Andrzej Nowicki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń
(e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Sierpień 1995
Wstęp. Jeśli x, y, z, t są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to:
(0.1) x2+ y2 > 2xy,
(0.2) x5+ y5 > x3y2+ y3x2, (0.3) x2+ y2+ z2 > xy + yz + zx, (0.4) x3+ y3+ z3 > 3xyz,
(0.5) x2y2+ y2z2+ z2x2 > x2yz + xy2z + xyz2, (0.6) x3+ y3+ z3+ t3 > xyz + xyt + xzt + yzt.
Pewne z tych nierówności są prawdziwe nawet dla dowolnych liczb rzeczywistych (nieko- niecznie dodatnich). Rozważać będziemy jednak tylko liczby dodatnie.
Pokażemy, że wszystkie powyższe nierówności są szczególnymi przypadkami pewnego twierdzenia udowodnionego w 1903 roku przez R. E. Muirheada. Przed wysłowieniem te- go twierdzenia wprowadzimy najpierw kilka nowych pojęć i oznaczeń.
1. Podziały. Podziałem długości k liczby naturalnej n nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg α = (α1, . . . , αk) nieujemnych liczb całkowitych spełniających następujące dwa warunki:
(1) α1 > α1> · · · > αk, (2) α1+ α2+ · · · + αk = n.
Zbiór wszystkich podziałów długości k liczby n oznaczać będziemy przez P(n, k). W szcze- gólności zbiór P(4, 3) składa się z 4 elementów:
(4, 0, 0), (3, 1, 0), (2, 2, 0), (2, 1, 1).
Natomiast zbiór P(7, 4) ma 11 elementów:
(7, 0, 0, 0), (6, 1, 0, 0), (5, 2, 0, 0), (5, 1, 1, 0), (4, 3, 0, 0), (4, 2, 1, 0), (4, 1, 1, 1), (3, 3, 1, 0), (3, 2, 2, 0), (3, 2, 1, 1), (2, 2, 2, 1).
Jeśli n < 10, to elementy zbioru P(n, k) zapisywać będziemy bez nawiasów i bez przecinków.
Elementami zbioru P(4, 3) są więc podziały: 400, 310, 220, 211, a elementami zbioru P(7, 4) podziały:
7000, 6100, 5200, 5110, 4300, 4210 4111, 3310, 3220, 3211, 2221.
1
2. Porównywanie podziałów. Załóżmy, że α = (α1, . . . , αk), β = (β1, . . . , βk) są podziałami należącymi do zbioru P(n, k). Mówić będziemy, że podział α jest większy lub równy od podziału β, co zapisywać będziemy jako ”α> β”, jeśli:
α1 > β1, α1+ α2 > β1+ β2, α1+ α2+ α3 > β1+ β2+ β3,
...
α1+ α2+ α3+ · · · + αk > β1+ β2+ β3+ · · · + βk.
Spójrzmy na przykłady. Ciągi 421 i 322 są podziałami długości 3 liczby 7. Zachodzi nierów- ność 421> 322, gdyż:
4 > 3, 4 + 2 > 3 + 2, 4 + 2 + 1 = 3 + 2 + 2.
W ten sam sposób sprawdzamy, że: 720> 522, 521 > 431, 52100 > 43100, 22220 > 22211.
Łatwo udowodnić:
Stwierdzenie. Niech α, β, γ będą podziałami należącymi do zbioru P(n, k). Wtedy:
(1) α> α;
(2) jeśli α> β i β > α, to α = β;
(3) jeśli α> β i β > γ, to α > γ.
W zbiorze P(3, 3) mamy elementy 300, 210, 111 i zachodzi: 300 > 210 > 111. Wszystkie elementy zbioru P(4, 3) uporządkowane są następująco: 400 > 310 > 220 > 211. Podobnie jest w zbiorze P(5, 3): 500 > 410 > 320 > 311 > 221. Widzimy tutaj, że każde dwa elementy α, β zbioru P(n, k) są w relacji: albo α > β albo β > α. Na ogół tak jednak nie musi być.
