6 Równania Laplace'a i Poissona. Elementy
teo-rii potencjaªu
Operatorem Laplace'a (lub laplasjanem) nazywamy operator ró»niczkowy drugiego rz¦du ∆ := ∂ 2 ∂x2 1 + · · · + ∂ 2 ∂x2 n
dziaªaj¡cy na funkcjach rzeczywistych n zmiennych x1, . . . , xn. Z pocz¡tku,
dziedzin¡ operatora Laplace'a b¦dzie przestrze« liniowa funkcji n zmiennych klasy C2 okre±lonych na pewnym obszarze Ω ⊂ Rn, (chocia» laplasjan mo»na
sensownie zde niowa¢ na znacznie szerszej klasie funkcji).
Równaniem Laplace'a nazywamy równanie ró»niczkowe cz¡stkowe dru-giego rz¦du
(RL) ∆u = 0,
gdzie niewiadoma funkcja u = u(x1, . . . , xn) = u(x) jest okre±lona na
obsza-rze Ω ⊂ Rn. Jako »e macierz jednostkowa jest dodatnio okre±lona, równanie
Laplace'a jest (najprostszym) przykªadem liniowego jednorodnego równania ró»niczkowego cz¡stkowego drugiego rz¦du, o staªych wspóªczynnikach, typu eliptycznego.
Równanie ró»niczkowe Laplace'a opisuje stan stacjonarny przy dyfuzji. Zaªó»my, »e u = u(x, y, z) oznacza g¦sto±¢ pewnej substancji w punkcie (x, y, z). Niech F(x, y, z) oznacza strumie« w punkcie (x, y, z). Zakªadamy, »e strumie« jest proporcjonalny do gradientu g¦sto±ci, i »e dyfuzja nast¦puje od wi¦kszej do mniejszej g¦sto±ci. Je±li wspóªczynnik proporcjonalno±ci jest niezale»ny od punktu, otrzymujemy wtedy F = −a∇u, gdzie a > 0 jest staª¡. Ponadto zakªadamy, »e substancja nie tworzy si¦ ani nie zanika. Wówczas dla dowolnego obszaru ograniczonego U ⊂ R3 o dostatecznie regularnym brzegu
∂U zachodzi
Z Z
∂U
hF, ni dS = 0,
co po zastosowaniu twierdzenia Gaussa daje
ZZ Z
U
div F dV = 0.
Poniewa» obszar U jest dowolny, zachodzi
czyli
−a ∆u = 0,
czyli równanie Laplace'a.
Równaniem Poissona nazywamy równanie ró»niczkowe cz¡stkowe drugie-go rz¦du
(RL) ∆u = g,
gdzie g : Ω → Rn jest zadan¡ funkcj¡.
6.1 To»samo±ci Greena
Zaªó»my, »e Ω ⊂ Rn jest obszarem ograniczonym, o brzegu ∂Ω
wystarcza-j¡co regularnym na to, by zachodziªo twierdzenie o dywergencji, za± u i v s¡ funkcjami klasy C2 na domkni¦ciu ¯Ω = Ω ∪ ∂Ω. Wówczas speªnione s¡
to»samo±ci Greena: Z Ω v∆u dx = − Z Ω n X i=1 vxiuxidx + Z ∂Ω v∂u ∂ndS, (I-TG) Z Ω v∆u dx = Z Ω u∆v dx + Z ∂Ω v∂u ∂n − u ∂v ∂n ! dS. (II-TG)
W szczególno±ci, bior¡c w (II-TG) v ≡ 1 otrzymujemy
(6.1) Z Ω ∆u dx = Z ∂Ω ∂u ∂ndS.
Bior¡c w (I-TG) u = v otrzymujemy to»samo±¢ energetyczn¡:
Z Ω n X i=1 (uxi) 2dx +Z Ω u∆u dx = Z ∂Ω u∂u ∂n dS.
6.2 Zagadnienia brzegowe
Je±li chodzi o zastosowania zyczne równania Poissona (w teorii potencjaªu, na przykªad), zagadnienie Cauchy'ego nie ma zbyt du»ego sensu. Natomiast znaczenie maj¡ zagadnienia brzegowe, polegaj¡ce na znalezieniu takiego roz-wi¡zania równania Poissona na obszarze Ω, które na brzegu ∂Ω speªnia wa-runki brzegowe.
warunek Dirichleta(1): u obci¦te do brzegu ∂Ω ma by¢ równe zadanej
funkcji f;
warunek Neumanna(2): pochodna normalna ∂u/∂n na brzegu ∂Ω ma
by¢ równa zadanej funkcji f.
Zaªó»my, »e u1 i u2 s¡ rozwi¡zaniami zagadnienia brzegowego Dirichleta
∆u = g na Ω,
u = f na ∂Ω,
oraz »e wszystkie wyst¦puj¡ce funkcje i brzeg obszaru ∂Ω sa tak regularne, by to»samo±ci Greena byªy speªnione. Oznaczmy v := u1− u2. Zauwa»my, »e
v jest rozwi¡zaniem nast¦puj¡cego zagadnienia Dirichleta
∆v = 0 na Ω,
v = 0 na ∂Ω.
Z to»samo±ci energetycznej wynika, »e gradient funkcji v jest wsz¦dzie równy zeru, zatem v jest funkcj¡ staª¡. Lecz v jest równy zeru na brzegu ∂Ω, zatem musi by¢ równy zeru na caªym ¯Ω.
Otrzymali±my w ten sposób (warunkow¡) jednoznaczno±¢: je±li rozwi¡za-nie wyj±ciowego zagadrozwi¡za-nienia Dirichleta dla równania Poissona istrozwi¡za-nieje, to jest jedyne.
