = cos, 2α− sin2α i sin 2α = 2 sin α cos α.
5. Ponieważ
cos 3α + i sin 3α = (cos α + i sin α)3 = cos3α + 3i cos2α sin α + 3i2cos α sin2α + i3sin3α =
= cos3α− 3 cos α sin2α + i(
3 cos2α sin α− sin3α) , wiec cos 3α = cos, 3α− 3 cos α sin2α = 4 cos3α− 3 cos α oraz sin 3α = 3 cos2α sin α− sin3α = 3 sin α− 4 sin3α.
Widzimy wiec, że za pomoc, a liczb zespolonych można powi, azać wzory na cos nα i sin nα, z dwumianem Newtona, więc można przestać poszukiwać tych wzorów w tablicach.
Definicja 1.9 (sprzeżenia),
Jeśli z = a + bi, a, b∈ R, to liczbe z = a, − bi nazywamy sprzeżon, a do liczby z.,
2− 3i = 2 + 3i, 13 = 13, i = −i. Liczba z jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy , z = z.
Jeśli z /∈ R, to z ∈ C jest jedyna liczb, a tak, a, że z + z, ∈ R i jednocześnie z · z ∈ R. Prosty dowód tego stwierdzenia pozostawiam czytelnikom w charakterze ćwiczenia. Mamy też
z· z = (a + bi)(a − bi) = a2+ b2 =|z|2, z + z = 2 Re z oraz z− z = 2i Im z.
Możemy wiec napisać Re z =, 12(z + z) i Im z = 2i1(z− z). Punkty płaszczyzny odpowiadajace, liczbom z i z sa symetryczne wzgl, edem osi rzeczywistej.,
Przypomnijmy, że argument iloczynu dwu liczb zespolonych równy jest sumie argumen- tów składników. Jest to własność przypominajace nieco logarytm (logarytm iloczynu to suma, logarytmów czynników). Wykorzystujac t, e analogi, e można w sposób sensowny zdefiniować, poteg, e o wykładniku zespolonym i podstawie, któr, a matematycy uważaj, a za najważniejsz, a,, tzn. o podstawie e
Liczby zespolone sa używane, bo w niektórych sytuacjach nie sposób si, e bez nich obejść., Historycznie pierwszym przypadkiem tego rodzaju był chyba wzór na pierwiastki równania trzeciego stopnia: jeżeli x3+ px + q = 0, to x = 3
√
−2q +
√
p3
27+ q42 + 3
√
−q2 −√
p3 27+q42.
Liczby zespolone Michał Krych
Wyprowadzenie tego wzoru nie jest długie. Załóżmy, że u + v = x. Ma wiec być spełniona, równość 0 = (u + v)3 + p(u + v) + q = u3 + v3 + q + (u + v)(p + 3uv). Wystarczyłoby wiec, znaleźć pare liczb rzeczywistych u, v tak, a, że u, 3+v3 =−q i jednocześnie uv = −p3. W dziedzinie rzeczywistej równanie uv =−p3 jest równoważne równaniu u3v3 =−p273. Bez trudu stwierdzamy wiec, że liczby u, 3, v3 musza być pierwiastkami równania kwadratowego t, 2+ qt−p273 = 0. Musza, zatem być spełnione równości u3 =−q2−√
q2
4 +p273 i v3 =−q2 +
√
q2
4 + p273 (lub odwrotnie, ale przecież u, v graja w naszym rozumowaniu te same role). St, ad otrzymujemy równość,
x = u + v = 3
√
−q 2−
√p3 27+ q2
4 + 3
√
−q 2 +
√p3 27+ q2
4
Pokażemy, że stosowanie tego wzoru może być kłopotliwe. Niech p =−63, q = −162, zaj- mujemy sie wi, ec równaniem x, 3− 63x − 162 = 0. Mamy
p3
27+ q42 =(p
3
)3
+(q
2
)2
= (−21)3+ 812 =−2700 < 0.
