A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S
FOLIA OECONOMICA 217,2008
Monika Czajkowska*
PRACA Z KALKULATOREM GRAFICZNYM
NA ZAJĘCIACH Z PRZEDMIOTÓW ILOŚCIOWYCH
1. W PŁYW TECHNOLOGII INFORM ACYJNEJ NA PROCES UCZENIA SIĘ -NAUCZANIA
U pow szechnienie się 1T w yw iera ogrom ny w pływ na proces kształcenia na każdym etapie edukacji. A nim acje i sym ulacje pobudzają osoby uczące się do aktyw ności m yślow ej, a dzięki ukazyw aniu rzeczy i zjaw isk w ruchu, pokazy-waniu przebiegu zjaw isk i procesów , ułatw iają proces interioryzacji, co z kolei prowadzi do operacji myślowych.
N ie ulega w ątpliw ości, że w ykorzystanie kom putera lub kalkulatora graficz-nego pozw ala, w określonych w arunkach, na głębsze rozum ienie rozw ażagraficz-nego zagadnienia, a także na m odelow anie i sym ulow anie przebiegu wielu zjaw isk czy procesów. Studenci m ogą rozpatryw ać rzeczyw iste problem y, w ykonyw ać działania na realnych danych, a nie specjalnie dobranych i życiow o bezsensow -nych. Um iejętny ich dobór i w łaściw e w ykorzystanie m o g ą zadecydow ać o tym , czy rozw ażane zagadnienia w zbudzą ich zainteresow anie i czy proces poznania rzeczyw istości będzie przebiegał prawidłow o. Z astosow anie kom puterów , czy kalkulatorów graficznych w ym usza zm ianę stylu pracy zarów no w ykładow cy jak i osoby uczącej się.
W ykorzystanie kom puterów sprzyja efektyw ności procesu uczenia się - nauczania zw łaszcza wtedy, gdy studenci m ogą indyw idualnie pracow ać przy kom puterze, sym ulow ać pew ne sytuacje, badać je i w yciągać w nioski. N iestety, na zajęciach z przedm iotów ilościow ych nie m iałam m ożliw ości zorganizow ania zaJęć w pracowni kom puterow ej. G łów nym powodem była zbyt duża liczebność §rup studenckich. Ponadto ze względu na obciążenie dydaktyczne pracowni kom puterow ych nie było m ożliw ości regularnego korzystania z nich.
W jednej z grup studenckich kierunku Ekonom ia, z którą prow adziłam zaję-cia z przedm iotu m atem atyka, zaobserw ow ałam , że znaczna część studentów posiada kalkulatory graficzne1. N iestety nie w ykorzystyw ali ich m ożliwości, stosując głów nie do w ykonyw ania prostych obliczeń rachunkow ych. Postanow i-łam w skazać im inne zastosow ania tych kalkulatorów , w spom agając w ten spo-sób proces nauczania - uczenia się m atem atyki.
Kalkulatory graficzne, podobnie ja k kom puter, m ogą w nauczaniu przed-m iotów ilościowych (zob. B. B ugajska - Jaszczołt, M. C zajkow ska, 2007):
• ułatw iać w prow adzanie now ego pojęcia i w yjaśnianie jeg o sensu, • ilustrow ać gotowe treści przekazyw ane przez w ykładow ców , • um ożliw iać sam okontrolę i kontrolę wiedzy studenta,
• służyć jak o narzędzie do badania rzeczyw istości, do rozw ażania proble-mów niedostępnych przy zastosow aniu tradycyjnych metod,
• w spom agać studenta w uzupełnianiu lub rozszerzaniu posiadanej wiedzy. W niniejszym artykule przedstaw ię kilka sytuacji dydaktycznych, w których kalkulatory graficzne p ełnią niektóre z powyżej w ym ienionych funkcji.
2. PRZYKŁADY WYKORZYSTANIA KALKULATORÓW GRAFICZNYCH DO SAMOKONTROLI WIEDZY STUDENTA
Praktyka pokazuje, że w iększość studentów I roku studiów I stopnia kierun-ku Ekonom ia nie ma ugruntow anej wiedzy na tem at funkcji potęgow ych, w y-kładniczych, czy logarytm icznych. Prezentacja na w ykładach kształtów w ykre-sów takich funkcji często nie przynosi pożądanych efektów . Ta w iedza w ielo-krotnie nie zostaje zasym ilow ana i w ykorzystyw ana naw et podczas rozw iązy-w ania najprostszych zadań. Szkicoiązy-w anie iązy-w ykresóiązy-w funkcji za pom ocą kartki i ołówka je st bardzo czasochłonne. Przy funkcjach o w zorach bardziej skom pli-kow anych studenci nie m ają szans na popraw ne narysow anie ich w ykresów . Zaobserw ow ałam , że niektórzy, zw łaszcza ci o niskich um iejętnościach, którzy w ielokrotnie doznają porażek, w o lą nie robić nic i czekać aż w ykres pojawi się na tablicy.
