( l l j t
W Y Ż S Z A S Z K O Ł A P E D A G O G I C Z N A W K A T O W I C A C H
Z E S Z Y T Y N A U K O W E 4
S E KCJ A MATE MATYKI ^
35) /,' S P O Ą . i b iC t U p
, SEK. MAT. K A T O W I C E 195 8 P KATOWICE
1 n 744
W Y Ż S Z A S Z K O Ł A P E D A G O G I C Z N A W K A T O W I C A C H
Z ESZYTY NAUKOWE
S E K C J A M A T E M A T Y K I
K A T O W I C E 1 0 5 8
K E D A K T O R N A C Z E L N Y : T a d e u s z D o b r o w o l s k i R E D A K T O R Z E S Z Y T U :
S t e f a n S e d l a k
C Z Ł O N K O W IE K O M I T E T U R E D A K C Y J N E G O : L u d w i k K o z ł o w s k i
Z b i g n i e w K w a ś n i e w s k i W a c ła w M i ś k i e w i c z
J ó z e f P i e t e r J a n Z a r e m b a
W S P K a t o w i c e 1958. W y d . I. N a k ł a d 700 e g z . A r k . w y d . 4 = 4 a r k . d r u k . P a p i e r d r u k o w y s a t . k l. V , A l 70 g z f - k i w M ły n o w ie , O d d a n o d o s k ł a d a n i a w c z e r w c u 1957 r . S k ł a d y u k o ń c z o n o w s t y c z n i u 1958 r . P o d p i s a n o d o d r u k u 25 I I 58 r. D ru k
u k o ń c z o n o 28 IJ 58 r . Z a m . d r u k . n r 2057/58. C -Z -2 1 .
C IE S Z Y Ń S K A D R U K A R N IA W Y D A W N IC Z A W C IE S Z Y N IE , U L IC A P O K O J U 1 C e n a zł 12.—
A N T O N I W A K U L I C Z
O PEW NYM Z A G A D N IE N IU Z ARYTM ETYKI
C elem n in iejszeg o a r ty k u łu je s t ro z w ią z a n ie n a s tę p u ją c e g o z a g a d n ien ia, k tó re p o s ta w ił p ro fe s o r W. S ie rp iń s k i:
Z n aleźć n a jm n ie js z ą liczbę n a tu r a ln ą k, dla k tó re j n ie m a ta k ie j liczby n a tu ra ln e j n, żeby ro zw in ięcia d z ie się tn e u łam k ó w — i --- -—
n n -r k b y ły skończone. T ę w łasn o ść liczb y k b ęd z ie m y n a z y w a li k ró tk o w łasn o ścią (u).
T w ie rd z e n ie 1. N a jm n ie js z ą liczbą n a tu r a ln ą o w łasn o śc i (u) je st 13.
D ow ód. N a jp ie rw u d o w o d n im y , że liczba 13 m a w łasn o ść (u).
G d y b y ta k n ie było, m ie lib y śm y p rz y p e w n y m n a tu r a ln y m n, n ==
=- 2*i • 5ki i n + 13 = 21;> • 5k?, g d zie h , k i , lo, k 2 są liczb a m i c a łk o w ity m i n ie u je m n y m i. S tą d 21-' • 5k^ — 2*» • 5ki = 13, co je s t m o żliw e ty lk o , g d y je d n a z liczb k i , k - o ra z je d n a z liczb U , 12 .jest zerem , lu b 1] = k , = 0.
Z ac h o d zą z a te m tr z y m ożliw ości:
1) 2h ■ 5k- — 1 = 13; 2) 2h — 5k> = 13; 3) 5k* — 2‘> = 13.
W idzim y za raz , że p rz y p a d e k 1) n ie m o że zajść, gdyż liczba 14 n ie je s t p o sta c i 2h • 5k=. W y n ik a stą d tak że , że w p rz y p a d k u 2) i 3) p o w in n o b y ć k j ^ 1 i l i ^ 1. P o z o s ta ją w ięc d w ie m ożliw ości: 2) i 3), k tó re z a p isz em y w p o staci: I. 21 — 5k — 13 i II. 5k — 2’ -- 13.
I. G d y b y 2' — 5k = 13, to 2> — 8 = 5k + 5, w ięc 1 > 3 a w e d łu g p o p rz ed n ieg o k ^ 1.
S tą d 8 (2m — 1) = 5 (5P 4 1) p rz y m > 0 i 8/5p + 1, co je s t n ie m ożliw e, g d y ż p rz y p ^ 0 p o tęg a 5P d a je p rz y d ziele n iu p rz e z 8 ty lk o re s z ty 5 lu b 1.
U. G d y b y 5k — 21 = 13, to 5k > 13 i k ^ 2, a sk o ro 21 + 8 =
= 5k — 5 . . (1), to 21 + 8 ^ 20 i 1 ^ 4. Z (1) m am y : 8 (2m + 1) =
= 5 (5p — 1) - - (2), g d zie m i p są n a tu ra ln e . J e s t w ięc 8/5p — 1 i 5/2m + 1, co je s t m o żliw e ty lk o d la p = 2 r i m = 4s -r 2, gdzie s je s t c a łk o w ite n ie u je m n e i r n a tu ra ln e .
R ów ność (2) p rz y jm u je p ostać:
(3) 8 (24s 1 2 - i 1) = 5 (52r — 1)
Lecz 52' — 1 = 25r — l r = (25 — 1) • (251^ 1 + 25r- 2 + . . . i 1), w ięc p ra w a s tro n a rów n o ści (3) je s t p o d zieln a p rz ez 24, a za te m p rz e z 3, g d y lew a s tro n a (3) n ie j e s t p rz e z 3 p o d zieln a (liczby p o sta c i 2 2t + 1 d a ją p rz y d z ie le n iu p rz ez 3 re s z tę 2).
R ów ność (3) nie m oże zachodzić.
Z zach o d zącej w e w sz y stk ic h m o żliw y ch p rz y p a d k a c h sp rzeczno ści w y n ik a , że liczba 13 je s t liczbą o w łasn o śc i (u).
Ł atw o stw ie rd z a m y , że dla k a ż d e j liczb y n a tu r a ln e j k ^ 12 m o
żem y d o b ra ć ta k ą liczbę n a tu r a ln ą n, ab y obie liczby — i
n n k
b y ły ró w n e u łam k o m d z ie się tn y m skoń czo n y m . Is to tn ie , dla k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 m o żem y o b ra ć ja k o o d p o w ied n ie w a rto śc i n = 1, 2, 2, 1, 5, 2, 1, 2, 1, 10, 5, 4. L iczba 13 je s t w ięc n a jm n ie js z ą liczb ą n a tu ra ln ą o w łasn o śc i (u). T w ie rd z e n ie 1 zostało udow odnione.
N ie tr u d n o stw ie rd z ić , że d ru g ą z ko lei liczb ą n a tu r a ln ą o w ła sności (u) je s t liczba 26. W iąże się to z n a s tę p u ją c y m nieco o gó l
n ie jsz y m tw ie rd z e n ie m .
