Zeszyty Naukowe. Sekcja Matematyki. Nr 5

ZESZYTY NAUKOWE

SEKCJA M ATEM ATYK I NR 5

SK. MAT.

MOWICE

W N I C T W O „ P R A C E N A U K O W E W S P ”. K A T O W I C E 1 9 6 6

O G O L N E G O Z B I O R U N R 3 0

ZESZYTY NAUKOWE

S E K C J A M A T E M A T Y K I

NR 5

W Y D A W N I C T W O „ P R A C E N A U K O W E W S P ”. K A T O W I C E 1 9 6 6

O C .OLNEGO ZB IO R U NR 30

P rz e w o d n ic z ą c y K o m ite tu W y d a w n ic z e g o J A N Z A R E M B A

S e k r e t a r z K o m ite tu W y d a w n ic z e g o A D A M J A R O S Z

R e d a k to r n a u k o w y A N T O N I W A K U L I C Z

S e k r e t a r z r e d a k c ji K A Z I M I E R Z S Z Y M I C Z E K

W y d a w c a :

W Y Ż S Z A S Z K O Ł A P E D A G O G IC Z N A W K A T O W IC A C H ul. S z k o ln a 9

W S Z E L K IE P R A W A Z A S T R Z E Ż O N E

N a k ł . 3 80 + 25 A r k . w y d . 10 A r k . d r u k . 9" , P a p i e r d r u k o w y s a t . k l . I I I , 70x100, 80 g O d d a n o d o d r u k u 13. 12. 1965 P o d p i s , d o d r u k u 10. 12 1967 D r u k u k o ń . w g r u d n i u 1967

Z a m . 1871 15 12. 1967 E-23 C e n a z ł 13,—

S k ła d , d r u k i o p ra w ę

w y k o n a n o w Z a k ła d z ie G ra fic z n y m P o lite c h n ik i Ś lą s k ie j w G liw icac h

A N T O N I W A K U LIC Z

O MNOŻENIU WYZNACZNIKÓW

Jak o k o n ty n u ac ję rozw ażań w [1] p rze d staw ia m w § 1 p ro sty dowód tw ierd zen ia o m nożeniu w yznaczników ró żn y ch stopni nie o p iera ją c y się o ra c h u n e k in w ersji i stanow iący n a tu ra ln e uogólnienie m nożenia w y ­ znacznika przez liczbę. W § 2 om aw iam pojęcia i tw ierd zen ia teo rii m iary , z k tó ry c h rów neż w ynika reg u ła m nożenia w yznaczników jak o n a ty c h ­ m iastow a k onsekw encja re g u ły m nożenia m acierzy.

§ 1. Twierdzenie o mnożeniu wyznaczników i jego dowód bezpośredni T w i e r d z e n i e . Jeśli stopień k w yznacznika V je s t nie w iększy od stopnia n w yznacznika D, to w yzn aczn ik W = D • V o trz y m u je m y z w y ­ znacznika D zastęp u jąc w n im w e k to ry k o lum ny X t , X/2 . . . X i k p rzy do­

w olnym ciągu li < l2 < . . . < h przez ich k o m bin acje liniow e o w spół­

czynnikach będących elem en tam i k o lejn y ch kolum n w yznacznika V.

Dowód. Dla k = 1 je s t to zn ane tw ierd zen ie o m nożeniu w y znacznika przez liczbę.

Dla k = 2 w yznacznik D zapisujem y za pom ocą w ek to ró w k o lu m n

G i l G i2

D = I . . . X /1 . . . X ;2 . . . I, gdzie li < l2 zaś V d n a 12

fl2i fl22

gdzie kropki oznaczają e w e n tu a ln e pozostałe niezm ienione k olu m n y w y ­ znacznika D.

Dowód przep row adzam y n a jp ie rw w p rzy p a d k u V 9^ 0. M am y w ów czas bądź a22 7= 0 bądź a2\ 9^ 0. W p ierw szy m p rzy p a d k u istn ie je ta k a liczba a,

d n + a di2 di2

0 d22

0.21 o22 ' NaleŻy w ykazać, że

= I. . . d n X/j + d2i X]2 . . . di2 X ;1 + d22 X;2 . . , | ,

że d21 + a d 22 = 0, zatem V — (dn O O12) ' 022.

P rzek ształcając analogicznie w yznacznik W m am y W — I . . . (dn O di2) X(j . . . d]2 X(j + d22 X;,

( d n "t" a a 12) a 22 I • • • X i t . . . X f , = D. V.

V = Oi2 a n tzn. W ' = \ . . . a12 X , x + a22 X ;2 . . . a u X , x + a 2i X ,2 . . . CE-22 a 21

= D. V'. T ran sp o n u jąc ko lu m n y i l2 w W ' oraz pierw szą i d ru g ą kolum nę w V ' m am y W = D V i w ty m przyp ad k u .

W ykażem y teraz, że, jeśli tw . zachodzi dla w yznacznika V stopnia k — 1 ^ 2 , to zachodzi dla w y znacznika V sto pnia k.

N iech D = | . . . X (j . . . X , 2 . . . X ,3 . . . X /(c. . . I, zaś a n a i2 . . . aik

a2\ a22 ■ ■ ■ &2k

U k l ttA-2 • ■ • a k k

0

R o zp atru jem y w yznacznik W = I . . . a n X i x + a 2i X ;2 + . .. + a/n X i k .

■ ■ ■ d\2 X / x + a 22 X/ ak2 X i K. . . a u X , x + a2k X i 2 + . . . + akk X / k. . . I Je śli V n 0, to istn ieją liczby a 2, a3 . . ., ak sp ełn iające uk ład rów nań:

u 2 a 22 a 3 a 23 . + a k a 2 k = a 21

« 2 « 3 2 + « 3 « 3 3 + ■ • • + «A CL3 k = ~ 0 31

« 2 Uk 2 + « 3 «*.-3 + . . . + « k ^ k k = a k i

M nożąc zatem k olu m ny 2, 3, . . . k w yznacznika V odpowiednio przez liczby a 2, a 3 . . . ak i dodając do k o lum n y pierw szej o trzy m u jem y

V = (au + a 12«2 + a 13a 3 + . . . + a lA:a fc) Vn

Mnożąc zaś k olu m n y l2, . . ., lk w yznacznika W odpow iednio przez a 2, a3, . . ., ak i dodając do ko lum ny o n u m erze lx m am y:

W i . . . X (j . . . a 22 X /2 + a32 X ;.; + . . . + ak2 X i k . . . a2k X /2 + a3k Xi^ + + . . . + akk X i k i (ai2 «2 + a i3 a 3 + . . . + alk <*k + a n ).

Z założenia in du k cy jneg o w ynika, że pierw szy czynnik tego iloczynu jest Wi = D . V n. Z atem W = D. R n (ai2 «2 + a i3 a 3 + • • • + aik ak + a n) = D.V.