Praca z kalkulatorem graficznym zm ieniła tak ą postaw ę. Początkow o stu-denci sam odzielnie sporządzali na kartce w ykresy funkcji potęgow ych, w ykład-niczych i logarytm icznych2, o niezbyt nieskom plikow anych w zorach, np.
1 Studenci posiadali różne typy i m odele kalkulatorów graficznych, co rodziło pew ne trudno-ści organizacyjne, zw łaszcza na pierw szych zajęciach. Poniew aż w ięk szość studentów posiadała kalkulatory C A SIO CFX - 98 5 0 G PLUS. w ięc przedstawione w tym artykule programy zostały napisane na ten typ kalkulatora.
2 C elow o wym agałam , aby studenci najpierw' sporządzali w ykres funkcji za p om ocą karki i ołów ka, gd yż chciałam rozwijać um iejętność w łasn oręczn ego rysowania funkcji.
f ( x ) = 2~*+\ f ( x ) = log(* + 3). W iększość z nich robiła to błędnie. N auczeni
dośw iadczeniem zdobytym podczas rysow ania w ykresów funkcji liniowych postępow ali podobnie. Intuicyjnie sporządzali tabelkę, w yznaczali wartości funkcji dla większej (niż dw a) liczby argum entów , zaznaczali punkty w układzie w spółrzędnych i próbowali je łączyć, najczęściej łamaną. Ich uw aga skupiona była na w ykonyw aniu rachunków i uzupełnianiu tabelki, a następnie na w yborze „najbardziej racjonalnego i naturalnego połączenia punktów ” . Tym razem je d nak nie czekali, aż rozw iązanie pojawi się na tablicy, lecz sam odzielnie spraw -dzali popraw ność naszkicow anych przez siebie w ykresów w ykorzystując lator graficzny. N ie musieli nikogo pytać, czy w ykres jest popraw ny - to kalku-lator dostarczał im inform acji zw rotnej. W ielokrotnie okazyw ali zdziw ienie i zdum ienie, gdy w ykres naszkicow any na kartce różnił się znacznie od tego, który widniał na ekranie kalkulatora. To jed n ak pobudzało ich do m yślenia i działania - starali się dotrzeć do istoty błędu, tak, aby go więcej nie popełniać. Stawali się coraz bardziej św iadom i faktu, że częściow o są odpow iedzialni za własne w ykształcenie. Dla studentów ważne było to, że nikt nie był świadkiem popełnianych przez nich błędów i usterek, nie musieli się publicznie do nich przyznawać. Z jednej strony pracow ali w osam otnieniu (gdyż każdy sam odziel-nie sporządzał w ykres, oceniał je g o popraw ność i badał „sw oją” funkcję), z dru-giej w razie potrzeby mogli się kom unikow ać i dyskutow ać. Z auw ażyłam , że studenci, naw et ci o niskich um iejętnościach, ju ż po kilku przykładach zapam ię-tywali kształt wykresu funkcji potęgow ej, w ykładniczej, czy logarytm icznej. Powoli zaczynali rozw ażać w ykresy funkcji o coraz bardziej skom plikow anych wzorach, sami „w ym yślali” takie funkcje i nie ukrywali radości z odnoszonych sukcesów. N a rys. 1 przytaczam przykłady dwóch funkcji rozw ażanych przez studentów.
Studenci zachęceni do nauki z kalkulatorem graficznym zaczęli sam odziel-nie poznaw ać inne je g o m ożliw ości. Ich zaciekaw ieodziel-nie w zbudziły np. polecenia
{Parm}oraz {r=} To spow odow ało, że poznali krzyw e opisane rów naniam i pa-ram etrycznym i oraz zadane rów naniam i we w spółrzędnych biegunow ych. Te treści zostały przez nich głębiej poznane i trwalej zapam iętane niż w przypadku tradycyjnego nauczania, a co najw ażniejsze chęć ich poznania w yszła od sam ych studentów.
K alkulatory graficzne w ykorzystyw ałam jeszcze w ielokrotnie na zajęciach z m atem atyki i statystyki, np. gdy rozw ażane były treści dotyczące rachunku w ektorow ego, działań na m acierzach, rachunku praw dopodobieństw a, budow y szeregów statystycznych i ich prezentacji graficznej (w tym histogram ów ), w y-znaczania charakterystyk liczbow ych struktury zbiorow ości.