T w ie rd z e n ie 2. K ażd a liczb a p o sta e i 2 ^ 5 1^ 13, gd zie 1 i k są c a ł
k o w ite n ie u je m n e , je s t liczb ą o w łasn o śc i (u).
D ow ód. W y sta rc z y w y k a zać , że n ie m oże zach od zić ró w n o ść (1) 2h • 5k- — 2h • 5k» = 2' • 5k • 13
p rz y c a łk o w ity c h n ie u je m n y c h , l i , k i , h , ko, 1, k.
D zieląc o b u s tro n n ie (1) p rz e z p o tęg i d w ó jk i i p ią tk i o n a jm n ie j
szym w y s tę p u ją c y m w y k ła d n ik u , s tw ie rd z a m y łatw o , że po ty m p o d z ie le n iu k a ż d y z cz y n n ik ó w 2 i 5 m oże w y stę p o w a ć ty lk o w je d n y m w y ra z ie rów ności (1). M ożliw e są w ó w czas n a s tę p u ją c e p r z y p a d k i:
1) C zyn n ik i 2 i 5 w y s tę p u ją łącz n ie w p ie rw sz y m w yrazie**, (1) tzn. m ielib y śm y 2' • 5k — 1 = 13, co ja k ju ż stw ie rd z iliśm y , n ie m oże zajść.
2) C z y n n ik i 2 i 5 w y s tę p u ją w ró ż n y ch w y ra z a c h . M am y c z te ry m ożliw ości (o d rz u c a ją c z g ó ry p rz y p a d e k , g d y 2 i 5 w y s tę p u ją w d ru g im i trz e c im w y ra z ie (1)):
a) 21 — 5k = 13, b) 5k — 21 — 13, c) 2' — 1 = 5k • 13, d) 5k — 1 = 21 • 13.
P rz y p a d k i a) i b), ja k w id zieliśm y , p ro w a d z ą do sprzeczności.
R o z p a trz y m y p rz y p a d k i c) i d).
c) G d y b y 21 — 1 = 5k • 13, g d zie k i 1 > 0, to 5 121 — l i i = 4 11 w ięc 241i — 1 = 5k ■ 13 i 3 |2 41* — 1, g d y 3 n ie je s t d z ie ln ik ie m p r a w ej stro n y .
d) G d y b y 5k — 1 = 21 ■ 13, k, 1 ^ 0, to 13 [ 5k — 1 sk ą d k = 12ki. L ecz 3 |5 12ki — 1 i 3 n ie je s t d z ie ln ik ie m p ra w e j stro n y . W sz y stk ie m ożliw e p rz y p a d k i p ro w a d z ą do sp rzeczn o ści, ró w n o ść (1) z a te m n ie m oże zajść. T w ie rd z e n ie 2 zostało w ięc u d o w o d n io n e.
Z tw ie rd z e n ia 2 w y n ik a , że liczba 26 je s t liczb ą o w łasn o śc i (u) i że liczb o w ła sn o śc i (u) je s t n ie sk o ń c z e n ie w iele.
** Jest widoczne, że w drugim lub trzecim w yrazie (1) czynniki 2 i 5 nie mogą łącznie występować.
A N T O N ) W A K U L 1 C Z
U W A G I O P O D S T A W O W Y C H K O N S T R U K C JA C H G E O M E T R Y C Z N Y C H
R o zu m o w an ie m a te m a ty c z n e m a z w y k le p o sta ć łań c u c h a w n io sków , co s tw a rz a n ie k ie d y je d n o s tro n n e p rz y z w y c z a je n ia . S tą d np.
p e w n a a s y m e tria w ro z u m ie n iu ró w n o śc i p rz e z u czn ia, g d y obok w zo ru (a + b) c = ac + bc m u si się osobno u czy ć p rz e k sz ta łc a n ia ac + bc = (a + b) c, obok p ra w a łączności a + b + c + d = a + + (b + c + d) uczy się d o d a w a n ia w ie lo m ia n u itp.
Ta je d n o k ie ru n k o w o ść w n io sk o w a n ia w w ię k sz y m b o daj sto p n iu d a je się z a u w aż y ć w g eo m etrii. C elem n in ie jsz e g o a r ty k u łu j e s t p o d a n ie p a ru p rz y k ła d ó w ro z w a ż a ń w ie lo k ie ru n k o w y c h zw ią zan y c h z p o d sta w o w y m i k o n s tru k c ja m i g e o m e try c z n y m i i p o d k re ś le n ie p ły n ąc y ch stą d k o rz y śc i d la n au c zan ia.
1. K o n s tru k c je o p a r te n a p rz y s ta w a n iu tró jk ą tó w .
K o n s tru k c je te u p o rz ą d k u je m y w te n sposób, b y się ze sobą w ła ściw ie w ią z a ły , b y ich w y k o n a n ie b y ło o p a r te m o żliw ie na je d n e j i to ła tw o się n a su w a ją c e j m yśli.
B ęd ziem y ro z w aża ć k o le jn o : a. P rz e n ie s ie n ie k ą ta . b. P o d w o je n ie k ą ta . c. K re ś le n ie d w u sie c z n e j, d. T w ie rd z e n ie o d w u siec zn ej k ą ta w ierzch o łk o w eg o w tró jk ą c ie ró w n o ra m ie n n y m (d w u sieczn a ta je s t w y so k o ścią i śro d k o w ą), e. W y s ta w ia n ie p ro s to p a d łe j, f. O p u szczan ie p ro sto p a d łe j, g. P o ło w ie n ie o d cin k a.
K o n s tru k c ja a. n a su w a się w sposób n a tu r a ln y , ja k o p rz e su n ię c ie tr ó jk ą ta z a w ie ra ją c e g o d a n y k ą t.
D la p o d w o je n ia k ą ta b u d u je m y A A B C ' = A A B C po d ru g ie j s tro n ie bo k u A B (rys. 1).
Z ry s. 1 d a le j ła tw o w y sn u w a m y k o n s tru k c ję d w u siec zn ej k ą ta , o d tw a rz a ją c ry s u n e k , g d y d a n y je s t <£ C A C '. W y sta rc z y o d m ierz y ć A C = A C ' i za to czy ć łu k i p ro m ie n ia m i CB = C ’B. D ow ód je s t p o w tó rz e n ie m d o w o d u k o n s tru k c ji a.
Z ko lei n asu w a się tw ie rd z e n ie d. o d w u siec zn ej k ą ta w ie rz c h o ł
kow ego w tró jk ą c ie ró w n o ra m ie n n y m .
D alsze k o n s tru k c je i ich u z a sa d n ie n ia o p ie ra ją się ty lk o n a ty m tw ie rd z e n iu i na p o z n a n e j k o n s tru k c ji d w u siec zn ej. Is to tn ie , dla w y sta w ie n ia p ro s to p a d łe j w d a n y m p u n k c ie F w y s ta rc z y w y k re ślić
d w u sie c z n ą k ą ta p ó łpełnego. D la o p u szc zen ia p ro s to p a d łe j z dan eg o p u n k tu A n a p ro s tą C C ’ w y s ta rc z y zb u d o w a ć tr ó j k ą t ró w n o ra m ie n n y o w ie rz c h o łk u A i p o d sta w ie leżącej n a p ro s te j CC' i.w y k re ś lić d w u sieczn ą k ą ta p rz y w ie rz c h o łk u A.