Elementy α = 411 i β = 330 zbioru P(6, 3) nie są w żadnej relacji; nie jest prawdą, że α > β i nie jest prawdą, że β > α.
3. Wielomiany symetryczne. Jeżeli k jest ustaloną liczbą naturalną, to przez Sk oznaczać będziemy zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2, . . . , k}. Przypomnijmy, że zbiór Sk ma k! elementów.
Niech f (x1, . . . , xk) będzie wielomianem zmiennych x1, . . . , xk. Mówimy, że wielomian ten jest symetryczny, jeśli dla każdej permutacji σ należącej do zbioru Sk zachodzi równość
f (xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(k)) = f (x1, x2, . . . , xk).
Załóżmy, że mamy tylko dwie zmienne x1 i x2 (tzn. k = 2). Zmienne te oznaczmy odpo- wiednio przez x i y. W tym przypadku wielomian f (x, y) jest symetryczny dokładnie wtedy, gdy
f (y, x) = f (x, y).
W szczególności wielomiany xy, x5+ y5, x3+ y3− 13xy są symetryczne. Natomiast wielo- miany x + 4y, x2+ y3, xy + 5y2 nie są symetryczne.
Rozważmy teraz trzy zmienne x = x1, y = x2, z = x3 (tzn. k = 3). W tym przypadku wielomian f (x, y, z) jest symetryczny dokładnie wtedy, gdy
f (x, y, z) = f (x, z, y) = f (y, x, z) = f (y, z, x) = f (z, x, y) = f (z, y, x).
Wielomiany xyz, x9+ y9+ z9, xy + yz + zx, 5xyz − 12x2− 12y2− 12z2 są symetryczne.
Wielomiany xyz2, x + 5y + z, x2+ y2+ z nie są symetryczne.
Zanotujmy jeszcze kilka przykładów wielomianów symetrycznych większej ilości zmien- nych.
x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6, x31+ x32+ x33+ x34+ x35+ x36,
x1x2+ x1x3+ x1x4+ x2x3+ x2x4+ x3x4, x1x2x3+ x1x2x4+ x1x3x4+ x2x3x4.
Łatwo udowodnić, że suma wielomianów symetrycznych jest wielomianem symetrycznym.
Podobnie jest z iloczynem.
4. Wielomian symetryczny stowarzyszony z podziałem. Niech α = (α1, . . . , αk) będzie podziałem długości k liczby naturalnej n. Oznaczmy przez Aα jednomian zmiennych x1, . . . , xk zdefiniowany następująco:
Aα= Aα(x1, . . . , xk) = x1α1xα22· · · xαkk.
Przykłady: A21(x, y) = x2y, A432(x, y, z) = x4y3z2, A5100(x, y, z, t) = x5y.
W dalszym ciągu istotną rolę odgrywać będzie wielomian symetryczny zmiennych x1, . . . , xk, którego oznaczać będziemy przez Tα lub Tα(x1, . . . , xk). Wielomian ten definiujemy następu- jąco:
Tα = Tα(x1, . . . , xk) = X
σ∈Sk
Aα(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(k)).
W szczególności, dla dwóch zmiennych x i y, mamy:
Tα(x, y) = Aα(x, y) + Aα(y, x), natomiast dla trzech zmiennych x, y, z:
Tα(x, y, z) = Aα(x, y, z) + Aα(x, z, y) + Aα(y, x, z) + Aα(y, z, x) + Aα(z, x, y) + Aα(z, y, x).
Przykłady:
T32(x, y) = x3y2+ y3x2,
T321(x, y, z) = x3y2z + x3z2y + y3x2z + y3z2x + z3x2y + z3y2x, T3300(x, y, z, t) = 4x3y3+ 4x3z3+ 4x3t3+ y3z3+ 4y3t3+ 4z3t3, T4110(x, y, z, t) = 2x4(yz + yt + zt) + 2y4(xz + xt + zt)+
2z4(xy + xt + yt) + 2t4(xy + xz + yz), T50000(x, y, z, t, u) = 24(x5+ y5+ z5+ t5+ u5),
T11111(x, y, z, t, u) = 120xyztu.
