GAL II*, 18.03.2020 – zadania
Zadanie 1.
Wielomian charakterystyczny macierzy A o współczynnikach rzeczywistych jest równy (x − 5)5(x − 1)2. Ponadto wiadomo, że dim ker(A − 5I) = 2, dim ker(A − 5I)2 = 4 oraz ker(A − I) ∩ im(A − I) 6= {0}. Znaleźć formę Jordana A.
Zadanie 2.
Załóżmy, że dwie macierze nad Q są sprzężone nad R. Czy są sprzężone nad Q?
Zadanie 3.
Załóżmy, że dwie macierze nad R są sprzężone nad C. Czy są sprzężone nad R?
Zadanie 4.
Znaleźć A597 dla
1. A =
k 1 0 0 k 1 0 0 k
, gdzie k ∈ C,
2. A =
−1 1 0 2 4
0 1 0 0 0
−2 −2 0 2 −1
0 −2 0 −3 0
−1 0 0 0 −5
.
Zadanie 5. *
Wykaż, że jeśli macierze A, B ∈ Mn×n(C) są przemienne (AB = BA), to istnieje baza {v1, . . . , vn} przestrzeni Cn taka, że każdy z wektorów vi jest jednocześnie wektorem własnym dla A i dla B.
1
