_ pochodnych cząstkowych do dowodu pewnego twierdzenia o mieszanych Zastosowanie uogólnionych wielomianów Bernsteina

Z. Ł

(Wrocław)

Zastosowanie uogólnionych wielomianów Bernsteina do dowodu pewnego twierdzenia o mieszanych

pochodnych cząstkowych

Wprowadzimy następujące oznaczenia:

Kostkę m-wymiarową 0 < щ < 1 (i = 1, 2, . .. , m) oznaczmy przez Km. Symbolem

^ / (®l j ■ • •» ^m) day ... day

oznaczmy mieszaną pochodną cząstkową funkcji f ( x x, xm), określonej w K m, względem zmiennych a y , a y , gdzie ix, jest pewną r-wy­

razową kombinacją z powtórzeniami liczb 1 , 2 , . . . , m ; rząd pochodnej jest równy r = »*! + ... -fr m, przy czym r* jest rzędem pochodnej cząstko­

wej względem zmiennej a?<; lx, . .., lr jest pewną permutacją wskaźników h > • • •» źr.

Udowodnimy następujące

T

. Jeżeli mieszane pochodne cząstkowe d f (xx, . .. , xm) d f (a?i, . .., a?m)

d a y . . . day ’ day . ..day

funkcji f ( x X7. . . , a?OT) istnieją i są ciągle w K m, to dla każdego (xx, . .. , xm) e K m zachodzi równość

@ f (®1) • • • > *Г?п) _ ^ / (^l? • • • ? ^m) day ... dxif day ... day

Twierdzenie to tym się różni od klasycznego twierdzenia o zmianie

porządku różniczkowania cząstkowego, że nie wymaga założeń o istnieniu

i ciągłości wszystkich pochodnych cząstkowych rzędu niewyższego od r.

356 Z. Ł u s z cz k i

Dla dowodu wprowadźmy wielomiany postaci

które nazywamy wielomianami Bernsteina n zmiennych. Podobnie jak dla wielomianów Bernsteina jednej zmiennej, można wykazać ([1], str. 19), że wielomiany te aproksymują jednostajnie funkcję /(.r,, . . . , xm) ciągłą w Km.

Udowodnimy najpierw

L

. Jeżeli mieszana pochodna cząstkowa

jednostajnie w K m.

D o w ó d l emat u. Wyrażenie na r-tą mieszaną pochodną cząstkową wielomianu ВП1Пт(сс1у . .., xm) znajdujemy, przeprowadzając rachunki analogiczne jak dla przypadku pierwszej pochodnej wielomianu Bern­

steina jednej zmiennej (por. [1], str. 251) ustalając kolejno m —1 zmiennych

i różniczkując względem pozostałej: .

^ •••) *^m) _

^ / (*®1, • • • > ®m) dxix... dxir

11 • • •>

funkcji f ( x r, . .., xm) istnieje i jest ciągła w K m, to ц & Вп1...пт(3'11 • • •, Mm.) _ ^ fi^li • • •,

,ит — >oc dx^x ... dxj^ ()Xix ... дх$г ii • • • >

da?.-, ... dxi

m V d7(Si> , . , , 0m) m i J

gdzie

0' = 1 , 2 , . .., m)

(i = 1, 2 , . . . , m).

0 < Qi < 1

O z a s to s o w a n iu w i e l o m i a n ó w B e r n s te in a , 3 5 7

Jeżeli to wyrażenie napiszemy w postaci

dxix ... dxit

- П М z

(*1.... km) 1

drf n1—r1 ’ пт—гъ dxix ... dxir

(г=1,2,

X

f i i 7=1

X

n i ~ r i \ k ,

Ł-

пл—гл—кл

X p ( l - X i ) ni - ri

(k i,... ,km)

Z

O są k iscn s—n (i — l, 2 , , m)

drf ki

n1- T 1 nm- r mf drf {zl t . . . , z m) dx,• ...дхл г1 . ч dxix ... dXi X

x

m

I j (Vi* i { l —xif"i~ri~ki to pierwsza suma będzie uogólnionym wielomianem Bernsteina rzędu ni —ri względem xt (i = 1 , 2 m) dla

Z drugiej strony, mamy

drf { x 1} a?„

dxiy ... dxiy

h ^ h ki ki+ri

— < г,- < —---, — < --- - < — —— dla ki < rti—fi

f i , П : Пл Пл — Г л Пл

i wobec tego

stąd

drf

. Л ^ ! ; ?

