Arkusz nr 5 – pobrany z portalu www.zadania.info

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

.

POZIOM PODSTAWOWY

Z

1

Wyra ˙zenie x+3|1−x|dla x<1 ma warto´s´c

A) 3−2x B) 4x−3 C) x D) 3

Z

2

Warto´s´c liczbowa wyra ˙zenia 3(log₉√3 ₃

+3 log₉3)jest równa

A) 3,5 B) 9 C) 5 D) 31₃

Z

3

Suma 2718₊₂₇18₊₂₇18_{jest równa}

A) 3162 _{B) 3}54 _{C) 3}55 _{D) 3}163

Z

4

Cena jednego bitcoina wzrosła w stosunku do ceny jednego bitcoina z dnia 1 stycznia 2017 o 1000% i wynosiła w grudniu 2017 roku 46860 zł. Jaka była cena jednego bitcoina w pierw-szym dniu 2017 roku?

A) 4686 zł B) 527 zł C) 4260 zł D) 468 zł

Z

5

Wska ˙z rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniaj ˛acych waru-nek:₋31 6 2x₋5 6₋19. -7 x -13 x x x A) B) C) D) 13 7 13 7 -7 -13

Z

6

Z

7

Funkcj ˛a malej ˛ac ˛a jest funkcja

A) f(x) = (1₂)−x B) f(x) = (1₂)1−x C) f(x_{) = −(}1₂)x D) f(x) = (1₂)x−2

Z

8

Równanie x(x2−4)(x2−1) =0 z niewiadom ˛a x A) nie ma rozwi ˛aza ´n w zbiorze liczb rzeczywistych.

B) ma dokładnie dwa rozwi ˛azania w zbiorze liczb rzeczywistych. C) ma dokładnie trzy rozwi ˛azania w zbiorze liczb rzeczywistych. D) ma dokładnie pi˛e´c rozwi ˛aza ´n w zbiorze liczb rzeczywistych.

Z

9

Układ równa ´n (₁

4x−23y =2 y₋3₈x=3

A) nie ma rozwi ˛aza ´n.

B) ma dokładnie jedno rozwi ˛azanie. C) ma dokładnie dwa rozwi ˛azania. D) ma niesko ´nczenie wiele rozwi ˛aza ´n.

Z

10

Wyra ˙zenie(2a−b)2(2a+b)2jest równe

A) 16a4−8a2b2+b4 B) 16a4−b4 C) 4a4+b4−4a2b2 D) 16a4+b4

Z

11

Wierzchołek paraboli o równaniu y = (x−1)2−2c le ˙zy na prostej o równaniu y = 4x. Wtedy

A) c= 1₂ B) c = −1₂ C) c = −2 D) c=2

Z

12

W ci ˛agu geometrycznym(an), okre´slonym dla n > 1, dane s ˛a: a1=7, a2=21. Wtedy A) a6 =1701 B) a5 =1701 C) a4 =1701 D) a7 =1701

Z

13

Dwa kolejne wyrazy ci ˛agu arytmetycznego s ˛a równe 79 i 75. Wyrazem tego ci ˛agu mo ˙ze by´c liczba

Dany jest prostok ˛at ABCD o wierzchołkach A = (−10, 5), B = (−3,−2), C = (−2,−1) i D= (−9, 6). Który z podanych punktów le ˙zy na okr˛egu opisanym na prostok ˛acie ABCD? A) K= (−4, 7) B) L = (−9,−2) C) M = (−8, 6) D) N = (−11, 1)

Z

15

Pole trójk ˛ata przedstawionego na rysunku jest równe

A B 150o 10 C 15o A) 50 B) 25 C) 25√3 D) 25√2

Z

16

W trójk ˛acie ABC punkt E le ˙zy na boku BC, a punkt D le ˙zy na boku AC. Odcinek DE jest równoległy do boku AB, a ponadto|BE| =7,|EC| =2 i|AB| = 18 (zobacz rysunek).

A

B

C

D

E

Długo´s´c odcinka DE jest równa

A) 5 B) 3 C) 6 D) 4

Z

17

Prosta przechodz ˛aca przez punkt A = (−8,−4)i pocz ˛atek układu współrz˛ednych jest pro-stopadła do prostej o równaniu

Z

18

W okr˛egu o ´srodku O dany jest k ˛at wpisany ABC o mierze 100◦

A B C

O

Miara k ˛ata CAO jest równa

A) 50◦ _{B) 25}◦ _{C) 20}◦ _{D) 10}◦

Z

19

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworok ˛atny ABCDS o podstawie ABCD. Odcinek SE jest wysoko´sci ˛a ´sciany bocznej tego ostrosłupa.