Z założenia, że V 0 w ynika, że przy p ew n y m s, V ks =7^ 0. Dla s = 1 do­

wód został przeprow adzony. Je śli s ^ 1, to tw . zachodzi dla m nożenia w y ­ znacznika D przez w yznacznik V', k tó ry o trz y m u je m y z w yznacznika V p rzestaw iając s-tą k olum nę na pierw sze m iejsce za pom ocą s — 1 tra n sp o ­ zycji tej k olum ny z poprzedzającym i kolum nam i. M am y więc

(2) W' = I . . . a u X ,j + a2s X , 2 + . . . + aks X ,fc. . . a u X (j + a 2i X ,2 + . .. + + akk X , . . D. V'

T ranspo nu jąc w rów ności (2) s — 1 razy k olum nę lx w w yznaczniku W ' z kolum nam i o n u m era ch l2, h, . . . ls-i, ls zaś w w yznaczniku V' pierw szą kolum nę z kolum nam i o n u m era ch 2, 3, . . s o trz y m u je m y żądaną ró w ­ ność W = D V . — T w ierdzenie zostało zatem udow odnione przy założeniu V ^ 0 .

Je śli V — 0, to tw ierd zen ie oczyw iście zachodzi p rzy k = 1. P rz y k 55? 2 w a ru n e k V = 0 pociąga istnien ie niezerow ego rozw iązania u k ład u ró w n ań jednoro d n y ch aj A x + a 2 A 2 + . . . + a k A k = 0, gdzie A-, w e k to ry kolum ny w yznacznika V. W ynika stąd, że p rzy p ew n y m s kolum na A, je st kom bi­

nacją liniow ą pozostałych kolum n. Ł atw o w idzieć, że w ów czas i kolum na ls w yznacznika W je st kom binacją liniow ą pozostałych kolum n. Z atem W = 0 o raz D V = 0, więc W - D V i w ty m p rzypadku. — T w ierdzenie zostało w zupełności udow odnione.

§. 2. Związek mnożenia wyznaczników z mnożeniem macierzy R o zp atru jem y p rzekształcen ia liniow e jed n orodne płaszczyzny lub p rze­

strzeni tró jw y m ia ro w e j określone za pom ocą m acierzy. O braz figu ry s oznaczam y przez s, zaś pola (objętości) ty c h fig u r odpow iednio przez I s i, I s | . Jeśli dla pew nego p rzek ształcen ia zachodzi zw iązek I s I — a I s I, to liczbę a nazy w am y w spółczynnikiem zn iekształcenia pola fig u ry s przy ro zp a try w a n y m p rzek ształcen iu .

W teorii m iary dowodzi się tw ierdzenia:

Jeśli przy d an y m przek ształcen iu każdy p ro sto k ąt (prostopadłościan) o ustalonych k ieru n k a ch boków (— k ie ru n k a ch ścian) przechodzi w fig urę m ierzalną o stały m w spółczynniku zniekształcenia pola, to każda fig u ra m ierzalna przechodzi przy ty m p rzek ształcen iu w fig u rę m ierzaln ą z tym , że w spółczynnikiem zniekształcenia pola (objętości).

Ł atw o w ykazać, że dla przek ształceń liniow ych płaszczyzny czy p rz e ­ strzeni zachodzą założenia powyższego tw ierd zen ia. P rzykładow o stw ie r­

dzim y to dla przek ształcen ia płaszczyzny.

Ja k w iadom o pole Isl rów noległoboku s o w ierzchołkach P1 (xx, yi), P 2 {%2, V2). P3 ( ^3,1/3) p rzy p ew n y m uporządkow aniu oznaczeń je s t rów ne w yznacznikow i

^1 V\

^2 V2

x 3

Pole | s | p ro sto k ąta P i (x1; y x), P 2 ( x x + h, y x), P 3 (oą, y x + k) p rzy h, k > 0 je s t rów ne

Xi yi

Xi + h y x

x i V\

1 1

k 1 h k

— 5 ^—

R o z p a tru jem y p rzek ształcen ie liniow e M = | fll j o w yznaczniku

y a 2 b 2 /

IM 1^2= 0. M am y x = a 1x + b 1 y , y = a2x + b 2 y.

S tw ierd zam y , że pole rów noległoboku, k tó ry jest o brazem p rostok ąta s, jest

Xi Vi ¹ a, + bi y l a2 X\ + b 2 y x 1

sl = _£2 V2 ¹ = ox Xi + h + bi t/i a2 x x + h + b 2 y 2 1

£3 ys ¹ a.i X\ + bi yi + k a2 X! + b 2 yi + k 1 a2x j + bj a2 x 1 + b 2 y x 1

Ol 02

O ih a2 h 0 = h k

bi b 2

b x k b 2 k 0

Oznacza to, że w spółczynnik zniekształcenia pola m a w artość stałą ró w ­ ną | M I.

Z upełnie podobnie przebiega dowód dla p rzestrzen i tró jw y m iaro w ej.

D la p rze strz e n i o w iększej ilości w y m iaró w po o k reślen iu odpow iednich fig u r i w pro w adzeniu elem en tó w teo rii m iary łatw o dowodzi się analo ­ gicznych tw ierdzeń.

Rozw ażam y te ra z dw a p rzek ształcen ia liniow e o m acierzach M l , M 2 i w yznacznikach |M 2I ^ 0 . Iloczyn ty c h m acierzy M = M 2M^.

N iech s będzie prostopadłościanem w odpow iedniej p rzestrzen i. W tedy m iara o brazu Sj fig u ry s po p rzekształceniu Mj jest IsJ = Isl |M |. Po w y ­ konaniu n a stę p n ie p rzekształcen ia M2 fig u ry Si m am y figu rę s2 o m ierze ls2l = |Sl| • \M2\ = Isl |M j| • \ M2\.

B ezpośrednie p rzek ształcen ie M fig u ry s d a je fig u rę ś o m ierze I sj =

= Isl • | M |. Z uw agi na identyczność fig u r s2 i ś m am y Isl |M 2M j| =

= Isl • iMji • IM21 czyli \M2Mi\ — |M X| • IM21, co znaczy, że w yznaczniki n ieu jem n e m ożem y m nożyć ja k m acierze. S tąd łatw o o trzy m u jem y tę sam ą reg u łę dla dow olnych w yznaczników rozw ażając tran sp o zy cje ko­

lu m n w w yznaczn ikach ujem n ych .

P R A C A C YTO W A NA

[1] A. W a k u 1 i c z: Z a r y s te o r ii w y z n a c z n i k ó w i u k ł a d ó w r ó w n a ń l i n i o w y c h w o p a r ­ c i u o p o ję c i e i l o c z y n u s k a l a r n e g o , Z e sz y ty N a u k o w e W S P w K a to w ic a c h , S e k c ja M a te m a ty k i, 4, 1964, ss. 5— 10.

ON THE M U L T IP L IC A T IO N OF D E T E R M IN A N T S

B y A . W A K U L I C Z

S U M M A R Y

As a co n tin u atio n of th e p ap er [1] th e a u th o r gives tw o sim ple p roofs of th e C auchy’s th eo re m on m u ltip lic a tio n of d e te rm in a n ts. In th e firs t sec- tio n it is proved th eo re m on m u ltip licatio n of d e te rm in a n ts w hose deg rees a re not n ecessary e ą u al; in th e second section th e proof of C auch y’s th eo ­ rem is ob tain ed as a co n seąuence of a th e o re m fro m m easu re th eo ry .