W przypadku warunków Neumanna sytuacja nieco si¦ komplikuje: po-wy»sze rozumowanie pokazuje, »e je±li rozwi¡zanie zagadnienia Neumanna dla równania Poissona istnieje, to jest jedyne z dokªadno±ci¡ do staªej addy-tywnej.
6.3 Funkcje harmoniczne. Rozwi¡zania fundamentalne
równania Laplace'a
Funkcj¦ u: Ω → R, gdzie Ω ⊂ Rn jest obszarem, klasy C2, nazywamy
funk-cj¡ harmoniczn¡ na obszarze Ω, je±li speªnia równanie Laplace'a w ka»dym punkcie obszaru Ω.
Mo»na wykaza¢, »e dla ka»dego ξ ∈ Rn po dokonaniu obrotu wokóª
punktu ξ (czyli, mówi¡c formalnie, po zamianie x na A(x − ξ), gdzie A
(1)Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 1859), matematyk niemiecki.
(2)Carl Gottfried Neumann (1832 1925), matematyk niemiecki (nie myli¢ z Johnem von
jest macierz¡ ortogonaln¡), równanie Laplace'a nie zmieni si¦. Mo»e to nas skªoni¢ do szukania sferycznie symetrycznych rozwi¡za« równania Laplace'a. Ustalmy ξ ∈ Rn. Niech v b¦dzie rozwi¡zaniem równania Laplace'a (na
caªym Rn) zale»nym tylko od r = kx − ξk. Oznaczaj¡c v(x) = ψ(r)
otrzy-mujemy nast¦puj¡ce równanie ró»niczkowe zwyczajne
ψ00(r) +n − 1 r ψ 0 (r) = 0. Rozwi¡zuj¡c je otrzymujemy ψ0(r) = Cr1−n, co daje ψ(r) = C ln r dla n = 2, Cr2−n 2 − n dla n 3
(plus dowolna staªa; odt¡d zakªadamy, »e jest ona równa zeru).
Zaªó»my, »e Ω jest obszarem ograniczonym takim, »e zachodz¡ to»samo±ci Greena. Niech u b¦dzie funkcj¡ klasy C2 na ¯Ω, i ustalmy ξ ∈ Ω. Dalej, niech
% > 0 b¦dzie tak maªe, »e kula domkni¦ta ¯B(ξ; %) o ±rodku w ξ i promieniu % jest zawarta w Ω. Oznaczmy przez S(ξ; %) sfer¦ o ±rodku w ξ i promieniu %, i niech Ω%:= Ω \ ¯B(ξ; %).
Zauwa»my, »e ∆v = 0 na ¯Ω%. Zatem druga to»samo±¢ Greena daje nam
Z Ω% v∆u dx = Z ∂Ω v∂u ∂n − u ∂v ∂n dS + Z S(ξ;%) v∂u ∂n − u ∂v ∂n dS. Na S(ξ; %) mamy v = ψ(%) i ∂v/∂n = −ψ0(%) = −C%1−n.
B¦dziemy teraz badali co sie dzieje, gdy % → 0+.
Jedn¡ z caªek przeksztaªcamy, korzystaj¡c z to»samo±ci (6.1), do postaci
Z S(ξ;%) v∂u ∂ndS = ψ(%) Z S(ξ;%) ∂u ∂n dS = −ψ(%) Z ¯ B(ξ;%) ∆u dx.
Jako »e ∆u jest ci¡gªe na ¯B(ξ; %), caªka z ∆u po kuli ¯B(ξ; %)d¡»y, przy % →
0+, do zera z szybko±ci¡ %n. Z drugiej strony, −ψ(%) d¡»y do niesko«czono±ci jak %2−n (przy n > 2 lub jak − ln % (przy n = 2). Ostatecznie, powy»sze
wyra»enie d¡»y do zera przy % → 0+.
Caªk¦
Z
S(ξ;%)
u∂v ∂n dS
szacujemy w nast¦puj¡cy sposób C%1−n( min S(ξ;%)u)ωn% n−1 ¬ − Z S(ξ;%) u∂v ∂ndS ¬ C% 1−n(max S(ξ;%)u)ωn% n−1,
gdzie ωn oznacza (n − 1)-wymiarowe pole powierzchni sfery jednostkowej w
Rn. Zatem, przy % → 0+, caªka ta d¡»y do Cωnu(ξ).
Odt¡d zakªadamy, »e C = 1/ωn, czyli
ψ(r) = ln r 2π dla n = 2, r2−n ωn(2 − n) dla n 3. Teraz dowodzimy, »e
Z
¯ B(ξ;%)
v∆u dx → 0 przy % → 0+.
Poniewa» ∆u jest funkcj¡ ci¡gª¡ na ¯B(ξ; %), wystarczy pokaza¢, »e
Z
¯ B(ξ;%)
v dx → 0przy % → 0+.
Istotnie, pewne twierdzenie z teorii caªki (na przykªad, Twierdzenie 4 na str. 599 ksi¡»ki: L. C. Evans, Równania ró»niczkowe zwyczajne, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002) zastosowane do funkcji v daje
Z ¯ B(ξ;%) v dx = ωn % Z 0 ψ(r)rn−1dr = % R 0 r ln r dr gdy n = 2 1 2−n % R 0 r dr, gdy n 3. Zatem Z Ω% v∆u dx → Z Ω v∆u dx przy % → 0+. Otrzymali±my wzór Z Ω v∆u dx = Z ∂Ω v∂u ∂n − u ∂v ∂n dS + u(ξ).
Oznaczmy K(x; ξ) := ψ(kx − ξk). Powy»szy wzór przybiera posta¢ (6.2) u(ξ) = Z Ω K(x; ξ)∆u dx − Z ∂Ω K(x; ξ) ∂u ∂nx − u(x)∂K(x; ξ) ∂nx dSx,
gdzie ξ ∈ Ω.
