• Nie Znaleziono Wyników

(b) Pokaż, że statystyka F ma rozkład F-Snedecora F (k − 1, n − k)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(b) Pokaż, że statystyka F ma rozkład F-Snedecora F (k − 1, n − k)"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Statystyka I semestr zimowy 2017, seria XII

1. Analiza wariancji (ANOVA) Załóżmy, że mamy k różnych grup obserwacji, a w każdej gru- pie j = 1, . . . , k mamy niezależne obserwacje Y1,j, . . . , Ynj,j ∼ N (µj, σ2). Naszym celem jest testowanie hipotezy H0 : µ1 = µ2 = · · · = µk przeciw H1 : µi 6= µj dla pewnych i 6= j. Zapisz powyższy problem w postaci modelu liniowego i podaj odpowiedni test ilorazu wiarygodności.

2. (a) Pokaż, że test z poprzedniego zadania jest równoważny testowi postaci F = W SS/(n−k)BSS/(k−1) > c, gdzie W SS =Pk

j=1

Pnj

i=1(Yi,j− ¯Yj)2, BSS =Pk

j=1nj( ¯Yj− ¯Y )2 oraz n = n1+ · · · + nk. (b) Pokaż, że statystyka F ma rozkład F-Snedecora F (k − 1, n − k).

3. Rozważmy model liniowy Y = Xβ + , w którym X jest macierzą n × p pełnego rzędu p, przy czym pierwsza kolumna X jest równa 1 oraz  ∼ N (0, σ2Id). Niech dany będzie współczynnik dopasowania modelu do danych R2= 1 − SSE/SST , gdzie SSE =Pn

i=1(Yi− ˆYi)2 oraz SST = Pn

i=1(Yi− ¯Y )2. Pokaż, że

R2=

Pn

i=1(Yi− ¯Y )( ˆYi− ¯Y ) q

Pn

i=1(Yi− ¯Y )2Pn

i=1( ˆYi− ¯Y )2

2

.

4. (a) Niech R2będzie takie, jak w poprzednim zadaniu. Pokaż, że test R2> c jest równoważny te- stowi ilorazu wiarygodności dla modelu liniowego zerowego tj. modelu z macierzą X ograniczoną tylko do pierwszej kolumny.

(b) Pokaż, że współczynnik dopasowania R2 ma rozkład Beta(p−12 ,n−p2 ).

5. Podaj estymatory największej wiarygodności parametrów µ oraz Σ na podstawie próby prostej X1, . . . , Xn∼ N (µ, Σ), gdzie Σ jest macierzą odwracalną wymiaru d × d.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

[r]

Udowodnij, że na każdym przedziale [c, d] ⊂ (a, b) funkcja f spełnia warunek Lipschitza. Wywnioskuj stąd, że a) funkcja wypukła na przedziale otwartym jest ciągła, b)

[r]

Pokaż, że prosty spacer losowy na grafie jest odwracalny4. Definiujemy w następujący sposób

Wykaż, że transforamata Fouriera przekstałaca zbiór S na

[r]

Niech G będzie