6. Twierdzenia o pochodnych

6. Twierdzenia o pochodnych

Niech f : D

_f

→ R . Wtedy obliczając pochodną we wszystkich moŜliwych punktach D

f

x ∈ , moŜemy utworzyć nową funkcję, zwaną funkcją pochodną f ′ : D

_f′

→ R , gdzie

f

f

D

D

_′

⊂ jest dziedziną pochodnej.

Dla przykładu::

)

2

( x x

f = , f ′ ( x ) = 2 x , D

_f

= D

_f′

= R , x

x

f ( ) = sin , f ′ ( x ) = cos x , D

_f

= D

_f′

= R .

Pochodną f ′ (x ) będziemy od teraz nazywać pochodną pierwszego rzędu albo pierwszą pochodną.

Pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) funkcji f definiujemy następująco )

( ) ( )

( x f x

f ′′ = ′ ′ , czyli jako pochodną pierwszej pochodnej.

Dla przykładu )

2

( x x

f = , f ′ ( x ) = 2 x , f ′′ ( x ) = ( 2 x ) ′ = 2 , x

x

f ( ) = sin , f ′ ( x ) = cos x , f ′′ ( x ) = (cos x ) ′ = − sin x , e

x

x

f ( ) = , f ′ ( x ) = e

^x

, f ′′ ( x ) = ( e

^x

) ′ = e

^x

. Ogólniej:

Pochodną n -tego rzędu ( n -tą pochodną) funkcji f definiujemy następująco )

( ) ( )

(

^{( 1)}

)

(

x f x

f

ⁿ

=

ⁿ⁻

′ , n = 2 , 3 , K czyli jako pochodną ( n − 1 )-ej pochodnej.

Uwaga

W tym kontekście funkcję moŜna traktować jako pochodną rzędu zerowego (zerową pochodną).

Dla przykładu mamy e

x

x

f ( ) = , f

⁽ⁿ⁾

( x ) = e

^x

, n = 0 , 1 , 2 , K

x x

f ( ) = sin ,

 



 





+

=

−

+

=

−

+

=

=

=

3 4 cos

2 4 sin

1 4 cos

4 sin

)

)

(

(

k n x

k n x

k n x

k n x x

f

ⁿ

k = 0 , 1 , 2 , K

Uwaga

Pochodną f

⁽ⁿ⁾

( x ) oznacza się takŜe symbolami

_n

n

dx x f d ( )

lub D

ⁿ

f (x ) .

Prawdziwe jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 6.8 (Taylora)

Niech f : S ( a ) → R ma ciągłe pochodne do rzędu (n-1) włącznie w punkcie a ∈ R oraz istnieje pochodna f

⁽ⁿ⁾

( x ) dla dowolnego x ∈ S (a ) . Wtedy istnieje t ∈ S (a ) taki, Ŝe prawdziwy jest wzór, zwany wzorem Taylora

n n

n n

a n x

t a f

n x a a f

a x a f

a x a f

f x

f ( )

! ) ) (

)! ( 1 (

) ) (

! ( 2

) ) (

! ( 1

) ) (

( ) (

) ( 1 )

1 (

2

− + −

+ − +

′′ − +

′ − +

= K

^{− −}

_,

dla dowolnego x ∈ S (a ) . Uwagi

Przy n = 1 otrzymujemy znany wzór Lagrange’a, a mianowicie )

)(

( ) ( )

( x f a f t x a

f = + ′ − czyli

a x

a f x t f

f −

= −

′ ( ) ( )

)

( .

Przy n = 2 wzór Taylora ma postać

2 2

1

( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

( x f a f a x a f t x a

f = + ′ ⋅ − + ′′ ⋅ − .

Szczególnym przypadkiem wzoru Taylora jest wzór MacLaurina, otrzymany z wzoru Taylora przy a = 0 , tzn.

n n

n n

n x t x f

n x f

x f f f

x

f ⋅ + ⋅

+ − +

′′ ⋅ +

′ ⋅ +

=

^{− −}

! ) ( )!