Natomiast, gdy ξ /∈ ¯Ω, zachodzi
Z Ω K(x; ξ)∆u dx − Z ∂Ω K(x; ξ) ∂u ∂nx − u(x)∂K(x; ξ) ∂nx dSx= 0
(wniosek z drugiej to»samo±ci Greena).
Gdy u jest ponadto harmoniczna na obszarze Ω, wzór (6.2) przyjmuje posta¢ (6.3) u(ξ) = − Z ∂Ω K(x; ξ) ∂u ∂nx − u(x)∂K(x; ξ) ∂nx dSx,
Zauwa»my, »e funkcja K(x, ξ) jest klasy C∞ wzgl¦dem x i ξ gdy x 6= ξ.
Zatem praw¡ stron¦ powy»szej równo±ci mo»na ró»niczkowa¢, wzgl¦dem ξ, pod znakiem caªki dowolnie wiele razy.
Co wi¦cej, funkcj¦ K(x, ξ) mo»na w oczywisty sposób przedªu»y¢ na zbiór
{ (x, ξ) ∈ C × C : x 6= ξ }. Taka przedªu»ona funkcja jest ró»niczkowalna w
sensie zespolonym, i wynika st¡d, »e u jest rzeczywist¡ funkcj¡ analityczn¡
n zmiennych rzeczywistych.(3)
Powró¢my teraz do to»samo±ci (6.2), gdy u niekoniecznie jest harmonicz-na. To»samo±¢ ta jest nadal speªniona, gdy zamiast K(x, ξ) we¹miemy
G(x, ξ) = K(x, ξ) + w(x),
gdzie w jest funkcj¡ klasy C2 na ¯Ω, harmoniczn¡ na Ω (jest to znów wniosek
z drugiej to»samo±ci Greena),
Powy»sza uwaga znajdzie zastosowanie pó¹niej, przy konstrukcji tzw. funkcji Greena. Na razie, rozpatrzmy szczególny przypadek, gdy Ω to ku-la otwarta B(ξ; %), o ±rodku w ξ i promieniu % > 0, za± G(x, ξ) = ψ(kx −
ξk) − ψ(%). Na sferze S(ξ; %) zachodzi G ≡ 0, ∂G ∂nx = ψ0(%) = 1 ωn %1−n. Zatem (6.4) u(ξ) = Z B(ξ;%) (ψ(kx − ξk) − ψ(%))∆u dx + 1 ωn%n−1 Z S(ξ;%) u(x) dSx
(3)Jest to tylko naszkicowany schemat rozumowania. Peªen dowód wymaga znajomo±ci
dla dowolnej funkcji klasy C2 na ¯B(ξ; %). Gdy u jest ponadto harmoniczna
na B(ξ; %), otrzymujemy wzór Gaussa o ±redniej arytmetycznej :
(6.5) u(ξ) = 1
ωn%n−1
Z
S(ξ;%)
u(x) dSx.
Funkcj¦ x 7→ K(x, ξ) nazywamy rozwi¡zaniem fundamentalnym równa-nia Laplace'a o biegunie w ξ. Poj¦cie rozwi¡zarówna-nia fundamentalnego wpro-wadza si¦ dla dowolnego (liniowego) operatora ró»niczkowego o dostatecznie regularnych wspóªczynnikach. Nie ma tu miejsca na wnikanie w szczegóªy, w ka»dym razie w przypadku równania Laplace'a chodzi o to, »e dla dowolnej funkcji ϕ klasy C∞ na Ω, o zwartym no±niku zawartym w Ω, ma zachodzi¢
(6.6) ϕ(ξ) =
Z
Ω
K(x; ξ)∆ϕ(x) dx, ξ ∈ Ω,
co jest wnioskiem z (6.2).
Innym wnioskiem z (6.2) jest wzór Poissona(4):
(6.7) u(ξ) = ∆ξ
Z
Ω
K(x; ξ)u(x) dx
!
dla u klasy C2na ¯Ω i ξ ∈ Ω. Dowód wzoru Poissona (6.7) w przypadku, gdy u
ma zwarty no±nik zawarty w Ω, polega na zmianie kolejno±ci ró»niczkowania po ξ i caªkowania po x.
6.4 Zasada maksimum
Zaªó»my, »e Ω ⊂ Rn jest obszarem ograniczonym, o brzegu ∂Ω.
Niech u: ¯Ω → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡, klasy C2 na Ω, speªniaj¡c¡ na Ω
równanie Poissona ∆u = g, gdzie g > 0.
Funkcja u o powy»szych wªasno±ciach musi gdzie± osi¡ga¢ swoj¡ najwi¦k-sz¡ warto±¢ na ¯Ω. Zaªó»my, »e jest to x ∈ Ω. Zatem ∇u(x) = 0 oraz macierz drugich pochodnych funkcji u w x musi by¢ niedodatnio okre±lona, w szcze-gólno±ci wszystkie pochodne uxjxj musz¡ by¢ w tym punkcie niedodatnie, co daje sprzeczno±¢. Zatem u osi¡ga swoj¡ najwi¦ksz¡ warto±¢ na ¯Ω gdzie± na brzegu ∂Ω.
Zaªó»my teraz, »e g 0 na Ω. Rozwa»my funkcj¦
v(x1, . . . , xn) := u(x1, . . . , xn) + ε
(x1)2 + . . . + (xn)2
,
gdzie ε > 0. Zachodzi ∆v = g + 2nε > 0 na Ω. Zatem, dla ka»dego x ∈ ¯Ω,
v(x) ¬ max{ u(ξ) + εkξk2 : ξ ∈ ∂Ω } ¬ max{ u(ξ) : ξ ∈ ∂Ω } + εR2,
gdzie R = max{ kξk : ξ ∈ ¯Ω}. Ale u(x) ¬ v(x), wi¦c
u(x) ¬ max{ u(ξ) : ξ ∈ ∂Ω } + εR2.