O d d a n o do R e d a k c j i 15. V I I . 1965

W Ł A D Y SŁ A W W R O N A

O NAJMNIEJSZEJ ODLEGŁOŚCI PIERWIASTKÓW RÓWNANIA TRZECIEGO STOPNIA

Dla szukania p ierw iastkó w w ielom ianu z użyciem tw ierd zen ia S tu rm a jest rzeczą isto tn ą znać przedział, w k tó ry m z n a jd u je się ju ż ty lk o jeden p ierw iastek w ielom ianu. D ługość tego przedziału jest oczywiście m niejsza od n ajm niejszej odległości pierw iastków .

C elem tego a rty k u łu je s t oszacow anie n ajm n iejszej odległości p ie rw ia s t­

ków ró w nan ia stopn ia trzeciego:

(1) a 0 x 3 + ax x 2 + a2 x + a3 = 0, gdzie w spółczynniki są liczbam i rzeczyw istym i, a0 0.

R ów nanie (1) przez podstaw ienie y = x — ai/3o0 sprow adza się do ró w ­ nania

(2) y 3 + py + q = 0,

które m a tę w łasność, że różnice jego p ierw iastków są tak ie sam e ja k ró ż ­ nice p ierw iastk ó w ró w n an ia (1). D latego ro zp atry w ać będziem y ró w n a ­ nie (2).

N iech y 0, yi, y 2 będą pierw iastk am i ró w n an ia (2). Zauw ażm y, że w ted y

— y 0, — yi, — y 2 są pierw iastk am i rów n an ia y 3 + py — q = 0; zatem od­

ległości p ierw iastk ów obu ró w n ań są te sam e. Z tego w zględu m ożem y sta le zakładać, że q ^ 0. N iech

q 2 p 3 (3) d = m in ( |y 0 — y il, lyi — y 2l, ly2 — y 0l), D = U f ~ ^ 2 7 '

U dow odnim y n astęp u jące T w i e r d z e n i e .

(a) Je śli D < 0, to 2 | / —3 D /lp l < d < 3 j/— 3 D /|p | < / i p T (b) Jeśli D = 0, to d = 0.

(d) Jeśli D > 0 i p < 0, to } 3 ] /— q/2 — \ ' — p < d < 2 | / p + 3 ] /q 2/4.

Dowód. R ozpatrzy m y n a jp ie rw p rzy p a d e k (a). J a k w iadom o ([2], s. 218), jeśli D <. 0, to

3 _______________ 3 3

y0 = 2 I r cos <p/3, y x = 2 J r cos ( 9 + 2 Jt)/3, y2 = 2 | r cos (9 + 4 Jt)/3, gdzie r = ) / — p 3/27, cos 9 = — q/2 r, sin 9 = | — D /r.

Je śli q :¾ 0, to cos 9 ^ 0 , sin 9 > 0, zatem 0 < 9 ^ Jt/2, skąd m am y Vi < V2 < 0 < y 0.

Poniew aż y0 + yi + y2 = 0, więc y0 + y x = —y2 > 0 > 2 y 2, skąd y0 —

— y2 > y2 — yi- Z atem

3 _ 3 _

(4) d = y2 — yi = 2 ] / r (cos (9 + 4 Jt)/3 — cos (9 + 2 k)/3) = 2 j —p sin 9/3. Z nierów ności 0 < 9 =¾ + 2 w ynika, że (sin 9 ) / 3 < sin 9 / 3 < (sin 9)/2.

S tąd i z (4) m am y

2 ___

— V — p s i n 9 < d = 2 | — p s i n 9 / 3 < J7— p s i n 9.

3

U w zględniając teraz, że sin 9 = )/— D /r = | 27 D /p3, o trzy m u jem y stąd oszacow anie z a w arte w punk cie (a).

P u n k t (b) w y n ik a stąd, że w p rzy p a d k u D = 0 rów nanie (2) posiada p ie r­

w ia ste k p odw ójny, zatem d = 0.

U dow odnim y te ra z p u n k t (c). N iech D = 0, p > 0, q =¾ 0. W tedy ([2], s. 217) ró w n a n ie (2) m a p ierw iastk i y 0 = 2 a ^ 0, y x = — a + bi, y 2 =

= — a — bi, skąd n a ty c h m ia st w y n ik a, że

(5) ' p — b 2 — 3 a 2, q = — 2 a (a2 + b 2).

M am y tu ta j \yx — y 2l = 2 b, |y 0 — y x\ = |y 0 — y 2| = / 9 a 2 + b 2. Rów­

ność d = | 7 9 a? + b 2 zachodzi w te d y i ty lk o w tedy , gdy 2 b ^ j- 9 a 2 + b2, to znaczy gdy b 2 — 3 a2 = p ^ 0. T ak więc w p rzy p a d k u (c) jest d =

= y 9 a 2 + b2, zaś w p rzy p a d k u (d) je s t d = 2 b.

Z (5) w ynika, że b 2 = / a 3 j /a, zatem a =¾ | — q/2. Stąd

3 _

d 2 = 9 a 2 + b2 = p + 12 a 2 =¾ p + 12 | 7 q2/4 oraz d 2 = p + 12 a2 p, zatem p u n k t (c) został udow odniony.

W p rzy p a d k u (d) p ierw iastk i ró w n a n ia (2) m ają tę sam ą postać co w p rzy p ad ku (c), spełnione są ró w n an ia (5) oraz d = 2 b . O szacow anie d

3 _

z góry w ynika stąd, że b — J p + 3 a2 oraz a 2 =5¾) q2/4. N iech

(6) F (a) = y ( ~ f - a3) /a, / (a) = J P + 3 a 2, g (a) = j /3 (a — j / — p/3).

Liczba b je s t rozw iązaniem u k ład u F (a) = f (a) = b. P o tra k tu jm y (6) jako fu n k cje zm iennej a zaś rozw iązanie w spom nianego u k ład u oznaczm y a = a0, b = b 0. F u n k c ja F jest m alejąca, fu n k cje f i g są rosnące, przy czym f ( a ) > p ( a ) dla a > | — p/3. N iech s = ( ) / — q/2 + ) / — p /3).

M am y s ł > | —p/ 3, gdyż q =7^ 0, D > 0.

Jeśli s =¾ a0, to g (s) < g (a0) < f (a0) = b 0.

Jeśli s > a 0, to g (s) < F (s) < F (a0) = b 0, gdyż, ja k to udow odnim y n i­

żej, g (s) < F (s). T ak więc w k ażdym p rz y p a d k u g (s) < b 0, zatem d =

= 2 b0 !> 2 g (s), skąd w y n ik a już teza p u n k tu (d). P ozostaje jeszcze udowodnić, że g (s) < F (s). M am y q (s) = —^ | | — q/2 — ) / — p/3j =

3______

= | 3 (| — q/2 — s). N ależy w ięc udowodnić, że

/ 3 ' 3 3 _______ _ 3 ______

(7)

V

W yrażenia pod p ierw iastk iem k w a d rato w y m w nierów ności (7) są do­

datnie, podnosim y więc obie stro n y (7) do k w a d ra tu , dzielim y przez

3 ______

] /— q/2 — s, po czym o trz y m u je m y nierów ność

3 ___ 3 _______

| q2/4 + i 7—p/3 ) / — q/2 — p/3 > 0

praw dziw ą, gdyż w szystkie sk ład n ik i są tu d odatnie. Z atem praw d ziw a jest także nierów ność (7) i nasze tw ierd zen ie jest w zupełności udow od­

nione.

