Stany nieustalone - metoda klasyczna

Podstawy Elektrotechniki - Stany nieustalone

I. Metoda Klasyczna

Zadanie k.1

Wyznaczyć prąd iw na wyłączniku.

I

R 2R E R L t=0 iw=? i4 i2 i1 i₃

Układamy równania na podstawie schematu.

4 2 i i i_w + = I i 3 1 2 = I i 3 2 1 = 0 4 3 + = − dt di L R i E I i i i i_w 3 1 4 2 4 − = − = I i i₃ + ₄ = 4 3 I i i = − I i iw 3 1 4 − = 0 4 4 + = + − dt di L R i RI E L E RI L R i dt di L L + = − 0 = + L R i dt di L L L E RI i L R i_L′+ _L = − Równanie charakterystyczne:

0 = + L R r L R r=− R E I t i Ae t i Lu t Lp L R − = = − ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ₋ = L ₊ L i i R E I A Ae R E I R E I R E I Ae R E I t L R t L R 4 3 2 4 2 4 2 + − = =       − − − − + = − − − t L R Lp

e

R

E

I

t

i



−











₋

₊

=

4

3

2

)

(

R E I e R E I t i t i t i Lt R u L Lp L  + −     _{− +} = + = − 4 3 2 ) ( ) ( ) ( 4 R E I e R E I I R E I e R E I t i t i t i Lt R t L R L w ⋅ + −     _{− +} = − − + ⋅      _{− +} = − = − − 3 2 4 3 2 3 1 4 3 2 ) ( ) ( ) ( 2 Zadanie k.2

Znaleźć taką chwilę czasu tx aby spełniony był warunek i1(tx)=i2(tx)

I II Rozpatrujemy układ I. 0 : / 0 1 / 1 1 1 = + = ′ + i L R i L i L R i Równanie charakterystyczne:

0 = + L R r L R r =− t r P t Ae i₁ ( )= 0 ) ( 1 t = i_U rt P U t i t Ae i t i₁( )= ₁ ( )+ ₁ ( )= A R E i i ₋ = ₊ = = 2 ) 0 ( ) 0 ( ₁ 1

Uzyskujemy wyrażenie na i1(t)

t L R t r e R E e R E t i = = − 2 2 ) ( 1

Dla układu II możemy napisać:

E i L R

i₂ + / ₂ = składowa przejściowa:

0 : / 0 2 2 / 2 / 2 = + = + i L R i L R i Li Równanie charakterystyczne; L R r L R r − = = + 0 0

R

E

t

i

Ae

t

i

u t r P

=

=

)

(

)

(

2 2 R E Ae t i t i t i _{( )}= _{P( )}+ _{u( )}= r0t + 2 2 2

      − = − = = + = = − + − t L R e R E t i R E A R E A i i 1 ) ( 0 0 ) 0 ( ) 0 ( 2 2 2

Wyliczamy t przy którym prądy i1(t)=i2(t)

3 2 3 : / 2 3 2 2 1 2 2 / 1 2 = = = +       − =       − = − − − − − − − − x x x x x x x x t L R t L R t L R t L R t L R t L R t L R t L R e e e e e e E R e R E e R E 2 3 ln 3 2 ln 3 2 ln 3 2 ln ln R L R L t t L R e x x t L R x = − = = − = −

Prądy i1(t),i2(t)są sobie równe dla t= 2 3 ln R L Zadanie k.3

Obliczyć napięcie UC przy założeniu, że

C L R= 3

Na podstawie schematu można napisać poniższe równania :

Uc Li R

Izr i i1+ 2 = c CU i₂ = ′

Wyznaczamy równanie opisujące uc(t) poprzez przekształcenia:

c U C i U C I i I c CU i C ′′ ⋅ − = ′ ′ ⋅ − = = ′ + 1 1 1

(

)

(

)

Uc c U RC c U C L R I Uc c U C L c U RC R I Uc c U C L R c U C I + ′ ⋅ + ′′ ⋅ ⋅ = ⋅ = ′′ ⋅ ⋅ − ′ ⋅ − ⋅ = ′′ ⋅ − + ′ ⋅ −