D¡»¡c z ε do zera, otrzymujemy
u(x) ¬ max{ u(ξ) : ξ ∈ ∂Ω }.
Zaªó»my teraz, »e u, ci¡gªa na ¯Ω i klasy C2 na Ω, speªnia na Ω równanie
Laplace'a. Stosuj¡c powy»sze rozumowanie do u i do −u otrzymujemy, »e
(Max-S) min
∂Ω u ¬ u(x) ¬ max∂Ω u, ∀ x ∈ ¯Ω.
Jest to tzw. sªaba zasada maksimum. W szczególno±ci, max ¯ Ω |u| = max ∂Ω |u|.
Interpretacja zyczna sªabej zasady maksimum.
Niech u(x, y, z) oznacza temperatur¦ w punkcie (x, y, z) ciaªa Ω. Zaªó»-my, »e w ka»dym punkcie (x, y, z) brzegu ∂Ω temperatura, f(x, y, z), jest utrzymywana niezale»nie od czasu. Je±li ciepªo ani nie jest wytwarzane, ani nie zanika w ciele Ω (nie jest wykluczona wymiana ciepªa poprzez brzeg ∂Ω), to stan stacjonarny temperatury jest rozwi¡zaniem zagadnienia brzegowego
Dirichleta
∆u = 0 na Ω
u = f na ∂Ω.
Z zasady maksimum wynika, »e w ka»dym punkcie ciaªa Ω temperatura musi zawiera¢ si¦ pomi¦dzy najmniejsz¡ a najwi¦ksz¡ warto±ci¡ temperatury na brzegu ∂Ω.
6.4.1 Wnioski ze sªabej zasady maksimum
Pierwszym wnioskiem ze sªabej zasady maksimum b¦dzie nast¦puj¡cy: Niech u1, u2, ci¡gªe na ¯Ω i klasy C2 na Ω, b¦d¡ rozwi¡zaniami zagadnienia
Dirichleta
∆u = g na Ω
Wówczas ich ró»nica speªnia równanie Laplace'a na Ω, i jest równa zeru na
∂Ω, zatem z (Max-S) wynika, »e jest stale równa zeru na ¯Ω.
Otrzymali±my zatem alternatywny dowód (warunkowej) jednoznaczno±ci rozwi¡zania zagadnienia Dirichleta dla równania Poissona (przy sªabszych zaªo»eniach ni» przy wykorzystywaniu to»samo±ci energetycznej).
Zajmiemy si¦ teraz oszacowaniem normy rozwi¡zania powy»szego zagad-nienia Dirichleta w terminach norm funkcji f i g (zakªadamy ponadto, »e g jest ci¡gªa na ¯Ω).
Zauwa»my, »e zachodzi
∆u +2n1 max ¯ Ω |g| kxk2 0. Zatem u(x) +2n1 max ¯ Ω |g| kxk2 ¬ max ∂Ω |f | + 1 2nR 2max ¯ Ω |g| ∀ x ∈ Ω.
Stosuj¡c analogiczne rozwa»ania do −u otrzymujemy, »e
|u(x)| ¬ max ∂Ω |f | + 1 nR 2max ¯ Ω |g| ∀ x ∈ Ω.
Z liniowo±ci równania wynika, »e je±li niewiele zaburzymy f (w normie przestrzeni Banacha C(∂Ω)), i niewiele zaburzymy g (w normie przestrzeni Banacha C(¯Ω)), to rozwi¡zanie niewiele si¦ zmieni (w normie przestrzeni Banacha C(¯Ω)). Oczywi±cie, musimy mie¢ zagwarantowane, »e rozwi¡zanie w ogóle istnieje.
6.4.2 Mocna zasada maksimum
Okazuje si¦, »e zachodzi nast¦puj¡ca mocna zasada maksimum:
Twierdzenie 6.1. Zaªó»my, »e u: ¯Ω → R jest funkcj¡ ci¡gª¡ na ¯Ω, klasy
C2 na Ω, i tak¡, »e ∆u 0 na Ω. Wówczas je±li u osi¡ga sw¡ najwi¦ksz¡
warto±¢ na ¯Ω w pewnym punkcie z Ω, to jest staªa.
Dowód. Oznaczmy M := max{ u(x) : x ∈ ¯Ω }. Obszar Ω jest sum¡ rozª¡czn¡ dwóch zbiorów
Ω1 := { x ∈ Ω : u(x) = M }, Ω2 := { x ∈ Ω : u(x) < M }.
To, »e zbiór Ω2 jest otwarty, wynika z ci¡gªo±ci funkcji u. Wyka»emy teraz,
¯
B(ξ; %) ⊂ Ω. Stosuj¡c wzór (6.4) do B(ξ; r), gdzie 0 < r ¬ %, otrzymujemy,
»e M = u(ξ) ¬ 1 ωnrn−1 Z S(ξ;r) u(x) dSx.
Ale supS(ξ;r)u ¬ M, zatem jedyna mo»liwo±¢ to taka, »e u jest stale równe
M na kuli B(ξ; %).
Otrzymali±my wi¦c, »e obszar Ω jest sum¡ rozª¡czn¡ zbiorów otwartych Ω1 i Ω2. Zatem jeden z tych zbiorów musi by¢ pusty. Je±li Ω1 jest pusty,
funkcja u przyjmuje najwi¦ksz¡ warto±¢ na ¯Ω tylko gdzie± na brzegu ∂Ω. Je±li Ω2 jest pusty, u jest staªa.
