Mechanika dla AiR Wykład 7: Zderzenia Gniewomir Sarbicki

Mechanika dla AiR

Wykład 7: Zderzenia

Gniewomir Sarbicki

Zderzenie to proces, gdy bryły wymieniają między sobą pęd i moment pędu poprzez oddziaływanie kontaktowe zachodzące w bardzo krótkim czasie.

Siły odpowiedzialne za przekaz pędu mają dużą wartość i nazywane są siłami udarowymi.

Idealizacja: zderzenie zachodzi w nieskończenie krótkim czasie, siły są nieskończone, więc operujemy w opisie tylko przekazanym pędem.

Zderzenie jest elastyczne, jeżeli jest w nim zachowana energia kinetyczna.

Zderzenie jest plastyczne, jeżeli ciała po zderzeniu sklejają się ze sobą.

Linia łącząca środki ciężkości jest prostopadła do powierzchni styczności zderzających się ciał.

Przypadek 1-wymiarowy: prędkości obu ciał leżą na linii łączącej ich środki ciężkości.

Zderzenie elastyczne (zachowana energia kinetyczna)

m₁v₁+ m₂v₂= m₁v₁⁰ + m₂v⁰₂ (1) m1v₁²+ m₂v₂²= m₁v₁⁰²+ m₂v⁰²₂ (2) gdzie mi, vi to masy i prędkości ciał przed zderzeniem, a prędkości primowane to prędkości po zderzeniu.

Po przekształceniu:

m₁(v₁⁰ − v₁) + m₂(v⁰₂− v₂) = 0 (3) m1(v⁰₁− v₁)(v⁰₁+ v₁) + m₂(v₂⁰ − v₂)(v⁰₂+ v₂) = 0 (4)

Jednym z rozwiązań układu jest: v_i⁰ = v_i (brak zderzenia), które nas nie interesuje.

Drugim rozwiązaniem jest v₁+ v₁⁰ = v₂+ v₂⁰. Razem z (3) mamy:

"

1 −1 m1 m2

# "

v⁰₁ v⁰₂

#

=

"

v₂− v₁ m1v1+ m₂v2

#

(5)

"

v₁⁰ v₂⁰

#

= 1

m1+ m₂

"

m₂ 1

−m₁ 1

# "

v₂− v₁ m1v1+ m₂v2

#

(6) v⁰₁= m₂(v₂− v₁) + m₁v₁+ m₂v₂

m₁+ m₂ (7)

v⁰₂= m₁(v₁− v₂) + m₁v₁+ m₂v₂

m₁+ m₂ (8)

(zauważmy, że jeżeli masy są równe, prędkości ciał zamieniają się miejscami).

W zderzeniu plastycznym, masy po zderzeniu są równe:

v⁰ = m1v1+ m₂v2

m1+ m₂ (9)

Wzór ten różni się od wzorów (10), (11) brakiem pierwszego czynnika w liczniku.

Możemy zapisać te wzory jako jeden:

v⁰₁= m2k(v2− v₁) + m₁v1+ m₂v2

m1+ m₂ (10)

v⁰₂= m1k(v1− v₂) + m₁v1+ m₂v2

m1+ m₂ (11)

Współczynnik k jest równy 1 dla zderzenia elastycznego i 0 dla plastycznego. Pośrednie wartości k odpowiadają zderzeniu niedoskonale sprężystemu.

Współczynnik k możemy wyznaczyć z prędkości przed i po zderzeniu:

k = −v⁰₂− v⁰₁

v₂− v₁ (12)

nosi on nazwę współczynnika restytucji.

Materiał k

Miedź 0.891

Poliwęglan 0.884 Aluminium 0.875

Brąz 0.865

Stal nierdzewna 0.817

Akryl 0.694

Poliamid 0.656

Zderzenia centralne 2d - ruch ciał rozkładamy na składową równoległą i prostopadłą do powierzchni zderzenia:

m₁ v_1||’ = v_1||

v_1⊥

v_1⊥’

m2 v_2||’ = v_2||

v2⊥

v_2⊥’

Rozważać będziemy zderzenia figur płaskich na płaszczyźnie.

A B

∆p

C v O

Załóżmy, że koniec B spoczywającego pręta o masie m otrzy- muje impuls pędu ∆p prostopadły do swojej osi.