J e s t to o d tw o rz e n ie fig u ry ry s. 1 p rz y in n y c h d a n y c h , w in n ej k o lejn o ści.
P o ło w ie n ie d an eg o o d cin k a C C' sp ro w a d za się ta k ż e do zb ud o w an ia tr ó jk ą ta ró w n o ra m ie n n e g o o p o d sta w ie C C ’ i w y k re ś le n ia d w u siec z
n ej k ą ta p rz y w ierzch o łk u A, co w y m a g a w ła ś n ie d o d atk o w eg o z a k re śle n ia łu k ó w p ro m ie n ia m i CB = C ’B (ry s. 1).
W ie lo k ie ru n k o w e w y k o rz y s ta n ie fig u ry ry s. 1 p oleg a w ięc n a ty m , że r e k o n s tr u u je m y tę fig u rę p rz y ró ż n y c h d an y c h . M yśl g łó w n a u z a s a d n ia ją c a te r e k o n s tr u k c je je s t to p e w n a cecha c h a r a k te r y sty c z n a te j fig u ry . W n a sz y m p rz y p a d k u tą m y ślą g łó w n ą b y ła k o n s tru k c ja d w u siec zn ej k ą ta . N ie w d a ją c się na ty m m ie jsc u w d alek o id ącą d y s k u s ję n a u k o w ą m ożem y stw ie rd z ić , że p o d a n e w y ja ś n ie n ie k o n s tru k c ji e, f, g d a je eko n o m ię cz asu i — ja ś n ie js z e ich z r o z u m ienie.
2. In n y m p rz y k ła d e m je d n o k ie ru n k o w e g o tra k to w a n ia k o n s tru k c ji g e o m e try c z n y c h je s t p o d ział o d cinka n a ró w n e części. S posób p o d a w a n y zw y k le w p o d rę c z n ik a c h je s t u ciąż liw y , je ś li trz e b a w ięcej ta k ic h k o n s tru k c ji w y k o n a ć (np. p rz y ry s u n k a c h w rz u c ie u k o śn y m ró w n o le g ły m ).
W y k o rz y stu ją c d a n y u k ła d p ro sty c h ró w n o le g ły c h i ró w n o o d le g łych (np. lin ie z e sz y iu k ra tk o w a n e g o łu b p a p ie ru m ilim etro w eg o ) m ożem y k o n s tru k c ję p o d z ia łu o d cin k a zn a czn ie u p ro ścić. N p. d la po d ziału o d cin k a w s to s u n k u 2 : 3 w y s ta rc z y za to czy ć z do w olneg o p u n k tu A na je d n e j z p ro s ty c h d a n y c h p ro m ie n ie m ró w n y m d a n e m u o dcin k o w i łu k p rz e c in a ją c y p ią tą k o le jn ą p ro s tą w p e w n y m p u n k c ie B.
R y s 2
O dcinek AB p rz e c in a d ru g ą p ro stą w p u n k c ie C i m am y AC : CB
= 2 : 3 (ry s. 2).
J e s t to o czyw iście p e w n e o d w ró c en ie zn a n e j k o n s tru k c ji, zw ią
zan e znów z o d tw a rz a n ie m fig u ry p o d ziału o d cin k a na ró w n e części p rz y z m ie n io n y c h d an y c h .
3. K re ś le n ie o d cin k ó w o d łu g o ściac h V a i a- p rz y d a n e j je d n o stce d łu g o ści i d a n y m o d cin k u o d łu g o ści a.
K o n s tru k c ja o d cin k a d łu g o ści V a o p ie ra się w k u rs ie szk o ln y m na tw ie rd z e n iu o w yso k o ści tr ó jk ą ta p ro s to k ą tn e g o lu b na t w i e r d ze n iu P ita g o ra s a .
Qtfs3-
Ł a tw e o d w ró c e n ie p ie rw sz e j k o n s tru k c ji d a je k o n s tru k c ję o d cink a długości a 2. N a ry s. 3 je s t C C i = a A C 3 = 1 w ięc CtB = a 2.
K o n s tru k c ję V y w o p a rc iu o tw ie rd z e n ie P ita g o ra s a o trz y m u je m y z tożsam ości:
| v 4 — I — ( y 1 = y . . . (1) lub o g ó ln iejszej
n- \ - / . rd \
—- y -
4 / 4 /
O k a z u je się p rz y ty m , że o d w ró c en ie k o n s tru k c ji w z o ru (1) p o zw ala w y k ry ć is to tn e w łasn o śc i k rz y w e j y -= x-.
N iech na ry s. 4 O F = O K = — k ||x . O b ierzm y O P ' = y i w y z n acz - 4
m y ta k i p u n k t P , że P P l|O X , F P = y + — ; w ó w czas F P ' = y — *
1 4 4
(gdv y > ) i P ’P = \ v. O d w ra c a ją c tę k o n s tru k c ję o bierzm v 4
OL = x = KQ i w y z n acz m y P w p rz ecięc iu s y m e tra ln e j o d cin k a
FQ z p ro s tą QL. W ów czas L P = x 2 = y. R ys. 4 d a je w ięc ta k ż e k o n s tru k c ję g e o m e try c z n ą p u n k tó w p a ra b o li y = x 2. R ó w n ocześn ie w id zim y , że dla p u n k tó w P te j k rz y w e j odległo ść od p u n k tu (og n i
ska) F (0, ^ ) je s t ró w n a odległości od p ro s te j (k iero w n icy ) k, k tó re j
. 4 , 1
ró w n a n ie je s t y ~ — — .
D la p rz y p a d k u v 1 o trz y m a m y n ie z n a c z n a m o d y fik a c ję rys. 4.
4
D la k o n s tru k c ji p a ra b o li y = a x 2 trz e b a b y w y jś ć z to żsam ości:
F ig u ra ry s. 4 n asu w a ta k ż e k o n s tru k c ję m ech a n iczn ą p arab o li.
U m ocow ujem y w ty m ce lu k o ń ce c ien k ie j e la sty c z n e j n iero z ciąg li - w ej nici w p u n k c ie F i w w ie rz c h o łk u A k ą ta o stre g o e k ie rk i (rys. 5), ta k ie j, że A Q O K . P o s u w a m y n a s tę p n ie e k ie rk ę ta k , ab y je j p rz y - p ro sto k ą tn a a ślizg ała się po k ie ro w n ic y , zaś o s trz e P o łó w k a n a p in ało nić i p rz y le g a ło do d ru g ie j p rz y p ro s to k ą tn e j. J e ś li dłu g o ść
n itk i o b ierz em y ró w n ą p rz y p ro s to k ą tn e j A Q , to b ęd z ie s ta le F P :v
= P Q , w ięc p u n k t P b ę d z ie k re ś lił łu k p a ra b o li.
W y d a je się, że b y ło b y b a rd z o p o ży tec zn e o m ó w ien ie ty c h k o n s tru k c ji w szk o le na za k o ń cze n ie n a u k i o tró jm ia n ie k w a d ra to w y m . R ów nież w p ra c y k ó łek m a te m a ty c z n y c h g e o m e try c z n a i m e c h a niczna k o n s tru k c ja p a ra b o li b ęd zie c ie k a w y m te m a te m .