Je±li u jest ponadto harmoniczna na Ω, to stosuj¡c powy»sze twierdzenie do −u otrzymujemy mocn¡ zasad¦ minimum: je±li u osi¡ga sw¡ najmniejsz¡ warto±¢ na ¯Ω w pewnym punkcie z Ω, to jest staªa.
Warto wspomnie¢, ze idea dowodu powy»szego twierdzenia mo»e posªu»y¢ przy dowodzie nast¦puj¡cej wersji mocnej zasady maksimum/minimum: Twierdzenie 6.2. Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem. Je±li funkcja u,
harmo-niczna na Ω, ma w jakim± punkcie ξ ∈ Ω ekstremum lokalne, to jest staªa. Istotnie, rozumuj¡c przy wykorzystaniu wzoru Gaussa o ±redniej arytme-tycznej (6.5) otrzymujemy, »e u jest staªa na pewnej kuli otwartej o ±rodku w punkcie ξ. Za± z analityczno±ci wynika, »e je±li u jest staªa na pewnym otwartym podzbiorze obszaru Ω, to jest staªa na caªym Ω.
6.5 Funkcje Greena
Rozwa»my zagadnienie Dirichleta
(6.8) ∆u = 0 na Ω, u = f na ∂Ω,
gdzie Ω ⊂ Rn jest obszarem ograniczonym, o brzegu ∂Ω klasy C2(5)
Niech
G(x; ξ) = K(x; ξ) + v(x; ξ),
(5)Mówimy, »e brzeg ∂Ω jest klasy C2, je±li dla ka»dego punktu ˜x ∈ ∂Ω istnieje otoczenie
U tego punktu takie, »e przekrój ∂Ω ∩ U jest wykresem xi= ψ(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn),
gdzie funkcja v speªnia, dla ustalonego ξ ∈ Ω, równanie ∆xv = 0 na Ω. Zachodzi wzór u(ξ) = − Z ∂Ω G(x; ξ) ∂u ∂nx − u(x)∂G(x; ξ) ∂nx dSx.
Chcieliby±my ponadto, by G(x; ξ) = 0 dla x ∈ ∂Ω, ξ ∈ Ω. Funkcj¦ G o takich wªasno±ciach nazywamy funkcj¡ Greena dla operatora Laplace'a i obszaru Ω. Gdyby udaªo nam si¦ znale¹¢ funkcj¦ Greena G(x; ξ) dla obszaru Ω, wów-czas rozwi¡zanie zagadnienia (6.8) wyra»aªoby si¦ wzorem
u(ξ) = Z ∂Ω f (x)∂G(x; ξ) ∂nx dSx, ξ ∈ Ω.
Szukanie funkcji Greena jest rzecz¡, w zasadzie, bardzo trudn¡: chodzi o znalezienie caªej rodziny (parametryzowanej punktem ξ) rozwi¡za« zagad-nienia Dirichleta. Poni»ej znajdziemy funkcj¦ Greena dla kuli.
Niech Ω = B(0; a), gdzie a > 0. Ustalmy ξ ∈ B(0; a) \ {0}, i oznaczmy
ξ∗ := a 2 kξk2ξ. Zachodzi kx − ξ∗k kx − ξk = a
kξk = const dla wszystkich x ∈ S(0; a).
Przypomnijmy, »e (dla n > 2)
K(x, ξ) = 1 (2 − n)ωn kx − ξk2−n, K(x, ξ∗ ) = 1 (2 − n)ωn kx − ξ∗k2−n. Dla x ∈ ∂Ω: K(x, ξ∗) = a kξk !2−n K(x, ξ). Funkcja G(x, ξ) := K(x, ξ) − a kξk !n−2 K(x, ξ∗), x ∈ S(0; a), ξ ∈ B(0; a)
Dla funkcji u harmonicznej na B(0; a) otrzymujemy wzór caªkowy Pois-sona: (6.9) u(ξ) = Z kxk=a H(x; ξ)u(x) dSx, gdzie H(x; ξ) = 1 aωn a2− kξk2 kx − ξkn
jest j¡drem Poissona.
Taki sam wzór otrzymuje si¦ dla n = 2.
Twierdzenie 6.3. Zaªó»my, »e f jest funkcj¡ ci¡gª¡ na sferze S(0; a). Wów-czas funkcja u(ξ) = f (ξ) dla kξk = a, a2− kξk2 aωn Z kxk=a f (x) kx − ξkndSx dla kξk < a, jest (1) ci¡gªa na ¯B(0; a), (2) klasy C∞ na B(0; a), (3) harmoniczna na B(0; a).
Dowód. (2), jak równie» ci¡gªo±¢ funkcji u na B(0; a) wynikaj¡ z odpowied-nich wªasno±ci j¡dra Poissona, jak równie» z tego, »e mo»na ró»niczkowa¢ pod znakiem caªki.
(3) wynika z tego, »e ∆ξH = 0 dla ξ ∈ B(0; a), x ∈ B(0; a), co mo»na
sprawdzi¢ bezpo±rednio.
Zauwa»my, »e stosuj¡c wzór caªkowy Poissona do funkcji harmonicznej stale równej 1 otrzymujemy
Z kxk=a H(x; ξ) dS = 1. We¹my ζ, ξ, z kζk = a, kξk < a. Rozbijamy u(ξ) − f (ζ) = Z kxk=a H(x; ξ)(f (x) − f (ζ)) dS
na dwie caªki I1 = Z kxk=a kx−ζk<δ H(x; ξ)(f (x) − f (ζ)) dS, I2 = Z kxk=a kx−ζkδ H(x; ξ)(f (x) − f (ζ)) dS.