Teraz z tej liczby należy wyciagn, ać pierwiastek kwadratowy. Ten pierwiastek nie jest liczb, a, rzeczywista! Można pomyśleć, że to dlatego, że nasze równanie nie ma rozwi, azań rzeczywistych., Tak jednak nie jest. Mamy bowiem (−3)3− 63 · (−3) − 162 = 0, (−6)3− 63 · (−6) − 162 = 0 oraz 93− 63 · 9 − 162 = 0, wiec nasze równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste. Otrzymujemy, wiec wzory, −3 = √3
81 +√
−2700+√3
81−√
−2700, −6 =√3
81 +√
−2700+√3
81−√
−2700, 9 =√3
81 +√
−2700 +√3
81−√
−2700. Wyglada to nieco podejrzanie: prawe strony s, a równe,, a lewe różne. To jednak tylko pozór. Sa dwie wartości pierwiastka kwadratowego z danej liczby, zespolonej ̸= 0 i trzy wartości pierwiastka trzeciego stopnia. Przy tej interpretacji można sie, spodziewać do trzydziestu sześciu pierwiastków tego równania. To jednak nie jest możliwe.
Równanie stopnia trzeciego ma najwyżej trzy pierwiastki (po prostu nie można wybierać war- tości tych pierwiastków w sposób dowolny). Udowodniono, że nie jest możliwe napisanie wzorów na pierwiastki równania stopnia trzeciego z użyciem dodawania, odejmowania, mnożenia, dzie- lenia i pierwiastkowania, które nie prowadziłyby do wyciagania pierwiastków kwadratowych, z liczb ujemnych w przypadku rzeczywistych współczynników i trzech rzeczywistych pierwiast- ków! Oznacza to, że w tym przypadku bez liczb zespolonych obyć sie nie można. Zacz, eto ich, wiec używać w XVI wieku, choć „ich nie było”. Zostały ostatecznie zaakceptowane na pocz, atku, XIX wieku, gdy C.F.Gauss pokazał, że można je potraktować jako punkty płaszczyzny i że wtedy działania na liczbach zespolonych zaczynaja mieć sens geometryczny. Dziś trudno sobie, wyobrazić matematyke bez ich użycia.,
Gaussowi udało sie również podać poprawny dowód zasadniczego twierdzenia algebry (naz-, wa dziś stosowana). Udowodnił on mianowicie, że każdy wielomian stopnia> 1 o współczynni- kach zespolonych ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony. Choć udowodnione twierdzenie sformułowane zostało w terminach algebraicznych, to dowód Gaussa był w swej istocie geome- tryczny (czy jak byśmy dziś powiedzieli — topologiczny, tej nazwy w czasach autora dowodu jeszcze nie używano). Sformułujemy teraz to twierdzenie wraz z pewnym wnioskiem.
Twierdzenie 1.10 (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Jeśli a0, a1, . . . , an ∈ C oraz n > 1 i an ̸= 0, to istnieje co najmniej jedna liczba zespolona z1
taka, że a0+ a1z1+· · · + anzn1 = 0, czyli: każdy wielomian stopnia wiekszego od 0, o współczyn-, nikach zespolonych ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.
Liczby zespolone Michał Krych
Dowód tego twierdzenia nie mieści sie w tym wykładzie. Z twierdzenia tego wynika, że jeśli, p(z) = a0+a1z+· · ·+anzn, n> 1, an ̸= 0, to istnieje co najmniej jedna liczba zespolona z1 taka, że dla pewnych liczb zespolonych b0, b1, . . . , bn−1 wzór p(z) = (z− z1)(b0+ b1z +· · · + bn−1zn−1) zachodzi dla każdej liczby zespolonej z (twierdzenie B´ezout). Oczywiście bn−1 = an ̸= 0.
Jeśli n− 1 > 1, to istnieje liczba z2 taka, że b0+ b1z2+· · · + bn−1z2n−1 = 0, wiec powtarzaj, ac, rozumowanie stwierdzamy istnienie liczb c0, c1, . . . , cn−2takich, że dla każdej liczby zespolonej z zachodzi równość p(z) = (z−z1)(z−z2)(c0+c1z+· · ·+cn−2zn−2). Te zabaw, e można kontynuować, dopóty, dopóki nie rozłożymy wielomianu p na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i stałej:
p(z) = an(z− z1)(z− z2)· · · (z − zn).