A N T O N I W A K U L 1 C Z
C H A R A K T E R Y Z A C JA A R Y T M E T Y C Z N A W N Ę T R Z A T R Ó JK Ą T A
C elem n in ie jsz e g o a r ty k u łu je s t p o d a n ie u k ła d u n ie ró w n o śc i c h a ra k te ry z u ją c y c h w n ę trz e tr ó jk ą ta , g d y d a n e są ró w n a n ia b oków tr ó jk ą ta w u k ła d z ie p ro s to k ą tn y m k a rte z ja ń s k im .
N a jp ie rw w y z n a c z y m y ró w n a n ia d w u sie c z n y c h k ą tó w tr ó jk ą ta z d a n y c h ró w n a ń jego boków . O ile m i w iado m o , z a g a d n ie n ie to ta k ż e n ie je s t ro z w ią z a n e w p o d rę czn ik ac h .
T w ie rd z e n ie 1: J e ś li d a n e są ró w n a n ia boków tró jk ą ta :
(I) 1, . . a ; x + b i y + ci 0
12 . . a 3x + b 2y + c2 0 13 . . a :5x + b 3y + c :i : : 0
p rz y czy m w s p ó łc z y n n ik i b i , b2, b 3 są n ie u je m n e , zaś n o rm a ln e ró w n a n ia ty c h b o k ó w m a ją p ostać:
u - a ‘ x - b ' Ł - P = o , u - » » - f > w + c „ 0
I a , - ' r b r 2 ” ] / a2 2 + 1 )2 -
3X
] / a32 -i b:;-
i L :: = 0
to ró w n a n ia d w u sie c z n y c h ’ k ą tó w tró jk ą ta są:
(II)
1I1L2 — M2L1 = 0 d la d w u siec zn ej d 3 k ą ta ( l i , I2) ąoL-i — '|:{L2 ~ 0 ,, ,, di k ą ta (12, 1») HsL , — jh L ;s 0 ,, ,, d 2 k ą ta (1:!, 1,)
, . e a 2 b 2 „ las b;{| 0 l a i bC
g d zie iii - S gn ^ b y Me = S g n |ai bi | il3 - S g n l ^ xj D o w ó d : S ko ro p ro s te n ie są ró w n o le g łe , w ięc i|; 0 (dla i =
= 1, 2, 3) i co n a jw y ż e j je d e n ze w sp ó łc z y n n ik ó w b j , b 2, b 3 je s t ró w n y 0, n iech za te m b x > 0, b 2 > 0. D la ozn aczen ia ty c h s tro n
p ro s ty c h I2, la, do k tó ry c h n a le ż y w n ę trz e tró jk ą ta , ro zw ażam y z n a k i w y ra ż e ń W2 (x, y) = a2X + b 2y + c2 i W3 (x, y) = a 3x -f + b 3y + c-t, g d y x, y o z n a c z a ją w s p ó łrz ę d n e p u n k tu P n a p ro s te j li i g d y x je s t dość d u że d o d a tn ie . W sp ó łrz ę d n e p u n k tu P s p e łn ia ją ró w n a n ie a j x + b j y + ci = 0 lu b a i b 2x + b i b 2y + b 2ci = 0 sk ąd b i b 2y = — a i b 2x — b 2 C i .
W ięc b i W2 ( x , y) = a 2 b i x -j-_ b i b 2 v + b i c 2 ( a 2 b j — a i b 2 j x t
+ ( b - | C 2 — b 2 c , ) . D la dość d u ży c h x > 0, S gn b t W 2 (x, y) a2 b-> i _ a t bi j
S g n W2 ( x ,y ) = S g n ;3] b) - — S g n a2 b ., . . (1)
p b •. i
T a k sam o o trz y m a m y S g n W3 (x ,y ) = S g n a j b jj M2 dla dość d u ży c h x > 0, gdy b ;; > 0. W p rz y p a d k u b :: = 0 m am y W3 (x, y) = a 3x I- c3 i d la dość d u ży c h x > 0 m am y ta k ż e S g n W:[ (x, y ) = S g n a3 = S gn ^ b]h = »12 . . . . (2)
D la dość d u ży c h w a rto śc i x > 0 p u n k t (x, y) p ro ste j l i, leży poza b o k iem tr ó jk ą ta n a le ż ą c y m do p ro s te j l i . Z (1) i (2) w y n ik a , że w te j s y tu a c ji sto su n e k odległości ro z w aża n eg o p u n k tu od p ro s ty c h 12, I3 m a z n a k ró w n y s to su n k o w i —- ----2
W.
G d y w sp ó łrz ę d n a x p u n k tu P m a le je i p u n k t P p rz e k ro c z y w sz y je d n ą z p ro s ty c h 12 , 13 z n a jd u je się n a b o k u tr ó jk ą ta , sto s u n e k od ległości od lo i 13 b ed z ie m iał z n a k p rz e c iw n y , to z n a c z y — - . Z n ak te n je s t z a c h o w a n y w e w n ą trz b o k u tr ó jk ą ta n ależącego do l i , w ięc i d la p u n k tó w d w u siec zn ej d i. O trz y m u je m y s tą d sz u k a n e ró w n a n ie d w u siec zn ej d i . . . . = 1)2 . . . . (3).
L ;l 1!;;
D la p u n k tó w d w u siec zn ej d2 ta k sam o o trz y m a m y : L;j _ %
~ ~ — - . . (4). Z (3) i (4) w y n ik a , że s to s u n e k odległo ści w zg lęd-
L i ih
n y c h p u n k tu w e w n ę trz n e g o tr ó jk ą ta od p ro sty c h li i 12 m a znak 111 . S tą d L | = - 1-1
12 U %
ró w n y ilo raz o w i . S tą d ^-1 = — . . (5) je st ró w n a n ie m d w u siecznej d y.
R ozw ażania pow yższe p ro w a d z ą do c h a ra k te r y z a c ji w n ę trz a t r ó j k ąta (D). D la p u n k tu p rz ecięc ia d w u sie c z n y c h d ] , d 2, w ięc i na c a łym o b sz a rz e (D) m a m y w g (3) i (4) zw iązki:
S gn a » x b 2V
a 3 x b.iY
ar;
ai b :i bi
o ra z S gn a 3x b 3y a i x b i v
ca
C 1
= Sgn , a T bi i aa ba ai b; |
i a a b a l
S gn -
(fi)
(7) p rz y bj 0.
|a 2 b a | a ;! ba
O każem y, że i o d w ro tn ie : P u n k t n ie n a le ż ą c y do o b sz a ru (D) nie sp e łn ia w a ru n k ó w (6) i (7).
O znaczm y zn a k i odległości w z g lę d n y c h p u n k tó w o b sz a ru (D) od p ro s ty c h l i , la, la p rz e z Ei , E2, Fa- O b sza ry , do k tó ry c h n a le ż y d w u sieczna d; o zn aczam y p rz e z (D ;), (D), ( A i ) ta k , że b rz e g w sp ó ln y o b szaró w (D), (A;) leży na p ro ste j 1; (i = 1, 2, 3) (ry s. 1).