Zauw ażm y jeszcze, że w skazane w p u nk cie (a) oszacow ania są lepsze od re z u lta tu jak i m ożna uzyskać przy pom ocy w y ró żn ik a ró w n a n ia (2) (zob. [3], ss. 167— 8). J a k wiadomo,

[(3/0 — y \) (yi — yz) (yz — yo)]2 = — 4 p 3 — 2 7 q 2 = — Dj

6 3 ______ _____ 6

skąd d =¾ ) / — Di. T ym czasem 3 | — 3 D / |p | = J — Dx/2 Ipi = \ / — Di X

3 _______ 6_______

X V — D y 2 |p | < ] / —Dl

— U —

Z pew nego tw ierd zen ia F. C onstantineseo [1] w y nik a, że w p rzy padk u (a) m am y d < ld ', gdzie d' jest odległością p ierw iastk ó w ró w n an ia 3 y 2 + p =

= 0, czyli d' = 2 | 7— p/3. J e s t to, ja k łatw o spraw dzić, także oszacow anie słabsze od podanego w punkcie (a).

P R A C E C Y T O W A N E

[1] F. C o n s t a n t i n e s e o : S u r u n th e o r e w .e d e M a r c e l R iesz , C o m p te s R e n d u s A c a a . Sci. P a r is , 247, 1958, ss. 256— 257.

[2] 9imHKJiorre/jiiH ajieMeHTapnoii MaieMaTHKH, KHHra II, A jiredpa, MocKBa — JleHHHrpaft, 1951.

[3] W. S i e r p i ń s k i: Z a s a d y a l g e b r y w y ż s z e j , W a rs z a w a — W ro c ła w , 1951.

ON THE M IN IM A L D IST A N C E BETW EEN ROOTS OF THE EQ C ATIO N OF TH IR D DEGREE

B y W ł a d y s ł a w W K O N A

L et y 0, yi, y 2 be ro ost of th e e ą u a tio n (2) (p. 9), d and D a re defined by (3). The a u th o r show s th e follow ing

T heorem . If D < 0 th e n 2 | — 3 D/lpl < d ^ 3 | — 3 D/Ipi |/jp|.

If D = 0 th e n d = 0.

/ 3

If D > 0 and p > 0 th e n | p =¾ d ^ J p + 12 | q2/ 4.

3 / 3 ________

If D > 0 and p < 0 th e n | 3 \ ■—q/2 — | — p < d < 2 | p + 3 | q2/4.

O d d a n o do R e d a k c j i 16. V I . 1965.

JA N A M BR O SIEW IC Z

SPROWADZANIE FORMY KWADRATOWEJ DO POSTACI DIAGONALNEJ

Sprow adzanie form y k w ad rato w ej do p ostaci diagonalnej m etodą La- g ran g e ’a ([1] str. 145— 152) je st uciążliw e zw łaszcza w tedy, gdy trzeb a pod­

nosić do k w a d ra tu skom plikow ane w y rażen ia. Istn ie je m etoda Jacobiego pozw alająca dość szybko określić w spółczynniki form y kw ad rato w ej zapi­

sanej w postaci diagon alnej. W m etodzie te j najw iększą tru d n o ść p rze d ­ staw ia szukanie przekształcenia, k tó re daną form ę kw ad rato w ą sprow adza do postaci diagonalnej. Z nalezienie tego p rzek ształcen ia w y m ag a oblicze­

nia w yznaczników ze skom plikow anym i w y rażen iam i liniow ym i ([2] str.

133). W yprow adzenie w zorów n a p rzek ształcenie w m etodzie Jacobiego nie jest łatw e.

W zbiorze zadań [3] str. 122 podane je s t z a d a n ie 1 na obliczenie w sp ó ł­

czynników form y k w adratow ej w postaci diag on alnej. W zadaniu ty m nie podaje się sposobu znajdow ania przekształcenia, oblicza się w spółczynniki przy założeniu, że tak ie p rzek ształcen ie istn ieje.

W niniejszym a rty k u le podaję dowody dw óch p ro sty ch tw ierdzeń , k tó re jednocześnie w sk azu ją pro stą m etodę znajd ow an ia p rzek ształcen ia i w spó ł­

czynników form y k w ad rato w ej w postaci diagonalnej.

Na w stęp ie om ów im y kró tk o pew ne podstaw ow e pojęcia. N iech będzie d a n a m acierz nieosobliw a

a Ł1 cti2

a 1 2 a 2 2

W1 Ct„2

Załóżm y, że m acierz A m a w y raz an ró żn y od zera. Po podzieleniu pierw szego w iersza przez an w y ra z k ieru n k o w y tego w iersza stan ie się je d ­ nością. O dejm u jem y tera z pierw szy w iersz pom nożony odpow iednio przez a n (i = 2, 3, . . . n) od pozostałych w ierszy. W tedy pierw szym w y razem

- 13 —

pierw szej k olu m n y je s t liczba 1, zaś pozostałe w y ra z y pierw szej k o lu m ny są zeram i. D alej sto su jem y to samo p rzek ształcen ie kolejno do pozosta­

ły ch w ierszy zgodnie z m etodą G aussa obliczania w yznaczników [4], W ten sposób o trzy m am y pew ną m acierz B, o w y razach k ieru n k o w y ch rów nych jedności. J e st w idoczne, że m ożem y ta k poprzestaw iać w iersze m acierzy, aby w yrazy k ierun ko w e rów ne jedności znajdow ały się n a głów nej p rze ­ kątn ej.

Liczby przez k tó re dzielim y kolejne w iersze aby o trzy m ać w nich w y ­ ra z y kieru nk ow e ró w n e jedności oznaczam y przez

(1) ai, a2, <13, . . . an.

Poniew aż a : • a2 • . . . an = I Al = A„

w ięc A„ A„

dn = --- = -T---- a x • a2 • . . . an-! A„_x Z atem ciągowi liczb (1) m ożna n adać postać

n o ^2 ^3

V A / — 7 f 7 > - * " » • • • > 7--- ?

■^o A, A2

gdzie A0 = 1, zaś A; podw yznaczniki głów ne.

Z o statn iej rów ności w ynika, że m acierz A da się podanym sposobem doprow adzić do postaci tró jk ą tn e j, gdy jej w szystkie głów ne podw yznacz­

niki są ró żn e od zera.

W przy p ad k u , gdy rzą d m acierzy A w ynosi k i As 7^ 0 dla s ^ k, m acierz B m a k w ierszy niezerow ych, pozostałe zaś n-—k są w ierszam i zerow ym i.

W tedy w ciągu (1) je s t k w yrazów . M acierz B będziem y nazyw ali zred u ­ kow aną m acierzą tró jk ą tn ą dla d an ej m acierzy A.

