o stałych współczynnikach

o stałych współczynnikach

1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat¹ potrzebny w następnym paragrafie do określenia fun- damentalnego układu rozwiązań.

Niech (σ1, τ1), . . . , (σr, τr) będą różnymi parami liczb rzeczywistych, spełniającymi warunek:

τk>0, k = 1, . . . , r.

Niech ponadto będzie dany ciąg par wielomianów (S1, T1), . . . , (Sr, Tr) spełniający warunek:

τk= 0 ⇒ Tk= 0.

Lemat 1. Jeżeli równość

r

X

k=1

e^σkx Sk(x) cos τkx + Tk(x) sin τkx
= 0

jest spełniona dla każdej liczby x ∈ R, to S1= . . . = Sr = 0 i T1 = . . . = Tr= 0.

2. Jednorodne układy o stałych współczynnikach

W dalszym ciągu rozszerzymy rozważania także na dziedzinę zespoloną. W tym celu przypo- mnimy kilka pojęć ze Wstępu do analizy zespolonej.² Niech f : R → C. Połóżmy u(t) = Re f (t), v(t) = Im f (t) dla t ∈ R. Jesli funkcje u i v są różniczkowalne w R, to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna i jej pochodną określamy wzorem

f^′(t) = u^′(t) + iv^′(t), t ∈ R.

Mówimy, że funkcja F : R → C jest funkcją pierwotną funkcji f , gdy F^′(t) = f (t) dla t ∈ R.

Oczywiście funkcja f posiada funkcję pierwotną wtedy i tylko wtedy, gdy część rzeczywista i urojona funkcji f posiadają funkcje pierwotne.

Na zakończenie przypomnijmy, że funkcję wykładniczą w dziedzinie zespolonej określamy w na- stępujący sposób

e^z = e^x(cos y + i sin y), z = x + iy ∈ C.

1 Dowód lematu znajduje sie na przyład w skrypcie Jacka Chądzyńskiego,Wstęp do równań różniczkowych zwy- czajnych, Wydawnictwo UŁ, Łódź 1994.

2 Porównaj: J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.

Przykład 1. Niech λ = α + iβ ∈ C. Funkcja f (t) = e^λt, t ∈ R jest różniczkowalna i f^′(t) = e^λtλ.

Istotnie, dla dowolnej liczby t ∈ R mamy

f (t) = e^λt= e^αt+iβt= e^αtcos βt + ie^αtsin βt.

Funkcje rzeczywiste u(t) = e^αtcos βt i v(t) = e^αtsin βt są różniczkowalne w każdym punkcie t ∈ R oraz

u^′(t) = αe^αtcos βt − e^αtβ sin βt, v^′(t) = αe^αtsin βt + e^αtβ cos βt.

Stąd funkcja f jest różniczkowalna i

f^′(t) = u^′(t) + iv^′(t) = e^αt(α + iβ) cos βt + ie^αt(α + iβ) sin βt = e^λtλ.

Niech w dalszym ciągu K oznacza ciało R lub ciało C.

Powróćmy do układów równań różniczkowych. Niech A =h

a_kli

16k,l6n

będzie macierzą o wyrazach a_kl∈ K. Przyjmujemy następujące oznaczenia Re A =h

Re akl

i

16k,l6n, Im A =h Im akl

i

16k,l6n. W paragrafie tym zajmować się będziemy układami postaci











y^′₁= a11y1+ . . . + a1ny_n, . . . . y_n^′ = an1y1+ . . . + annyn

lub krócej, w postaci macierzowej

(1) y^′ = Ay.

Rozwiązaniem integralnym takiego układu (również przy K = C) jest każde odwzorowanie róż- niczkowalne Φ : R → Kⁿtakie, że Φ^′(x) = A · Φ(x) dla x ∈ R.

Niech E oznacza macierz jednostkową stopnia n, czyli E =h

δ_kli

16k,l6n

gdzie δ_kl jest tak zwaną deltą Kroneckera, tzn.

δ_kl=







1 dla k = l, 0 dla k 6= l.

Macierz A − λE, gdzie λ ∈ K nazywamy macierzą charakterystyczną układu (1). Jej wyznacznik D(λ) = det(A − λE),

który jest wielomianem stopnia n względem λ nazywamy wielomianem charakterystycznym układu (1). Przypomnijmy, że każdy pierwiastek λ0 ∈ K wielomianu charakterystycznego D nazywamy wartością własną macierzyA, natomiast wektor Γ ∈ Kⁿ będący rozwiązaniem układu

(2) (A − λ0E)Γ = 0

nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ0.