Wywnioskowaliśmy właśnie z zasadniczego twierdzenia algebry Wniosek 1.11
Każdy wielomian o współczynnikach zespolonych możemy przedstawić w postaci iloczynu wie- lomianów stopnia pierwszego o współczynnikach zespolonych.
Wniosek ten może być zastosowany również do wielomianów, których współczynnikami sa, liczby rzeczywiste, w końcu liczby rzeczywiste sa również liczbami zespolonymi (bardzo szcze-, gólnymi). Takie wielomiany bedziemy nazywać rzeczywistymi. Wtedy z tego wniosku można, wywnioskować nieco wiecej.,
Twierdzenie 1.12 (o nierzeczywistych pierwiastkach wielomianu rzeczywistego) Jeśli a0, a1, . . . , an ∈ R, n > 1 i an ̸= 0 oraz a0 + a1z + a2z2 +· · · + anzn = 0, to również a0+ a1z + a¯ 2z¯2+· · · + anz¯n = 0, tzn. jeśli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to jej sprzeżenie ¯, z też jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Dowód. Mamy
0 = ¯0 = a0+ a1z + a2z2+· · · + anzn=
= ¯a0+ ¯a1z + ¯¯ a2z¯2 +· · · + ¯anz¯n = a0+ a1z + a¯ 2z¯2+· · · + anz¯n
— trzecia równość wynika z własności sprzeżenia, czwarta — z tego, że liczby a, 0, a1, . . . , an sa, rzeczywiste. Dowód został zakończony.
Widzimy wiec, że nierzeczywiste pierwiastki wielomianu rzeczywistego wyst, epuj, a parami., Jeśli z1, jest nierzeczywistym pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego p(z), to z2 = ¯z1 ̸= z1 też jest jego pierwiastkiem, wiec wielomian p(z) jest podzielny przez wielomian (z, − z1)(z− z2) =
=z2 − (z1 + z2)z + z1z2 = z2 − (z1 + ¯z1)z + z1z¯1 = z2 − 2 Re z1z +|z1|2. Współczynniki tego ostatniego wielomianu sa liczbami rzeczywistymi! Oczywiście ten wielomian kwadratowy nie, ma pierwiastków rzeczywistych (bo ma nierzeczywiste, a ma ich tylko dwa jako wielomian stopnia drugiego). Stad łatwo już wnioskujemy, że,
Twierdzenie 1.13 (o rozkładzie wielomianu rzeczywistego na czynniki nierozkładalne) Każdy wielomian rzeczywisty stopnia nie mniejszego niż 1 można przedstawić w postaci ilo- czynu wielomianów rzeczywistych stopnia pierwszego i drugiego o ujemnych wyróżnikach.
Okazało sie wi, ec, że przynajmniej z punktu widzenia rozwi, azywania równań wielomiano-, wych dalsze rozszerzania zapasu liczb nie jest potrzebne.2
Ze znanego wzoru na sume pierwszych n wyrazów ci, agu geometrycznego wyprowadzimy, wzór na sumy: sin φ + sin(2φ) +· · · + sin nφ oraz cos φ + cos(2φ) + · · · + cos(nφ).