Wyznaczamy składową przejściową:

0 1 0 = + ′ + ′′ = + ′ ⋅ + ′′ ⋅ LC c U L R c U Uc c U RC c U LC

Równanie charakterystyczne jest postaci:

LC L R LC r L R r 4 0 1 2 2 2 − = ∆ = + + Korzystając z założenia C L R = 3 uzyskujemy: LC LC LC LC L C L 1 4 3 4 3 2 − = − =− = ∆ LC L R LC j L R r LC j LC j 1 2 1 , 2 1 2 1 2 1 1 2 , 1 2 = − = ± − = = ∆ ⇒ = ∆ β α

Znając pierwiastki równania charakterystycznego możemy wyznaczyć składową przejściową:

( )

t Ae t A e t

U_Cp = ₁ αtsinβ + ₂ αtcosβ Wyznaczamy składową ustaloną :

( )

t IR

U_{Cu =}

( )

t Ae t A e t IR U_C = ₁ αtsinβ + ₂ αt cosβ +

Wyznaczamy współczynniki A1 i A2 z warunku komutacji dla kondensatora i cewki:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

β α α β β β β α β β β α α α α α 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 ' sin cos cos sin ' 0 ' 0 0 0 CA CA CU A A U t e A t e A t e A t e A t U U C I i i i C C t t t t C C + = + = ⋅ + + ⋅ + ⋅ = ⋅ − = = + + + − + −

( )

( )

( )

( )

IR A IR A U U U U C C C C − = = + = = = − + − 2 2 0 0 0 0 0 0

( )

C A C A I C A C A I i α β α β 2 1 2 1 1 0 = − = − − = + A2=-IR więc podstawiając uzyskujemy:

β α βα α β α β IR IR A IR A C IR C A = = = − = − 1 1 1

Ostatecznie sumując składowe otrzymujemy:

( )

( )

      + − = + − = 1 cos sin cos Re sin t e t e IR t U IR t I t e IR t U t t C t t C β β β α β β β α α α α α

Przebieg uc(t) dla R=1 Ω L=100 µH C=10 µF I=1mA przedstawiono na rys. k3

C L W 1 2 I 0 R

Time 0s 0.2ms 0.4ms 0.6ms 0.8ms 1.0ms V(U5:2) 0V 1.0mV 2.0mV Rys. k.3 Zadanie k.4

Obliczyć napięcie na kondensatorze C, gdy R1=2R, R2=3R, R3=2R, e(t)=Emsinωt

R E R C j R V 2 2 1 2 1 ₌       _{+ ω +} E R C j V(2+ ω 2 )= RC j E V ω 2 2+ = ) 1 ( 2 j RC e E V t j m ω ω + = ) ( 1 1 2 ) ( 2 2 2 e arctg RC C R E V m j t β ω ω β ω ₌ + = − ) ( 2 2 2 1 1 2 β ω ω − + = = m j t c e C R E U V

{ }

c c U U 1 =Im ) sin( 1 1 2 ) ( 2 2 2 1 ω β ω − + = t C R E t U m c ) 0 ( ) 0 ( _{− = c +} c U U ) 0 ( ) sin( 1 1 2 ) 0 ( 2 2 2 + − − = + = c m c U C R E U β ω

W chwili t=0 następuje przełączenie wyłącznika W:

Uc

C Rz R R_z 6 5 = ) ( ) (t R U t i _{z =− c} ) ( ) ( ' t i t CU_c = 0 ) ( ) ( ' = +U t t U CR_{z c c} C R r z 1 − = rt cp t Ae U ( )= 0 0 A U t= → = ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ₋ = _{c +} → = _{c +} c U A U U 0 ) ( ) ( ) ( ) (t =U t +U t przyczymU t = U_{c cp cu cu} rt c c t U e U ( )₌ (0₊) t C R m c z e C R E t U 1 2 2 2 sin( ) 1 1 2 ) ( − ⋅ − + = β ω Zadanie k.5

Wyznaczyć napięcie na kondensatorze, dla R= C

L .