T w i e r d z e n i e 1. Jeżeli m acierz

'<*11 0-12 • • ■ d\n , <*12 <*22 . . . a2n A

\ <*1 n <*2n • • • <*nn , ma głów ne podw yznaczniki ró żn e od zera, a

1 b i2 bi3 . . . b ln \ B = 1 &23 . . . b 2n

0 1

jest jej zreduk o w aną m acierzą tró jk ą tn ą , to zachodzi rów ność

(2) A • B -i = C,

gdzie C jest to m acierz k tó re j głów ną p rze k ą tn ą tw orzą elem en ty ciągu (1), n ato m iast w szystkie w y ra z y zn ajd u jące się pow yżej głów nej p rz e k ą t­

nej są zeram i.

Dowód. R ozpatrzm y n a jp ie rw przyp ad ek, gdy rzą d m acierzy A je st ró w ny n. S prow adzanie m acierzy A do postaci tró jk ą tn e j polega n a m no­

żeniu tej m acierzy przez m acierze ty p u

(a) 3 ■

(b)

1 0

' 1 - a ---1.

0 '1

L ew ostronne m nożenie m acierzy A przez m acierz ty p u (a) odpow iada m nożeniu j-go w iersza tej m acierzy A przez - L ew ostronne m nożenie A przez m acierz ty p u (b) odpow iada dodaw an iu do elem entó w j-go w iersza elem entów p ro p orcjo nalny ch do elem en tów w ierszy leżących pow yżej.

R edukcję m acierzy A do postaci tró jk ą tn e j m ożem y u jąć w postaci

(3) Ti • T 2 . . . T s • A = B

przy czym

N i­

gdzie E-, m a postać (c) lub (d)

1 0 1 0

' 1 1

a (d)

1 a • ■ • 1

0 i 0 ’ ’ i

Z rów ności (5) o trz y m u je m y

{4) E 1 • E2 • E3 . . . E s • B — A

gdzie E k (k = 1, 2, . . s) są to m acierze ty p u (c) lub (d), zaś B jest m acie­

rzą tró jk ą tn ą

1 b 12 b 13 . . . b Xn\

1 b23 . . . b 2n

0 ' l /

Rów ności (4) m ożna nadać postać

(6) E X - ’E 2 - E 3 . . . E s = A - B - i bo m acierz (4) m a w yznacznik ró w n y jedności.

Iloczyn E x • E 2 • E 3 . . . Es je s t m acierzą C, k tó re j w szystkie w yrazy le­

żące pow yżej głów nej p rze k ą tn e j są zeram i, co w y n ik a z budow y m acie­

rzy ty p u (c) i (d).

O bliczym y w y ra z y sto ją c e na głów nej p rze k ą tn e j m acierzy C, Z (4) o trz y m u je m y

(7) | E X| • IE2\ • \E3\ . . . IE,I • \B\ = IAI = A„

W yznaczniki m acierzy ty p u (d) i w yznacznik m acierzy B są rów ne jed ­ ności. W yznaczniki p o w stałe z m acierzy ty p u (c) są to w yznaczniki różne od jedności. J e st ich d okład n ie n. Ł atw o zauw ażyć, że te w yznaczniki są ró w n e w y razom z ciągu (1). Z (1) i (5) w y n ika teza tw ierdzenia.

Tw ierdzenie je s t także praw d ziw e i w ted y , gdy m acierz A jest osobli­

wa, jeśli odpow iednio o k reślim y m acierz B_1. Je śli rząd m acierzy A w y ­ nosi k, to dla m acierzy tró jk ą tn e j B (k) sk ład ającej się z k w ierszy i tyluż kolu m n istn ieje m acierz o d w ro tn a B <k)_1. Je śli się um ów im y, że m acierzą B _1 będzie ta k a m acierz, k tó ra p o w staje z B (k>_1 przez dopisanie do niej n - k w ierszy i ty leż k o lum n sk ła d a jąc y c h się z sam ych zer, to ilość w y ­ razów ró żn ych od zera stojących na głów nej p rze k ą tn e j m acierzy C =

= A • B _1 ró w n a jest w ów czas rzędow i k m acierzy A, co w ynika z wzo­

r u (6).

P r z y k ł a d 1. N iech będzie d ana m acierz nieosobliw a

1 3 2 2 5 1 6 0 8 7

> ^{0 8} W naszym przy k ład zie

13 27

13

B =

_ o _ 13 27

0 , - 2 ,

M acierzą od w rotną do B je s t m acierz

B -i =

_ 3 14

2 13

Iloczyn

2 3 4 C = A • B -1 = 5 1 6 •

0 8 7

O 1 — :

0 0

P r z y k ł a d 2. N iech będzie d an a osobliw a m acierz

1 ^{— —}

13

14 2

13

8 ^— 5

13 1 0

A

' 2 6 4^

1 2 5 1 3 2, T utaj jest

g (2 ) = 1 3

0 1

B< 2)-i =

1 — 3 0

0 1 0

0 0 0

zgodnie z um ową.

2 S e k c j a M a t e m a t y k i — 17 —

W ty m p rzyk ład zie

aj = 2, n2 — — 1, a3 = 0.

T w i e r d z e n i e 2. Jeżeli m acierz A = (a -tj) je s t rzędu k i As ^ 0 d la s ^ k, to form a k w ad rato w a n zm iennych

n n _ (7) / {x1} x 2, . . x„) = V V a]j ^X-, xj

i—1 i 1

0 m acierzy A, d aje się sprow adzić do postaci d iagonalnej za pomocą p rze­

k ształcen ia liniow ego o m acierzy o d w ro tnej do (4), p rzy czym w spółczyn­

niki fo rm y k w ad rato w ej w postaci d iagonalnej są w y razam i ciągu (1) 1 jest ich d ok ładn ie k.

Dowód. F orm ie (7) m ożna nadać postać

(8) f {xi, x 2, . . ., x n) = (Xi, x 2, . . ., x n)

dn d12 . . . uln

d2l d22 ■ • ■ d2n | | x 2 dnl O n2 . . . d i]!} j

Załóżm y n ajp ie rw , że rząd m acierzy tej form y w ynosi n. M acierz fo r­

m y kw ad rato w ej je s t sym etry czn a. P rzek ształćm y tę form ę za pomocą p rzek ształcenia liniowego

•Tl = x \ + 512 x ' 2 + . . . + 6ln x ' n

(9) x 2 = x ' 2 + . . . + h2n x ' n

x n = x'„

o m acierzy B _1 tj. o d w rotn ej do m acierzy (4). O trzy m am y w tedy

(10) f = ( x \ , x ' 2 . . . , x ' n)

1 0 \ /"flll «12 ■ •■ ■ «i/i \ Bi2 1 «21 «22 • •• • «2n 1 Bi n B2„ .

.

. J ' ,«n 1 «,i2 • ■ • «m,/

1 B12 .. • Bln\ l X> 1 \ 1 B23 . • • B>"

0 ' 1 / W .

czyli

( U )

gdzie (B_!)' oznacza m acierz tran sp o n o w an ą do B _1.

