Arytmetyka teoretyczna LISTA 2:
A. Konstrukcje pierścienia liczb całkowitych i ciała liczb wymiernych.
B. Podzielność w pierścieniu hZ, +, ·i liczb całkowitych. Algo- rytm Euklidesa. Liczby pierwsze.
A. Na zbiorze N × N definiujemy relacj¸e równoważności (a, b) ≈ (c, d) ⇔ a + d = c + b.
Na zbiorze ilorazowym określamy nast¸epuj¸ace działania:
[(a, b)]≈+ [(c, d)]≈ = [(a + c, b + d)]≈ oraz [(a, b)]≈· [(c, d)]≈ = [(ac + bd, bc + ad)]≈. Definiujemy pierścień liczb całkowitych:
hZ, +, ·i = h(N × N)/≈, +, ·i, oraz 0 = [(0, 0)]≈ , 1 = [(1, 0)]≈.
Zad.1. Pokazać, że definicje działań nie zależ¸a od wyboru reprezentan- tów, i określaj¸a pierścień przemienny.
Na zbiorze Z × (Z \ {0}) definiujemy relacj¸e równoważności (a, b) ≈ (c, d) ⇔ ad = cb. Na zbiorze ilorazowym określamy działania:
[(a, b)]≈+ [(c, d)]≈ = [(ad + bc, bd)]≈ oraz
[(a, b)]≈· [(c, d)]≈ = [(ac, bd)]≈. Definiujemy pierścień liczb wymiernych:
hQ, +, ·i = h(Z × (Z \ {0}))/≈, +, ·i, oraz 0 = [(0, 1)]≈ , 1 = [(1, 1)]≈.
Zad.2. Pokazać, że definicje działań nie zależ¸a od wyboru reprezentan- tów, i określaj¸a ciało.
1
B.
Zad.3. Stosuj¸ac Aksjomat Indukcji, udowodnić nast¸epuj¸ace twierdzenie o dzieleniu z reszt¸a.
Twierdzenie. Dla każdej liczby całkowitej a i każdej liczby całkowitej b > 0 istniej¸a liczby całkowite q, r takie, że a = q · b + r oraz 0 ≤ r < b.
Zad.4. Wykorzystuj¸ac algorytm Euklidesa, dla podanych par liczb x, y znaleźć N W D(x, y) oraz współczynniki całkowite s, t, dla których zachodzi N W D(x, y) = s · x + t · y:
(a) x = 26, y = 39; (b) x = 7, y = 3.
Zad.5. Pokazać, że jeśli p 6= 1 jest liczb¸a pierwsz¸a (tzn. nie ma dziel- ników poza {1, p}), to dla dowolnych liczb a, b, jeśli p|a · b, to p|a lub p|b.
Zad.6. Pokazać, dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c spełniaj¸acych N W D(a, b) = 1 zachodz¸a nast¸epuj¸ace stwierdzenia
(a) a|bc, to a|c. (b) a|c i b|c, to ab|c.
Zad.7. (a) Pokazać, że dla dowolnych liczb całkowitych a, b prawdziwa jest równość a · b = N W D(a, b) · N W W (a, b).
(b) Wskazać przykład liczb całkowitych a, b, c, dla których prawdziwa jest nierówność a · b · c 6= N W D(a, b, c) · N W W (a, b, c).
(c) Pokazać, że jeśli liczby calkowite a, b, c s¸a parami wzgl¸ednie pierwsze, to zachodzi równość a · b · c = N W D(a, b, c) · N W W (a, b, c).
Dla każdej liczby naturalnej n definiujemy liczb¸e Fn = 22n + 1, któr¸a nazywamy n-t¸a liczb¸a Fermata.
Zad.8. (a) Pokazać, że jeśli n 6= k, to liczby Fni Fks¸a wzgl¸ednie pierwsze.
(b) pokazać, że jeśli liczba 2m+ 1 jest pierwsza, to jest liczb¸a Fermata.
Zad.9. Udowodnić, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony.
Zad.10. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje wi¸eksza od niej liczba pierwsza postaci: (a) 4k + 3 (b) 6k + 5.
Twierdzenie( Lejeune-Dirichlet) Jeśli N W D(a, b) = 1, to w post¸epie arytmetycznym (a + k · b)k∈N jest nieskończenie wiele liczb pierwszych.
2
Zad.11. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które nie s¸a sumami dwóch liczb pierwszych.
Zad.12. Pokazać, że poniższa hipoteza (II) implikuje hipotezy (I) i (III).
Hipoteza Goldbacha (1742) (I) Każda liczba naturalna wi¸eksza niż 5 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pier- wszych.
(II) Każda liczba parzysta wi¸eksza niż 2 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych.
(III) (słaba) Każda liczba nieparzysta wi¸eksza od 7 jest sum¸a trzech nieparzystych liczb pierwszych.
Twierdzenie. (Rozkład liczb całkowitych na czynniki pierwsze.)
Każd¸a liczb¸e naturaln¸a n > 1 można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Zad.13. Udowodnić (indukcyjnie) twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierwsze. Pokazać, że każd¸a liczb¸e naturaln¸a n > 1 można przedstawić w postaci iloczynu (∗) n = p1α1 · pα22 · . . . · psαs, gdzie p1 < p2 < . . . < pn jest rosn¸acym ci¸agiem liczb pierwszych w dokładnie jeden sposób.
3