2Nie jest też w pewnym sensie możliwe, ale wyjaśnienie odpowiedniego twierdzenia zajełoby za dużo miejsca.,
Liczby zespolone Michał Krych
Mamy cos φ + cos(2φ) +· · · + cos(nφ) + i sin φ + i sin(2φ) + · · · + i sin nφ =
= cos φ + i sin φ + cos(2φ) + i sin(2φ) +· · · + cos(nφ) + i sin(nφ) =
= cos φ + i sin φ + (cos φ + i sin φ)2+· · · + (cos φ + i sin φ)n q=cos φ+i sin φ
=============
= q + q2+· · · + qn = qqqn−1−1 = (cos φ + i sin φ)cos(nφ)+i sin(nφ)−1 cos φ+i sin φ−1 =
= (cos φ + i sin φ)(cos φ− i sin φ − 1) cos(nφ)+i sin(nφ)−1
(cos φ+i sin φ−1)(cos φ−i sin φ−1) =
=(
1− (cos φ + i sin φ))cos(nφ)+i sin(nφ)−1
(cos φ−1)2+sin2φ = cos(nφ)+i sin(nφ)−1−cos(n+1)φ−i sin(n+1)φ+cos φ+i sin φ
2(1−cos φ) .
Ponieważ cześci rzeczywiste równych liczb zespolonych s, a równe, wi, ec, cos φ + cos(2φ) +· · · + cos(nφ) = Re(
cos(nφ)+i sin(nφ)−1−cos(n+1)φ−i sin(n+1)φ+cos φ+i sin φ 2(1−cos φ)
)
=
= cos(nφ)−1−cos(n+1)φ+cos φ
2(1−cos φ) = 2 sin
φ
2 sin(2n+1)φ2 −2 sin2 φ2 4 sin2 φ2
= sin
(2n+1)φ 2 −sinφ2 2 sinφ2
= sin
nφ
2 cos(n+1)φ2
sinφ2
— zastosowaliśmy w końcówce wzory trygonometryczne znane kiedyś licelistom. Porównujac, cześci urojone otrzymujemy wzór:, sin φ + sin(2φ) +· · · + sin nφ = sinnφ2 sin(n+1)φ2
sinφ2
.
Zapewne wiele osób dowodziło za pomoca indukcji matematycznej uzyskane wzory, ale nam, udało sie je uzyskać jako wniosek z wzoru na sum, e wyrazów skończonego ci, agu geometrycz-, nego. Żadna hipoteza na wstepie nie była potrzebna! Również w tym przypadku pokazaliśmy, rozwiazanie problemu, w którego sformułowaniu liczb zespolonych nie ma, natomiast pojawiaj, a, sie w rozwi, azaniu.,
Znacznie bardziej spektakularne było rozumowanie Eulera z połowy XVIII w uzasadniajace, szczególny przypadek twierdzenia Fermata. Udowodnił on mianowicie, że równanie x3+y3 = z3 nie ma rozwiazań całkowitych poza takimi, w których jedna z niewiadomych jest równa 0., Spróbujemy opisać to rozumowanie.3
3Autor tego tekstu nie widział dowodu twierdzenia Fermata w przypadku n = 3 nie korzystajacego z liczb, zespolonych, choć wie, że taki dowód został napisany.
Twierdzenie Fermata dla n = 4
P. Fermat sformułował w XVII w. twierdzenie:
Jeśli n > 3 jest liczbą naturalną, xn+ yn = zn, x, y, z ∈ Z, to xyz = 0, więc równanie to nie ma rozwiązań z wyjątkiem oczywistych. Twierdzenie to chcieli udowodnić różni matematycy, ale dopiero po ponad 300 latach, w końcówce XX w. udało się Andrew Wilesowi udowodnić je. Fermat napisał, że umie je udowodnić, ale dziś chyba nikt w to nie wierzy. Znany dowód korzysta z teorii i twierdzeń powstałych po śmierci Fermata. Jest też długi. Wiles skorzystał z wyników wielu osób wcześniej badających to równanie i inne problemy.
Dla n = 2 istnieje wiele trójek x, y, z ∈ Z, dla których x2+ y2 = z2. Np. 33+ 42 = 52, albo 72+ 242 = 252.
