Przykład 2. Ocenić wartość logiczną zdania ∃

Zestaw 3.

Elementy logiki matematycznej. Działania na zbiorach.

Przykład 1. Podać negację zdania ”Jeżeli liczba dzieli się przez 4, to dzieli się przez 2”.

Rozwiązanie. Powyższe zdanie napisane jest w formie implikacji p ⇒ q. Zaprzeczenie implikacji ma postać p ∧ ¬q. Zdanie ”Nieprawda, że jeżeli liczba dzieli się przez 4, to dzieli się przez 2” ma więc równoważną postać ”Liczba dzieli sie przez 4 i nie dzieli się przez 2.”

Przykład 2. Ocenić wartość logiczną zdania ∃

x = 2x i znaleźć jego zaprzeczenie.

Rozwiązanie. Zdanie ∃

x = 2x jest zdaniem prawdziwym, czyli ma wartość logiczną 1 ( równość zachodzi dla x = 0). Ponadto ¬

∃

x = 2x

⇐⇒

∀

x 6= 2x

.

Przykład 3. Dla podanych zbiorów A = [0, +∞) i B = (−5, 4] wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A × B, B × A. Wyniki zaznaczyć na osi liczbowej lub w układzie współrzędnych.

Rozwiązanie. Ponieważ x ∈ A∪B ⇔ (x ∈ A∨x ∈ B), więc A∪B = (−5, +∞). Ponadto z faktu, że x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B), wynika A ∩ B = [0, 4]. Korzystając z tego, że x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A ∧ x / ∈ B) otrzymujemy A \ B = (4, +∞), a B \ A = (−5, 0).

Przykład 4. Rozwiązać równanie |x + 1| = 3.

Rozwiązanie. Korzystając z definicji modułu otrzymujemy alternatywę równań linio- wych: x + 1 = 3 ∨ x + 1 = −3. Stąd otrzymujemy rozwiązania równania z modułem x = 2 ∨ x = −4.

Przykład 5. Rozwiązać równanie ||2x + 1| − 2| = 4.

Rozwiązanie. Korzystając z definicji modułu mamy alteratywę równań |2x + 1| − 2 = 4 ∨ |2x + 1| − 2 = −4 i równoważnie (∗)|2x + 1| = 6 ∨ |2x + 1| = −2. Drugie z równań (*) jest sprzeczne, bo moduł ma zawsze nieujemną wartość. Pierwsze z równań (*) jest równoważne alternatywie równań 2x + 1 = 6 ∨ 2x + 1 = −6. Stąd otrzymujemy rozwiazanie wyjściowego równania: x =

∨ x = −

.

Przykład 6. Rozwiązać nierówność |x + 2| > 3.

Rozwiązanie. Z własności modułu nierówność ma równoważną formę w postaci al-

ternatywy nierówności x + 2 > 3 ∨ x + 2 < −3. Stąd x > 1∨ < −5. Ostatecznie

x ∈ (−∞, −5) ∪ (1, +∞).

Przykład 7. Rozwiązać nierówność ||4x + 7| − 2| ¬ 4.

Rozwiązanie. Korzystając z własności modułu otrzymujemy koniunkcję nierówności:

−4 ¬ |4x + 7| − 2 ¬ 4. Stąd otrzymujemy (∗) − 2 ¬ |4x + 7| ¬ 6. Pierwsza z nierówności jest spełniona dla x ∈ R, zaś drugą można zapisać w postaci

(−6 ¬ 4x + 7 ¬ 6) ⇔ −

¬ x ¬ −

. Znajdując część wspólną rozwiązań nierówności (*) mamy x ∈ (−

, −

).

Przykład 8. Dla podanych zbiorów A = {x ∈ R : |2x − 3| > 5},

B = {x ∈ R : −x

+ x + 6 ­ 0} wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, ¯ A, ¯ B.

Rozwiązanie. Wyznaczymy zbiór A rozwiązując nierówność |2x − 3| > 5. Mamy (2x − 3 > 5 ∨ 2x − 3 < −5) ⇔ x > 4 ∨ x < −1, czyli A = (−∞, −1) ∪ (4, +∞). Teraz wyznaczymy zbiór B rozwiązując nierówność −x

+ x + 6 ­ 0. Mamy

∆ = 1 + 24 = 25, x =

= 3 ∨ x =

= −2. Stąd B = [−2, 3]. Stąd i z definicji sumy, iloczynu, różnicy i dopełnienia zbiorów mamy: A ∪ B = (−∞, 3] ∪ (4, +∞), A ∩ B = [−2, −1), A \ B = (−∞, −2) ∪ (4, +∞), B \ A = [−1, 3], ¯ A = [1, 4], ¯ B = (−∞, −2) ∪ (3, +∞).

