Wykad 11 Przepyw przez warstwy porowate

PRZEPŁYW PRZEZ

PRZEPŁYW PRZEZ

WARSTWY POROWATE,

WARSTWY POROWATE,

FILTRACJA

FILTRACJA

WSTĘP

Ośrodkiem porowatym nazywamy grunty naturalne lub

sztuczne materiały ziarniste, zawierające dużo kanalików i szczelin.

Podstawowym wskaźnikiem własności ośrodka porowatego jest porowatość, którą definiujemy w postaci:

gdzie:

V₁ - objętość części niewypełnionej materiałem stałym (porów) (części „pustej” tzn. wypełnionej gazem lub cieczą),

V - objętość całego obszaru (całej próbki).

 _{Rzeczywiste złoża porowate zbudowane są z ziaren}

o różnych kształtach i rozmiarach.

 _{Wprowadzono pojęcie średnicy miarodajnej (zastępczej).}

 _{Hipotetyczne złoże jednorodne składające z ziaren kulistych o}

średnicy miarodajnej ma takie same własności filtracyjne jak złoże rzeczywiste (zbudowane z cząsteczek o różnych kształtach i rozmiarach).

 Średnica miarodajna d_x, to średnica wyrażona w mm, poniżej

której zawartość ziaren wynosi X% masy złoża;

np. średnica miarodajna d₁₀=5 mm oznacza, że 10% złoża stanowią

ziarna o średnicy mniejszej od miarodajnej 5 mm, a 90% ziarna większe.

Każde z sit należące do kompletu jest osadzone w mocnej i sztywnej ramie uniemożliwiającej odkształcenie się podczas przesiewania. Sita w komplecie są ustawione w ten sposób, że sito o najmniejszych otworach znajduje się na dole, nad nim sita o kolejnych większych otworach itd. Na samym spodzie stosu sit znajduje się skrzynka o szczelnym dnie.

Oznaczenie uziarnienia

danego kruszywa wykonuje się metodą analizy sitowej przez ustalenie ilości kruszywa pozostającego na poszczególnych sitach.

Procedura badania

1. Do badania pobiera się, próbkę kruszywa o masie około:

1000 g dla kruszywa drobnego, 2000 g dla kruszywa grubego, 5000 g dla kruszywa bardzo grubego.

2. Do oznaczenia przygotuje się 3 wysuszone i zważone próbki. 3. Próbkę kruszywa należy wsypać na górne sito

o największych otworach.

4. Przesiewanie przez dalsze sita należy prowadzić za pomocą ręcznego lub mechanicznego wstrząsania.

5. Przesiewanie uważa się za zakończone, gdy nie więcej niż 1% całej próbki przechodzi przez sito w ciągu jednej minuty wstrząsania. Ziarna, które podczas przesiewania uwięzły w otworach sit należy ostrożnie usunąć i dołączyć do pozostałości na danym sicie.

6. Po zakończeniu przesiewania należy zważyć pozostałość na poszczególnych sitach, a także kruszywo które przeszło przez sito o najmniejszych otworach, tj. zawartość skrzynki znajdującej się na spodzie zestawu.

Krzywa przesiewu

Źródło: Krzywe przesiewu gruntu [Pisarczyk, 1999] (klasyfikacja wg PN-86/B 02480)

Średnica miarodajna dx jest to taka średnica na krzywej przesiewu, od której X% kruszywa ma ziarna mniejsze.

Przy przepływie płynu przez warstwę porowatą posługujemy się dwiema prędkości ruchu płynu:

- prędkością pozorną u, zwaną też prędkością filtracji, która jest

odniesiona do całego przekroju poprzecznego (pustej kolumny);

- prędkością międzyziarnową _ - średnią prędkością przepływu w kanalikach międzyziarnowych.

(2) Między tymi prędkościami zachodzi zależność:

Straty hydrauliczne

Wysokość straty ciśnienia podczas przepływu przez warstwę porowatą określa zmodyfikowany wzór Darcy’ego – Weisbacha

(3) W celu wyznaczenia ze wzoru (3) wysokości straty ciśnienia trzeba wprowadzić modyfikacje:

• średnicę kanalików d_ zastąpić średnicą ziaren d,

• współczynnik strat tarcia  uzależnić od Re i porowatości złoża , • _{długość przewodu L zastąpić grubością złoża H,}

• prędkość międzyziarnową przepływu w kanaliku v_ zastąpić,

Po zmodyfikowaniu wzór (3) przybiera postać

(4) Sabri Ergun na podstawie badań eksperymentalnych wyznaczył formułę określającą współczynnik strat:

(5)

d – średnica cząstek, zwykle przyjmuje się średnicę miarodajną, u - prędkość pozorna (prędkość filtracji),

 - kinematyczny współczynnik lepkości.

Liczba Reynoldsa zdefiniowana jest w postaci

Po podstawieniu wzoru (5) do (4) otrzymamy wzór Erguna na jednostkową wysokość straty ciśnienia w postaci:

(7)

Pierwszy człon tego wzoru określa straty wywołane lepkością płynu, dominujące w ruchu laminarnym (Re < 10), a drugi – wpływ bezwładności, dominujący w ruchu turbulentnym (Re > 100).

Podział i charakterystyka ruchu wód gruntowych

Ruch wód gruntowych jest szczególnym przypadkiem filtracji, odbywającym się przez naturalne złoża piasku, żwiru itp.

Grunty mogą być jednorodne lub niejednorodne, w zależności od tego czy struktura gruntu jest jednakowa czy różna.

Grunty:

izotropowe – mają jednakowe własności filtracyjne we wszystkich

kierunkach,

Woda w gruncie może występować pod postacią:

wody higroskopijnej, tworzącej cienkie warstewki utrzymujące się

między ziarnami gruntu dzięki siłom molekularnym

Dalsze rozważania dotyczą tylko ruchu wód grawitacyjnych. Wody grawitacyjne, są to wody podziemne, które tworzą się z wód opadowych (deszcz, śnieg) wskutek przesączania się przez warstwy przepuszczalne i zatrzymania się na warstwach nieprzepuszczalnych.

• _{wody kapilarnej, wypełniającej pory pod działaniem sił}

kapilarnych (większych od sił grawitacyjnych)

• _{wody grawitacyjnej, która wypełnia wszystkie pory i porusza się}

Ze względu na jakość wody podziemnej rozróżnia się:

• _{wody zaskórne, występujące na głębokości do kilku metrów, są}

zanieczyszczone;

• _{wody gruntowe, występujące na głębokości 8 – 10 m i są}

stosunkowo dobrze oczyszczone;

• _{wody wgłębne, występujące na głębokości ponad 20 m, są}

bardzo dobrze oczyszczone; mogą występować pod ciśnieniem między dwoma warstwami nieprzepuszczalnymi i wówczas nazywane są wodami artezyjskimi.

Nazwa artezyjskie pochodzi od krainy geograficznej Artois

(Francja), gdzie powstała pierwsza studnia artezyjska w 1126 roku

Wody artezyjskie zdolne są do samoczynnego wypływu na powierzchnię.

Zwierciadło wód gruntowych może być napięte lub swobodne. Swobodne, gdy pozostaje pod ciśnieniem atmosferycznym, co oznacza, że nad zwierciadłem wody w tej samej warstwie

przepuszczalnej występuje przestrzeń bez wody umożliwiająca jego podnoszenie się.

Napięte, pod ciśnieniem wyższym od atmosferycznego. Od góry ograniczone warstwą nieprzepuszczalną uniemożliwiającą

podnoszenie zwierciadła wody.

Wody artezyjskie

1. Warstwa wodonośna

2. Warstwa nieprzepuszczalna 3. Obszar zasilania

4. Studnia artezyjska

5. Poziom równowagi hydrostatycznej (linia ciśnień piezometrycznych)

6. Studnia subartezyjska (woda nie wypływa samoczynnie) 7. Źródło artezyjskie

Prawo Darcy’ego (prawo filtracji ruchu

Prawo Darcy’ego (prawo filtracji ruchu

równomiernego)

równomiernego)

Założymy ustalony przepływ wody gruntowej

w jednorodnym, izotropowym ośrodku porowatym.

Na podstawie pomiarów przeprowadzonych w 1856 r. H. Darcy sformułował prawo przepływu wody przez warstwy porowate, zwane prawem Darcy’ego.

Henry Philibert Gaspard Darcy (1803 –1858)

(8) dla stałego spadku hydraulicznego

gdzie: u – prędkość filtracji (pozorna prędkość cieczy),

k, m/s – współczynnik filtracji, zależnym od rodzaju gruntu.

Prawo filtracji (Darcy’ego) zapisujemy w postaciDarcy’ego)

Współczynnik filtracji można wyznaczyć na podstawie pomiaru różnicy zwierciadeł cieczy w dwóch przekrojach rozdzielonych warstwą ośrodka porowatego.

(10) (9)

Tabela1. Współczynnik filtracji wg R.Piętkowskiego

Z pewnym przybliżeniem wartość k dla drobnego żwiru i piasku można wyznaczyć z formuły

d- przeciętna średnica ziaren.