A _B C D O S E

K ˛at nachylenia ´sciany bocznej SBC ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD to

A) ∡SBO B) ∡SBC C) ∡SOE D) ∡OES

Z

20

Rzucamy cztery razy symetryczn ˛a monet ˛a. Prawdopodobie ´nstwo otrzymania co najmniej jednego orła jest równe

A) 7₈ B) 15₁₆ C) 1₄ D) ₁₆7

Z

21

Trójk ˛at równoboczny o boku długo´sci 6 cm obrócono wokół prostej zawieraj ˛acej wysoko´s´c trójk ˛ata. Obj˛eto´s´c powstałej bryły jest równa:

Pole trapezu prostok ˛atnego ABCD przedstawionego na rysunku, jest równe A 30 o B C D 1 3 A) 3₂(2+3√3) B) 3(2+3√3) C) 3₂(2+√3) D) 3(2+√3)

Z

23

Przek ˛atna graniastosłupa prawidłowego czworok ˛atnego ma długo´s´c √34, a kraw˛ed´z pod-stawy ma długo´s´c 3. Obj˛eto´s´c tego graniastosłupa jest równa

A) 4 B) 18 C) 36 D) 24

Z

24

´Srednia arytmetyczna cen dziewi˛eciu akcji na giełdzie jest równa 680 zł. Za osiem z tych akcji zapłacono 5500 zł. Cena dziewi ˛atej akcji jest równa

A) 660 zł B) 580 zł C) 620 zł D) 760 zł

Z

25

W pudełku znajduj ˛a si˛e kule w trzech kolorach: czerwone, białe i niebieskie, przy czym prawdopodobie ´nstwo wylosowania kuli czerwonej jest dwa razy mniejsze od prawdopo-dobie ´nstwa wylosowania kuli białej, a prawdopoprawdopo-dobie ´nstwo wylosowania kuli niebieskiej jest trzy razy mniejsze od prawdopodobie ´nstwa wylosowania kuli czerwonej. Prawdopo-dobie ´nstwo wylosowania kuli białej jest równe

Z

26

Je ˙zeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy jego licznik, to otrzymamy 5₉. Wyznacz ten ułamek.

Z

27

Udowodnij, ˙ze dla dowolnych liczb nieujemnych a i b prawdziwa jest nierówno´s´c 3a+3b

4 >

√

Dany jest trójk ˛at ABC, w którym|∡CAB| = α i |∡ABC| = β(zobacz rysunek). Na bokach BC, AC i AB tego trójk ˛ata wybrano odpowiednio punkty D, E i F w taki sposób, ˙ze|AE| = |AF|,|BD| = |BF|i|CD| = |CE|. Oblicz miary k ˛atów trójk ˛ata DEF.

A

B

C

α

β

F

Z

29

Suma o´smiu pocz ˛atkowych wyrazów ci ˛agu geometrycznego (an), okre´slonego dla n > 1, jest równa 55760. Ponadto a9=111520+a1. Oblicz iloraz tego ci ˛agu.

Z

30

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedn ˛a liczb˛e. Oblicz praw-dopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze wylosujemy liczb˛e, która jest równocze´snie wi˛eksza od 40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Dany jest trójk ˛at prostok ˛atny ABC, w którym przyprostok ˛atna BC ma długo´s´c 6. Punkt E jest ´srodkiem przeciwprostok ˛atnej AB, spodek D wysoko´sci CD le ˙zy mi˛edzy punktami B i E, a odległo´s´c mi˛edzy punktami D i E jest równa 7 (zobacz rysunek).

A

B

C

D

E

7

6

Z

32

Ramiona trapezu maj ˛a długo´sci 5√10 i 20. Przek ˛atne w tym trapezie s ˛a prostopadłe, a punkt ich przeci˛ecia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.

Podstaw ˛a graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójk ˛at prostok ˛atny ABC, w którym|BC| =

4. Promie ´n okr˛egu opisanego na trójk ˛acie ABC ma długo´s´c 3, a sinus k ˛ata nachylenia prze-k ˛atnej AE ´sciany bocznej ABED do płaszczyzny podstawy jest równy ₁₇8. Oblicz obj˛eto´s´c tego graniastosłupa.

A

B

C

D

E

Z

34

Punkty A = (2, 4) i B = (−14, 4) s ˛a wierzchołkami trójk ˛ata równoramiennego ABC, w którym |AB| = |AC|. Wysoko´s´c AD tego trójk ˛ata jest zawarta w prostej o równaniu y =

1