Zanim opiszemy wszystkie trójki liczb całkowitych x, y, z, dla których x2+ y2 = z2 zauwa- żymy, że można szukać jedynie takich rozwiązań równania xn+ yn = zn, dla których każde dwie liczby z trójki x, y, z są względnie pierwsze. Jeśli bowiem dwie liczby dzielą się przez liczbę pierwszą p, to trzecia też, więc x = px1, y = py1, z = pz1 dla pewnych liczb całkowitych x1, y1, z1 oraz (px1)n+ (py1)n = (pz1)n, zatem xn1+ y1n= z1n– podzieliśmy obie strony równania przez pn. Powtórzywszy tę procedurę być może wiele razy doprowadzamy do sytuacji, w której każde dwie liczby spośród x, y, z są względnie pierwsze.
Twierdzenie, które za chwilę sformułujemy jest znane od wieluset lat.
Twierdzenie 1.14 (o postaci całkowitych rozwiązań równania x2+ y2 = z2)
Jeśli x, y, x∈ Z i x, y, z > 0 oraz x2+ y2 = z2, przy czym NWD(x, y, z) = 1, 2- x, to istnieją takie liczby całkowite a, b, że x = a2− b2, y = 2ab i z = a2+ b2.
Dowód. Niech NWD(x, y, z) = 1. Zauważmy najpierw, że jeśli x2+ y2 = z2, to dokładnie jedna z liczb x, y, z jest parzysta. Dwie nie mogą być, bo wtedy trzecia też byłaby parzysta wbrew założeniu. Jeśli natomiast dwie liczby są nieparzyste, to trzecia jest parzysta. Kwadrat liczby całkowitej może być podzielny przez 4, ale kwadrat liczby nieparzystej z dzielenia przez 4 daje resztę 1, co wynika z równości (2m)2 = 4m2 i (2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1. Kwadrat liczby całkowitej nie może więc dać reszty 2 ani reszty 3 z dzielenia przez 4. Wynika stąd, że z jest nieparzyste oraz że jedna z liczb x, y jest parzysta, a druga nieparzysta. Dla ustalenia uwagi przyjmujemy, że 2- x i 2 | y. Mamy zatem (y
2
)2
= z−x2 · z+x2 . Ponieważ z−x2 + z+x2 = z i z+x2 − z−x2 = x oraz NWD(x, z) = 1, więc NWD(z−x2 ,z+x2 ) = 1. Oczywiście z+x2 > z−x2 > 0.
Jeśli iloczyn dwu względnie pierwszych liczb całkowitych dodatnich jest kwadratem liczby całkowitej, to te liczby też są kwadratami liczb całkowitych. Istnieją więc takie liczby a, b∈ Z, że z+x2 = a2 oraz z−x2 = b2. Wynika stąd, że y2 = ab, x = a2− b2 i z = a2+ b2, czyli dowodzona teza.
Kolej na równanie x4+ y4 = z4. Zajmiemy się równaniem nieco ogólniejszym, mianowicie x4+ y4 = z2 i wykażemy, że ono nie ma rozwiązań całkowitych, dla których x, y, z > 0.
Twierdzenie 1.15 (o braku dodatnich liczb całkowitych, dla których x4+ y4 = z2) Jeśli x, y, z ∈ Z i x4 + y4 = z2, to xy = 0. Załóżmy, że istnieje trójka dodatnich liczb całkowitych x, y, z, dla której x4+ y4 = z2. Jeśli x, y są podzielne przez liczbę pierwszą p, to z też jest podzielna przez p, a nawet przez p2, czyli x = px1, y = py1 i z = p2z1 dla pewnej trójki liczb całkowitych x1, y1, z1. Wtedy x41 + y14 = z12. Jeśli np. x i z dzielą się przez p, to również y jest przez p podzielne i – jak przed chwilą – możemy równanie podzielić przez p4. Można więc dzieląc równanie przez kolejne potęgi liczb pierwszych doprowadzić do równania,
Twierdzenie Fermata dla n = 4 Michał Krych
w którym x, y, z > 0 oraz NWD(x, y, z) = 1. Skoro tak, to na mocy poprzedniego twierdzenia możemy napisać, że x2 = a2− b2, y2 = 2ab, z = a2+ b2. Jasne jest, że każdy wspólny dzielnik liczb a, b jest też wspólnym dzielnikiem liczb x, y, z, a ponieważ te są względnie pierwsze, więc NWD(a, b) = 1. Wobec tego również NWD(a, b, x) = 1. Liczba y2 jest parzysta, więc y też jest parzysta, zatem jedna z liczb a, b jest parzysta, a druga nieparzysta. Z równości x2 = a2− b2 wynika, że b jest liczbą parzystą, a a – nieparzystą. Wobec tego, że (y
2
)2
= a· b2, stwierdzamy, że a = c2 i 2b = d2 dla pewnych dodatnich liczb całkowitych c, d. Ponieważ b2+ x2 = a2 i 2- x, więc x = k2 − ℓ2, 2d2 = b = 2kℓ i a = k2 + ℓ2 dla pewnych dodatnich liczb całkowitych k, ℓ.