J e s t w ido czne, że z n a k i odleg łości w z g lę d n y c h od p ro s ty c h l i , 12 ,
13 d la p u n k tó w o b sza ró w A i , A2, A3, są o d p o w ied n io : — Ei , E2 E:>;
-Ea • L ecz z (6), (7) m am y : 'li (8) oraz
l|» _ £., t- £li
— . . (9) ja k o s to su n k i zn a k ó w odleg łości w z g lę d n y c h dla
»lr; r 3
p u n k tó w o b sz a ru (D). S ą to w a ru n k i, k tó re d la p u n k tó w o b szaró w A , w id o cz n ie zachodzić n ie m ogą.
Dla p u n k tó w o b sza ró w (D i), (D 2), (Da) zn a k i o dległości w z g lę d n y c h od p ro s ty c h U , 12, la są o d p o w ied n io : Ei , — E2, — £a,' —Ei,
— e3; — £i, —£2, £3- S to s u n k i ty c h odległości w ż a d n y m z ty c h o b sza
ró w n ie sp e łn ia ją w a ru n k ó w (8), (9).
U d o w o d n iliśm y z a te m tw ie rd z e n ie 2: W a ru n k i (6), (7) c h a r a k te r y z u ją w n ę tr z e tró jk ą ta , k tó re g o ró w n a n ia są d a n e w p o sta c i (I), gdzie bi śy 0. W a ru n k i (6), (7) są o czyw iście ró w n o w a ż n e u k ład o w i n ie ró w n o śc i alg e b ra ic z n y c h .
1 U;: b;; 1 3 i b]
(a2x + b.2y + c2) i a i b i j > (a :ix 4- b 3y i c i ) a_2 b^j (a 3x + b 3v + C ;t)iai b i | ( a ix + b 3y + c i ) i a 2 b 2|
(a 2 b 2 i as bal
p rz y b ; 4¾ 0.
Z a te m te n ie ró w n o śc i c h a r a k te r y z u ją o b sza r (D).
S treszc zen ie: A r ty k u ł p o d a je u k ła d n ie ró w p o śc i a r y tm e ty c z n y c h c h a ra k te r y z u ją c y w n ę tr z e tr ó jk ą ta , p rz y d a n y c h ró w n a n ia c h b oków tró jk ą ta .
*) Funkcję signum x = Sgn x określamy, jak wiadomo, jako Sgn x = 1 dla x > 0, Sgn x —- — 1dla x < 0 i Sgn x 0 dla x 0.
A N T O N I W A K U L I C Z
0 R Ó W N A N IA C H a 3 ± b ° = c 2 I O B O K A C H S Z E Ś C IE N N Y C H T R Ó JK Ą T Ó W P IT A G O R E JS K IC H
Z a g a d n ie n ie , czy is tn ie je tr ó jk ą t p ita g o re js k i, k tó re g o d w a boki m ia ły b y w y m ia ry b ę d ą c e sze ścian am i liczb n a tu ra ln y c h , p ro w ad zi do ró w n a ń : a (i ± b 6 = c 2 . . . (1). W zw iązk u z w ielk im tw ie rd z e niem F e rm a ta ró w n a n ie m x r’ + y n = z 6 za jm o w a ł się C. F. K a n s te r (N ova A cta A cad. Sc. P e tro p , 15, 1806), zaś £ . S w ift u d o w o d n ił (A m er. M ath . M o n th ly : 21, 1914, 238— 39; 23, 1916, 261), że r ó w n a nia x <! i: y '; = z 2 n ie m a ją ro z w ią z a ń c a łk o w ity c h , g d y z y t 0.*)
C elem n a s tę p u ją c y c h ro z w a ż a ń je s t ro z w ią z a n ie ró w n a ń nieco o g ó ln iejszy ch : a 3 ± b fi = c 2 . . . (2).
O każem y n a jp ie rw , że je ś li ró w n a n ia (2) p o s ia d a ją ro z w iąza n ia w liczb a ch n a tu ra ln y c h , to m u szą p o siad ać ro z w ią z a n ie w liczbach w z g lę d n ie p ie rw sz y c h . Is to tn ie , n ie c h p liczba p ie rw sz a ta k a , że p j a 1 p |b , te d y p |c i k ła d ą c a = a i p , b = b j p , c = Cip m a m y p a i 3 ±
± p 4b i (i = c i 2, w ięc Ci = pC2, a i = p a 2 i p 4a o 3 ± p 4b® = p 2Co2, sk ą d c2 = pc.i i a » :! ± b i (i = c a 2. W te n sposób u su n ą ć m ożem y k a ż d y c z y n n ik p ie rw s z y (a, b) i o trz y m a m y ró w n a n ie p o staci (2)
p rz y (a, b ) = 1. .
I. a 3 — b" = c 2 . . . (3) (a, b) = 1. K ład ą c a — b 2 = k m am y k n a t. o raz (k, b) = 1 i ró w n a n ie (3) w p o s ta c i k (k 2 + 3 k b 2 -f + 3 b 4) = c 2 . . . (4) z a lte r n a ty w ą (k, k 2 h 3 k b 2 I 3 b 4) = 1 lu b (k, k 2 -r 3 k b 2 T 3 b 4) = 3.
J e ś li (k, k 2 + 3 k b 2 + 3 b 4) = 1, to z (4) k = k i 2 i k 2 + 3 k b 2 -f r 3 b 4 = k 2 2, w ięc k i 4 + 3 k i 2b 2 . + 3 b 4 = k 2 2 . . . (5) p rz y ( k i, b) = 1 i (k i, 3) = 1.
J e ś li zaś (k, k 2 + 3 k b 2 + 3 b 4) = 3, to k = 3 k i i z (4) m am y 3 k i (9 k i 2 + 9 k i b 2 + 3 b 4) = c 2, w ięc c = 3 c i i k i (3 k i 2 -f + 3 k t b 2 + b 4) = c i 2, g d zie (k, 3 k i 2 + 3 k , b 2 f b 4) = 1. S tą d
*) Patrz L. E. Dickson H istory of the Thęory of Numbers vol. II p. 732, 773.
2 M a t e m a t y k a 17
k i = k « 2, 3 ki 2 + 3 k i b 2 + b 4 - c s 2, co daje 3 k > 4 -i- 3k'>'“ b- + r b 4 = C2 " . . . (6) przy (ky, b) = 1.
P o sz u k iw a n ia ro z w ią z a ń n a tu ra ln y c h ró w n a n ia (3) sp ro w a d z a się z a te m w obu m o żliw y ch p rz y p a d k a c h do ro z w ią z a n ia w liczbach n a tu ra ln y c h ró w n a n ia p o staci k 4 -r 3 k 2l 2 + 3 l 4 ~ c 2 . . . (7) przv (k, 1) - 1.