W oparciu o tw ierd zen ie (1) m am y Ol

C 2 1 0 2

0 (12) A B 1 — C C31 C32 a3 .

Oni 0 n2 Cn3 . . . (In

gdzie aj, a2, . . ., a„ są liczbam i ciągu (1).

Iloczyn m acierzy (B-1)' przez C je s t m acierzą tró jk ą tn ą te j sam ej po­

staci co i m acierz C, a poniew aż

leżące poniżej głów nej p rze k ą tn e j m uszą przy m nożeniu ulec red u k c ji i stać się zeram i.

Jeśli rząd m acierzy w ynosi k < n, to zgodnie z tw ierd z en ie m (1) tw ie r­

dzenie 2 też jest praw dziw e. W tedy ilość w y razów form y k w ad rato w ej w postaci d iagonalnej je s t ró w n a rzędow i m acierzy A.

P r z y k ł a d 3. Sprow adzić form ę

/ = 2 x l2 + 2 Xi x 2 + 16 x 1 x 3 — 3 x 22 + 18 x 2 x 3 + 2 x 32 do postaci diagonalnej. M acierzą te j form y jest m acierz

((B-1)' • A • B -1)' = ( B- 1)' • A' • ((B -b)' = (B-i)' • A • B '1 więc w szystkie w y ra z y m acierzy

(B -1)' • A • B _1

Z atem

S tąd n a ty c h m ia st o trz y m u je m y

/ = aj x 'j 2 + a 2 x '22 + . . . + a„ x ' n2

1 8

3 9

9 2

1 1 1 1

1 - 2 4 1 „ 2 4 1 o 2 4 1 A 2 4

7 10 10

1 — 3 9 0 --- 5 0 1 — — 0 1 — —

2 7 7

1 9 2 8 9 2 0 5 — 30 0 0 - f

> > f 7

B =

m am y tu ta j ai, a2 = — —, a3 = kw adratow ej

1 2 1^-

0 1 60

10 7

Stąd postać diagonalna form y

/ = ai x \ 2 + a2 x ' 22 + a3 x ' 32 = 2 x \ 2 — - x ' 22 ■ o trzy m an e za pom ocą p rzekształcen ia

160x ’.

X 1

+ 9 X2 + 4 X3

* 10

X 2 = x 2 ---— x 3

x ' 3 = x 3

którego zresztą nie p o trzeb ow aliśm y w ykonyw ać.

A by sprow adzić form ę k w ad rato w ą (7) do postaci diagonalnej, w y sta r­

czy zatem sprow adzić m acierz A te j fo rm y do postaci tró jk ą tn e j (5). Ta m acierz tró jk ą tn a ok reśla p rzek ształcen ie lin io w e sp row ad zające tę form ę do postaci diagonalnej o w spółczy n n ik ach (1) w yznaczonych przy spro­

w ad zan iu m acierzy A do postaci tró jk ą tn e j.

PR A C E C YTO W A NE

[1] A. T. K y p o r n : K ypc B Ł i c m e f t a n r e G p b i , M o c K B a — J l e H H n r p a n , 1952.

[2] W . I. S m i r n o w : M a te m a ty k a w y ższa, t. I I I , cz. I, W a rs z a w a , 1964.

[3] H. K. ® a s s e e b n H .C . C o m e h c s b S : C C opm K 3a n a a no Bbicm eft a n r e ó p e , MocKBa, 1964.

[4] W. N. F a d d i e j e w a : M e to d y n u m e r y c z n e a lg e b r y lin io w e j, P W N , W a rs z a w a , 1965.

ON T R A N SFO R M A TIO N S OF A Q U A D R A T IC FO R M TO THE D I A G O N A L SH A P E

B y J . A M B K O S I E W I C Z

S U M M A R Y

The a u th o r gives a sim ple w ay of tra n sfo rm a tio n of a ą u a d ra tic form to th e diagonal shape. It is b ased on an applicatio n of G auss’s alg o rith m to tra n sfo rm atio n s of tho m a trix of ą u a d ra tic form .

O d d a n o do R e d a k c j i 18. V I . 1965

E U G EN IU SZ K O W A L SK I

O PEWNYCH WŁASNOŚCIACH GRUPY SKOŃCZONEJ OKREŚLONEJ RELACJAMI an = bm = l, ba = arb

C elem tej n o tatk i jest dowód bezpośredni tw ierd zeń , k tó re częściowo są ro zp a try w a n e w [1] w zw iązku z pojęciem iloczynu półprostego gru p.

T w i e r d z e n i e 1. Na to aby rela cje

(1) o" = bm ~ 1, ba = arb, gdzie działanie je s t łączne, n, m rzęd y ele­

m entó w a, b oraz 1 r < n, o k reśla ły g ru p ę potrzeba i w ystarcza, by

(2) n ] r m — 1.

T w i e r d z e n i e 2. G ru p a określo n a rela cja m i (1) jest rzę d u m n w tedy i tylko w tedy, gdy n ie jest spełniony p rzy n a jm n ie j jed e n z w a ru n k ó w (3) n j p ( r — 1), n \ r ą — 1, m \ q ( r — 1)

gdzie 1 p < n, 1 q < to, nq = mp. W przeciw nym w y p a d k u rząd grupy jest n q = mp.

T w i e r d z e n i e 3. P odgru p a {a} jest d zielnikiem n o rm a ln y m g ru p y określonej rela cja m i (1).

T w i e r d z e n i e 4, C e n tru m g ru p y (1) jest g enerow ane przez elem en ty a x, by takie, że n \ x (r — 1), n \ r y — 1.

1. Dowód twierdzenia 1

Je śli w a ru n k i (1) o k re śla ją pew ną g ru p ę G, to ze w zoru ba = arb m am y (4) ba1 = airb, bkd = airi b \ i, j = 1, 2, 3, . ..

co m ożna udow odnić in d ukcyjn ie.

Istotnie, jeśli ba1 = airb, to bal+1 = airba = airarb = a (i+1)rb. Je śli zaś b jal = airibj, to b*+1ał = bairibj = airj+1 b*+1.

Ze zw iązku ba = arb i (4) m am y

a = b m~1arb = ar 'rłn 1bTn_1b = arTn czyli arTn~1 = 1, w ięc n | r m — 1.

A by stw ierdzić dostateczność w a ru n k ó w (1), (2) d la istn ien ia g ru p y G = ( a ) w ( b ) zauw ażam y, że w a ru n k i te o k re śla ją zbiór elem en tów po­

staci akbL z n a stę p u ją c y m działan iem w e w n ętrzn y m (aub 1’) • (axby) = au (axrVb v) by = au+xrV b v+y

zgodnie ze zw iązkam i (4). Łączność tego działan ia d a je się łatw o stw ier­

dzić. Je d y n k a istn ieje z założenia. Istn ien ie ele m en tu odw rotnego także n ietru d n o w ykazać. Isto tn ie, jeśli

g = akb l, to g-i = a~krm~l bm~l i m am y

g~'g = a- krm~l bm~l akbl = a~krłn' 1 akrTn~l bm = 1

a także

g g r 1 = akbl • a~kr m~l bm~1 = ak • a~kTm~l • rl bm = ak^1_rTn* = 1 wobec (2).

