Liczby kwantowe II, przykłady/zadania

Liczby kwantowe

● sprzężenie ładunkowe

●

przykłady i zadania

Sprzężenie ładunkowe

Sprzężenie ładunkowe – przekształcenie symetrii wewnętrznej

zamieniające wszystkie cząstki na antycząstki

( pozostawiając je w tym samym stanie kwantowym pędu, położenia, …) Każdej cząstce odpowiada antycząstka o tej samej masie i czasie życia oraz przeciwnym ładunku, a tym samym przeciwnym momencie magnetycznym (dla punktowej cząstki Diracowskiej o spinie ½ moment magnetyczny µ = ( eħ / mc )s; e - ładunek elektryczny,

s – spin, cząstka i antycząstka mają taki sam spin s ).

Ĉ

|

proton

> = Ĉ | uud > = | uud > = |

antyproton

>

Ĉ

|

antyproton

> = |

proton

>

Ĉ |

neutron >

= Ĉ | ddu > = | ddu > = | antyneutron

>

Ĉ

|

e

_{> = |}

_e־

_{> Ĉ |}

_e־

_{> = |}

_e

_>

}

i momentu magnetycznego na przeciwny zmiana liczby barionowej i momentu magnetycznego na przeciwny

zmiana liczby leptonowej, ładunku i momentu magnetycznego na przeciwny

־ ־ ־

־ ־ ־

Ĉ

–

2

Operacja sprzężenia ładunkowego zmienia znak wewnętrznych addytywnych

liczb kwantowych ( ładunku elektrycznego, liczby leptonowej i liczby barionowej,

Parzystość ładunkowa

Jeżeli dane oddziaływanie jest niezmiennicze względem operacji sprzężenia

ładunkowego to operator Ĉ komutuje z hamiltonianem

[ Ĉ, H ] = 0

Sprzężenie ładunkowe –

symetria dyskretna , niezwiązana z własnościami

czasoprzestrzennymi oddziaływań

+

Zachowanie

multiplikatywnej liczby kwantowej –

parzystości ładunkowej

Ĉ | A > = c | A >

dwie kolejne operacje sprzężenia ładunkowego przywracają stan wyjściowy

Ĉ | A > = | A > i Ĉ | A > = | A > →

־

Ĉ

_{| A > = | A >}

wartości własne operatora Ĉ

C = ± 1

C – parzystość ładunkowa cząstki

־

Większość cząstek nie jest stanami własnymi operatora Ĉ

Oddziaływania silne i elektromagnetyczne są niezmiennicze

względem sprzężenia ładunkowego,

natomiast oddziaływania słabe nie zachowują parzystości C

Parzystość ładunkowa

Dla jakich cząstek można zdefiniować parzystość C ?

(

)

Parzystość ładunkową można zmierzyć jedynie dla cząstek, które są całkowicie

obojętne ( np. foton lub neutralny pion

π

_{) i są swoimi własnymi antycząstkami}

Rozważmy cząstkę o ładunku q. Operator ładunku oznaczamy jako Q.

Q | q > = q | q > i Ĉ | q > = | -q >

ĈQ | q > = qĈ | q > = q | - q > oraz Ĉ | q > = Q | - q > = - q | - q >

[ Ĉ, Q ] | q > = [ ĈQ – QĈ ] | q > =

2q |- q > → operatory Ĉ i Q komutują jedynie

dla q = 0,

C

Większość cząstek nie jest stanami własnymi operatora Ĉ

4

Tylko cząstki całkowicie obojętne,

które mają addytywne liczby kwantowe równe zero

(ładunek, liczba barionowa, liczba leptonowa, dziwność, powab, …)

są stanami własnymi operatora sprzężenia ładunkowego ,

np.