Dla ε > 0 bierzemy δ = δ(ε) > 0 takie, »e je±li kx − ζk < δ, kxk = a, to
|f (x) − f (ζ)| < δ. Wówczas |I1| < ε (zauwa»my, »e H(x; ξ) > 0).
Niech M := max
S(0;a)|f |. Zauwa»my, »e w wyra»eniu na j¡dro Poissona
mia-nownik jest oddzielony od zera dla x takich, »e kx − ζk δ, za± licznik (dodatni) d¡»y do zera przy ξ d¡»¡cym do ζ. Mo»emy zatem znale¹¢ δ0 > 0
takie, »e H(x; ξ) < ε 2M ωnan−1 , o ile kξ − ζk < δ0, kx − ζk δ (δ0 zale»y od ε i δ(ε)). Zatem |I2| < ωnan−1 ε 2M ωnan−1 2M = ε. Wykazali±my wi¦c, »e u jest ci¡gªa w punkcie ζ.
Sformuªujemy teraz par¦ wniosków ze wzoru caªkowego Poissona.
Po pierwsze, wzór caªkowy Poissona mo»na wykorzysta¢ przy dowodzeniu nast¦puj¡cego faktu:
Twierdzenie 6.4. Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem. Je±li funkcja u, ci¡gªa na
Ω, ma t¦ wªasno±¢, »e dla dowolnego ξ ∈ Ω i % > 0 takiego, »e ¯B(ξ; %) ⊂ Ω
zachodzi u(ξ) = 1 ωn%n−1 Z S(ξ;%) u(x) dSx, to jest harmoniczna na Ω.
Zaªó»my teraz, dla prostoty rachunków, »e ξ = 0. Ró»niczkuj¡c wzór (6.9) pod znakiem caªki otrzymujemy
uξj(0) = n ωnan+1 Z kxk=a xju(x) dS.
Otrzymujemy zatem, w ogólnym przypadku, gdy u jest harmoniczna na ob-szarze Ω ⊂ Rn, a ξ ∈ Ω i % > 0 s¡ takie, »e ¯B(ξ; %) ⊂ Ω, »e
(6.10) |uξj(ξ)| ¬
n
% S(ξ;%)max|u|.
Twierdzenie 6.5. Je±li u jest harmoniczna i ograniczona na caªym R , to jest staªa.
Wzór (6.10) uogólnia si¦ na przypadek pochodnych wy»szych rz¦dów. Mówi¡c konkretnie, gdy u jest harmoniczna na obszarze Ω ⊂ Rn, a ξ ∈ Ω i
% > 0 s¡ takie, »e ¯B(ξ; %) ⊂ Ω, wówczas zachodzi
∂j1+...+jnu ∂ξj1 1 . . . ∂ξ jn n (ξ) ¬ (j1+ . . . + jn)! ne % !j1+...+jn max S(ξ;%)|u|.
Z powy»szego oszacowania wynika, »e szereg Taylora (n zmiennych) funkcji
u w punkcie ξ jest jednostajnie zbie»ny na pewnym otoczeniu U punktu ξ
do tej funkcji.
Zaªó»my, »e funkcja u jest harmoniczna na ograniczonym obszarze Ω, i oznaczmy, dla ξ ∈ Ω, odlegªo±¢ tego punktu od brzegu ∂Ω przez d(ξ). Wówczas ¯B(ξ; a) ⊂ Ω, gdzie a < d(ξ). Zatem
|uξi(ξ)| ¬
n
a kx−ξk=amax |u|,
i przechodz¡c z a do d(ξ) otrzymujemy
|uξi(ξ)| ¬
n d(ξ)supΩ
|u|.
Zaªó»my teraz, »e mamy rodzin¦ funkcji harmonicznych na obszarze ograni-czonym Ω, wspólnie ograniczonych. Ustalmy zbiór zwarty K ⊂ Ω. Odlegªo±ci punktów zbioru K od brzegu ∂Ω s¡ ograniczone z doªu przez liczb¦ dodatni¡. Otrzymujemy zatem, »e pochodne funkcji z rodziny na zbiorze K s¡ wspólnie ograniczone. Wykorzystuj¡c metod¦ przek¡tniow¡ wyboru mo»na udowodni¢ nast¦puj¡ce
Twierdzenie 6.6. Z rodziny funkcji harmonicznych na obszarze ograniczo-nym Ω, wspólnie ograniczonej, mo»na wybra¢ podci¡g zbie»ny na ka»dym zwartym podzbiorze Ω do funkcji harmonicznej.
Jeszcze jednym wnioskiem ze wzoru caªkowego Poissona jest jedna z wersji nierówno±ci Harnacka(6):
Twierdzenie 6.7. Zaªó»my, »e funkcja nieujemna u jest ci¡gªa na ¯B(0; a) i
harmoniczna na B(0; a). Wówczas
an−2(a − kξk)
(a + kξk)n−1 u(0) ¬ u(ξ) ¬
an−2(a + kξk)
(a − kξk)n−1 u(0) ∀ ξ ∈ B(0; a). (6)(Carl Gustav) Axel Harnack (18511888), matematyk niemiecki.
6.6 Funkcje subharmoniczne i superharmoniczne
Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem. Mówimy, »e funkcja ci¡gªa u jest
subhar-moniczna na Ω, je±li dla ka»dego ξ ∈ Ω i % > 0 takiego, »e ¯B(ξ; %) ⊂ Ω
zachodzi u(ξ) ¬ 1 ωn%n−1 Z S(ξ;%) u(x) dSx.