R o zw iązan ia n a tu r a ln e (c, 1, k) ró w n a n ia (7) p o rz ą d k u je m y w ed łu g p ie rw sz y c h ró ż n ic tzn. (c i, l i , k i) p o p rz e d z a (C2, I2, k 2) g d y Ci < C2 lu b p rz y Ci = C2, g d y l i < I2 lu b p rz y c t = C2, l i = I2, g d y k 3 <
< k2. B ęd ziem y m ów ili, że (c i, l i , k i ) je s t ro z w ią z a n ie m m n ie j
szym od (C2, I2, k2), g d y (c i, 1], k i ) p o p rz ed za (C2, I2, ka) i p ie rw sz ą tró jk ę liczb w ta k o trz y m a n y m ciągu tró je k n a z y w a m y ro z w ią z a n iem w liczb a ch n a tu ra ln y c h n a jm n ie jsz y c h . — P o szu k iw ać b ę d z ie m y ro z w iąza n ia ró w n a n ia (7) w liczb ach n a tu ra ln y c h n a jm n ie jsz y c h .
2 . 2
Z (7) o trz y m u je m y ^ ^ j + 3 ^ + 3 | ^ j = 1 . . . (8)
k ^ I ^
czy li d la liczb w y m ie rn y c h d o d a tn ic h x = , y = ró w n a n ie
c c
x 2 + 3 x y 1 3 y 2 = 1 . . . (9). K ład ą c x = m y — 1 . . . (9') o trz y m a m y m 2y 2 -— 2 m y i- 3 m y 2 — 3y + 3 y :! 0, sk ąd b ąd ź y = 0 (w ięc x — 1) b ąd ź m 2y — 2 m f 3 m y — 3 + 3 y — 0, czyli
2 m r 3 m 2 — 3
y — ----- _ Q r a z x — . . . (10).
m 2 ; 3 m ! 3 m 2 + 3 m i 3
W zory (10) d a ją w s z y stk ie ro z w ią z a n ia w y m ie rn e ró w n a n ia (9), gdy m p rz e b ie g a w a rto śc i w y m ie rn e . Isto tn ie , je ś li x i y w y m ie rn e i y =£0, to m w y m ie rn e w g (9’). J e ś li zaś m w y m ie rn e , to x i y w y
m ie rn e z (10) p rz y czym d la m = — ^ o trz y m a m y y = 0, x = — 1.
T , . , , • + 1 , ., p . k 2 m 2 — 3 l 2
Is tn ia ła b y w ięc ta k a w a rto ś ć m = - , ze - = ---— — =
2 m + 3 q C m 2 f 3 m ! 3 c
= --- . Z au w a ż a m y , że d la p = 0 m ie lib y śm y m 0 m 2 + 3 m I 3
x = — 1. M ożem y w ięc założy ć pq y t 0 i (p, q) = 1. D la n a jm n ie j
szych n a tu r a ln y c h ro z w ią z a ń ró w n a n ia (6) m u s ia ły b y w ięc istn ie ć ta k ie ca łk o w ite , ró ż n e od z e ra i w z g lę d n ie p ierw sze, p, q, że:
ki = P2 — 3 q2 • i 2 = __2 pq + 3 q2
c p 2 + 3 pq + 3 q 2 c p 2 + 3 pq + 3q"
Lew e s tro n y ró w n a ń (11) są z zało żen ia u ła m k a m i n ie sk ra c a ln y m i.
N adto (2 p q + 3 q 2, p2 + 3 p q + 3 q 2) = (2 p q + 3 q 2, p2 i pq;
= (2 p + 3 q, p2 + pq) = (2 p + 3 q, p) = (p, 3). S tą d d w a m oż
liw e p rz y p a d k i: (p, 3) = 1 lu b (p, 3) = 3.
J e ś li (p, 3) = 3, to p - 3 pi i z (11) j e s t — = --- - A R1--- S_---
r , c 3 p i2 +• 3 p i q + q2
. 1- 2 p iq -f q2 , . ,
i — : ; --- - , g d z ie p ra w e s tro n y są ju z ta k ż e c 3 p i2 f 3 p i q + q2
u ła m k a m i n ie s k ra c a ln y m i. Z u w ag i, że s ta le 3 p i2 + 3 p i q 4- q2 > 0 d la p iq 0 m am y : c == 3 p i2 r 3 p i q i q 2, l2 — p t q + q2 i k2 = 3 p i2 — q 2. L ecz o s ta tn ie ró w n a n ie n ie m a ro z w iąza ń c a łk o w ity c h 9^ 0, co ła tw o s tw ie rd z ić , ro z w a ż a ją c re s z ty m od 4.
J e ś li (p, 3) = 1, to ró w n a n ia (11) d a ją :
c = p2 + 3 p q + q2 ł2 = 2 p q + 3 q2 i k2 = p2 — 3 q ' . . . (12) W d alszy m ciągu ro z w ią z u je m y ró w n a n ie p2 — 3 q2 = k2 w licz- b ach c a łk o w ity c h ró ż n y c h od ze ra (tzn. pq k / 0). K ład ą c — --- x
k
— ■= y m a m y x2 — 3 y2 r 1 . . . (13) i p o d s ta w ia ją c x = m y — 1 k
o trz y m a m y (p o d o b n ie ja k w y ż ej) w sz y stk ie ro z w iąza n ia w y m iern e ró w n a n ia (13) w p o staci:
m2 + 3 2m
x y = ---
m 2 — 3 m 2 — 3
g d zie m w y m ie rn e . D la m = 0 m ie lib y śm y y = o x = — 1 i q
= o, co w y k lu c z y liśm y . J e s t w iec m = — , g d zie p i ą , 0, q i
( p , . q , , = l i R = , P . S + 3 q .» q — g P l Ł . . . ( „ I k p i2 — 3 q, 2 k p i2 — 3 q t J
W obec (p, q) 1, (p, 3) = 1 z (12) w y n ik a (p, k) = (q, k) 1, w ięc z (14) m a m y (2 p i q i , pt 2 — 3 qi 2) = ( p i2 + 3 qi 2, p, 2 - 3 q, 2).
N iech ( 2 p i q x, pL2 — 3 q t 2) = ( p i2 — 3 q i 2, p i2 + 3 q t 2) ^ w ięc ć = (2 p j , p! 2 — 3 q t 2) i & = 2S • 3r , gd zie s — 0 lu b s = 1 o ra z r = o lu b r = 1. R ó w n a n ia (13) d a ją t>p = p i2 + . 3 c p2 8q = 2 p i q , w ięc z ( l i ) , 128 2 = 4 P l q i (p , 2 + 3 p , q i + 3 q i 2).
1) J e ś li (p i, 3) = 1 tzn. 5 = 2S, to ( p i, p i2 + 3 p i q i + 3 q t 2) =- 1 125 2
i P iq i (P i* ’ 3 p i q , + 3 q i 2) = - w ięc p i = p 2 2, q t = q2 2 4
i p2 4 L 3 p2 2q 2 ż + 3 q24 = v" - - ' cł2 < 12 " < c 2, gdy 4 p2i q i -
p2 2q 2 2 > 1. J e s t je d n a k w idoczne, że n ie m oże b y ć p2 4 + 3’p2Zq ź2 + + 3 q2 4 = d2 g d y p2 2q2 2 = i- O trz y m a liś m y z a te m ro z w iąza n ie n a tu r a ln e ró w n a n ia (7) (d, q 2, p 2), w liczb a ch m n ie js z y c h od (c, 1, k), co je s t sp rzeczn e.