γ, ρ

_,

ω, φ, J/ψ, Υ

_{( J}

_{= 1־־ ) oraz}

π

,

η, η’

_{( J}

_{= 0־}

₎

Parzystość ładunkowa

Układy cząstek

●

Parzystość ładunkowa jest określona dla układu cząstek całkowicie obojętnych

np. Ĉ |

γγ

> = C

C

|

γγ

> parzystość C jest multiplikatywną liczbą kwantową

●

Parzystość ładunkową można określić dla układu cząstka – antycząstka ,

π

Ĉ |

π

π־

_{; L > = ( –1 )}

_|

π

π־

_{; L >}

_{, L –}

π

_π

●

Dla pary fermion – antyfermion

opisanej poprzez liczby kwantowe całkowitego,

orbitalnego i spinowego momentu pędu J, L i S

( parzystości C dla układów cząstka – antycząstka wynikają z kwantowej teorii pola )

Ĉ | f f ; J, L, S > = (–1 )

־

_{| f f ; J, L, S >}

־

6

Zadania / przykłady

Lista cząstek elementarnych, ich parametry i liczby kwantowe

Przeglądowe omówienia najważniejszych aspektów teoretycznych i

doświadczalnych fizyki cząstek elementarnych , techniki doświadczalne, …

Publikacje

” The Particle Data Group” (PDG)

w

” The Review of Particle Physics”

Parzystość ładunkowa

Model kwarków :

π

jest stanem

_S

0

zbudowanym z pary uu lub dd

spin i kręt pary qq

S = L = 0 → C

= (–1 )

_{= ( –1 )}

_{= +1}

parzystość ładunkowa neutralnego mezonu

π

jest dodatnia

Eksperyment : potwierdzenie przewidywania modelu kwarkowego

●

dominujący kanał rozpadu

π

_{→ 2}

γ

_C

π0

= ( C

)

●

parzystość ładunkowa fotonu

C

= –1

●

rozpad

π

_{→ 3}

γ

_{jest zabroniony C}

π0

= 1 ≠ ( C

)

= – 1

eksperyment :

Γ ( π

_{→ 3}

γ

_{) /}

_{Γ (}

π

_{→ 2}

γ )

_{< 3 · 10}

}

C

= +1

־

־

־

Parzystość ładunkowa fotonu

wynika z własności klasycznego pola elektromagnetycznego, wytwarzanego przez poruszające się ładunki, opisanego potencjałem wektorowym A i skalarnym

φ

operacja sprzężenia ładunkowego : pole elektryczne E i potencjał skalarny

φ

E (x , t ) → – E (x , t ) ,

φ (x , t ) → – φ (x , t )

potencjał wektorowy

A (x , t ) → C

A (x , t )

E = –

φ – ∂ A / ∂ t

}

parzystość ładunkowa

fotonu jest ujemna

Parzystość ładunkowa

Rozpady

η

(550) , J

_{= 0־ ,}

η

_{( uu, dd, ss )}

stosunki rozgałęzień ( branching ratio )

1.

η → 2 γ

B = 0.39

rozpad elektromagnetyczny

2.

η → π

₊

π

₊

π

_{B = 0.32}

3.

η → π

₊

π־ + π

_{B = 0.23}

podobna częstość jak dla rozpadu 1

oraz czas życia η ( τ = 6 · 10-19 _{s ) wskazują ,}

że rozpady 2 i 3 są także elektromagnetyczne

-

-

-η → 2γ

C

= ( Cγ )² = ( -1 )² =

+ 1

η→ π

₊

π

₊

π

_C

= (C

)³ = 1³ =

+ 1

J

( η ) = 0

Test niezmienniczości względem sprzężenia ładunkowego dla reakcji :

1.

η → π

₍

_p

1

) +

π־ ( p

) +

π

( p

)

rozkład pędów

2.

η → π־ ( p

) + π

( p

2

) + π

( p

)

jeżeli oddziaływania elektromagnetyczne zachowują parzystość C ,

to reakcja 2 będąca wynikiem operacji sprzężenia ładunkowego reakcji 1, powinna być od niej nierozróżnialna

rozkłady pędów mezonów

π

π־

Spin neutralnego pionu

π

π

_{- najlżejszy hadron}

π

→

₂

γ

_{dominujący kanał rozpadu, ~98.8%,}

_{rozpad elektromagnetyczny}

średni czas życia

τ

= ( 8.4 ± 0.6 ) · 10¯

_s

u (d)

u (d)

u (d)