Ponieważ k, ℓ są względnie pierwsze i d2 = kℓ, więc k = k21 i ℓ = ℓ21 dla pewnych dodatnich liczb całkowitych k1, ℓ1. Stąd wynika, że
c2 = a = k2 + ℓ2 = k14+ ℓ41.
Otrzymaliśmy więc równanie typu x4+y4 = z2, ale z = a2+b2 > a2 = c4, więc z > c. Procedurę można powtarzać dopóki otrzymujemy kwadraty liczb dodatnich. Rzecz jednak może zdarzyć się jedynie skończenie wiele razy – malejący ciąg dodatnich liczb całkowitych jest skończony.
Sprzeczność ta kończy dowód.
Według historyków matematyki zaprezentowany dowód był znany Fermatowi. Autor tego tekstu natrafił nań kiedyś w świetnej książce „O liczbach i figurach” autorstwa dwóch Niemców:
H. Rademachera i O. Toeplitza, ale jest on w wielu innych książkach. Czytelnik na pewno widzi, że idea jest w gruncie rzeczy taka sama, jak w dowodzie niewymierności liczby√
2 podawanym zwykle w podręcznikach: z istnienia rozwiązania równania wnioskujemy istnienie „mniejszego”
rozwiązania, co prowadzi do sprzeczności.
Zanim przejdziemy do równania x3+ y3 = z3 zajmiemy się własnościami pewnych zbiorów złożonych z niektórych liczb zespolonych.
Jednoznaczność rozkładu w niektórych zbiorach
Zaczniemy od zbioru liczb całkowitych. Punktem wyjścia będzie Twierdzenie 1.16 (o dzieleniu z resztą w Z)
Jeśli a, b∈ Z, b ̸= 0, to istnieje dokładnie jedna taka para liczb całkowitych q, r, że a = q · b + r i 06 r < |b|.
Dowód. Załóżmy, że b > 0. Istnieją takie liczby całkowite k, że a > kb, czyli ab > k.
Niech q będzie największą taka liczbą całkowitą, że a > qb. Wtedy qb 6 a < (q + 1)b, zatem a− qb < b. Przyjmujemy r = a − qb, co kończy dowód istnienia pary q, r w tym wypadku. Jeśli b < 0, to znajdujemy parę q, r dla pary a,−b i otrzymujemy równość a = q(−b)+r = (−q)b+r i oczywiście r < −b = |b|. Para q, r jest jedyna, bo jeśli qb + r = q1b + r1 i 0 6 r, r1 < |b|, to (q− q1)q = r1 − r. Ponieważ |r1− r| < |b|, więc musi być q = q1, bo inaczej |(q − q1)b| > |b|.
Z tego wynika, że 0 = (b− b1)q = r1− r, zatem r = r1, co kończy dowód.
Liczba q z twierdzenia o dzieleniu z resztą nazywana jest ilorazem, a liczba r — resztą z dzielenia a przez b.
Twierdzenie 1.17 (o największym wspólnym dzielniku)
Jeśli a, b są liczbami całkowitymi i co najmniej jedna z nich nie jest zerem, to istnieją takie liczby całkowite x, y, że NWD(a, b) = ax + by.
