Algebra
LISTA 1: Podzielność w pierścieniu hZ, +, ·i liczb całkowitych.
Liczby pierwsze.
(Aksjomat indukcji) Dla dowolnego zbioru A ⊂ N, jeśli 0 ∈ A oraz dla każdej liczby naturalnej n, zachodzi implikacja
(n ∈ A → n + 1 ∈ A), to N = A.
Twierdzenie 1.
Akjomat indukcji poci¸aga za sob¸a każde z nast¸epuj¸acych stwierdzeń:
Zasada Minimum: Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych ma element najmniejszy.
Zasada Maksimum: Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb naturalnych ma element najwi¸ekszy.
Zad.1. Udowodnić Twierdzenie 1.
Zad.2. Wskazać bł¸ad w podanym poniżej "dowodzie".
"Twierdzenie" Dla każdego n ≥ 0 zachodzi nierówność 30n < 2n+ 110.
"Dowód": Załóżmy, że 30n < 2n+ 110. Wtedy
30(n + 1) = 30n + 30 < 2n+ 110 + 30 < 2n+1+ 110,
gdzie ostatnia nierówność zachodzi, o ile n ≥ 5. Dla n = 0, 1, 2, 3, 4 sprawdzamy bezpośrednio. Tym samym nierówność zachodzi dla wszystkich n ≥ 0.
Zad.3. Stosuj¸ac indukcj¸e matematyczn¸a, udowodnić, że jeśli iloczyn do- datnich liczb a1, a2, . . . , an wynosi 1, to a1+ a2+ . . . + an≥ n.
Twierdzenie 2. Dla każdej liczby całkowitej a i każdej liczby całkowitej b > 0 istniej¸a liczby całkowite q, r 1 takie, że a = q · b + r oraz 0 ≤ r < b.
Twierdzenie 3. Jeśli a, b ∈ Z i a lub b 6= 0, to istniej¸a s, t ∈ Z takie, że N W D(a, b) = a · s + b · t.
Wniosek. Każdy wspólny dzielnik liczb a i b jest dzielnikiem N W D(a, b).
1iloraz i reszta
1
Zad.4. Wykorzystuj¸ac algorytm Euklidesa, dla podanych par liczb x, y znaleźć N W D(x, y) oraz współczynniki całkowite s, t, dla których zachodzi N W D(x, y) = s · x + t · y:
(a) x = 26, y = 39; (b) x = 7, y = 3.
Oznaczenie: (a, b) := N W D(a, b).
Definicja. Liczba naturalna p 6= 1 nazywa si¸e liczb¸a pierwsz¸a, jeśli p nie ma dzielników naturalnych poza {1, p}.
Liczby a, b ∈ Z takie, że a lub b 6= 0, nazywaj¸a si¸e wzgl¸ednie pier- wszymi, jeśli (a, b) = 1.
Uwaga. Liczby a i b s¸a wzgl¸ednie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istniej¸a s, t ∈ Z takie, że 1 = a · s + b · t.
Zad.5. Pokazać, że dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c spełniaj¸acych (a, b) = 1, zachodz¸a nast¸epuj¸ace stwierdzenia
(a) a|bc, to a|c. (b) a|c i b|c, to ab|c.
Zad.6. Pokazać, że jeśli p 6= 1 jest liczb¸a pierwsz¸a, to dla dowolnych liczb a, b, jeśli p|(a · b), to p|a lub p|b.
Twierdzenie 4. (Rozkład liczb całkowitych na czynniki pierwsze.) (a) Każd¸a liczb¸e naturaln¸a n > 1 można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.
(b) Każd¸a liczb¸e naturaln¸a n > 1 można przedstawić w postaci iloczynu (∗) n = p1α1 · pα22 · . . . · psαs, gdzie p1 < p2 < . . . < pn jest rosn¸acym ci¸agiem liczb pierwszych, w dokładnie jeden sposób.
Zad.7. Niech n = p1r1· ... · prkk i m = p1s1· ... · pskk, gdzie ri, si ∈ {0, 1, 2, ...}, i ≤ k. Niech ai = min(ri, si), bi = max(ri, si), i ≤ k.
Udowodnić: N W D(n, m) = pa11 · ... · pakk i N W W (n, m) = pb11 · ... · pbkk.
Dla każdej liczby naturalnej n, definiujemy liczb¸e Fn = 22n + 1, któr¸a nazywamy n-t¸a liczb¸a Fermata.
Zad.8. (a) Pokazać, że jeśli n 6= k, to liczby Fni Fks¸a wzgl¸ednie pierwsze.
(b) pokazać, że jeśli liczba 2m+ 1 jest pierwsza, to jest liczb¸a Fermata.
Zad.9. Stosuj¸ac liczby Fermata udowodnić, że zbiór liczb pierwszych jest nieskończony.
2
Zad.10. Stosuj¸ac poniższe twierdzenie udowodnić, że istnieje nieskończe- nie wiele liczb pierwszych, które nie s¸a sumami dwóch liczb pierwszych.
Twierdzenie (Lejeune-Dirichlet) Jeśli N W D(a, b) = 1, to w post¸epie arytmetycznym (a + k · b)k∈N jest nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Zad.11. Pokazać, że poniższa hipoteza (II) implikuje hipotezy (I) i (III).
Hipoteza Goldbacha (1742) (I) Każda liczba naturalna wi¸eksza niż 5 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pier- wszych.
(II) Każda liczba parzysta wi¸eksza niż 2 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych.
(III) (słaba) Każda liczba nieparzysta wi¸eksza od 7 jest sum¸a trzech nieparzystych liczb pierwszych.
Zad.12. (a) Pokazać, że dla dowolnych liczb całkowitych a, b prawdziwa jest równość a · b = N W D(a, b) · N W W (a, b).
(b) Wskazać przykład liczb całkowitych a, b, c, dla których prawdziwa jest nierówność a · b · c 6= N W D(a, b, c) · N W W (a, b, c).
(c) Pokazać, że jeśli liczby calkowite a, b, c s¸a parami wzgl¸ednie pierwsze, to zachodzi równość a · b · c = N W D(a, b, c) · N W W (a, b, c).
Zad.13. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje wi¸eksza od niej liczba pierwsza postaci: (a) 4k + 3 (b) 6k + 5.
3