H 2 - '- 1
[OPTN] [F5] (N U M ) [Fl | (A U S ) [(] |2 | [л] |( | [-] [x. © , T] [)] [-] [ I
j ^
b) j> = log(|x2 - l | + - )
YT
|lo g ] [OP'ľN] [F5] (N U M ) [F 1 ] (A B S ) [(] |( | [x. 0 , T] [x2] [-] 11 ] [)] [+] 111 |ab/c] |2 ] [)|
Rys. I. W ykresy funkcji sporządzone przez studentów za p om ocą kalkulatora graficznego
3. PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA KALKULATORA GRAFICZNEGO
DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMU DOTYCZĄCEGO PRZEWIDYWANIA POPYTU NA PEWIEN TOWAR
W standardach kształcenia dla kierunku Ekonom ia, czytam y m.in., że ab-solwent powinien być przygotowany do przeprowadzania analizy dostępnych lub tworzonych informacji wspierających podejmowanie racjonalnych decyzji osa-dzonych w kanonach nauk ekonomicznych. O znacza to, że jednym z ogólnych
celów kształcenia studentów kierunku Ekonom ia je s t nauczenie podejm ow ania decyzji w oparciu o posiadane inform acje. Cel ten pow inien być realizow any na w iększości przedm iotów określonych planem studiów, w tym rów nież na m ate-m atyce. C zęsto zdarza się jednak, że na zajęciach z ate-m ateate-m atyki nie bada się realistycznych lub pararealistycznych problem ów , które pozw alałby na realiza-cję tego celu. Dzieje się tak z w ielu powodów, m.in. dlatego, że badanie rzeczy-w istych problem órzeczy-w rzeczy-w ym aga zazrzeczy-wyczaj odrzeczy-w ołyrzeczy-w ania się do złożonych teorii m atem atycznych, które nie są dostępne studentom I roku studiów ekonom icz-nych, rzeczyw iste dane w ym agają w ykonyw ania wielu żm udnych rachunków , niektórzy autorzy podręczników do nauki m atem atyki, a także w ykładow cy
zakładają a priori, że przejście od zagadnień ogólnych do szczególnych
przy-padków nie pow inno spraw iać studentom trudności (zob. M. C zajkow ska, 2006). W takim nauczaniu student dostaje inform ację, że m atem atyka je st oderw ana od rzeczyw istości. N ie wie jak m ożna w ykorzystać j ą ja k o narzędzie do rozw iązy-wania różnego rodzaju problem ów ekonom icznych.
Zastosow anie kalkulatorów graficznych pozw ala na rozw ażanie takich pro-blem ów, które byłyby niedostępne studentom przy zastosow aniu tradycyjnych metod lub praca byłaby zbyt czasochłonna. Poniżej przedstaw iam problem przew idyw ania popytu na tow ar w danym tygodniu w zależności od przew idy-wań i popytu na ten tow ar w tygodniu poprzednim 1.
Do sklepu wielobranżowego w niewielkim miasteczku raz w tygodniu do-starczane są suszone śliwki. Sprzedawca nie chce, aby zabrakło towaru, bo obawia się, że straci klientów. Z drugiej strony nie może zakupić go zbyt dużo, gdyż śliwki mogłyby ulec zepsuciu. Postaw się w roli tego sprzedawcy i zaplanuj zakupy w 11 tygodniu. Informacje z 10 wcześniejszych tygodni zawiera tablica 1.
Tablica I
Tydzień 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
W ielkość popytu 10 12 12 9 13 12 10 8 10 15
Pracę ze studentam i nad tym zadaniem rozpoczęłam od dyskusji co pow in-niśmy w iedzieć, aby móc przew idzieć i zaplanow ać zakup suszonych śliw ek na kolejne tygodnie. Jej w ynikiem było ustalenie, że przew idyw ania na następny tydzień będą zależeć od przew idyw ań i rzeczyw istej sprzedaży w obecnym ty -godniu. W dalszej części nastąpiła m atem atyzacja i stw orzenie odpow iedniego modelu m atem atycznego (zob. G. Treliński, 2006). Funkcja przew idyw ania
P została zdefiniow ana następująco:
i P ( 1) » 5 ( 1) ,
\p (.t + 1 ) = a - s ( 0 + 0 ~oc) p (t),
gdzie t - kolejny tydzień, czyli t = l,2 ,..., 10
s(t) - wartość funkcji rzeczyw istego popytu w tygodniu t, P(t) - wartość funkcji przew idyw ania w tygodniu t.