5. Twierdzenie Muirheada. Teraz możemy już wysłowić zapowiedziane wcześniej Twierdzenie Muirheada.
Twierdzenie. Niech α, β będą podziałami długości k liczby naturalnej n. Następujące dwa warunki są równoważne.
(1) α> β.
(1) Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych x1, . . . , xk zachodzi nierówność Tα(x1, . . . , xk)> Tβ(x1, . . . , xk).
Dowód tego twierdzenia nie jest trudny. Można go znaleźć np. w [3], [2] lub [1].
6. Dowody nierówności podanych we Wstępie.
Przykład 6.1. x2+ y2> 2xy.
Dowód. Rozpatrzmy podziały 20 i 11. Są to podziały długości 2 liczby 2. Poniewż 20 >
11, więc (na mocy Twierdzenia Muirheada) x2+ y2 = T20(x, y)> T11(x, y) = 2xy.
Przykład 6.2. x5+ y5> x3y2+ y3x2.
Dowód. Rozpatrzmy podziały 50 i 32. Są to podziały długości 2 liczby 5. Poniewż 50 >
32, więc (na mocy Twierdzenia Muirheada) x5+ y5 = T50(x, y)> T32(x, y) = x3y2+ y3x2.
Przykład 6.3. x2+ y2+ z2 > xy + yz + zx.
Dowód. Wynika to z Twierdzenia Muirheada dla podziałów α = 200, β = 110.
Przykład 6.4. x3+ y3+ z3 > 3xyz.
Dowód. α = 300, β = 111.
Przykład 6.5. x2y2+ y2z2+ z2x2> x2yz + xy2z + xyz2. Dowód. α = 220, β = 211.
Przykład 6.6. x3+ y3+ z3+ t3 > xyz + xyt + xzt + yzt.
Dowód. α = 3000, β = 1110.
7. Zadania. Korzystając z Twierdzenia Muirheada wykazać, że zachodzą następujące nierówności. Wszystkie liczby rzeczywiste x, y, z, . . . , x1, x2, . . . , wysępujące w tych nierów- nościach, są dodatnie.
7.1 xk1+ xk2+ · · · + xkk> kx1x2· · · xk. 7.2 x4+ y4+ z4 > xyz(x + y + z).
7.3 x5+ y5+ z5 > xyz(xy + yz + zx).
7.4 (x2+ y2+ z2)(x + y + z)> 9xyz.
7.5 xyz3 +xzy3 + zxy3 > x22z+y2 + y22x+z2 + x22y+z2 > x + y + z.
7.6 y+zx +x+zy +x+yz > 32. 7.7 x x1
2+x3+···+xn + x x2
1+x3+···+xn + · · · +x xn
1+x2+···+xn−1 > n−1n . 7.8 8(x4+ y4)> (x + y)4.
7.9 (x3− y3)2 > (x2− y2)(x4− y4).
7.10 (x + y)(x4+ y4)> (x2+ y2)(x3+ y3).
7.11 x+y+z1 +x+y+t1 +x+z+t1 +y+z+t1 > x+y+z+t16 .
7.12 x6+y2 6 > x+y2 ·x2+y2 2 ·x3+y2 3. 7.13 xn+m+y2 n+m > xn+y2 n ·xm+y2 m.
Literatura
[1] A. Berent, Twierdzenie Muirheada i nierówności symetryczne, Praca magisterska, UMK Toruń, 1991.
[2] S. W. Dworianinow, E. A. Jasinowyj, Jak otrzymuje się nierówności symetryczne, (po rosyjsku), Kwant, 7(1985), 33 - 36.
[3] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya, Nierówności, (po rosyjsku), Moskwa, 1948.