Twierdzenie 1. Jeśli λ0 ∈ K jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego układu (1), a Γ ∈ Kⁿ – wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ0, to odwzorowanie

Φ(x) = e^λ0xΓ x ∈ R

jest rozwiązaniem układu (1).

Dowód. Wprost z określenia Γ mamy AΓ − λ0Γ = AΓ − λ0EΓ = (A − λ0E)Γ = 0. Stąd

λ0Γ = AΓ.

Ponadto odwzorowanie Φ jest różniczkowalne i z powyższego

Φ^′(x) = e^λ0xλ0Γ = e^λ0xAΓ = Ae^λ0xΓ = AΦ(x),

co kończy dowód.

Twierdzenie 2. Jeśli λ0 ∈ K jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego układu (1), to istnieje p liniowo niezależnych nad ciałem K rozwiązań układu (1) postaci

(3) Φ_k(x) = e^λ0xh

P_ik(x)i

16i6n, k = 1, . . . , p,

gdzieP1k, . . . , Pnk są wielomianami o współczynnikach z ciała K stopnia co najwyżej k − 1.

Dowód. Zastosujemy indukcję względem p. Dla p = 1 prawdziwość dowodzonego twierdzenia wynika z twierdzenia 1.

Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla p − 1. Niech λ0 ∈ K będzie p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego układu (1). Ponieważ det(A−λ0I) = 0, to istnieje niezerowy wektor własny Γ = (γ1, . . . , γn) ∈ Kⁿ macierzy A odpowiadający wartości własnej λ0. Z twierdzenia 1.

wynika, że istnieje niezerowe rozwiązanie Φ1 układu (1) postaci

Φ1(x) = e^λ0xΓ.

Bez zmniejszenia ogólności, możemy założyć, że γ1 6= 0. Można to uczynić przenumerowując niewia- dome w układzie (1). Wówczas, jak wiadomo z algebry, wielomiany charakterystyczne układu (1) i układu powstałego po przenumerowaniu niewiadomych są takie same.

Rozważmy układ zredukowany odpowiadający rozwiązaniu Φ. Ma on następującą postać:

(4)











z2^′ = a22−^γ_γ²₁a12
z2+ . . . + a2n−^γ_γ²₁a1n
zn, . . . . z_n^′ = an2− ^γ_γⁿ

1a12
z2+ . . . + ann−^γ_γⁿ

1a1n
zn.

Niech D(λ) oznacza wielomian charakterystyczny tego układu. Zbadamy najpierw, jaki jest związek między wielomianami charakterystycznymi układów (1) i (4). Zauważmy, że

det(A − λE) =          

a11− λ a12 . . . a1n

a21 a22− λ . . . a2n

. . . . an1 an2 . . . ann− λ          

= 1 γ1

a11γ1− λγ1 a12 . . . a1n

a21γ1 a22− λ . . . a2n

. . . . an1γ1 an2 . . . ann− λ          

=

= 1 γ1

n

P

k=1

a1kγk− λγ1 a12 . . . a1n n

P

k=1

a2kγk− λγ2 a22− λ . . . a2n

. . . .

n

P

k=1

a_nkγ_k− λγ_n a_n2 . . . a_nn− λ              

Ponieważ (A − λ0E)Γ = 0, to AΓ = λ0Γ . Stąd, z powyższego i łatwych własności wyznaczników dostajemy kolejno

det(A − λE) = 1 γ1

(λ0− λ)γ1 a12 . . . a1n

(λ0− λ)γ2 a22− λ . . . a2n

. . . . (λ0− λ)γn an2 . . . ann− λ          

=

= (λ0− λ)          

1 ^a_γ¹²

1 . . . ^a_γ¹ⁿ

1

γ2 a22− λ . . . a2n

. . . . γ_n a_n2 . . . a_nn− λ          

= (λ0− λ)          

1 ^a_γ¹²₁ . . . ^a_γ¹ⁿ₁ 0 a22−^γ_γ²₁a12− λ . . . a2n−^γ_γ²₁a1n

. . . . 0 a_n2−^γ_γⁿ

1a12 . . . a_nn−^γ_γⁿ

1a1n− λ          

=

= (λ0− λ)       

a22−^γ_γ²

1a12− λ . . . a2n− ^γ_γ²

1a1n

. . . . an2−^γ_γⁿ₁a12 . . . ann−^γ_γⁿ₁a1n− λ       

= (λ0− λ)D(λ).