Środek masy C zacznie poruszać się z prędkością v = ∆p/m.

Pręt zacznie się obracać wokół pewnego punktu O.

Pamiętamy, że I = I0+ mx². Wprowadzając oznaczenia x = OC, y = CB,

x = I0/my (13)

Dla jednorodnego pręta: x = ₁₂¹ml²/(m ·¹₂l) = ¹₆l.

Punkt O nazywamy środkiem uderzenia.

Zderzenie dwóch prętów poruszających się ruchem postępowym i zderzających się końcami:

∆p

∆p m₁

m2

v₁

v₂

Z zasady zachowania pędu i energii:

m1(v₁⁰ − v₁) + m₂(v₂⁰ − v₂) = 0 (14) m₁v²₁+ m₂v₂²= m₁v⁰²₁ + m₂v₂⁰²+ I₁ω₁²+ I₂ω₂² (15) Ponieważ środek uderzenia położony jest w 1/6li za środkiem ciężkości i-tego pręta, ωi= 6(v_i⁰− v_i)/l_i i równanie (15) przyjmie postać:

m₁(v₁²− v⁰²₁) + m₂(v²₂− v₂⁰²) = m₁l²₁

12 36(v⁰₁− v₁)²

l²₁ +m₂l²₂

12 36(v⁰₂− v₂)² l²₂

= 3m₁(v⁰₁− v₁)²+ 3m₂(v₂⁰ − v₂)² (16)

Po przekształceniu otrzymamy:

m1(v⁰₁− v₁) + m₂(v⁰₂− v₂) = 0 (17) m1(v⁰₁− v₁)(2v⁰₁− v₁) + m₂(v₂⁰ − v₂)(2v⁰₂− v₂) = 0 (18) Układ ten rozwiązujemy podobnie jak układ równań (3) i (4), odrzucając rozwiązanie trywialne v⁰_i= v_i (brak zderzenia):

v₁⁰ = m₂(v₁+ v₂) + 2m₁v₁

2(m₁+ m₂) (19)

v₂⁰ = m₁(v₁+ v₂) + 2m₂v₂

2(m₁+ m₂) (20)

Dalej możemy wyznaczyć prędkości kątowe prętów po zderzeniu:

ω1 = 6(v⁰₁− v₁)/l₁ = 3m₂ m₁+ m₂

v2− v₁

l₁ (21)

ω₂ = 6(v⁰₂− v₂)/l₂ = 3m₁ m₁+ m₂

v₁− v₂

l₂ (22)

Dla ogólnej bryły płaskiej:

∆p PU

SC SU

Środek uderzenia bryły trójwymiarowej

Dawid uderzony w nogę i płaszczyzna prostopadła do linii uderzenia, w której leży środek ciężkości:

Jak szukać osi uderzenia w przekroju bryły tą płaszczyzną ?

Załóżmy, że punkt na brzegu bryły otrzymuje impuls pędu (prostopadły do brzegu w tym punkcie).

Środek ciężkości bryły dozna przyrostu prędkości ∆~v = ∆~p/m.

Chwilowa oś obrotu leży w płaszczyźnie prostopadłej do wektora ∆~p przechodzącej przez SC.

Wprowadźmy na tej płaszczyźnie układ współrzędnych x, y o początku w środku ciężkości.

Niech linia wyznaczana przez wektor ∆~p przecina płaszczyznę w punkcie

~

r_U = [x_U, y_U], a ~r₀= [x₀, y₀] jest punktem na osi uderzenia . Wektor ∆~ω leży teraz w płaszczyźnie x, y. Wiąże go równanie

∆p/m = v = −(∆~ω × ~r₀)_z = ∆ω_yx₀− ∆ω_xy₀ (23)

Przyrost momentu pędu wynosi (~r_U − ~r₀) × ∆~p i wiąże go z ∆~ω tensor bezwładności ISC+ m(r²₀− ~r₀~r0·):

(~r_U− ~r₀) × ∆~p = I_SC∆~ω + m(∆~ωr²₀− ~r₀~r₀· ∆~ω) = I_SC∆~ω + m(~r₀× (∆~ω × ~r₀)) (24) Ponieważ ∆~p = −m∆~ω × ~r₀, drugie składniki skracają się:





 yU

−x_U 0





∆p = ~r_U× ∆~p = I_SC∆~ω (25)