2) J e ś li ( p i, 3) = 3 tzn . 5 = 3 - 2S, to p i = 3 p2 i (q i, 3) =T 1 oraz 1252 = 12 p2q t (9 p2 2 + 9 p 2q i + 3 q i 2) = 36 p 2q i ( q i2 + 3 p2q-| '
1 3 p 22) g d zie (p2, q i2 + 3 p 2q i + 3 p 2 2) = l i (q t , qi 2 + 3 p 2q i + + 3 p 2 2) = 1. Z ate m p2 = p 22, q i = q22 i q24 + 3pr{2q2 2 t- + 3 p ; 4 = * = d2 < l 2, gd y ż 52 ^ 36 i p .i2q2 2 > 1.
36 p :i 2q22
O trz y m a liśm y w ięc i w ty m p rz y p a d k u ro z w ią z a n ie n a tu ra ln e (d, p.>>, q 2) ró w n a n ia (7) w liczb a ch m n ie js z y c h od (c, 1, k), co je s t sprzeczn e.
R ó w n a n ie (7) n ie m a z a te m ro z w ią z a ń w liczb a ch n a tu ra ln y c h , n ie m a w ięc ro z w ią z a ń n a tu ra ln y c h ró w n a n ie (3).
II. a :! + b (i = c2 . . . (14') (a, b) = 1. P rz e k s z ta łc a ją c ró w n a n ie (14') j a k ró w n a n ie (3) o trz y m u je m y k4 — 3 k2l2 ! 3 l4 = c'J . . . (15) p rz y (k, 1) = 1, g d zie k2 = a + b2 lu b 3 l2 = a + b 2. R o zw iąz a
n ie m n a tu r a ln y m tego ró w n a n ia je s t (1,1,1). N iech (c, 1, k) oznacza n a jm n ie js z e ro z w iąza n ie n a tu r a ln e tego ró w n a n ia ró ż n e od (1,1,1).
k2 l2
Z ró w n a n ia (15) o trz y m u je m y d la x — y = — ró w n a n ie
c ' c
x2 — 3 x y h 3 y - = 1, k tó re g o ro z w ią z a n ia w y m ie rn e (ja k w cz. I) s ą k : _ p 2 - 1 a : l i = - . * < ? . . . ( i 6)
c p2 -— 3 p q + 3 q2 c p2 — 3 p q + 3 q2 k2 l2
p rz y (p, q) = 1 pq ^ 0, g d zie i — u ła m k i n ie sk ra c a ln e .
c c
S tw ie rd z a m y łatw o , że (2 pq — 3 q 2, p2 — 3 p q + 3 q 2) (2 p q —
— 3 q 2, p2 — pq) = (2 p — 3 q, p2 — pq) = (2 q2 — 3 a 2, p2 —
— 3 p q + 3 q 2) = (2 pq — 3 q 2, p2 — pq) = (2 p — 3 q, p2 — pq) =
= (2 p — 3 q, p) = (p,3).
J e ś li (p,3) = 3, to p = 3 p i i z ró w n a ń (16) m am y:
k : = - I p j " - 5 1 i J i , _2 p i q - q a ____ sk ą d c 3 P i2 — 3 p i q + q2 c 3 p i 2 — 3 pi.q + q2
c = 3 p i2 — 3 p i q + q 2, l2 = 2 p i q — q2 i k2 = 3 p i 2 — q 2.
O sta tn ie ró w n a n ie je s t je d n a k n ie ro z w ią z a ln e w liczb a ch c a łk o w ity c h =ć 0 (sp rzeczn o ść m od 4).
J e ś li (p,3) = 1, to z ró w n a n ia (16) m am y d la n a tu ra ln y c h k, 1, c c = p2 — 3 p q + 3 q2 l2 = 2 pq — 3 q2 i k2 ,=f p2 :— 3 q2 . • . (16’) R o zw iązan ia ró w n a n ia k2 = p2 — 3 q2 o trz y m u je m y (jak w cz. I)
w po staci: — = — — — = . . . (17)
k pi 2 — 3 q i2 k Pt 2 — 3 q i2 g d zie p , q3 =£ 0 (p t , q x) = 1.
Z au w aży m y tu ta j, że d la c > 1 je s t l2 < c 2. Is to tn ie , 3 l4 — ... j 4 , . , , 3 k2 ± \ 12 c :! — 3 k ł
— 3 k-1- i k4 — c - = 0 d a je 1- = ..., w ięc
6 c + 4 c 5 ^
k2 ^ 2 c i l2 < — — = c < c2 d la c > 1.
6 3
W idzim y ta k ż e łatw o , że p2 — 3 pq : 3 q2 > 1, g d y p > 2.
N iech 8 = (2 p1q 1, px 2 — 3 q x2) = fpx 2 + 3 q x2, px 2 — 3 q x2), vedy 6 = 2s3r, g d zie s = 0 lu b s = 1 o ra z r = 0 lu b r = 1. Z (17) je s t 8p = p32 -f 3 q x2, 8q = 2 p i q x i z (16’) 1282 = 2 p q82 —
— 3 q28 2 = 4 p xqi ( px 2 — 3 p j q x + 3 q x2).
1) J e ś li (p i,3 ) = 1 t. zn. r = 0, to p x = p2 2 q i = q2 2 i P i2 —
— 3 p xq t + 3 qx 2 = —— = d2 czy li P2 4 — 3 p2 2q2 2 + 3 q2 4 =
= d 2. J e ś li p xq! > 1 , to p == >■ 2 w ięc c = p2 — 5
— 3 p q + 3 q2 > 1 i l2 < c 2. Z a te m p o4 — 3 p2 2q2 2 + 3q2 4 =
= = d2 < i l2 < ; c 2 i m a m y ro z w iąza n ie (d, q 2, P2) ró w n a n ia (15) m n ie jsz e od (c, 1, k). M u si b y ć z a te m d = p2 = q2 = 1, a w ta k im ra z ie p x = q x = 1 8 = 2 p = 2 q = l i c = 1 = k = 1, co je s t sp rzeczn e. D oszliśm y w ięc do sp rz ecz n o śc i z założeniem , że is tn ie je ro z w ią z a n ie n a tu r a ln e (c, 1, k) ró w n a n ia (15) ró ż n e od (1,1,1).
2) J e ś li (p i,3 ) = 3, to (q i,3 ) = 1 i p x = 3 p-j 8 ^ 6 o ra z 1282 =
= 36 p 2q i ( q i2 — 3 p2q x + 3 p22). W obec (p2, q i2 — 3 p2q'i + + 3 p 2 2) = 1 i (q i, q i2 — 3 p2q x + 3 p 2 2) = 1 je s t p2 = p3 2 q x = q2 2 i q2 4 — 3 p3 2q2 2 + 3 p:l4 = o , — 0— - = d2 < l 2, g d y
36 p3“q 2 “
P s2q22 > 1. W ów czas ta k ż e p = — ---- — ^ - = 9 - - — ^ > 2
8 <3
i c > 1, z a te m l2 <C c 2, w ięc (d, pa, q 2) j e s t ro z w ią z a n ie m n a -
lu ra ln y m ró w n a n ia (15) m n ie js z y m od (c, 1, k). S tą d d = pa = q2 — 1 i p a = q i = 1 w ięc pj — 3, b = 6 p = 2, q = 1 i c = . 1 = k = 1, co je s t sp rzeczne.