1 (

) 0 (

! 2

) 0 (

! 1

) 0 ) (

0 ( ) (

) ( 1 )

1 (

2

K

oraz jego szczególne przypadki

= 1

n f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( t ) ⋅ x ,

= 2

n f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ⋅ x +

¹₂

f ′′ ( t ) ⋅ x

²

. Wzory MacLaurina dla funkcji

e

x

x f ( ) =

t n n

x

e

n x n

x x

e x + ⋅

+ − + + +

=

⁻

! )!

1 (

! 2

! 1 1

1 2

K x

x f ( ) = sin

n t x n

x x

x x x

n n n

n

cos

)!

1 2 ) ( 1 )! ( 3 2 ) ( 1

! ( 5

! sin 3

1 2 3

2 1 5

3

− ⋅

−

− +

−

− +

−

= K

^{− − −}

PowyŜsze wzory podaje się równieŜ w postaci przybliŜonej

!

! 2

! 1 1

2

n x x

e x

n

x

≈ + + + K + ,

)!

1 2 ) ( 1

! ( 5

! sin 3

1 2 5

3

− −

− +

−

=

⁻

n x x

x x x

n

K

n

_.

Wzór pierwszy pozwala podać kolejne przybliŜenia liczby e (przyjmując x = 1 ):

n = 1 e ≈ 1+ 1 ,

n = 2 e ≈ 1 + 1 +

¹₂

= 2 , 5 ,

n = 3 e ≈ 1 + 1 +

₂¹

+

₆¹

≈ 2 , 6667 , itd.

Do rachunków przybliŜonych moŜna takŜe uŜyć wzoru Taylora. Dla przykładu jeŜeli

chcemy policzyć sin 31

⁰

, to przyjmując we wzorze Taylora przy n = 1 postaci

) ( ) ( ) ( )

( x f a f t x a

f = + ′ ⋅ −

kolejno x = 31

⁰

, a = 30

⁰

=

^π₆

, t = 30

⁰

=

^π₆

, f ( x ) = sin x , f ′ ( x ) = cos x mamy 515115 ,

0 015115 ,

0 5 , 0 cos

sin 31

sin

⁰

≈

^π₆

+

^π₆

⋅

₁₈₀^π

=

₂¹

+

₂³

⋅

₁₈₀^π

= + = ^. Lepszy wynik uzyskujemy przy n = 2 ze wzoru

2 2

1

( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

( x f a f a x a f t x a

f = + ′ ⋅ − + ′′ ⋅ −

przyjmując x = 31

⁰

, a = 30

⁰

=

^π₆

, t = 30

⁰

=

^π₆

, f ( x ) = sin x , f ′ ( x ) = cos x , f ′′ ( x ) = − sin x

( ) ( ) ^{0 , 515039}

sin cos

sin 31

sin

⁰

≈

^π₆

+

^π₆

⋅

₁₈₀^π

−

¹₂

⋅

^π₆

⋅

₁₈₀^{π 2}

=

₂¹

+

₂³

⋅

₁₈₀^π

−

¹₂

⋅

₂¹

⋅

₁₈₀^{π 2}

= z tablic 10-cyfrowych mamy

5150380479 ,

0 31

sin

⁰

= .

Twierdzenie Taylora jest podstawą do następującego twierdzenia:

Twierdzenie 6.9 (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum) Niech f : U ( a ) → R spełnia warunki

1. f ma pochodną pierwszego i drugiego rzędu w punkcie a , 2. f ′ ( a ) = 0 ,

3. f ′′ ( a ) ≠ 0 ,

to f ( a ) = f

_ext

, przy czym f ( a ) = f

_max

, gdy f ′′ ( a ) < 0 albo f ( a ) = f

_min

^{, gdy} f ′′ ⁽ a ⁾ > ⁰ . Przykłady

Niech f ( x ) = x

³

− 3 x

²

+ 4 . Mamy f ′ ( x ) = 3 x

²

− 6 x , skąd wynika, Ŝe 2

0 0

)

( = ⇔ = ∨ =

′ x x x

f . Ponadto f ′′ ( x ) = 6 x − 6 , a więc f ( 0 ) = f

_max

, gdyŜ 0

6 ) 0

( = − <

′′

f oraz f ( 2 ) = f

_min

^{, gdyŜ} f ′′ ^{( 2 )} = ⁶ > ⁰ .