2. Dowód twierdzenia 2. Wnioski

E le m e n ty g ru p y G są, ja k w idzieliśm y, postaci akb l p rzy k = 1, 2 , . . ., n, l — 1,2, . . . m. Z atem rz ą d tej g ru p y je s t nm , jeśli w szystkie te elem en ty są ró żne. Rów ność dw óch elem en tó w a b bvi — a b b v2 pociąga istnienie zw iązku a.p = b Q, gdzie l ^ p < n , 1 =¾ q < m.

S tąd bap = b q+1 = apr b = apb czyli apr — a p i ap (r-x) = l j a tak że apa = b qa = arQb q = arQap, a = arQ czyli arQ^1 = 1.

Podobnie, b ap = b qb, apr = b q, b qr = bq więc b q(r"1> = 1. T ak o trzy m u jem y w a ru n k i (3).

Je śli w a ru n k i (3) są spełn io n e p rzy czym p, q są najm n iejsze liczby n a ­ tu ra ln e , k tó re czy nią zadość ty m w aru n k om , to dow olny elem en t g ru p y G m ożem y p rzed staw ić w postaci:

c = a ‘b q"“, gdzie t = 1, 2, . . . n, u — 1, 2 , . . . q bądź w postaci c = ap' u b‘, gdzie u = 1, 2, . . . , p, t = 1, 2, . . . , m. Z atem rząd g ru p y je s t te ra z nq = mp.

Z pow yższych rozw ażań m ożna o trzy m ać n a stę p u jąc e w nioski:

1° Rząd g ru p y G w ynosi n m, jeśli je s t spełn ion y p rzy n a jm n ie j jeden z n a stę p u ją c y c h w arunków :

a) (n, m) = 1 (z zależności n q = mp), b) (n ,r-1 ) = 1 (z zależności n l p ( r - l ) ) ,

c) m je s t n ajm n ie jszą liczbą n a tu ra ln ą tak ą , że n \ r m — 1, d) (m, r — 1) = 1.

2° G ru p a d w uścianu an = b 2 = 1, ba = an_1b jest rz ę d u 2 n . 3° G ru p a abelow a an = bm = 1, ba = ab, gdy (n , m) = d jest rzęd u

Istotnie, m am y tu ta j p = — , q = — . W szczególności g ru p a abelow a a8 = b4 = 1 jest gru p ą cykliczną rzę d u 8.

Dla danego n i m g ru p a może nie być rzę d u n m dla żadnego dopuszczal­

nego r. Dla danych n, r istn ieje zawsze m, że g ru p a je s t rzędu nm.

3. Dowód twierdzenia 3

Z (2) w yn ika, że (n, r) = 1. Jeżeli i p rzebiega zu pełny uk ład resz t m od n, to wobec (n, r) = 1, ir} tak że przebiega zupełny u k ład re sz t m od n.

Stąd i z (4) w y n ik a teza tw ierdzenia.

4. Dowód twierdzenia 4

Do c e n tru m należą elem en ty a2 sp ełniające w a ru n e k azb3 = b3az przy j = 1 , 2 , . . ., m.

Lecz b 3az = azr b3 więc m am y az = azrl czyli n \ z (r3— 1) p rzy j = 1, 2, . . m, co zachodzi w ted y i ty lk o w ted y , gdy n lz (r — 1).

Podobnie, bz należy do c e n tru m , jeśli b zal = albz p rzy i = 1, 2, . .. , n.

Lecz b zal = airZ b2 zatem szukany w a ru n e k airZ= a \ co je s t rów n o w ażn e w arunkow i n \ r z — 1.

Jeśli akbl jest elem en tem c e n tra ln y m , to zachodzi zarów no akb l • W =

= b3akb l, ja k i akb l • a* = a ka ‘ • b l, co oznacza, że ak, b l są elem en tam i cen ­ tru m . T w ierdzenie zostało zatem udow odnione.

P R A C A C Y TO W A N A [1] M. H a l l : T h e T h e o ry of G ro u p s , N e w Y o rk , 1959.

ON SOME PR O PE R TIES OF A F IN IT E G R O U P W ITH THE D E F IN IN G R EL A T IO N S a n — bm = ba = a r b

B y E . K O W A L S K I

S U M M A R Y

This a rticle discuss th e kinds of groups re p re se n ta b le as a join of two- fin ite cyclic groups {a} w {b}, w ith ba = arb.

O d d a n o do R e d a k c j i 16. VI. 1965

EW A L IP C Z Y Ń SK A

O ZWIĄZKACH OKREŚLAJĄCYCH GRUPĘ SYMETRYCZNĄ S4

Z nane są pew ne o k reślenia g ru p y S4 jak o złącza dw óch g ru p cyklicz­

nych (vide [1]). C elem niniejszego a rty k u łu je st now e tego ro d zaju o k re ­ ślenie.

W ykażę m ianowicie, że n a stę p u ją c e związki I a4 = b 4 = 1 II ab a = bab III a2b = b 3a2

ok reślają g ru p ę G = {a} w {b } izom orficzną z g ru p ą S4.

Udowodnię, że g ru p a ta zaw iera ty lk o n a stę p u jąc e ró żn e ele m en ty : e, a, a2, a3, b, b 2, b :!, ab, ba, ab2, b2a, ab3, b3a, a2b, ba2, a2b 2, a3b, ba3, a3b 3, b3a3, a3ba, aba3, aba, a3ba3. W ty m celu stw ierd zim y n a jp ie rw , że działanie z w aru n k a m i I, II, III je s t w e w n ętrzn e w zbiorze G ty c h elem entów .

W eźm y pod uw agę elem en ty postaci alb} oraz a3b l p rz y i, j = 1, 2, 3.

W zbiorze G nie w y stę p u ją b 2a 2, a 2b 3, b 3a2, a 3b 2, b 2a 3.

Z I m am y a2 = a-2, a -1 = a 3, b2 = b~2, b _1 = b 3, zatem z III

(1) b 3 — a 2ba2

Zw iązek II pociąga sy m etrię zw iązków ze w zględu n a a, b tzn. obok związku postaci fi (a, b) = f 2 (a, b) w y stę p u je zw iązek fi (b, a) = f 2 (b, a).

Istotnie, z (1) m am y a 2b3 = b a2, więc b a 2b = a2 i a b a 2b = a 3. Lecz a b a 2b =

= aba • ab = bab • ab = b • aba • b = b • bab • b = b 2a b 2. Z atem (2) a 3 = b 2a b 2 lub b 2a = a 3b 2,

co odpow iada p e rm u ta c ji elem en tó w a, b w zw iązku III.

Z I, II oraz (1), (2) łatw o w y n ik a ją rów ności:

(3) b2a 2 = a 2b 2, a2b3 = ba2, b3a2 = a 2b, a 3b 2 = b 2a, b 2a 3 = a b 2

Z atem elem en ty postaci (3) o k reśla ją re g u ły p rze staw ia n ia czynników a2, b 2 z czynnikam i aj , b j p rzy j = 1, 2, 3.

N ależy d alej zbadać p rzynależność do zbioru G iloczynów postaci aib iakr b lajb k gdy i , j , k = 1,3.