Dowód. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że a > 0. Istnieją takie pary liczb całkowitych u, v, że au + bv > 0, np. u = 1, v = 0. Niech x, y będą takimi liczbami całkowitymi, że ax + by jest najmniejszą z liczb postaci au + bv. Wykażemy, że ax + by = d jest wspólnym dzielnikiem liczb a i b. Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą istnieją takie liczby całkowite q, r, że a = qd + r i 0 6 r < d. Wtedy r = a − qd = a(1 − qx) + b(−qy), więc r jest postaci au + bv. Ponieważ r> 0 i r < d, więc r = 0, co dowodzi, że d jest dzielnikiem a. W taki sam sposób przekonujemy się o tym, że d jest dzielnikiem b. Jednak każdy wspólny dzielnik a i b, również największy, jest też dzielnikiem liczby ax + by = d. Dowód został zakończony.
Lemat 1.18 (o liczbie pierwszej dzielącej iloczyn) Jeśli p jest liczbą pierwszą, a, b∈ Z i p | ab, to p | a lub p | b.
Dowód. Załóżmy, że p- a. Wtedy NWD(a, p) = 1, bo p jest liczbą pierwszą. Wobec tego istnieją takie liczby całkowite x, y, że 1 = ax + py. Wtedy b = abx + bpy. Liczby (ab)x i bpy dzielą się przez p, więc ich suma, czyli b też. Dowód został zakończony.
Twierdzenie 1.19 (o jednoznaczności rozkładu w Z)
Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Jeśli p1, p2, . . . , pk oraz ˜p1, ˜p2, . . . , ˜pℓ są liczbami pierwszymi i p1· p2· . . . · pk = ˜p1· ˜p2· . . . · ˜pℓ, to k = ℓ i po ewentualnej zmianie numeracji pj = ˜pj dla j = 1, 2, . . . , k.
Dowód. Istnienie rozkładu dowodzimy przez indukcję. Wystarczy oczywiście dowieść twierdzenie dla liczb dodatnich. Załóżmy, że każda liczba mniejsza od n jest iloczynem liczb pierwszych. Jeśli n jest liczbą pierwszą, to jest iloczynem złożonym z jednego czynnika. Jeśli n nie jest liczbą pierwszą, to n = kℓ, przy czym k, ℓ > 1. Wtedy 1 < k < n i 1 < ℓ < n, więc k i ℓ są iloczynami liczb pierwszych, zatem ich iloczyn też.
Jeśli p1 · p2 · . . . · pk = ˜p1 · ˜p2 · . . . · ˜pℓ, to p1 | ˜p1 · (˜p2 · . . . · ˜pℓ), więc albo p1 = ˜p1, albo p1 | ˜p2· . . . · ˜pℓ. Powtarzając to rozumowanie wielokrotnie stwierdzamy, że p1 to jedna z liczb
Jednoznaczność rozkładu w niektórych zbiorach Michał Krych
˜
p1, ˜p2, . . . , ˜pℓ. Dzielimy równość p1·p2·. . .·pk = ˜p1· ˜p2·. . .· ˜pℓprzez p1i powtarzamy rozumowanie eliminując z iloczynu p2 itd. Dowód został zakończony.
Widać, że kluczem do dowodu twierdzenia o jednoznaczności rozkładu w zbiorze liczb cał- kowitych był lemat o liczbie pierwszej dzielącej iloczyn. Nie korzystaliśmy w dowodzie z jed- noznaczności ilorazu q ani reszty r.
Zajmiemy się teraz dzieleniem w zbiorze Z[i] = {a + bi : a, b∈ Z}, zwanym często pier- ścieniem Gaussa. W tym zbiorze wykonalne są: dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Wynika to z tego, że suma, różnica oraz iloczyn liczb całkowitych są całkowite i równości i2 =−1.
Aby rozwinąć teorię podzielności w zbiorze Z[i], zdefiniujemy najpierw dzielenie z resztą.