< * e (0 ,l).
3 Pom ysł został zaczerpnięty z artykułu M. Sobczyński Przewidywanie sprzedaży towarów.
N astępnie w dom u studenci konstruow ali odpow iedni program na kalkulator graficzny. Tw orząc go sam odzielnie, ja k wynika z prow adzonych później roz-mów, dogłębniej analizow ali rozw ażany problem i jeg o model m atem atyczny, zastanaw iali się czym będą otrzym yw ane kolejne w artości funkcji p, co oznacza param etr a . O to przykład jednego z program ów na kalkulator C A SIO CFX 9850G.
[F3] (NEW)
[S] [P] [R] [ZJ [EJ [D] [AJ [Z] [EXE] [SHIFT] [INS]
[SHIFT] [ALPHA] [F2] (“) [ALPHA] [ALPHA] [P] [ALPHA] [O] [ALPHA] [D] [ALPHA] [A] [ALPHA] [J] [ALPHA] [.] [ALPHA] [N] [SHIFT] [ALPHA] [F2] (“) [SHIFT] [J]
[SHIFT] [PRGM] [F4] (?) [->] [ALPHA] [N] [J]
[SHIFT] [ALPHA] [F2] (“) [ALPHA] [ALPHA] [P] [ALPHA] [O] [ALPHA] [D] [ALPHA] [A] [ALPHA] [J] [ALPHA] [.] [ALPHA] |A] [SHIFT] [ALPHA] [F2] (“) [SHIFT] [J]
[SHIFT] [PRGM] [F4] (?) [->] [ALPHA] [A] [J]
[SHIFT] [ALPHA] [F2] (“) [ALPHA] [ALPHA] [P] [ALPHA] [OJ [ALPHA] [D] [ALPHA] [AJ [ALPHA] [J] [ALPHA] [.] [ALPHA] [S] [SHIFT] [ALPHA] [F2] (“) [SHIFT] [J]
[SHIFT] [PRGM] [F4] (?) [-►] [ALPHA] [S] [J] [ALPHA] [S] [->] [ALPHA] [P] [J]
[FI] (FOR) 1 [-»] [ALPHA] [B] [F2] (TO) [ALPHA] [N] [F3] (STEP) I [SHIFT] [J] [ALPHA] [A] [x ] [ALPHA] [S] [+] [(] [1] - [ALPHA] [A] [)] [x] [ALPHA] [P] [->]
[ALPHA] [P] [SHIFT] [SHIFT] [PRGM] [F5] ( J )
[SHIFT] [ALPHA] [F2] (“) [ALPHA] [ALPHA] [P] [ALPHA] [O] [ALPHA] [D] [ALPHA] [A] [ALPHA] [J] [ALPHA] [.] [ALPHA] [S] [SHIFT] [ALPHA] [F2] (“) [SHIFT] [J]
[SHIFT] [PRGM] [F4] (?) [-►] [ALPHA] [S] [J] [FI] (COM) [F6][F4] (NEXT)
[SHIFT] [QUIT]
W program ie tym najpierw zadajem y liczbę tygodni dla których będziem y przew idyw ać sprzedaż, w artość (, oraz sprzedaż w pierw szym tygodniu. N a w yśw ietlaczu pojaw ia się w artość funkcji przew idyw ania na drugi tydzień. N a-stępnie program pyta jaki był rzeczyw isty popyt w tygodniu 2 i podaje wartość funkcji przew idyw ania na trzeci tydzień. Znowu pojaw ia się pytanie o to, jaka była rzeczyw isty popyt w trzecim tygodniu, itd., aż do zadanej z góry liczby tygodni.
Na następnych zajęciach studenci za pom ocą kalkulatora próbowali zapla-nować zakupy w 11 tygodniu. Pojawiło się pytanie o w artość param etru.
Stu-denci w prow adzając różne w artości tego param etru przew idyw ali w ielkość za-kupów w kolejnych tygodniach i porów nyw ali je z rzeczyw istym popytem , aż w końcu wybrali taki, dla którego przew idyw ania były najtrafniejsze.