Układamy równania po otwarciu klucza :

0 2R⋅i+Uc +Li' = i U C⋅ _c' = ' '' i U C⋅ _c = 0 2R⋅C⋅Uc' +Uc +L⋅CUc" =

0 2 ' " + ⋅ + = ⋅ ⋅C Uc R CUc Uc L gdzie: i to prąd kondensatora. Składowa przejściowa:

0 2 ' " + + = ⋅Uc RCUc Uc LC 0 1 2 ' " + + = c c c U Lc U L R U

Równanie charakterystyczne ma postać:

0 1 2 2+ + = Lc r L R r ∆= 1 4 4 4 2 2 2 L c L Lc L R = − - 4 =0 Lc = ) (t U_cp (A₁ +A₂t)ert składowa ustalona: u c U (t)=0 Całkowite napięcie wynosi:

= ) (t

U_c (A₁+A₂t)ert Z warunku komutacji dla kondensatora otrzymujemy:

) 0 ( ) 0 ( ₋ = c ₊ c U U 0 ) 0 ( ₋ = c U 1 2 1 ) ( ) 0 ( A A t e A U_{c +} = + rt = , stąd A₁ =0 Z warunku komutacji dla cewki:

) 0 ( ) 0 ( _{− =}I ₌i ₊ i_c ) 0 ( ) 0 ( ₊ = c' ₊ c CU i 1 ' A U_c = rert +A₂ert +A₂trert

(

Ar A

)

C I C A r A CU_c = ⋅ + + = + 2 1 2 1 ' ) ( ) 0 ( więc C I A_{2 =} Ostatecznie:

= ) (t Uc t r te C I 0 gdzie r0 = a b 2 − ₌ L R − 0 R1 C I1 1 2 L R2 W 1 2 3

Przebieg uc(t) (dla R=10 Ω R=20 Ω L=100 µH C=1 µF) przedstawiono na rys. k.5

Time

0s 20us 40us 60us 80us 100us 120us 140us 160us

V(3) 0V 4mV 8mV 12mV Rys. k.5 Zadanie k.6

Obliczyć napięcie na kondensatorze, jeżeli: t E t e₁( )= _1m⋅sinω t E t e₂( ) = _2m⋅sinω m m E E₁ > ₂ C L R 8 = ; XL >XC oraz ) sin( ) (t ₌U ω −t ϕ u_{Cu cm}

Po zamknięciu wyłącznika otrzymamy: ' ) ( ' ' ' ' ) ( ' ) ( _{1 1} 1 t i R Uc e t i R Uc i R e t Uc e = ⋅ + => = ⋅ + => ⋅ = − ) ( ) ( ' ' ' ' ) ( '' ' ) ( ' ) ( ' ' ' ) ( ' ' '' ' ' ' ' ' ) ( ' 2 1 2 1 2 2 2 t e t e R L U U R L U C L t e U C L U R L t e R L U t e U C L i L U t e i L i L U U C i i U C i i i i i i t e i L U c c c c c c c c C c c C C c C L C L L c + = + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − − = + ⋅ ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ = ⋅ = => = ⋅ + = => + = + ⋅ =

Dla składowej przejściowej otrzymujemy:

0 1 1 0 1 ' 1 ' ' 0 ' ' ' 2+ + = = + + = + + ⋅ ⋅ LC r RC r U LC U RC U U U R L U C L c c c c c c LC r LC r LC RC r LC LC LC C C L LC C R 3 ; 1 1 2 1 2 0 4 4 8 1 1 4 1 2 1 2 , 1 2 2 2 − = − = ± − = = ∆ > = − = − = ∆

t r t r CP t A e A e U = ⋅ 1⋅ + ⋅ 2⋅ 2 1 ) ( Całkowite napięcie na kondensatorze:

) sin( ) ( 1 2 2 1⋅ + ⋅ + ω −ϕ = _{A e} ⋅ _{A e} ⋅ _{U t} t U_C r t r t _cm

Z warunków komutacji wynika:

) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( + − + − = = L L c c i i U U

Wyznaczamy wartości prądu płynącego przez cewkę i napięcia na kondensatorze przed komutacją:

(

_{) (}

)

) 90 sin( ) ( 2 90 2 90 2 2 o C L j C L j C L C L t X X E t i e X X E e X X E X X j E I _o o − − = − = − = − = − ω

(

)

t X X x E t u X X X E X X j jX E jX I U C L C c C L C C L C C C ω sin ) ( ) ( ) ( 2 2 2 − − = − − = − − = − ⋅ = ) 0 ( ) 0 ( ₋ = + − − = L C L L i X X E i ) sin( ) 0 ( 0 ) 0 ( − = = _C + = ₁+ ₂ + _cm −ϕ c u A A U u C L cm cm L cm C cm t r t r C C C L X X E CU r CA r CA R U A A i e U r A r A U t U e r A e r A U U C R U e i − − = − − − − − + + − = = − + ⋅ + ⋅ = ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − − = + + + ⋅ ⋅ + + + + ) cos( )) sin( ( ) 0 ( 0 ) 0 ( ) cos( ) 0 ( ' ) cos( ' ) 0 ( ' ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ϕ ϕ ϕ ω ϕ ω 0 ) sin( 2 1 +A +Ucm −ϕ = A

Z ostatniego równania wyznaczamy A2 i wstawiamy do równania przedostatniego. W ten

sposób otrzymujemy niewiadome A1 i A2. Znając A1 i A2 otrzymujemy ostateczny wynik

) sin( ) ( 1 2 2 1⋅ + ⋅ + ω −ϕ = ⋅ ⋅ t U e A e A t u_C rt r t _cm

Zadanie k.7

Obliczyć prąd płynący przez indukcyjność L, dla założenia R C L=_ϖ1 =2 ϖ _. t E t e( )= _msinω

,

R C L=_ϖ1 =2 ϖ e(t) R L C 0 W 0 1 2 c U iR t e( )= + L L L L L L L L L L C L C L L L C C L c Ri Li RCLi t e Ri RCLi Li t e i LCi R Li t e Li U i CU R Li t e R Li t e i Li iR t e i CU Li U + + = + = − + = − = + = − − = ⇒ + = = = ' '' ) ( ' ' ' ) ( '' ' ) ( ' ' ' ' ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' '

Wyznaczamy składową przejściową:

0 1 1 0 1 ' 1 '' 0 ' ' 2 + + = = + + ÷ = + + LC r RC r LC i RC i RCL Ri Li RCLi L L L L L 0 4 1 4 4 4 4 4 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − = − = − = ∆ − = ∆ LC C L LC LC C L LC C L LC C R ϖ ϖ

t r L A At e i p 0 ) ( ₁ + ₂ = RC r gdzie 2 1 0 =−

Wyznaczamy składową ustaloną:

ω ω ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = j m m e E E t E t e( ) sin( ) ) 90 sin( 0 2 90 90 0 − = = = = = = = = = − t X E i e X E e X e E jX E I i i i R X X rezonansu Dla Z E I L m u L j L m j L j m L L C L C L ϖ Sumaryczny prąd iL(t): ) 90 sin( ) ( 1 + 2 + − = t X E e t A A i L m rt L ϖ

Z warunków komutacji wyznaczamy współczynniki A:

L m L m L L L L X E A X E A i i i i = = − = = = + − + − 1 1 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( − = C + C U U ϖ ϖ ϕ ϕ ϕ ϖ ) 90 cos( ' ) 0 ( ' ) 0 ( ) 90 sin( ) 0 ( ) 90 sin( ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 − + + + = = − − + = = − − + = + + − t X E tre A e A re A i Li u X R X E u R X arctg t X R X E t u L m rt rt rt L L C C C m C C C C m C

2 2 2 2 1 1 2 2 1

)

90

sin(

)

90

sin(

)

0

(

'

A

r

X

E

A

X

R

E

X

X

LA

r

LA

X

R

X

E

A

r

A

i

C m C m L C C C m L

=

−

−

−

+

=

+

=

−

−

+

+

=

+

ϖ

ϕ

Ostatecznie ) 90 sin( ) 90 sin( ₁ 2 2 + −               − − + + = t X E e t r X E X R E X E i L m rt C m L m L m L ϕ ϖ ϖ gdzie: RC r R X arctg C 2 1 1 − = = ϕ

Wykres uc(t), il(t) (dla R=4 Ω L= 1.273 mH C=19.894 uF Emax=3 V f=1kHz)

przedstawiono na rys. k.7 Time 0s 5ms 10ms 15ms 20ms V(V1:+) I(L1) -4.0 0 4.0 Rys. k.7 Zadanie k.8

Obliczyć napięcie na kondensatorze C.

) sin( Im ) (t = ⋅ ω +t φ i

Równanie wyjściowe: ) ( 1 t i U R dt dU C c c + ⋅ =

Składowa przejściowa na kondensatorze:

RC t cp t A e U − ⋅ = ) ( Składowa ustalona: ) ctg sin( ) ( 1 Im ) ( 2 t ar RC RC R t U_cu ω φ ω ω + − + ⋅ =

Całkowite napięcie na kondensatorach:

) ( ) ( ) (t U t U t Uc = cp + cu

Z warunku początkowego:

) sin( ) ( 1 Im ) ( 2 t arctg RC RC R e A t U RC t C ω φ ω ω + − + ⋅ + ⋅ = − 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ₋ = c + = c = c U U U ) sin( ) ( 1 Im 0 2 arctg RC RC R e A RC t ω φ ω − + ⋅ + ⋅ = − ) sin( ) ( 1 Im 2 arctg RC RC R A φ ω ω − + ⋅ − = )] sin( ) [sin( ) ( 1 Im ) ( 2 t arctg RC e arctg RC RC R t Uc RC t ω φ ω φ ω ω + − − ⋅ − + ⋅ = − Zadanie k.9

) ( ' ) ( ' ) 0 ( ' ) 0 ( ' 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 t U C i t U C i U R C U E R U C U E i i I R i U R i R i U E C C C C C C C C ⋅ = ⋅ = + ⋅ + = ⋅ ⋅ + = + = ⋅ + = ⋅ ⋅ + = + + ' 1 ' 1 ' ' ' 1 1 ' ) ' ' ( ) ( 1 ' 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 Ri i C Ri i C R i R U E i Ri Ri i C i C R i i i R i i C R i C + = + + ⋅ − = − + − = ⋅ − + − = ⋅ 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 ' '' ' 2 ' '' '' ' ' 2 ' ' 1 ' ' RC U C C U U RC RC E U RC U U C C U RC RC E U RC U C C RC U RC E U U C i Ri i C U RC U E U C C C C C C C C C C C C C C C +       + ⋅ + = + + + = + = − + − = + = − − + − 0 4 4 4 4 1 4 2 0 1 ' 2 '' 0 2 ' '' 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 > + = − + + = ∆ −       + = ∆ = + + + = +       + ⋅ + C C R C C C C R C C C C C C C C R C RC C C U C C R U C RC C C U RC U C C U U RC C C C C C C

2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 4 2 1 2 2 4 2 1 2 2 C C R C C RC C C r C C R C C RC C C r + + − − = + − − − = E U U A r A r U e A r e A r t U E e A e A t U E t U e A e A t U C U C U Q C E C U Q Q Q C C C t r t r C t r t r C CU t r t r CP C C C = = + = ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ = ⋅ = = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + − − + −

∑

∑

∑

∑

) 0 ( 0 ) 0 ( ' ) 0 ( ' ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1

Na podstawie powyższych równań można wyznaczyć stałe A1 i A2.

Zadanie k.10

Obliczyć prąd płynący przez rezystor R3 po otwarciu wyłącznika W.

Po otwarciu wyłącznika prąd i1=i3 :

0 ) ( ) ( ) ( 3 3 3 1 3 ⋅ + + −E= dt t di L R R t i Równanie charakterystyczne:

3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 3 1 0 3 3 1 3 3 3 1 3 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 R R E A i R R E e A t i R R E t i e A t i i i t i L R R r L r R R dt t di L R R t i t r u t r p p u + + = + + ⋅ = + = ⋅ = + = + − = = ⋅ + + = + + ⋅ + ⋅ ⋅ Z warunków komutacji 3 3 3 3 2 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( L i L i L i W WL L ⋅ = Φ ⋅ + ⋅ = Φ Φ = Φ = + + − − − + − + −

∑

∑

∑

∑

) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 3 3 1 3 2 3 3 2 t i t i t i R R E A i R R E i R R E i u p Z Z + = + + = ⋅ = ⋅ = + − − Otrzymujemy: 3 3 1 3 3 2 3 ) ( A L R R E L R E L R R E Z ⋅ + + = ⋅ + ⋅ ⋅ gdzie 3 2 3 1 2 1 R R R R R R R_Z = ⋅ + ⋅ + ⋅ po wyliczeniu A: 3 1 2 3 2 3 ) ( R R E R L L R R E A Z + − + ⋅ =

) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 1 2 3 2 3 3 t r t r Z u p e R R E e R L L R R E t i t i t i ⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅ + = + =

Narysować przebiegi prądów dla R1= R2= R3=1 Ω L2= L3= 1 uH oraz E=3V

Zadanie k.11

W chwili t=0 zwarto wyłącznik W. Obliczyć przebieg napięcia na C3 wykorzystując

szczególe warunki komutacji.

Równania opisujące układ:

∫

∫

− − = − t ti t dt i t R C dt t i C E 0 2 2 0 1 0 2 ) ( ) ( 1 ) ( 1 i=i1+i2 R U i c 2 2 2 = i1=C2Uc2’ Zadanie k.12

Znaleźć napięcie na kondensatorze C1.

R t=0

.e(t) C C Uc

e(t)= Emsin(wt + ψ)

RC r RC r t e RC u RC dt du u R C dt du t e c c c c 2 1 0 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 ) ( − = = + = + + ⋅ =

Rozwiązując powyższe równanie różniczkowe uzyskujemy: u_cp(t)=Ae2RCt

1

−

Składowa ustalona napięcia:

ucu(t) = sin[ (2 )] ) 2 ( 1 2 t arctg RC RC Em ω ψ ω ω ⋅ + − +

Do wyznaczenia stałej A wykorzystuje się warunek komutacyjny dla Qc(0-)=Q(0+)

Zadanie k.13

Znaleźć prąd płynący przez kondensator C2.

Stosujemy następujące oznaczenia : i1=iR i2=iC2

Równania na podstawie schematu mają postać :

2 1 2 1 1 1 i i i U R i R i U E C C + = = + =

Przekształcając powyższe równania otrzymujemy: ′ = ′ − = − 2 1 2 1 C C C C U U U U E

1 1 1 1 C i U U C i C C = ′ ′ = ′ = − 2 1 C U C i i = i1 + i2 więc:

(

+

)

= ′ − 1 2 2 1 1 C U i i C ′ = = 2 2 2 2 1 , C C U C i R U i

(

)

0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 = ′ + − − ′ = ′ − − ′ =       ₊ ′ − C C C C C C C C U RC RC U U RC RU C U U U C R U C

(

)

(

1

)

0 0 2 1 2 2 2 2 1 2 = + + ′ = ′ + + C C R U U U RC RC U C C C C

Wyznaczamy składową przejściową: Równanie charakterystyczne ma postać:

(

)

(

)

( )

rt p C t Ae U C C R r C C R r = + − = = + + 2 2 1 2 1 1 0 1

Składowa ustalona wynosi:

( )

0

2 t =

U_{C u} Całkowite napięcie ma postać :