Zadanie 3.1. Ocenić wartość logiczną każdego ze zdań i znaleźć jego zaprzeczenie.

a) ∀

x = 5x; b) ∀

x 6= 3x; c) ∀

4

= (−2)

; d) ∀

y < 2y; e) ∃

y ¬ 5y; f) ∃

x

­ x;

g) ∃

­ x; h) ∃

|x + 1| ­ 0; i) ∀

|2x − 1| ­ 0;

j) ∃

3x + 1 ­ 0; k) ∀

− 2x

¬ 0; l) ∀

− 4x ¬ 0;

m) ∀

∀

m

+ n

= 10; n) ∀

∃

x

+ y

= 5;

o) ∃

∃

m

+ n

= 9; p) ∃

∀

y = x

− 4;

r) ∃

∀

x ¬ y; s) ∀

∃

x ¬ y;

Zadanie 3.2. Podać negację zdań:

a) Liczba (−2)

jest nieujemna i mniejsza niż (−1)

. b) 6 nie jest liczbą parzystą lub 5 jest dzielnikiem 8.

c) Jeżeli funkcja jest monotoniczma, to jest różnowartościowa.

d) Jeżeli ciąg jest od pewnego miejsca stały, to jest zbieżny.

Zadanie 3.3 Dla podanych zbiorów A i B wyznaczyć A ∪ B,

A ∩ B, A \ B, B \ A, A × B, B × A. Wyniki zaznaczyć na osi liczbowej lub w układzie współrzędnych.

a) A = (−∞, 1], B = (−3, 4]; b) A = [0, 3), B = (−5, 4];

c) A = (5, +∞), B = (−7, 3]; d) A = (0, 3), B = (−7, 3];

e) A = {−7} ∪ (5, +∞), B = (−7, 5); f) A = {−5} ∪ (−1, 3), B = [−5, 3);

g) A = (−∞, 1] ∪ {5}, B = [−3, 6]; h) A = [−2, 5] ∪ {6}, B = [−5, 6);

i) A = (−∞, −2) ∪ {5}, B = [−7, 5]; j) A = (−1, 3) ∪ (5, +∞), B = (−7, 5);

k) A = (−∞, 1]∪[2, 8), B = [−3, 6]∪{8}; l) A = [−2, 5]∪[3, 7], B = [−5, 6)∪{7};

m) A = (−∞, −2) ∪ {5}, B = [−7, 0) ∪ (2, 5];

n) A = (−4, 5] ∪ {6}, B = [−5, 3) ∪ (4, 6).

Zadanie 3.4. Rozwiązać równania:

a) |x − 2| = 5; b) |2x + 5| = 3; c) |7 − 3x| = 5;

d) |2 − 6x| = 5; e) ||x + 1| − 2| = 3; f) ||x − 3| + 2| = 5;

g) ||x + 7| − 2| = 4; h) ||3 − x| + 2| = 5; i) ||5 − 2x| + 3| = 2;

j) ||2x + 1| + 5| = 3; k) ||4x + 7| + 6| = 4.

Zadanie 3.5. Rozwiązać nierówności:

a) |x + 1| > 3; b) |x − 2| ­ 5; c) |x + 5| < 3;

d) |x − 7| ¬ 5; e) |7 − 3x| ­ 5; f) |5x + 5| < 3;

g) ||x + 1| − 2| > 3; h) ||x − 3| + 2| ­ 5; i) ||x + 7| − 2| ¬ 4;

j) ||x − 5| + 3| ¬ 2; k) ||5 − 2x| + 3| ¬ 2; l) ||2x + 1| + 5| ­ 3;

m) ||3 − x| + 7| ­ 2; n) ||5 − 2x| + 5| < 2.

Zadanie 3.6. Dla podanych zbiorów A i B wyznaczyć A∪B, A∩B, A\B, B \A, ¯ A, ¯ B.

a) A = {x ∈ R : x

− x − 12 ­ 0}; B = {x ∈ R : |2x − 3| < 7};

b) A = {x ∈ R : ||3x − 4| + 1| ­ 3}; B = {x ∈ R : −|1 − x| + 4 > 3};

c) A = (0, 2] ∪ {4}; B = {x ∈ N : −2 ¬ x ¬ 3π};

d) A = (−1, 1] \ {

}; B = {x ∈ Z : −π ¬ x < √ 20}.

ODPOWIEDZI: Uwaga! Zakładam, że 0 / ∈ N.

Zadanie 3.1

a) 0 (fałsz); ∃

x 6= 5x; b) 0 (fałsz); ∃

x = 3x;

c)1 (prawda); ∃

4

6= (−2)

;

d) 0 (fałsz); ∃

y ­ 2y; e) 1 (prawda); ∀

y > 5y;

f) 1 (prawda); ∀

x

< x;

g) 0 (fałsz); ∀

< x; h) 1 (prawda); ∀

|x + 1| < 0;

i) 1, (prawda); ∃

|2x − 1| < 0;

j) 1 (prawda); ∀

3x + 1 < 0; k) 1 (prawda); ∃

− 2x

> 0;

l) 0 (fałsz); ∃

− 4x > 0;

m) 0 (fałsz); ∃

∃

m

+ n

6= 10; n) 0 (fałsz); ∃

∀

x

+ y

6= 5;

o) 0 (fałsz); ∀

∀

m

+ n

6= 9; p) 0 (fałsz); ∀

∃

y 6= x

− 4;

r) 1 (prawda); ∀

∃

x > y; s) 1 (prawda);∃

∀

x > y.