Analizuj¡c dowód twierdzenia 6.1 widzimy, »e jest to w praktyce dowód na-st¦puj¡cego wyniku:
Twierdzenie 6.8 (Mocna zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych). Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem ograniczonym. Zaªó»my, »e funkcja ci¡gªa
u : ¯Ω → R jest subharmoniczna na Ω. Wówczas je±li u osi¡ga sw¡ najwi¦ksz¡
warto±¢ na ¯Ω w pewnym punkcie z Ω, to jest staªa.
Analogicznie, funkcja ci¡gªa u jest superharmoniczna na Ω, je±li dla ka»-dego ξ ∈ Ω i % > 0 takiego, »e ¯B(ξ; %) ⊂ Ω zachodzi
u(ξ) 1 ωn%n−1
Z
S(ξ;%)
u(x) dSx.
6.7 Uwagi o istnieniu rozwi¡za«
Gdy potra my znale¹¢ funkcj¦ Greena dla obszaru Ω, mamy wzór na rozwi¡-zanie zagadnienia Dirichleta dla równania Laplace'a na tym obszarze. Jed-nak»e, jak sie mo»na domy±la¢, dla niewielu obszarów mo»na poda¢ funkcj¦ Greena w postaci zamkni¦tej.
6.7.1 Metoda Perrona(7)
Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem ograniczonym, i niech f : ∂Ω → R b¦dzie
funkcj¡ ci¡gª¡. Szukamy rozwi¡zania zagadnienia brzegowego Dirichleta (6.11) ∆u = 0 na Ω u = f na ∂Ω.
Przez rozwi¡zanie rozumiemy tutaj funkcj¦ ci¡gª¡ na ¯Ω, harmoniczn¡ na Ω, której obci¦cie do ∂Ω jest równe f.
Rozpatrzmy rodzin¦ V wszystkich funkcji ci¡gªych v : ¯Ω → R, które s¡ subharmoniczne na Ω, oraz speªniaj¡
v(x) ¬ f (x) ∀ x ∈ ∂Ω.
Rodzina V jest niepusta (gdy» funkcja staªa równa min∂Ωf nale»y do niej). Z
zasady maksimum dla funkcji subharmonicznych wynika, »e funkcje z rodziny
V s¡ wspólnie ograniczone z góry przez max∂Ωf.
Niech v ∈ V. Ustalmy ξ0 ∈ Ω i % > 0 takie, »e ¯B(ξ0; %) ⊂ Ω. Wówczas
funkcja ˜ v(ξ) = v(ξ) dla ξ ∈ Ω \ B(ξ0; %) Z S(ξ0;%) H(x − ξ0; ξ − ξ0)v(x) dSx dla ξ ∈ B(ξ0; %)
te» nale»y do V (dowód tego faktu jest do±¢ »mudny).
Nast¦pnie dowodzi si¦, »e supremum wszystkich funkcji z rodziny V jest funkcj¡ harmoniczn¡ (jest to najtrudniejsza cz¦±¢ dowodu, wymagaj¡ca od-woªania sie do twierdzenia 6.6). Tak otrzyman¡ funkcj¦ harmoniczn¡ u: Ω → R nazywamy rozwi¡zaniem Perrona zagadnienia (6.11).
Teraz trzeba jeszcze wykaza¢, »e otrzymana powy»ej funkcja harmoniczna przedªu»a si¦ w sposób ci¡gªy na brzeg ∂Ω.
W istocie, zagadnienie (6.11) nie zawsze ma rozwi¡zanie. We¹my Ω =
B(0; a) \ {0}, i zadajmy f na brzegu ∂Ω w ten sposób, »eby f(0) byªo stale
równe zeru na sferze S(0; a), i równe jeden w 0. Wówczas mo»na dowie±¢, »e rozwi¡zanie Perrona takiego zagadnienia jest stale równe zeru na Ω, zatem warunek brzegowy na {0} ⊂ ∂Ω nie mo»e by¢ speªniony.
Mówimy, »e funkcja ci¡gªa Q: ¯Ω → R jest barier¡ wzgl¦dem punktu
x ∈ ∂Ω, gdy Q jest subharmoniczna na Ω, Q(x) = 0 oraz Q < 0 na ¯Ω\{x}(8).
Punkt x ∈ ∂Ω nazywamy regularnym, gdy istnieje bariera wzgl¦dem x. Dowodzi si¦, »e je±li x ∈ ∂Ω jest punktem regularnym, to dla rozwi¡zania Perrona u zachodzi: u(ξ) → f(x) gdy Ω 3 ξ → x. W istocie, mo»na udowod-ni¢ nawet wi¦cej: gdy zaªo»ymy tylko, »e f jest funkcj¡ ograniczon¡ na ∂Ω, to gdy punkt regularny x ∈ ∂Ω jest punktem ci¡gªo±ci funkcji f, wówczas dla rozwi¡zania Perrona u zachodzi: u(ξ) → f(x) gdy Ω 3 ξ → x (twierdzenie Wienera).
W szczególno±ci, wynika st¡d, »e dla obszaru ograniczonego Ω nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
dla ka»dej funkcji ci¡gªej f na ∂Ω zagadnienie brzegowe (6.11) ma roz-wi¡zanie;
wszystkie punkty brzegu ∂Ω sa regularne.
(8)Niekiedy barier¦ de niuje si¦ jako funkcj¦ superharmoniczn¡ Q na Ω, Q(x) = 0 oraz
Podamy teraz par¦ warunków dostatecznych. Dla n = 2,
punkt x ∈ ∂Ω jest regularny, je±li mo»na do« doj±¢ z zewn¦trza obszaru po krzywej klasy C1 bez samoprzeci¦¢;
je±li ka»da skªadowa spójno±ci dopeªnienia obszaru Ω w R2
zawie-ra wi¦cej ni» jeden punkt, to dla ka»dej funkcji ci¡gªej f na ∂Ω zagadnienie brzegowe (6.11) ma rozwi¡zanie.