D och o d zim y w ięc i w ty m p rz y p a d k u do sp rz ecz n o śc i z założeniem że is tn ie ją ro z w ią z a n ia n a tu r a ln e ró w n a n ia (15) ró ż n e od (1,1.1).
W n i o s k i : 1) J e d y n y m ro z w ią z a n ie m n a tu r a ln y m ró w n a n ia (15) je s t (1,1,1). S tą d (w obec 3 1 - = a + b 2) je d y n y m ro z w ią z a n ie m n a tu ra ln y m ró w n a n ia (14') je s t a = 2, b = 1, c = 3.
2) J e d y n y m ro z w ią z a n ie m n a tu r a ln y m ró w n a n ia x3 + 1 = v2 je s t x = 2, y = 3. S tą d łatw o w y n ik a tw . E u le ra , że je d y n ą liczbą tr ó jk ą tn ą b ę d ą c ą sześcian em liczb y n a tu r a ln e j je s t tj =: 1. P rzez
I ^ \
t t o zn aczam y k -tą liczb ę tr ó jk ą tn ą t. zn. t k = . t k = : n 3, 2
g dy k r- 2 1 d a je 2 l2 + 1 — n3 = 0, zaś d la k = 2 1 — 1 2 l2 —
— 1 — n :i = 0. W obu p rz y p a d k a c h dla w y ró ż n ik a m a m y 1 + 8 n :!
= y2 czyli ró w n a n ie p o staci x3 + 1 = y 2.
3) R ó w n a n ie x :! — 1 = y2 n ie p o siad a ro z w ią z a ń n a tu ra ln y c h . 4) R ó w n a n ia a łi ± b tt = c2 n ie p o sia d a ją ro z w ią z a ń n a tu ra ln y c h a n i c a łk o w ity c h ta k ic h , by c 0.
Z p o w y ż sz y ch ro z w a ż a ń w y n ik a , że n ie m a tr ó jk ą tó w p ita g o re j- skich, k tó ry c h d w a b o k i m ia ły b y w y m ia ry b ę d ą c e sze ścian am i liczb n a tu ra ln y c h . Is tn ie je n a to m ia st n ie sk o ń cz en ie w ie le tr ó jk ą tó w p ita - g o re jsk ic h ta k ic h , że w y m ia r p rz y p ro s to k ą tn e j lu b p rz e c iw p ro sto - k ą tn e j je s t sześcian em liczby n a tu r a ln e j, co je s t w id o czn e z n a s tę p u ją c y c h tożsam ości:
(m (i — 16 n6) 2 + (8 m3n:1) 2 = (m ': 16 n'1) 2 . . . (1) [P- (3 q2 — p2) 2 — q2 (3 p2 — q2)aJ2 +
+ [2 p q (3 q2 — p 2) (3 p 2 — q2) ] 2 =
= [(p2 + q2) 3] 2 . . . (2).
T ożsam ość (2) o p ie ra się n a tożsam ości E u le ra :
. {p (3 q2 - p 2)]- + [q(3 p2 - q2) ] 2 - (p2 + q2d 8.
S t r e s z c z e n i e : A r ty k u ł p o d a je e le m e n ta rn e ro z w ią z a n ie ró w n a ń a3 ± b G = c 2. R ó w n a n ie a3 — b6 = c2 n ie p o siad a ro z w iąza ń g d y c ^ 0. R ó w n an ie a3 + b fi = c2 posiada p rz y c yŁ 0 ty lk o ro z
w ią z a n ia c a łk o w ite a = 2, b = ± 1, c = ± 3 . S tą d w y n ik a ją łatw o
ro z w iąza n ia ró w n a ń a'1 ± b n = c2 o ra z x :t ± 1 = y 2. R ó w n an ie x3 + 1 = y2 m a je d y n e ro z w ią z a n ie n a tu r a ln e x = 2,y = 3, skąd łatw o w y n ik a tw . E u le ra , że je d y n ą liczb ą tró jk ą tn ą b ęd ą cą sze ścia
nem liczby n a tu ra ln e j je s t t i = 1. W to k u ro z w aża ń u d o w o d n io n o tak że, że je d y n y m ro z w ią z a n ie m c a łk o w ity m ró w n a n ia k4 4- + 3 k2l2 + l4 = c2 je s t k = 1 = c = 0 o raz, że ró w n a n ie k4 —
— 3 k2l2 — 3 l4 = c2 p o siad a ty lk o ro z w iąza n ia c a łk o w ite k = 1 =
— c = 0 i | k | == |1| = |c| = 1.
DOW ODY Z A SA D Y INDU KC JI M ATEM ATYCZNEJ
W stęp
K ant, znany filo zo f niem iecki, p od zielił sądy naukow e na: an a li
tyczn e i sy n tetyczn e, przy czym przez a n alityczn e sądy rozum ie K ant tak ie sądy, które w yn ik ają z p rzyjętych założeń i określeń na p odstaw ie rozum ow ania logicznego, sądy zaś sy n tety c zn e są oparte na d ośw iadczeniu i obserw acji. Do jakiej k ategorii sądów n ależy zaliczyć zasadę indukcji m atem atycznej? K ant i P oin care uw ażali ją za sąd sy n tety czn y . Od czasów F re g e’go u w ażam y jednak, że zasada indukcji m atem atyczn ej je st sądem an alityczn ym . W pracy n in iej
szej zastanow im y się nad tym , z jakich założeń i z jakich określeń m ożna w yp row ad zić zasadę ind u kcji m atem atycznej przy pom ocy logicznego rozum owania.
U w aga: W pracy n in iejszej stosu ję znakow anie logiczn e przyjęte w d ziele M ostow skiego pt. „Logika m atem atyczn a”.
S tosu nek rów noliczn ości zbiorów jest, jak w iadom o, zw rotny, s y m etryczn y i przechodni cz y li je st relacją o charakterze rów now aż
ności. D zięki tem u m ożna zastosow ać zasadę abstrakcji do tej relacji.
N iech K oznacza p ew ien sta ły zbiór i niech X oznacza dow olny zbiór zaw arty w zbiorze K cz y li X C K . Z bieram y w szy stk ie p o d zbiory zbioru K rów noliczn e zbiorow i X w jedną rodzinę i n azy w am y tę rodzinę: m ocą lub liczbą kardynalną zbioru X . Piszem y:
NC’KX = Ey [ ( Y C K ) • (Y rl X)], przy czym „Y rl X ” czytam y:
„zbiór Y je st rów n oliczn y zbiorow i X ”. Z aksjom atu teorii m n o
gości w yn ik a, że taka rodzina istn ie je i ty lk o jedna. Z zasady abstrakcji w yn ik a, że relacja rów noliczn ości pozw ala rozbić ogół w szystk ich podzbiorów zbioru K na rozłączne m ięd zy sobą rodziny podzbiorów rów noliczn ych , p rzy czym je śli X C K i Z C K , to zdania:
