MD trening 4
1. Zadania z kartek MDM7 i MDM8
2. Udowodni¢, ze graf k-regularny o 2k − 1 wierzchoªkach ma cykl Hamiltona.
3. Je±li w gra e G ka»de dwa wierzchoªki s¡ poª¡czone drog¡ Hamiltona to κ(G) ≥ 3.
4. Je±li κ0(G) jest liczb¡ nieparzyst¡ to G nie ma obwodu Eulera.
5. Wykaza¢, »e je±li graf o n wierzchoªkach (n > 4) ma co najmniej n−22 + n kraw edzi to jest dwuspójny.
6. Czy ka»dy graf eulerowski jest dwuspójny a) wierzchoªkowo, b) kraw¦dziowo ? 7. Czy istniej graf 3-regularny o spójno±ci kraw¦dziowej 1?
8. Czy dla dowolnego grafu G zachodzi κ0(G) = κ(L(G)), 9. Czy w dowolnym gra e G zachodzi κ0(G) ≤ 2e(G)|G| .
10. Je±li G jest grafem dwudzielnym o n ≥ 4 wierzchoªkach δ(G) > n+14 to G jest dwuspójny.
Wskazówka: wskazówk¦ powinno sie czyta¢ dopiero po uczciwym zastanowieniu si¦ bez wskazówki - zatem je±li kto± nie zastanawiaª sie to prosz¦ nie czyta¢ dalej wskazówki tylko zastanowi¢ sie samemu na powa»enie. a je±li kto± si¦ zastanawiaª i nie ma pomysªu, albo miaª i »aden pomysª si¦ nie sprawdziª to mo»e przeczyta¢ wskazówk¦: ile mo»e by¢ najwi¦cej kraw¦dzi w gra e dwudzielnym?
11. Wykaza¢, »e je±li graf G nie jest grafem peªnym i dla dowolnej pary wierzchoªków nie poª¡c- zonych kraw¦dzi¡ suma ich stopni jest równa co najmniej |G| to G jest dwuspójny.
12. Wykaza¢, »e dla ka»dej liczby naturalnej k > 2 istnieje graf k-spójny niehamiltonowski.