( )

rt C t Ae U 2 = Ponieważ :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 2

( )

2 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C U C U C Uc C Uc Q Q Q Q C C + + + + + − + − = = + − = = =

∑

∑

∑

∑

2 1 C C U U E= + Możemy napisać:

( )

( )

( )

+

( )

+ + + = − + = 0 0 0 0 1 2 2 1 C C C C U U E U U E

Korzystając z ostatniego warunku komutacji szczególnej:

( )

( )

( )

( )

( )(

)

( )

A C C EC U C C U EC C U U C EC C C U U C C C C C C = + = + = = − = + + + + + + 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 Ostatecznie:

( )

rt C e C C EC t U 2 1 1 2 = ₊ Wyznaczamy szukany prąd i2 :

( )

rt C C re C C EC t U U C i 2 1 1 2 2 2 2 + = ′ ′ = Ostateczna odpowiedź :

(

)

( ) t C C R e R C C C EC t i 1 2 1 2 2 1 2 1 2( ) + − + − = W 0 1 2 C2 1 E R 2 3 C1 0

Time

0s 10us 20us 30us 40us 50us 60us 70us

V(3) V(2) 0V 1.0V 2.0V 3.0V Time

0s 10us 20us 30us 40us 50us 60us 70us

-I(R3) 0A 50mA 100mA 150mA Zadanie k.14 Obliczyć rozpływ prądów.

Przyjąć następujące dane:

E= 5V; R1=R3 = 1 KΩ, R2=2 KΩ L1=L3=1 H, L2=2H

3 5 3 4 3 5 3 5 3 5 5 ) ( 2 1 5 2 1 5 1 2 1 2 1 5 ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 2 3 2 1 2 1 + = +             − = + +             + − + + ⋅ = + +             + − + + ⋅ = − −       + + −       + + − t t t t L L R R e e t i e t i R R E e R R E R R R R R E t i W 1 2 L2 R1 R3 E R2 L3 0 L1 Wykres prądów: Time 0s 10ns 20ns 30ns 40ns 50ns 60ns 70ns

I(R1) -I(R2) -I(L3)

0A 1.0mA 2.0mA 3.0mA

Zadanie k.15

Obliczyć napięcie na kondensatorze C2 przy założeniu, że kondensator C1 jest naładowany.

W _R Q0 _C C2 U2 1 Rozwiązanie: ) 1 ( ) ( 2 1 0 2 rt e C C Q t U − + = gdzie: 2 1 2 1 C RC C C r=− + Zadanie k.16

W chwili t=0 następuje przełączenie wyłącznika, obliczyć prąd i.

Zadanie k.17

Obliczyć prąd kondensatora i2, jeżeli w chwili t=0 następuje przełączenie kluczy w układzie

jak na rysunku. R2 2 C2 2u 0 R1 1 V1 3Vdc C1 1u U2 0 1 2 U1 0 1 2

Oznaczamy szukany prąd jako i.

Obliczamy pojemność zastępczą kondensatorów (po chwili t=0).

C C C C C C_z 3 2 2 2 = +⋅ = / 0 / 0 3 4 3 2 2 Cz Cz C Cz RCu u U CU i R i U U + = = ⋅ + =

Uzyskujemy równanie charakterystyczne:

RC r r C R 1 4 3 0 3 4 1 ⋅ − = = ⋅ ⋅ + rt p C cz u C rt p C Ae t u t u t u Ae t u z z z = = = = ) ( ) ( 0 ) ( ) (

∑

Q(0−)=

∑

Q(0+) ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ₋ =Q_{C −} +Q_{2C +} Q C E Q_C(0₋)= ⋅ A E U Ae t U E U Q C t r C C C = = ⇒ = = = + + ) 0 ( ) ( ) 0 ( 0 ) 0 ( 0 2 t RC t r t r t r C e R E e RC CE CEre CAre CU t i  = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅     _{− ⋅} = = = = 4 3 / 4 3 1 4 3 ) ( 0 0 0 Zadanie k.18