Diagram trójkątny

dla rozpadu

π

_{→ 2}

γ

Poprawne obliczenie szerokości rozpadu

π

_{wymaga uwzględnienia}

3 kolorów kwarków

Analiza rozpadu

π

_{→ 2}

γ

₋

π

_{jest cząstką o spinie s = 0}

Spin naładowanych pionów ( s

= 0 ) wyznaczony z porównania przekrojów

czynnych dla odwracalnych reakcji p + p ↔

π

_{+ d}

Spin neutralnego pionu

π

rozpad

π

_{→ 2}

γ

_{w układzie spoczynkowym mezonu}

(

)

γ

γ

_γ

_γ

0

p

=

r

π

π

s

=

λ

λ

λ

λ

2 fotony o takiej samej polaryzacji 2 fotony o przeciwnej polaryzacji prawo (rys) lub lewoskrętne,

S

= 0

S

= 2

10

●

π

→

π

●

π

( jako oś kwantyzacji wybieramy linię lotu fotonów )

Rzeczywiste fotony występują tylko w 2 stanach spinowych o skrętności

λ

s

= ± s

●

s

=

=

10 (cos

θ

antysymetryczna. Jednakże zgodnie ze statystyką Bosego-Einsteina funkcja falowa 2 identycznych bozonów jest symetryczna

s

●

s

s

≥ 2

π

π

π¯

1.

Pokaż, że mezon rozpadający się na parę

π

π־

_{poprzez oddziaływania silne ma}

parzystość przestrzenną i ładunkową P = C = (–1)

_{, gdzie J jest spinem mezonu.}

2.

Mezony

ρ

_{(769) o spinie 1 oraz f}

20

(1275) o spinie 2 rozpadają się przez oddz.

silne w kanale

π

π־

_{. Który z rozpadów jest zabroniony przez oddziaływania}

elektromagnetyczne :

ρ

_→

π

γ

_{, f}

20

→

π

γ

? Który z rozpadów jest zabroniony

w jakimkolwiek oddziaływaniu :

ρ

_→

π

π

_{, f}

20

→

π

π

?

11 ad 1 ) M →

π

π

_־

Zachowanie momentu pędu :

spin mezonu J = L_ππ + S_ππ, spin pary pionów S_ππ = 0 ( spin i parzystość pionu JP _{= 0־ ),}

L – względny orbitalny moment pędu pary

ππ

→

parzystość przestrzenna mezonu

P(

π

π

_{־ )}

π)2 · ( –1 )L =

( –1 )

parzystość ładunkowa mezonu

C(

π

π

_{־ )}

_{( –1 )}

Mezon o spinie 0 ma dodatnie parzystości C = P = +1 Mezon o spinie 1 ma ujemne parzystości C = P = –1 Mezon o spinie 2 ma dodatnie parzystości C = P = +1, …

2.

Mezony

ρ

_{(769) o spinie 1 oraz f}

20

(1275) o spinie 2 rozpadają się przez oddz.

silne w kanale

π

π־

_{. Który z rozpadów jest zabroniony przez oddziaływania}

elektromagnetyczne :

ρ

_→

π

γ

_{, f}

20

→

π

γ

? Który z rozpadów jest zabroniony

w jakimkolwiek oddziaływaniu :

ρ

_→

π

π

_{, f}

20

→

π

π

?

Ad 2)

Rozpad obojętnego mezonu

ρ

ρ

π

π

_{־ ,}

ρ

ρ

_→

π

γ

_??

π

,

γ

C (

π

γ

π

γ

P (

π

γ

πPγ (–1)L = (–1)2(– 1)L = (–1)L, L - względny orbitalny moment pędu układu

π

γ

ρ

J

π

γ

ρ

elektromagnetyczny rozpad

ρ

_→

π

γ

_{jest dozwolony}

Rozpad obojętnego mezonu f₂0 _{o spinie J = 2 na dwa na naładowane piony}

f

_→

π

π־ ,

_f

20 C = P = (–1)J = +1 (por. zadanie 1)

f

_→

π

γ

_??