Zadanie 3.3

a) A ∪ B = (−∞, 4], A ∩ B = (−3, 1], A \ B = (−∞, −3], B \ A = (1, 4];

b) A ∪ B = (−5, 4], A ∩ B = [0, 4], A \ B = ∅, B \ A = (−5, 0) ∪ [3, 4];

c) A ∪ B = (−7, 3] ∪ (5, +∞), A ∩ B = ∅, A \ B = A, B \ A = B;

d) A ∪ B = B, A ∩ B = A, A \ B = ∅, B \ A = (−7, 0] ∪ {3};

e) A ∪ B = [−7, +∞) \ {5}, A ∩ B = ∅, A \ B = A, B \ A = B;

f) A ∪ B = [−5, 3), A ∩ B = {−5} ∪ (−1, 3), A \ B = ∅, B \ A = (−5, −1);

g) A ∪ B = (−∞, 6], A ∩ B = [3, 1] ∪ {5}, A \ B = (−∞, −3), B \ A = [1, 6] \ {5};

i) A ∪ B = (−∞, 5], A ∩ B = [−7, −2) ∪ {5}, A \ B = (−∞, −7), B \ A = [−2, 5);

j) A ∪ B = (−7, +∞) \ {5}, A ∩ B = (−1, 3), A \ B = (5, +∞), B \ A = (−7, −1] ∪ [3, 5];

k) A ∪ B = (−∞, 8], A ∩ B = [−3, 1] ∪ [2, 6], A \ B = (−∞, −3) ∪ (6, 8), B \ A = (1, 2) ∪ {8};

l) A ∪ B = [−5, 7], A ∩ B = [−2, 6], A \ B = [6, 7), B \ A = [−5, −2);

m) A ∪ B = (−∞, 0) ∪ (2, 5], A ∩ B = [−7, −2] ∪ {5}, A \ B = (−∞, −7), B \ A = [−2, 0) ∪ (2, 5)];

n) A ∪ B = [−5, 6], A ∩ B = (−4, 3) ∪ (4, 5], A \ B = [3, 4], B \ A = [−5, −4] ∪ (5, 6).

Zadanie 3.4.

a) x = 7 ∨ x = −3; b) x = −4 ∨ x = −1; c) x =

∨ x = 4;

d) x = −

∨ x =

; e) x = −6 ∨ x = 4; f) x = 0 ∨ x = 6;

g) x = −13 ∨ x = −1; h) x = 0 ∨ x = 6; i) x ∈ ∅ ( brak rozwiązań);

j) x ∈ ∅ ( brak rozwiązań); k) x ∈ ∅ ( brak rozwiązań).

Zadanie 3.5. Rozwiązać

a) x ∈ (−∞, −4) ∪ (−2, +∞); b) x ∈ (−∞, −3] ∪ [7, +∞) c) x ∈ (−8, −2);

d) x ∈ [2, 12]; e) x ∈ (−∞,

] ∪ [4, +∞); f) x ∈ (−

, −

);

g) x ∈ (−∞, −6) ∪ (4, +∞); h) x ∈ (−∞, 0] ∪ [6, +∞); i) x ∈ [−13, −1];

j) x ∈ ∅; k) x ∈ ∅; l) x ∈ R;

m) x ∈ R; n) x ∈ ∅.

Zadanie 3.6.

a) A = (−∞, −3] ∪ [4, +∞), B = (−2, 5), A ∪ B = (−∞, −3] ∪ (−2, +∞), A ∩ B = [4, 5), A \ B = (−∞, −3] ∪ [5, +∞), B \ A = (−2, 4), ¯ A = (−3, 4), B = (−∞, −2] ∪ [5, +∞); ¯

b) A = (−∞, −2] ∪ [−

, +∞), B = (0, 2), A ∪ B = A, A ∩ B = B,

A \ B = (−∞, −2] ∪ [−

, 0] ∪ [2, +∞), B \ A = ∅, ¯ A = (−2, −

),

B = (−∞, 0] ∪ [2, +∞); ¯

c) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A ∪ B = (0, 2] ∪ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A ∩ B = {1, 2, 4}, A \ B = (0, 2) \ {1}, B \ A = {3, 5, 6, 7, 8, 9}, ¯ A =) − ∞, 0] ∪ (2, +∞) \ {4}, B = R \ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; ¯

d) B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}, A ∪ B = (−1, 1] ∪ {−3, −2, −1, 2, 3, 4} \ {

},

A ∩ B = {0, 1}, A \ B = (−1, 1) \ {0,

}, B \ A = {−3, −2, −1, 2, 3, 4},

A = (−∞, −1] ∪ (1, +∞) ∪ { ¯

}, ¯ B = R \ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.