Nie możemy posłużyć się nierównością, jak to uczyniliśmy w wypadkuZ, bo jak wykazaliśmy wcześniej liczb zespolonych nie można porównywać w sensowny sposób. Można jednak porów- nywać ich wartości bezwględne, a dokładniej ich kwadraty. W dalszym ciągu N (z) = z· ¯z, N (z) nazywamy normą z w Z[i]. Jeśli z = a + bi ∈ Z[i], czyli a, b ∈ Z, to N(z) = a2+ b2. Twierdzenie 1.20 (o dzieleniu z reszta w, Z[i])
Dla dowolnych liczb w, z ∈ Z[i], z ̸= 0 istnieja liczby κ, ϱ takie, że w = κz + ϱ i N (ϱ) < N (z)., κ nazywamy ilorazem, a ϱ reszta z dzielenia liczby w przez liczb, e z., 4
Dowód. Niech a, b, c, d oznaczaja liczby całkowite takie, że w = a + bi, z = c + di. Niech, r, s bed, a takimi liczbami wymiernymi, że r + si =, wz = a+bic+di = (a+bi)(cc2+d−di)2 = ac+bd+(bcc2+d2−ad)i. Niech m, n oznaczaja takie liczby całkowite, że, |r − m| 6 12 i |s − n| 6 12. Mamy wiec,
a + bi = (c + di)(r + si) = (c + di)(m + ni) + (c + di)(
(r− m) + (s − n)i) . Mamy (c + di)(
(r− m) + (s − n)i)
= a + bi− (c + di)(m + ni) ∈ Z[i], bo a, b, c, d, m, n sa, liczbami całkowitymi. Mamy też
(c + di)(
(r− m) + (s − n)i) 2 = (c2+ d2)(
(r− m)2+ (s− n)2) 6 6 (c2+ d2)(1
4 + 14)
= 12(c2+ d2) = 12N (z) < N (z).
Wystarczy wiec przyj, ać κ = m + ni i ϱ = a + bi, − (c + di)(m + ni).
Ciąg dalszy jest taki sam, jak poprzednio.
Twierdzenie 1.21 (o najwiekszym wspólnym dzielniku dwu liczb z, Z[i])
Dla dowolnych dwu liczb z1, z2 ∈ Z[i], z1 ̸= 0 ̸= z2istnieje liczba D∈ Z[i], która jest dzielnikiem obu liczb z1, z2 podzielnym przez wszystkie wspólne dzielniki obu liczb z1, z2.
Dowód. Niech A bedzie zbiorem wszystkich liczb postaci xz, 1+yz2, gdzie x, y ∈ Z[i]. Niech D = x0z1+y0z2 oznacza element zbioru A o najmniejszej dodatniej normie N (D) = D ¯D. Jasne jest, że jeśli d jest wspólnym dzielnikiem liczb z1 i z2, to jest dzielnikiem każdej liczby postaci xz1+ yz2, wiec jest również dzielnikiem wybranej przez nas liczby D. Z twierdzenia o dzieleniu, z reszta wynika, że istniej, a liczby q, 1, r1 ∈ Z[i] takie, że z1 = q1D + r1 i N (r1) < N (z1) — r1 jest reszta z dzielenia liczby z, 1 przez liczbe D. Mamy r, 1 = z1− q1D = (1− q1x0)z1− q1y0z2 ∈ A.
Wobec tego, że 06 N(r1) < N (D) stwierdzamy, że N (r1) = 0, czyli z1 = q1D. W ten sposób wykazaliśmy, że liczba D jest dzielnikiem liczby z1. Tak samo dowodzimy, że D jest dzielnikiem liczby z2.
Jak widać ten dowód nie różni się istotnie od dowodu tego twierdzenia dla liczb całkowitych.
Kolej na ważną definicję, siłą rzeczy nieco mniej oczywistą niż dla liczb całkowitych.
4Iloraz i reszta nie sa zdefiniowane jednoznacznie: 3 = (1, − i)(1 + i) + 1 = (2 − i)(1 + i) − i, więc resztą z dzielenia 3 przez 1 + i jest zarówno 1 jak i−i, ilorazami są odpowiednio 1 − i oraz 2 − i.
