Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 4.

Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 4.

17 listopada 2016

Zadania

1. Udowodnij, że następujące ciągi są rozbieżne do nieskończoności:

ˆ an= ⁴

n

n³

ˆ bn= ((−1)ⁿ+2)n + n²

ˆ cn=n³−n − 1

2. Korzystając z twierdzenia związanego z arytmetyką granic, oblicz granice ciągów (dopuszczamy nieskoń- czoności):

a_n= −3n⁴+n²−4 + 2

bn= 3n + 2

−n − 2

c_n=

3n³+2n²−5

−n⁴−2

dn=

4ⁿ⁺²−3ⁿ

−5ⁿ+ (−1)ⁿ⁺¹

e_n=

4ⁿ⁺²−3ⁿ

−4ⁿ+ (−1)ⁿ⁺¹ fn=

√

n + 1 −√ n g_n=

√n(

√

2n + 1 −

√ 3n − 1)

3. Korzystając z tego, że lim_n→∞(1 +_n¹)

n

=e, oblicz granice:

an= (1 +1 n)

2n

bn= (1 + 1 2n)

2n

c_n= (1 + 1 n)

2n+3

dn= (1 + 1 3n)

n

e_n= (1 − 1 n)

n

f_n= ( 3n + 2 3n + 1)

3n

4. Czy następujące ciągi są ciągami Cauchy’ego. Odpowiedź uzasadnij na podstawie definicji.

ˆ an= ⁽⁻¹⁾

n

n+1 ,

ˆ bn= (1 + (−1)ⁿ)ⁿ.

1