π

γ

π

γ

)

elektromagnetyczny rozpad f

_→

π

γ

_{jest zabroniony}

ze względu na symetrię względem sprzężenia ładunkowego

Ad 2) mezon

ρ

ρ

_→

π

π

_{?? , w stanie końcowym}

_{dwa identyczne bezspinowe bozony}

falowa

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

Część przestrzenna funkcji falowej opisuje ruch jednej cząstki względem drugiej

i może być zapisana za pomocą funkcji kulistych

Y

( θ, φ).

równoważne zamianie

θ → π

θ, φ→φ + π

mnożący

ψ

ρ

→

π

π

ρ

symetria funkcji falowej wymaga parzystej wartości L

rozpad

ρ

→

π

π

_{jest zabroniony}

14

f

_→

π

π

_??,

_f

20 J = L = 2

L = 2 zapewnia, że funkcja falowa dwóch identycznych bozonów będzie symetryczna

C(

π

π

π

₎

20 ), P(

π

π

→ zachowanie C i P

Zad. 3

Czy rozpad mezonu

ρ

_→

η

₊

π

_{może zachodzić poprzez oddziaływania silne}

lub elektromagnetyczne ?

I, J

₍

ρ

_{) = 1, 1־־ (por. zad. 1 )}

I, J

₍

π

_{) = 1, 0־}

I, J

₍

η

_{) = 0, 0־ ,}

η

_{→ 2}

γ

η )

₍

γ

₎

C(

η

π

_{) = C(}

η

_)C(

π

_{) = +1 ≠ C(}

ρ

_{) = -1}

Silny / elektromagnetyczny rozpad ρ

→

η

+ π

_{jest zabroniony ponieważ}

nie zachowuje parzystości ładunkowej.

Taki rozpad nie jest w ogóle obserwowany.

4.

Jakie ograniczenia na spin i parzystość kaonu wynikają z faktu,

że obserwowany jest rozpad K

_→

π

π

statystyka Bosego-Einsteina → spin kaonu jest parzysty (por. zad. 2)

rozpad kaonu przez oddz. słabe → nie ma żadnych ograniczeń na parzystość cząstki

5.

Anihilacja w spoczynku protonu i antyprotonu zachodzi w stanie S. Wyjaśnij

dlaczego reakcja p + p →

π

₊

π

_{nie może zachodzić przez oddz. silne ?}

anihilacja w stanie S → orbitalny moment pędu w stanie początkowym L = 0

parzystość przestrzenna układu fermion – antyfermion P_i= P_proton· P_antyproton (–1)L _=–1

dwie identyczne bezspinowe cząstki w stanie końcowym → symetryczna funkcja falowa ze względu na zamianę cząstek (symetria Bosego-Einsteina) → względny orbitalny

moment pędu w układzie

π

π

parzystość P_f w stanie końcowym P_f = P_π2 _(–1)L _{= P}

π2 = +1 ≠ Pi

Niezachowanie parzystości P w procesie - niedozwolone w oddz.silnych

17

η→ π

₊

π־ , η → π

π

_{?? P}

f

= P

(

Zachowanie momentu pędu → 2 piony w stanie końcowym mają L = 0 (L = J_η )

P

= +1 ≠ P

= – 1

rozpad

η

na 2

π

zabroniony w oddziaływaniach

silnych i elektromagnetycznych - parzystość P nie jest zachowana.

Słaby rozpad na 2

π

ma zaniedbywalny stosunek rozgałęzień.

6.

η

η→ π

₊

π

₊

π

i

η → π

₊

π־

₊

π

_.

η

JP

π = 0־ . Wyjaśnij dlaczego rozpady

η

→

π

π־

η

→

π

π

Elektromagnetyczny rozpady na 3

π

Parzystość P_η mezonu

η

π

η

P

= P

= (P

)

₍

L

L

–

ππ

η

L = L

+ L

= spin

η

= 0

L

= L

π

_(π

₎

π

_(π

₎

π

(π

₎

P

= P

_{= –1}

η

π

18 Wielkość zachowana oddz. silne oddz. em oddz. słabe

ładunek Q

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

_X

X

9

9

X

9

9

X

9

9

X

CP ( lub T ) CP

9

9

parzystość przestrzenna P

9

9

X

parzystość G G

9

X

X

Twierdzenie CPT – wszystkie oddz. są niezmiennicze względem transformacji będącej

Przypomnienie

● Wszystkie kwarki i leptony uczestniczą w oddziaływaniach słabych

● Wszystkie naładowane cząstki biorą udział w oddziaływaniach

elektromagnetycznych

● Wszystkie kwarki oddziaływują silnie

tak

tak

tak

tak

tak

tak

nie

nie

nie

Oddz. silne

Oddz.

elektromagnet.