Jak wynika ze wzoru Darcy’ego (8) prędkość filtracji u jest liniową funkcją spadku hydraulicznego I (przy stałym współczynniku filtracji)

W praktyce ruch wód gruntowych zwykle odbywa się właśnie w tym zakresie Re.

d₁₀ - średnica miarodajna ziaren, wyznaczona z krzywej przesiewu. Współczynnik filtracji k jest stały, gdy Re < 5

Wzór Darcy’ego (8) zapisuje się też w postaci różniczkowej nazywanej uogólnionym prawem Darcy’ego

w przypadku, gdy spadek hydrauliczny jest zmienny wzdłuż drogi przepływu

(12)

(13)

Typowe przepływy wód gruntowych 1. Przepływ wody o poziomej warstwie wodonośnej; 2. Przepływ wody o pochyłej warstwie wodonośnej; 3. Dopływ i odpływ wody do studni, rowu lub drenu; 4. Dopływ wody do studni artezyjskich.

Przykład 1. Pochyła warstwa wodonośna

Z uogólnionego prawa Darcu’ego

Strumień objętości

W przypadku równomiernej filtracji bezciśnieniowej spadek hydrauliczny równy jest

spadkowi nieprzepuszczalnego podłoża.

(15)

(16)

Rozpatrzmy przypadek ustalonej filtracji: tyle samo wody dopływa do rowu ile z niego wypływa.

Swobodna powierzchnia cieczy tworzy krzywą depresji.

Strumień wody dopływający do rowu z jednej strony wynosi

gdzie: dh/dx – jest spadkiem hydraulicznym zależnym od x, wyznaczanym

z krzywej depresji, natomiast A=bh jest powierzchnią strugi dopływającej do rowu o długości b.

Po rozdzieleniu zmiennych i scałkowaniu

Wstawiamy granice całkowania po x w granicach od 0 do L, natomiast po h od h₀ do

H 0 2 0

2

q

h

x

k



2 2 0 2 v q H h L k   otrzymamy

Równanie (23) to jest równaniem krzywej depresji, którego obrazem jest parabola o wierzchołku położonym w 0 h  Wyznaczmy funkcję x(h) 2 0 2 _v k x h q  2 2 0 ( ) 2 2 v h k h x h q    _  _  

Po podstawieniu do wzoru (23) x = L, h = H otrzymujemy

L jest tzw. zasięgiem depresji.

Znając L obliczamy ze wzoru (25) dwustronny strumień objętości przypadający na jednostkę długości (L) rowu

(22)

(23)

(24)

(25)

Przykład 3. Studnia zwykła

Rozpatrzmy dopływ do studni zwykłej wykonanej w gruncie przepuszczalnym, której dno oparte jest o warstwę nieprzepuszczalną. Po zrównaniu strumienia wody dopływającej do studni i wypompowywanej z niej, ukształtuje się swobodna powierzchnia wody tworząc krzywą depresji.

(27) Po rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

(28) Strumień objętości przepływający do studni wynosi

Całkowanie przebiega w granicach po promieniu od 0 do r, natomiast po wysokości od h₀ do h, gdzie r i h oznaczają współrzędne dowolnego punktu na krzywej depresji. Po scałkowaniu otrzymamy 0 0 2 ln 2 2 h r v r h q h r k  





(31) Po podstawieniu do (31) r = R, h = H otrzymamy 2 2 0 0 ln v q r h h k r    2 2 0 0 ln v q R H h k r   

skąd możemy wyznaczyć promień zasięgu depresji

lub przekształcając równanie (32) strumień objętości

(32)

(33)

Przykład 4. Studnia artezyjska

Studnia artezyjska zasilana jest wodą pod ciśnieniem. Wskutek pobierania wody

ze studni zwierciadło obniży się do poziomu h₀. Powierzchnia piezometryczna

(35) 0

2

ln

q

h

r

k





Po rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

Całkowanie przebiega w granicach po promieniu od r₀ do r, natomiast po

wysokości od h₀ do h, gdzie r i h oznaczają współrzędne dowolnego punktu na krzywej depresji. Po scałkowaniu otrzymamy





ln

ln

2

q

h h

r

r

k









(39) (40) (42) 0 0

ln

2

q

r

h h

k

r







ln

2

q

R

H h

k

r







skąd możemy wyznaczyć promień zasięgu depresji

lub przekształcając równanie (18) strumień objętości

Jeśli nie ma możliwości doświadczalnego określenia promienia zasięgu depresji to

•_{dla wód o zwierciadle swobodnym stosuje się wzór Kusakina}

(44) • dla wód o zwierciadle napiętym stosuje się wzór Sichardta

(43)

W Herlanach koło Koszyc (Słowacja) znajduje się Gejzer Herlański.

W latach siedemdziesiątych XIX wieku wykonano tutaj studnię artezyjską w poszukiwaniu nowego źródła wody mineralnej. Dzięki wykopaniu studni o głębokości 404,5 m wytrysnęło tu

ogromne źródło silnie mineralizowanej wody.

Erupcje były kiedyś częstsze i bardziej intensywne, dziś mają miejsce mniej więcej co 32 do 34 godzin. Woda tryska przez około 20 do 30 minut na wysokość do 20 m. Objętość wody podczas jednej erupcji wynosi około 600 hl.