Stąd wynika, że λ0 jest (p − 1)-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego układu (4).

W myśl założenia indukcyjnego istnieje p − 1 liniowo niezależnych nad K rozwiązań układu (4) postaci

Ψ_k(x) = e^λ0xh

Qik(x)i

26i6n, k = 2, . . . , p,

gdzie Q2k, . . . , Q_nk są wielomianami o współczynnikach z K stopnia co najwyżej k − 2. Z metody redukcji otrzymujemy rozwiązania układu (1) postaci

Φk(x) = ωk(x)e^λ0xΓ + e^λ0x











 0 Q2k(x)

... Q_nk(x)













k = 2, . . . , p,

gdzie ω_k= ωΨk jest funkcja pierwotną funkcji 1

e^λ0xγ1

e^λ0xQ2k(x) + . . . + e^λ0xQnk(x)
= 1 γ1

Q2k(x) + . . . + Qnk(x)
.

Z powyższego wynika, że

Φ_k(x) = e^λ0x







 P1k(x)

... P_nk(x)







 ,

gdzie







 P1k(x)

... P_nk(x)









= ω_k(x)Γ +











 0 Q2k(x)

... Q_nk(x)











 .

Oczywiście P1k, . . . , P_nk są wielomianami stopnia co najwyżej k−1, gdyż ω_kjest takim wielomianem.

Pozostaje wykazać, że Φ1, Φ2, . . . , Φ_p są liniowo niezależne nad ciałem K. Niech c1Φ + c2Φ2+ . . . + cpΦp= 0, c1, . . . , cp ∈ K.

Stąd i postaci rozwiązań Φk wynika, że

(5) c1+

p

X

k=2

ckωk= 0 oraz że dla każdego i ∈ {2, . . . , n}

(6) c1+

p

X

k=2

c_kω_k
γi+

p

X

k=2

c_kQ_ik = 0.

Zatem

p

X

k=2

ckQik = 0, i = 1, . . . , n, co daje, że

c2Ψ2+ . . . + c_pΨ_p = e^λ0x

 _p P

k=2

c_kQ_ik



26i6n

= 0,

Stąd, na podstawie liniowej niezależności Ψ2, . . . , Ψp otrzymujemy, że c2 = . . . = cp = 0. Co więcej, z (5) dostajemy, że c1 = 0.

Indukcja kończy dowód.

W dalszym ciągu tego paragrafu załóżmy, że K = R, czyli A będzie w dalszym ciągu macierzą o wyrazach rzeczywistych. Przedmiotem dalszych rozważań będzie poszukiwanie fundamentalnego układu rozwiązań układu jednorodnego (1).

Rozważmy teraz ważny przypadek, gdy wielomian charakterystyczny układu (1) ma n różnych pierwiastków rzeczywistych.

Twierdzenie 3. Niech λk,k = 1, . . . , n będą różnymi rzeczywistymi pierwiastkami wielomianu cha- rakterystycznego układu (1) i Γ_k= (γ1k, . . . , γ_nk) – niezerowym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnejλk nad ciałem R. Wówczas odwzorowania

Φ_k(x) = e^λkxΓ_k, k = 1, . . . , n tworzą fundamentalny układ rozwiązań układu (1).

Dowód. Z twierdzenia 1. dla K = R wynika, że Φ1, . . . , Φ_nsą rozwiązaniami układu (1). Oczywiście są to rozwiązania integralne. Wystarczy zatem pokazać, że są one liniowo niezależne nad R. Niech

c1Φ1+ . . . + c_nΦ_n= 0, c1, . . . , c_k∈ R.

Wówczas dla każdego j ∈ {1, . . . , n} mamy

(7) c1e^λ1xγ_j1+ . . . + c_ne^λnxγ_jn= 0 dla x ∈ R.

Różniczkując (7) (n − 1)-razy i dołączając do (7) dostajemy układ równań

(8)











(c1e^λ1xγj1) + . . . + (cne^λnxγjn) = 0, . . . . λⁿ⁻¹₁ (c1e^λ1xγ_j1) + . . . + λⁿ⁻¹_n (c_ne^λnxγ_jn) = 0.