Oddz. słabe

Kwarki

Naładowane

leptony

Neutralne

leptony

Elementarne składniki materii : 3 rodziny leptonów

(przypomnienie)

● 3 generacje par leptonowych (naładowany i neutralny lepton) o spinie ½

● każdy typ (zapach) leptonów posiada odpowiednią liczbę leptonową

L

, L

i L

τ, która jest zachowana w Modelu Standardowym

z bezmasowymi neutrinami

● Liczne eksperymenty neutrinowe ( począwszy od 1998, SuperKamiokande )

ewidencja na oscylacje neutrin → neutrina mają masę

Naładowane leptony

Neutralne leptony ( neutrino)

e־ Elektron

µ־

Mion

τ־

Tau

Elementarne składniki materii : 3 rodziny kwarków

( przypomnienie )

Terminologia :

kwark górny i dolny (up – down)

kwark powabny i dziwny (charm – strange)

kwark t (top) i b (piękny) (top/truth

–

C, S, T, B

prawdę i piękno kwarka

Q

-

M

I

Q = 2/3 Q = -1/3 _{Wszystkie kwarki}

mają

liczbę barionową 1/3 i spin 1/2

Określ poprzez jakie oddziaływanie zachodzą następujące reakcje,

opierając się na typie uczestniczących cząstek oraz zachowaniu odpowiednich

liczb kwantowych

1)

π

־ + p →

π

־ +

π

_{+ n}

2)

γ

+ p →

π

_{+ n}

3)

ν

+ n →

µ

־ + p

4)

π

→ e

_{+ e־ + e}

_{+ e־}

5) p + p →

π

₊

π

_{־ +}

π

6)

τ־

→

π־

+

ν

7) D־ → K

₊

π־

₊

π־

8)

π־ → π

+ e־ +

ν

9)

Λ

+ p → K־ + p + p

D־(1869) (

dc

) powab

C = -1

( neutralne i naładowane mezony D - najlżejsze cząstki

powabne)

Λ

₍

_uds

_{) dziwność}

_{S = -1}

_{, K}

₍

_us

₎

_{S = +1}

_{, K־(}

_us

₎

_{S = -1}

-Określ poprzez jakie oddziaływanie zachodzą następujące reakcje,

opierając się na typie uczestniczących cząstek oraz zachowaniu odpowiednich

liczb kwantowych

24

1

) π

־ + p →

π

־ +

π

_{+ n oddz. silne}

2)

γ

+ p →

π

_{+ n oddz. elektromagnetyczne (}

γ

₎

3)

ν

+ n →

µ

־ + p oddz. słabe ( neutrino )

4)

π

→ e

_{+ e־ + e}

_{+ e־}

_{oddz. elektromagnetyczne}

5) p + p →

π

₊

π

_{־ +}

π

_{oddz. silne}

6)

τ

־ →

π־

+

ν

oddz. słabe ( neutrino )

7) D־ → K

₊

π

_{־ +}

π

_־

_{oddz. słabe}

( dziwność i powab nie są zachowane )

8)

π

־ →

π

_{+ e־ +}

ν

e

oddz. słabe ( neutrino )

9)

Λ

+ p → K־ + p + p oddz. silne ( zachowanie dziwności )

-Oddz. silne : udział hadronów + zachowanie liczb kwantowych dziwności, powabu … reakcje 1, 5 i 9

Reakcja 4 – udział naładowanych leptonów → reakcja em lub słaba, oddz. em silniejsze oddz. elektromagnetyczne

Zad. 6

Określ poprzez jakie oddziaływanie zachodzą następujące reakcje i rozpady

cząstek. Jeżeli proces jest zabroniony, uzasadnij dlaczego.

1)

π־

+ p

→

π

+

_n

2)

π

_→

γ

₊

γ

₊

γ

3)

π

_→

γ

₊

γ

4)

π

_→

µ

+

ν

5)

π

_→

µ

₊

ν

6) p + p →

Λ

+ Λ

7) p + p →

γ

Określ poprzez jakie oddziaływanie zachodzą następujące reakcje i rozpady

cząstek. Jeżeli proces jest zabroniony, uzasadnij dlaczego.