Niech f ( x ) = x ⋅ e

^x

. Mamy f ′ ( x ) = ( 1 + x ) ⋅ e

^x

, skąd f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 1 . PoniewaŜ e

x

x x

f ′′ ( ) = ( 2 + ) ⋅ oraz f ′′ ( − 1 ) = e

⁻¹

=

¹_e

> 0 , a więc f ( − 1 ) = f

_min

^.

Niech f : ( a , b ) → R .

Mówimy, Ŝe f ma wykres wypukły w przedziale ( b a , ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla kaŜdego x ∈ ( b a , ) wykres funkcji leŜy powyŜej stycznej poprowadzonej w punkcie

)) ( , ( x f x

P = .

Mówimy, Ŝe f ma wykres wklęsły w przedziale ( b a , ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla kaŜdego x ∈ ( b a , ) wykres funkcji leŜy poniŜej stycznej poprowadzonej w punkcie

)) ( , ( x f x

P = .

Twierdzenie 6.10

JeŜeli f jest dwukrotnie róŜniczkowalna w przedziale ( b a , ) oraz dla kaŜdego )

, ( b a

x ∈ zachodzi f ′′ ( x ) > 0 , to f ma wykres wypukły w przedziale ( b a , ) .

JeŜeli f jest dwukrotnie róŜniczkowalna w przedziale ( b a , ) oraz dla kaŜdego )

, ( b a

x ∈ zachodzi f ′′ ( x ) < 0 , to f ma wykres wklęsły w przedziale ( b a , ) .

Przykład

Określić przedziały wklęsłości i wypukłości wykresu funkcji f ( x ) = x

³

− 3 x

²

+ 4 . PoniewaŜ f ′ ( x ) = 3 x

²

− 6 x oraz f ′′ ( x ) = 6 x − 6 , to

f ma wykres wypukły w przedziale ( 1 , +∞ ) , f ma wykres wklęsły w przedziale (−∞ , 1 ) . Niech f : U ( a ) → R .

Punkt A = ( a , f ( a )) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f , jeŜeli f ma wykres wypukły w S

₋

(a ) oraz ma wykres wklęsły w S

₊

(a ) albo f ma wykres wklęsły w

) (a

S

₋

oraz ma wykres wypukły w S

₊

(a ) .

Twierdzenie 6.11 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) JeŜeli

1. f ma drugą pochodną w punkcie a ,

2. punkt A = ( a , f ( a )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f , to f ′′ ( a ) = 0 .

Przykład

Niech f ( x ) = x

³

. Funkcja spełnia warunki twierdzenia, a więc f ′′ ( 0 ) = 0 . Uwaga

Implikacja odwrotna jest fałszywa. Świadczy o tym przykład funkcji f ( x ) = x

⁴

, która spełnia w punkcie a = 0 warunek f ′′ ( 0 ) = 0 , ale ma ekstremum w tym punkcie, czyli punkt

) 0 , 0

= (

A nie jest punktem przegięcia wykresu tej funkcji.

Twierdzenie 6.11 (warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia) JeŜeli

1. f ma drugą pochodną w zbiorze U (a ) , 2. f ′′ ( a ) = 0 ,

3. f ′′ ( x ) > 0 dla x ∈ S

₋

(a ) ^oraz f ′′ ⁽ x ⁾ < ⁰ dla x ∈ S

₊

(a ) ^albo 4. f ′′ ( x ) < 0 dla x ∈ S

₋

(a ) ^oraz f ′′ ⁽ x ⁾ > ⁰ dla x ∈ S

₊

(a ) ^,

to punkt A = ( a , f ( a )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f . Przykłady

Niech f ( x ) = x

³

. PoniewaŜ f ′′ ( x ) = 6 x , a więc mamy kolejno 0

) 0 ( =

′′

f , f ′′ ( x ) < 0 dla x < 0 oraz f ′′ ( x ) > 0 dla x > 0 , co oznacza, Ŝe A = ( 0 , 0 ) jest punktem przegięcia wykresu tej funkcji.

Niech f ( x ) = x

⁴

. PoniewaŜ f ′′ ( x ) = 12 x

²

, a więc mamy kolejno 0

) 0 ( =

′′

f , f ′′ ( x ) > 0 dla x ≠ 0 ,

co oznacza, Ŝe A = ( 0 , 0 ) nie jest punktem przegięcia wykresu tej funkcji.