Traktując (8) jako układ n równań o n niewiadomych c1e^λ1xγj1, . . . , cne^λnxγjnotrzymujemy c1γj1 = 0, . . . , cnγjn= 0. Wynika to z faktu, że wyznacznik tego układu jest wyznacznikiem Vandermonde’a, tzn. wyznacznikiem postaci³

1 . . . 1 . . . . λⁿ⁻¹₁ . . . λⁿ⁻¹_n       

=

n

Y

k,l=1 k>l

(λ_k− λ_l) 6= 0.

Zatem c1Γ1 = 0, . . . , cnΓn = 0. Ale w myśl założenia Γ1, . . . , Γn są wektorami niezerowymi. Stąd c1= 0, . . . , cn= 0, co kończy dowód.

Twierdzenie 4. Niech λ0 będzie zespolonym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego układu (1), λ0∈ R i Γ/ 0 = (γ1, . . . , γn) ∈ Cⁿ będzie niezerowym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ0, czyli niezerowym rozwiązaniem układu

(A − λ0I)Γ = 0 nad ciałem C. Ponadto, niech Φ(x) = e^λ0xΓ0, x ∈ R. Wówczas

Φ1(x) = Re Φ(x) i Φ2(x) = Im Φ(x) są liniowo niezależnymi nad ciałem R rozwiązaniami układu (1).

Dowód. Z twierdzenia 1. dla K = C wynika, że odwzorowanie Φ = Φ1+iΦ2 jest rozwiązaniem układu (1), czyli Φ^′ = AΦ. Stąd i z faktu, że A jest macierzą o wyrazach rzeczywistych wynika, że Φ^′₁ = AΦ1

i Φ^′₂ = AΦ2 , gdyż

Φ^′1+ iΦ^′2 = Φ^′ = AΦ = AΦ1+ iAΦ2. Zatem Φ1, Φ2 są rozwiązaniami układu (1).

Pokażemy teraz, że Φ1 i Φ2 są liniowo niezależne nad ciałem R. Niech c1Φ1+ c2Φ2= 0, c1, c2 ∈ R.

3 Porównaj: A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa, 1972.

Połóżmy λ0 = σ + iτ , γ_j = α_j + iβ_j, j = 1, . . . , n. Oczywiście τ 6= 0 i istnieje j ∈ {1, . . . , n} takie, że γ_j 6= 0. Wówczas mamy

c1(α_jcos τ x − β_jsin τ x) + c2(α_jsin τ x + β_jcos τ x) = 0, czyli

(c1αj+ c2βj) cos τ x + (−c1βj+ c2αj) sin τ x = 0 dla x ∈ R.

Stąd kładąc x = 0 i x = ₂^π_τ dostajemy układ







α_jc1+ β_jc2= 0,

−βjc1+ αjc2 = 0,

którego wyznacznik jest równy α²_j + β_j² = |γj|² 6= 0. Stąd c1 = 0 i c2= 0.

To kończy dowód.

Twierdzenie 5. Jeśli λ0 jest p-krotnym pierwiastkiem zespolonym wielomianu charakterystycznego układu (1) i λ0 ∈ R, to istnieje 2p liniowo niezależnych nad ciałem R rozwiązań układu (1) postaci/

Φ1k(x) = Reh

e^λ0xP_jk(x)i

16j6n, Φ2k(x) = Imh

e^λ0xP_jk(x)i

16j6n, k = 1, . . . , p, (9)

gdzieP_jk jest wielomianem zespolonym stopnia co najwyżej k − 1.

Dowód. Z twierdzenia 2. dla K = C wynika, że istnieje p liniowo niezależnych nad ciałem C rozwiązań układu (1) postaci

Φk(x) = e^λ0xh Pjk(x)

i

16j6n, k = 1, . . . , p,

gdzie Pjk jest wielomianem zespolonym stopnia deg Pjk 6p − 1. Stąd i z faktu, że A jest macierzą o wyrazach rzeczywistych wynika, że Φ1k i Φ2k określone wzorami (9) są rozwiązaniami układu (1).

Wystarczy zatem wykazać, że rozwiązania Φ1k i Φ2k są liniowo niezależne nad ciałem R. Niech c11Φ11+ . . . + c1pΦ1p+ c21Φ21+ . . . + c2pΦ2p = 0, c11, . . . , c1p, c21, . . . , c2p ∈ R.

Połóżmy λ0 = σ + iτ , P_jk = Q_jk+ iR_jk, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , p. Oczywiście τ 6= 0 oraz dla dowolnego j ∈ {1, . . . , n} i dowolnego x ∈ R mamy

p

X

k=1

c1k Q_jk(x) cos τ x − R_jk(x) sin τ x
+ c2k Q_jk(x) sin τ x + R_jk(x) cos τ x


= 0.

