• Nie Znaleziono Wyników

To znaczy, korzystając z funkcji charakterystycznych pokaż, że X1+...+X√n n → X, gdzie X ma rozkładd N (0, 1)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "To znaczy, korzystając z funkcji charakterystycznych pokaż, że X1+...+X√n n → X, gdzie X ma rozkładd N (0, 1)"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Seria 5. Funkcje charaktersytyczne 1. Czy sa funkcjami charakerystycznymi:

(a) ϕ2 (b) Reϕ

(c) |ϕ|2 (d) |ϕ|.

2. Czy są funkcjami charakterystycznymi:

(a) cos t (b) cos2t

(c) 14(1 + eit)2 (d) (2 − eit)−1.

3. Pokaż, że jeśliP pi= 1, pi> 0, toP

ipiϕi jest funkjcą charaketrystyczną, jeśli ϕi były.

4. Udowodnij CTG w przypadku, gdy X1, X2, ..., jest ciągiem i.i.d takim, że EX1= 0, D2X1= 1. To znaczy, korzystając z funkcji charakterystycznych pokaż, że X1+...+Xn n → X, gdzie X ma rozkładd N (0, 1).

5. Udowodnij, że jeśli Xn

→ X, ad n→ a, bn→ b, to anXn+ bn

→ aX + b.d

6. Pokaż, że jeśli funkcja charakterystyczna ma drugą pochodna w zerze to EX2< ∞.

7. Wykaż, że jeśli Xn→ Xd 0, Yn → Yd 0, gdzie Xn, Yn są niezależne, to Xn+ Yn → Xd 0+ Y0. 8. Pokaż, że jeśli X =P

n=0Un/2n, gdzie Un jest ciągiem i.i.d Bernouliego, to X ma rozkład jedno- stajny na [0, 1].

9. Pokaż, że jeśli zmienna X o rozkładzie normalnym jest sumą dwóch zmiennych niezależnych Y i Z, to Y, Z mają rozkład normalny.

10. Pokaż, że ϕ(x) = 2

1+ex2 nie jest funkcją charakterystyczną.

11. Udowodnić, że ϕ(t) = e−|t|α, dla α > 2 nie jest funkcją charakterystyczną.

12. Udowodnić, że każda funkcja ϕ parzysta, przedziałami liniowa, wypukła na [0, ∞) i taka, że ϕ(0) = 1 jest funkcją charakterystyczną.

13. Udowodnić, że każda funkcja ϕ przysta, wypukła na [0, ∞) i taka, że ϕ(0) = 1 jest funkcją charakterystyczną. W szczególności ϕ(t) = e−|t|α, α6 1 jest funkcją charakterystyczną.

14. Na odcinek [−n, n] rzucono losowo (zgodnie z rozkładem jednostajnym) n gwiazd o masach jed- nostkowych. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną rozkładu sił grawitacji w punkcie 0 (r/|r|β+1).

Dla jakich β istnieje rozkład graniczny (przy n → ∞)

Definition 1 Niech X, X1, X2... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie µ.

Rozkład µ nazywamy stabilnym, gdy dla każdego n istnieją stałe an> 0 i bn, dla których X1+ X2+ ... + Xn∼ anX + bn.

Okazuje się, że an = n1/α, gdzie α ∈ (0, 2]. Dla danego α rozkład nazywamy α-stabilnym. Np. rozkład Cauchy’ego jest 1-stabilby, rozkład normalny jest 2-stabilny.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Pokazać, że granica według prawdopodobieństwa jest wyznaczona

Semestr zimowy Kolokwium próbne. Javier

Consider N magnetic moments, which have two allowed orientations ±µ in an external magnetic field B (the energy of each dipole can take

Zamiast dokªadnych pojedynczych wyników podane s¡ ilo±ci wyników, których warto±ci mieszcz¡ si¦ w danym przedziale, tzw... W pewnym do±wiadczeniu farmakologicznym bada

Pokaż, że prosty spacer losowy na grafie jest odwracalny4. Definiujemy w następujący sposób

[r]

Zbadać, w jakim kole jest zbieżny szereg MacLaurina funkcji tgh z.. Znaleźć kilka pierwszych

Wykaż, że zajęcia można było tak poprowadzić, by każdy uczeń przedstawiał jedno z rozwiązanych przez siebie zadań przy tablicy i by każde zadanie zostało w ten