1)

π־

+ p

→

π

+

_{n oddz. silne, zachowanie wszystkich l. kwantowych}

( np. sprawdź izospin i jego trzecią składową, I i I₃ )

2)

π

_→

γ

₊

γ

₊

γ

_zabroniony,

symetrię względem sprzężenia ładunkowego C(

π

γ

3)

π

_→

γ

₊

γ

główny kanał rozpadu

π

4)

π

_→

µ

+

ν

µ rozpad słaby ( zachowanie mionowej liczby leptonowej)

L_µ 0 -1 +1

5)

π

_→

µ

₊

ν

µ

zabroniony

L_µ 0 -1 -1

6) p + p →

Λ

+ Λ

_zabroniony

_–

_B

B 1 -1 1 1

7) p + p →

γ

zabroniony

-26

-p + -p →

γ

proces zabroniony

, zasada zachowania energii i pędu nie jest

równocześnie spełniona

Czteropęd w stanie początkowym

P

= ( E

+ E

, p

+ p

)

P

_{= (E}

p

+ E

)

– ( p

+ p

)

= m

+ m

+ 2 ( E

E

– p

· p

) ≥ 2m

> 0 ,

ponieważ E

_{= p}

_{+ m}

_{, E}

p

E

≥ p

p

≥ p

· p

Czteropęd w stanie końcowym

P

= ( E

, p

)

P

_{= ( E}

– p

) = E

– E

= 0

-P

_{≠ P}

Zad. 7

Jakie zasady zachowania zabraniają następujących rozpadów

1) n → p + e־

2) n →

π

_{+ e־}

3) n → p +

π

־

4) n → p +

γ

Jakie zasady zachowania zabraniają następujących rozpadów

1)

n → p + e־

naruszona zasada zachowania momentu pędu

n, p i e – cząstki o spinie ½

w stanie początkowym całkowity moment pędu J = S

= ½ ,

w stanie

S = 0 lub 1

złożenie spinu z orbitalnym momentem pędu ( L przyjmuje wartości 0,1, … )

całkowity moment pędu ( połówkowy ) ≠ całkowity moment pędu ( 0, 1, …)

w stanie początkowym w stanie końcowym

ponadto nie jest zachowana elektronowa liczba leptonowa

2) n →

π

_{+ e־}

naruszone zachowanie liczby barionowej i elektronowej liczby leptonowej

3) n → p +

π

־

naruszona zasada zachowania energii

( M( neutron ) = 939.56 MeV, M( proton ) = 938.27 MeV, M(

π־

) = 139.57 MeV

4) n → p +

γ

naruszona zasada zachowania ładunku

Zad. 8

Jakie zasady zachowania / reguły wyboru zabraniają lub tłumią następujące

procesy ?

1) p + n → p +

Λ

2) K

_→

π

₊

π־

₊

π

₊

π־

₊

π

₊

π

3)

Λ

_{→ K}

₊

π

4) K →

π

+

γ

5) K־ →

π

_{+ e־}

6) K

_→

π

₊

π

_־

7) K

_→

π

₊

π

₊

π

31

Jakie zasady zachowania / reguły wyboru zabraniają lub tłumią następujące

procesy ?

1)

p + n → p +

Λ

S: 0 0 0 1

izospin w stanie początkowym | ½ , + ½ > + | ½ , - ½ > → I = 0 lub 1, I₃ = 0 izospin w stanie końcowym | ½ , + ½ > + | 0, 0 > → I = ½ , I₃ = ½

2) K

_→

π

₊

π־

₊

π

₊

π־

₊

π

₊

π

M(K

_{) = 493.68 MeV, M(}

π

_{) = 139.57 MeV, M(}

π

_{) = 134.98 MeV}

zasada zachowania energii nie jest spełniona

3)

Λ

_{→ K}

₊

π

_{liczba barionowa nie jest zachowana}

4) K →

π

+

γ

dziwność nie jest zachowana

5) K־ →

π

_{+ e־}

_{elektronowa liczba leptonowa nie jest zachowana}

proces zabroniony

6) K

_→

π

₊

π

_־

_{naruszona symetria CP - proces silnie tłumiony}

por. wykład nt. niezachowania CP w rozpadach K_L0

7) K

_→

π

₊

π

₊

π

_{ładunek nie jest zachowany}

_{- proces zabroniony}