Z (1) m am y ab3a = a3ba3, co przez p e rm u ta c ję a, b d a je ba3b = b3ab3, zaś ze zw iązku III a2b = b 3a2 m nożąc lew ostro nnie przez ba, m am y ba3b =

= bab3a2 = aba b2a2 i po d staw iając ab2 = b 2a3 o trz y m u je m y ba3b = ab3a.

O statecznie m am y rów ności:

(4) a3ba3 ~ ba3b = ab3a = b 3ab3

Z (2) m am y b 3ab = ba3b 3. Lecz b 3ab = b 2aba — baba2 = aba3, zaś z (4) a3b 3a = aba3, zatem

(5) b3ab = ba3b3 = a3b3a = aba3

Z (5) w y n ik a n a ty c h m ia st rów ność „dw oista”

(6) a3ba = ab3a3 = b 3a3b = bab3

Z (1), (2) m am y a = b 2a3b 2, b = a2b3a2 więc

(7) aba = a3b 3as = bab = b3a3b 3

Z rów ności (4), (5), (6), (7) w y n ika, że w szystkie elem en ty postaci alb2ak, b'a2b k p rzy i, j, k — 1,3 do zbioru G należą. Rów nocześnie stw ier­

dzam y, że iloczyny postaci b lakbj d ają się zastąpić przez iloczyny postaci alb sar. S tąd w yn ik a, że iloczyny postaci alb2akbs, bia;ib,casb t i w ięk­

szej liczby potęg a i b są ró w n e p ew n y m elem entom postaci aibiak, a w ięc do zbioru G należą.

Zbiór G z w aru n k a m i I, II, III je s t zatem grupą.

Izom orfizm g ru p G i S4 stw ierd zam y u sta la ją c n a stę p u jąc e przypo rząd ­ kow anie zachow ujące w yniki działań

e = (1) (2) (3) (4), a = (1234), b = (1243) S tąd in n e elem en ty rzę d u czw artego:

a 3 = (1432), b3 = (1342), a b a 3 = (1324), a 3ba = (1423) E lem en ty rzęd u trzeciego:

ab 3 = (1) (243) b 3a 3 = (3) (124) a3b 3 = (4) (123) b a 3 = (1) (234) b 3a = (2) (143) ba = (4) (132) a3b = (2) (134) ab = (3) (142)

i p rzyp o rząd ko w anie m iędzy e le m en ta m i rzęd u 2-go:

aba = (1) (2) (34) a2b = (1) (4) (23) a2 = (13) (24) b2a = (1) (3) (24) ab2 = (2) (4) (13) b 2 = (14) (23) ba2 = (2) (3) (14) a3ba3 = (3) (4) (12) a2b 2 = (12) (34)

PR A C E C YTO W ANE

[1.] H. S. M. C o x e t e r a n d W. O. J. M o s e r : G e n e r a to r s a n d R e la tio n s fo r D is c r e te G ro u p s, B e r lin —■ G ó ttin g e n —■ H e id e lb e rg , 1957.

ON TH E D E F IN IN G R EL A TIO N S OF THE G R O U P S 4

B y E w a G A W R O Ń S K A L I P C Z Y N S K A

S U M M A R Y

T he a u th o r gives n ew d e fin in g re la tio n s of th e sy m m etric group S i w ith use of tw o gen erato rs. Two o th e r se ts of d efin in g re la tio n s of th a t group a re given in C oxeter an d M oser’s book [1],

O d d a n o do R e d a k c j i 20. V I I . 1965

A L E K SA N D E R G R Y TC ZU K

O PEWNYCH RÓWNANIACH DIOFANTYCZNYCH

1.

W. S ierp iń sk i w p rac y [1] dowodzi m iędzy in n y m i tw ierd zen ia, że dla każdej liczby n a tu ra ln e j n > 1 ró w n a n ie

1 = 1 + - + ■ ■ ■ + -

-v.2 1 1 T-2

•‘"o 1 2 n

m a nieskończenie w iele rozw iązań w liczbach n a tu ra ln y c h x 0 ^ Xi Z r 2 ^ . z t i „

P odam y t ut aj efe k ty w n y sposób w yznaczania nieskończenie w ielu roz­

w iązań ró w nania = w liczbach n a tu ra ln y c h z, x, v, y.

z 2 x 2 v 2 y 2

J a k wiadomo ([2] s tr. 85) w szystkie rozw iązania ró w n an ia

(1) ± = ± + ±

z x y

w liczbach n a tu ra ln y c h x, y, z z a w arte są w e w zorach x = m l (m + n)

(2) y = nl (m + n)

z = m n l

Podnosząc obydw ie stro n y (1) do k w a d ra tu o trz y m u je m y L = A + 2- + A

z2 x 2 x y R ozw iązujem y rów nanie:

(3 ) — = A

x y v

J e ś li (3) posiada rozw iązania w liczbach n a tu ra ln y c h x, y, v, to jedna :z liczb x lub y m usi być p a rz y stą i wobec tego m am y ró w n an ie — • y =oc

= v 2, którego w szystkim i rozw iązaniam i ([3] s tr . 43) są '(4) x = 2 a2c, y = b 2c, v = abc

Ze w zorów (2) i (4) w ynika, że m uszą być spełnione n a stę p u jąc e w a­

runk i:

(5) m = 2 a 2, n — b 2, l (m + n) — c = l (2 a 2 + b 2) Po uw zg lęd nien iu (5) w zory (2) i (4) p rz y jm u ją postać

x = 2a2I (2a2 + b2)

, y = b 2l (2a2 + b2)

1 ’ v = abi (2a2 + b2)

z - 2a2b2l

W szczególności kładąc w (6) b = l = 1 o trz y m u je m y rozkłady liczb

(2a21

M am y więc tożsam ość:

1 1

,

w y m iern y c h postaci y0—2,2 n a sum ę odw rotności trzech kw adratów .

( 2 a 2)2 ( 2 a 2 + l ) 2 T [a ( 2a2 + l)j 2 ' [2 a 2 ( 2 a 2 + l)]2 z k tó re j d la a = 1, 2, 3 w y n ik a ją rozkłady: i i = £2 + gl + 61

i!.^ i CO = 1 +

92 182

1 722

1 1 .

1 1 1

182 ~' I t r 1 572 3422

2. R ów nanie a2 -f- a2 -j- a2 -j- . . . -f- a2n = s2 -j- 1.

W p rac y K. Szym iczka ([4], str. 21, tw . 4) podano dowód, że w szystkie rozw iązania n a tu ra ln e ró w n an ia u 2 + v 2 = w 2 + 1 zaw arte są w e wzo­

rach:

u — Pk (Qk-1 + Qk • t) + Qk (Pk-i + Pk • t) v = P fc (P fc-i + Pj. • t) — (3¾ (Qfc-X + Qk • t) tu = P fc (Pfc-x + Pk • t) + Qfc (Qfc-i + Qfc • t) gdzie Pfc/Qfc = (q0; q u q2, . . q t )

q 0 O, q 1; q 2, . . qfc są liczbam i n a tu ra ln y m i, t — dow olna liczba całkow ita i k = O, 1, 2 , , . ,