Niech U będzie generatorem mocno ciągłej półgrupy kontrakcji Tt

4. Teoria półgrup operatorów – zadania

Niech X będzie przestrzenią Banacha.

1. Niech U będzie generatorem mocno ciągłej pólgrupy kontrakcji Tt, a Uα aproksymacjami Yosidy operatora U . Udowodnij, że dla każdego λ > 0 i każdego x ∈ X

λI − U_α⁻¹ x →

λI − U⁻¹ x, gdy α → ∞.

2. Wywnioskuj z poprzedniego zadania, że we wzorze

I −U_α n

⁻ⁿ x →

I −U n

⁻¹ x,

zbieżność przy α → ∞ jest jednostajna względem n i wyprowadź stąd

n→∞lim

 I −tU

n

⁻ⁿ

x = Ttx, x ∈ X, t > 0.

3. Niech U będzie generatorem mocno ciągłej półgrupy kontrakcji T_t. Udowodnij, że dla każdego m ­ 1 i każdego λ > 0

(λI − U )^−mx = 1 (m − 1)!

Z ∞ 0

t^m−1e^−λtTtx dt, x ∈ X.

4. Niech T_t będzie mocno ciągłą półgrupą operatorów na X. Sprawdź, że operator Ax = lim

h→0

T_hx − x

h , x ∈ D = {z ∈ X : lim

h→0

T_hx − x

h istnieje},

jest gęsto określonym operatorem domkniętym. Podobnie jak w przypadku pólgrup kontrakcji bę- dziemy go nazywać generatorem infinitezymalnym półgrupy.

5. Niech Ttbedzie mocno ciągłą półgrupą operatorów, taką że kTtk ¬ M dla t ­ 0 i pewnego M > 0.

Wykaż, że wzór

kxk⁰= sup

t>0

kTtxk

definiuje nomę równoważną wyjściowej, względem której półgrupa staje się mocno ciągłą półgrupą kontrakcji.

6. Niech będzie dany gęsto określony domknięty operator A : D → X, taki że (0, ∞) ⊂ ρ(A). Załóżmy, że dla każdego λ > 0 i każdego n ∈ N

kλⁿ(λI − A)⁻ⁿk ¬ M.

Dla µ > 0 i x ∈ X niech

kxk⁰= sup

µ>0

sup

n

kµⁿ(µI − A)ⁿxk.

Udowodnij, że k · k⁰ jest normą równoważną normie wyjściowej, bo kxk ¬ kxk⁰¬ M kxk, x ∈ X.

Co więcej, w nowej normie operator A spełnia założenia twierdzenia Hille-Yosidy, a więc jest genera- torem mocno ciągłej półgrupy kontrakcji.

7. Korzystając z poprzedniego zadania i twierdzenia Hille-Yosidy, udowodnij następujące uogólnienie tego twierdzenia: Niech A : D → X bedzie gęsto określonym i domkniętym operatorem liniowym w X, którego zbiór rezolwenty zawiera (0, ∞). Niech ponadto dla kazdego λ > w i każdego n ∈ N

k(λ − w)ⁿ(λI − A)⁻ⁿk ¬ M,

gdzie M > 0 i w ∈ R. Wówczas A jest generatorem mocno ciągłej pólgrupy operatorów Ttspełniają- cych oszacowanie kTtk ¬ M e^wt.

(pg)