Stąd kładąc x^′_ν = ^2πν_τ , x^′′_ν =

π 2+2πν

τ , ν = 1, 2, . . ., dostajemy

p

X

k=1

c1kQjk(x^′_ν) + c2kRjk(x^′_ν)
= 0,

p

X

k=1

− c1kRjk(x^′′_ν) + c2kQjk(x^′′_ν)
= 0.

Stąd, ponieważ po lewej stronie powyższych tożsamości znajdują sie wielomiany stopnia co najwyżej p − 1, więc dla dowolnego j ∈ {1, . . . , n} mamy

p

X

k=1

c1kQ_jk+ c2kR_jk
= 0,

p

X

k=1

− c1kR_jk+ c2kQ_jk
= 0.

Mnożąc pierwszą sumę przez i oraz dodając do drugiej dostajemy

p

X

k=1

(c2k+ ic1k)Pjk= 0,

co daje

p

X

k=1

(c2k+ ic1k)Φ_k= 0.

Ponieważ Φ1, . . . , Φ_p są liniowo niezależne nad C mamy c2k + ic1k = 0, czyli c1k = c2k = 0 dla k = 1, . . . , p.

To kończy dowód.

Podamy teraz twierdzenie o układzie fundamentalnym rozwiązań układu jednorodnego (1).

Niech

λ1 = σ1+ iτ1, . . . , λr = σr+ iτr

będą wszystkimi różnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego układu (1) spełniającymi warunek τk > 0, k = 1, . . . , r. Niech p1, . . . , pr będą odpowiednio krotnościami tych pierwiastków.

Połóżmy

qk =







p_k, gdy τ_k= 0, 2p_k, gdy τ_k> 0.

Niech teraz dla każdego k ∈ {1, . . . , r} będzie dany układ Φ_k1, . . . , Φ_kqk liniowo niezależnych nad R rozwiązań układu (1) postaci

(10) Φ_kν(x) =h

e^σkx Sjkν(x) cos τkx + Tjkν(x) sin τkx
i

16j6n, ν = 1, . . . , q_k,

gdzie S_jkν, T_jkν są wielomianami rzeczywistymi stopni nie większych niż k −1 i T_jkν = 0, jeśli τ_k= 0.

Niech

Ω = {Φ11, . . . , Φ1q1, . . . , Φr1, . . . , Φrqr}.

Twierdzenie 6. Układ Ω jest fundamentalnym układem rozwiązań układu (1).

Dowód. Z twierdzenia 2. (dla K = R) i twierdzenia 5 wynika, że układy typu Ω istnieją. Z faktu, że wielomian charakterystyczny układu (1) ma współczynniki rzeczywiste wynika, że ma on pierwiastki zespolone parami sprzężone. Stąd łatwo dostajemy, że

r

X

k=1

qk = n,

czyli Ω składa się z n rozwiązań.

Pozostaje zatem pokazać liniową niezależność rozwiązań układu Ω. Niech

(11)

r

X

k=1 qk

X

ν=1

c_kνΦ_kν = 0, c_kν ∈ R.

Z (10) dostajemy, że

(12)

qk

X

ν=1

c_kνΦ_kν(x) =h

e^σkx Sjk(x) cos τkx + Tjk(x) sin τkx
i

16j6n,

gdzie

Sjk=

qk

X

ν=1

ckνSjkν, Tjk=

qk

X

ν=1

ckνTjkν.

Oczywiście T_jk= 0, gdy τ_k= 0. W konsekwencji z (11) i (12) dla każdego j ∈ {1, . . . , n} mamy

r

X

k=1

e^σkx Sjk(x) cos τkx + Tjk(x) sin τkx
= 0 dla x ∈ R.

Stąd i z założenia, że λ1, . . . , λr są różne między sobą i z lematu 1. dostajemy Sjk = Tjk = 0. To wraz z (12) daje, że dla każdego k ∈ {1, . . . , r}

qk

X

ν=1

c_kνΦ_kν = 0.

Ponieważ rozwiązania Φ_k1, . . . , Φ_kqk są liniowo niezależne dostajemy c_k1 = . . . = c_kqk = 0. To w zestawieniu z dowolnością k daje liniową niezależność rozwiązań układu Ω.

To kończy dowód.