gdzie zt = ■ - ^ - + ⁰ , — ^, о < в i < i

щ щ (i = l

ki km \

'i- П ’ 'fl'm Vmi drf(zu . . . , z m)

< l Tl

<

\пг

^m

dxh . .. dxir dxix ... dxir 'М 'т

gdzie a>(h1} hm) oznacza moduł ciągłości funkcji

^ / (*®11 • • • i ^m)

dxiai_...dxi

358' Z. Ł u s z c z ki

Widać, że

więc z ostatniego oszacowania wynika, że druga suma jest nie większa od co (rjw-!, . . . , rml n m), a zatem dąży jednostajnie do zera, gdy п г , ->

-> oo. Ponieważ A njj ->1, gdy n m -> oo, więc

d ВП1шП,т(%1, . . «, #m) __ d / (^D ®m)

n x, f i f o j n,-*-oo d#?^2 . . . d x ^ dx-i^ . . . d x .£ r

jednostajnie w JTm.

Przechodzimy teraz do dowodu twierdzenia. Z lematu wynika, że

lim & Bni„. n m{№i > • • • > ^®т) dr/(®i, •• •» *^m) da?i2 ... d X i , d x h .. . dxir

lim

■ ,nmr^’x>

dr/ , . • • ? ®m) d^j ... dtfjf ^dxh .. • ^dxir jednostajnie w K m . Ponieważ

d -fiti... nmi&i ? «♦ ♦ > «Tm) _d • • • ? *^m) da^ ... da?ir da?Zl... d^r

więc w iTm jest

d / (#i ? »»»> ®m) d / (Хг , . .. , Фда) d#ij ... ^{d x ir d x h} ... ^dxir

Prace cytowane

[1] И. П. Н а т а н со н , Конст рукт ивная теория функций, Москва 1949.

[2] П. М. Ф и х т е н г о л ь ц , К урс дифференциального и интегрального исчисле­

ния, т. 1, Москва 1948.

O z a s to s o w a n iu w i e l o m i a n ó w B e r n s te in a

359

3. ЛУЩКИЙ (Вроцлав)

ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ БЕРНШТЕЙНА К ДОКА­

ЗАТЕЛЬСТВУ ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ О СМЕШАННЫХ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

РЕЗЮМЕ

В статье дано доказательство следующей теоремы:

ТЕОРЕМА. Пусть К ш обозначает куб 0 ^ а?$ ^ 1 (г = 1, 2, ..., нг) и пусть 1

, fa, . . . , 1Г обозначает перестановку индексов ii, ь%, ?V являющихся некоторым размещением чисел

,

, т по г, с повторениями.

Если существуют непрерывные смешанные частные производные функции / (a?i, .... хт) в кубе К т :

drf (x i, ..., хш) drf( x i, хт) дхц ... dxir ’ дхц ... dxir то

drf( x i, хт) _ drf( x i, . . . , хт ) dxix ... dxir дхц ... dxir для всех (жх, Х

, хт) е Кт-

В доказательстве применяются многочлены вида

' ' ' ' Хт^

. т .

Ą ^кт) ..

(г=

,

,.„ ,т)

называемые здесь обобщенными многочленами Бернш т ейна для функции f ( x i , . . . , x m).

Эта теорема отличается от классической теоремы [

] тем, что не требует существования всех непрерывных смешанных частных производных порядка не выше г.

Z.

(Wrocław)

APPLICATION OF GENERALIZED BERNSTEIN POLYNOMIALS TO THE PROOF OF A CERTAIN THEOREM ON MIXED PA R TIAL DERIVATIVES

S U M M A R Y

The paper contains the proof of the following theorem:

Th e o r e m.

Let K m denote a cube

^

(i —

,

, m) and let

, l2, . . . , lr denote the perm utation of indices which are a certain com bination of numbers 1, 2, . . . , m taken r elements at a time with repetitions. I f there exist conti­

nuous m ixed partial derivatives of the function f{ x \ ,. . . , xm) in the cube K m drf {xi, xm) drf {x\, , xm)

dxix ... dxif ’ дхц . .. dxif

360 Z. Ł u s z c z k i

then

drf (xr , % ) drf (хг , ... , xm) dxix . .. dxif, дхц . . . x i r jor any {xi,x%, xm) e K m.

In the proof the author applies polynomials of the form

1*1» ••• > ^m) й^к^уц

(i= l,2

called here the generalized Bernstein 'polynomials of the function f( x l5 . . . , x m).

This theorem differs from the classical theorem [1] in requiring no assumptions

of the existence and continuity of all partial derivatives of order not greater than r.