Dla dowolnego n, warunkiem gwarantuj¡cym rozwi¡zalno±¢ zagadnie-nia (6.11) dla ka»dej ci¡gªej f : ∂Ω → R jest zewn¦trzny warunek sfery: dla ka»dego x ∈ ∂Ω istniej¡ y ∈ Rni R > 0 takie, »e ¯B(y; R)∩ ¯Ω = {x}.
6.7.2 Metody analizy funkcjonalnej
Niech Ω ⊂ Rn b¦dzie obszarem ograniczonym. Szukamy rozwi¡zania
zagad-nienia brzegowego Dirichleta (6.12) ∆u = g na Ω u = 0 na ∂Ω. Oznaczmy przez C2
0(Ω) zbiór funkcji klasy C2 o zwartym no±niku
zawar-tym w Ω.
Dla funkcji v ∈ C2
0(Ω) i u ci¡gªej na ¯Ω i klasy C2 na Ω zachodzi
Z Ω v∆u dx = − Z Ω h∇v, ∇ui dx,
gdzie h·, ·i oznacza standardowy iloczyn skalarny w Rn (por. (I-TG)).
Dla u, v ∈ C2 0(Ω) oznaczmy (u, v) := Z Ω h∇v, ∇ui dx.
Tak zde niowany (·, ·) jest iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej C2 0(Ω).
Oznaczmy przez H1
0(Ω)uzupeªnienie przestrzeni liniowej C02(Ω)wzgl¦dem
iloczynu skalarnego (·, ·). Norm¦ odpowiadaj¡c¡ iloczynowi skalarnemu (·, ·) nazywamy norm¡ Dirichleta.
Lemat 6.9 (Nierówno±¢ Poincarégo). Istnieje staªa N > 0 (zale»na od ob-szaru Ω) taka, »e
Z Ω u2dx ¬ N Z Ω k∇uk2dx ∀ u ∈ C2 0(Ω).
Dowód. Niech a > 0 b¦dzie takie, »e Ω ⊂ [−a, a] . Przedªu»amy funkcj¦ u zerem na caªy [−a, a]n.
Z nierówno±ci Schwarza wynika, »e dla dowolnego x = (x1, . . . , xn) ∈
[−a, a]n zachodzi u2(x) = x1 Z −a ux1(ξ1, x2, . . . , xn) dξ1 !2 ¬ (x1+ a) x1 Z −a (ux1(ξ1, x2, . . . , xn)) 2dξ 1,
co jest ograniczone z góry, jednostajnie wzgl¦dem x, przez 2a a Z −a (ux1(ξ1, . . . , ξn)) 2dξ 1. Zatem a Z −a u2dx1 ¬ 4a2 a Z −a (ux1) 2dx 1,
co daje, po scaªkowaniu wzgl¦dem pozostaªych n − 1 zmiennych,
Z [−a,a]n u2dx ¬ 4a2 Z [−a,a]n (ux1) 2dx ¬ 4a2 Z [−a,a]n k∇uk2dx.
Niech (uj)∞j=1 b¦dzie ci¡giem Cauchy'ego wzgl¦dem normy Dirichleta,
gdzie uj ∈ C02( ¯Ω). Przypomnijmy, »e elementy przestrzeni H01(Ω) to klasy
równowa»no±ci ci¡gów Cauchy'ego.
Z nierówno±ci Poincarégo wynika, »e, po pierwsze, ci¡g (uj)∞j=1 jest te»
ci¡giem Cauchy'ego w przestrzeni L2(Ω), po drugie, je±li dwa takie ci¡gi
Cauchy'ego s¡ równowa»ne wzgl¦dem normy w H1
0(Ω), to s¡ te» równowa»ne
wzgl¦dem normy w L2(Ω)
Zatem ka»dy element przestrzeni H1
0(Ω) mo»emy uto»sami¢ (i to
jedno-znacznie) z pewnym elementem przestrzeni L2(Ω). Zapisujemy to jako
H01(Ω) ,→ L2(Ω), i mówimy, »e H1
0(Ω) zanurza si¦ w sposób ci¡gªy w L2(Ω). Zauwa»my, »e
istotnie jest to ograniczone odwzorowanie liniowe z H1
0(Ω)w L2(Ω), o normie
nie wi¦kszej ni» 2a.
Powró¢my teraz do wyj±ciowego zagadnienia (6.12). Rozwi¡zanie tego zagadnienia b¦dziemy uto»samiali z u ∈ H1
0(Ω) takim, »e dla ka»dego v ∈
H1 0(Ω) zachodzi (u, v) = − Z Ω gv dx.
Wyra»enie
v 7→ −
Z
Ω
gv dx
de niuje ograniczony funkcjonaª liniowy na przestrzeni Hilberta H1
0(Ω). Istot-nie, szacujemy − Z Ω gv dx ¬ kgkL2(Ω)kvkL2(Ω)¬ 2akgkL2(Ω)kvkH1 0(Ω).
Na podstawie twierdzenia RieszaFrécheta, istnieje u ∈ H1
0(Ω) takie, »e (u, v) = − Z Ω gv dx ∀ v ∈ H1 0(Ω).
Otrzymane powy»ej u mo»na interpretowa¢ jako rozwi¡zanie sªabe zagad-nienia (6.12).
Gdy g jest funkcj¡ ci¡gª¡ na ¯Ω, dowodzi si¦, »e u jest klasy C2 na Ω, i »e
∆u = g na Ω.
Gdy ponadto brzeg ∂Ω jest klasy C2, dowodzi si¦, »e u mo»na przedªu»y¢