Studenci w ykazyw ali się aktyw nością intelektualną. Zadaw ano pytania, które praw dopodobnie nie pojaw iłyby się podczas rozw iązyw ania typow ych zadań tradycyjnym i m etodam i. Przedłużano zadanie tw orząc nowe problem y na bazie ju ż rozw iązanego. Próbow ano np. zaplanow ać zakupy na najbliższe 10 tygodni, znając tylko w ielkość sprzedaży w pierw szym tygodniu (10 kg). Stu-denci rozw ażali różne sytuacje, odw ołując się do życiow ych dośw iadczeń. Z a-stanaw iali się, czy ich przew idyw ania b ęd ą trafne w sytuacjach, gdy np. popyt na suszone śliwki w ykazuje duże w ahania (np. w okresie przed- i pośw iątecz- nym), czy nie pow inno rozw ażać się wtedy dw óch przypadków , ja k ą w artość powinien przyjm ow ać param etr (B adali, kiedy określona funkcja m oże być rze-czyw iście pom ocna do podejm ow ania decyzji. N a rys. przedstaw iam fragm ent pracy jed n eg o ze studentów:
======SPRZEDAZ====~ “ PODAJ N"* ?-Ж^ "PODAJ A V ?+A* "PODAJ S " * I t ö p H t m Е Е Я Ж П Ч й ¥ а Н ?1 ======SPRZEDflZ====== S*P<* For 1-»B To N Ste p 1^ AxS+<l-A>xP+P„ "PODAJ S V Next______________ [t o p ( Iť m 0 3 ? ШШГ НПЗ? 10 PODAJ S 10.412672 o PODAJ S Í3 'У 12.3168 8 PODAJ S 8.4825344 9 - D isp - Í 2 4. ZAKOŃCZENIE
N auka z kalkulatorem graficznym na ćw iczeniach z m atem atyki i statystyki musi być inaczej zaplanow ana niż w tradycyjnym nauczaniu, w którym opiera się ona głów nie na rozw iązyw aniu kolejnych zadań zam ieszczonych w zbiorach •ub arkuszach zadań. Z asadnicza różnica podejść polega na tym, że z kalkulato-rem ćw iczy się tę sam ą um iejętność na różnym m ateriale, unikając żm udnych 1 czasochłonnych rachunków lub pracuje się zazw yczaj nad jednym problem em , który rozbudow uje się w m iarę ja k przebiega je g o analiza lub rozpatruje się go z różnych punktów w idzenia. Dużo w ięcej czasu pośw ięca się na badanie sytu-acji i refleksję. Dzięki tem u studenci m o g ą lepiej zrozum ieć rozw ażane zagad-nienia i dokładniej przyjrzeć się om aw ianym problem om . M ogą badać sytuacje
realistyczne lub pararealistyczne niedostępne lub trudno dostępne w tradycyj-nym nauczaniu.
K alkulatory graficzne zm ieniają postaw y studentów wobec m atem atyki, zw łaszcza tych m ających trudności z nauką tego przedm iotu. O soby o niew iel-kich um iejętnościach m atem atycznych, zw ykle niezainteresow ane i pasyw ne podczas zajęć, pracując z kalkulatoram i graficznym i w ykazują się aktyw nością intelektualną i pracują intensyw niej niż przy zastosow aniu tradycyjnych metod nauczania. K alkulator je st dla nich pom ocą w przełam aniu oporów wobec w ła-snych braków i luk w w iedzy oraz w sparciem w pokonyw aniu istniejących blo-kad em ocjonalnych utrudniających percepcję i zrozum ienie poznaw anych treści. Stanowi oparcie dla tych osób, które nie są pew ne otrzym yw anych w yników . Dzięki kalkulatorom uzyskują one na ekranie potw ierdzenie swoich przypusz-czeń lub inform ację o popełnionym błędzie. K alkulator niekiedy staje się narzę-dziem spraw dzającym popraw ność m atem atycznego rozum ow ania, a nie tylko w yników liczbowych.
Tw orząc program y studenci utrw alają zdobyte w iadom ości, głębiej analizują i lepiej rozum ieją sam problem - m uszą bowiem zapisać posiadaną inform ację w języku kalkulatora. Pojaw ia się naturalna sytuacja zw iązana z tłum aczeniem danej inform acji z jed n eg o języ k a na inny, z kodow aniem i odkodow aniem in-formacji.
K alkulator uczy staw iania pytań i szukania odpow iedzi. Na zajęciach bez kalkulatora studenci zazw yczaj w ogóle nie pytają, stw ierdzając, że „nie w iedzą jak rozw iązać zadanie, gdyż je st zbyt trudne” . Podczas pracy z tym narzędziem osoby uczące się często zadają pytania typu „co się stanie, jeśli zm ienim y...?”, „dlaczego na ekranie je st coś takiego?”, „czy je st to rzeczyw iste rozw iązanie problem u, czy tylko przybliżone?”, ,ja k to udow odnić?”. Starają się odczytane z wykresu rozw iązanie uzasadnić (lub obalić) na gruncie m atem atycznej teorii, próbują głębiej badać rozw ażany problem lub dążyć do je g o uogólnienia. W ie-lokrotnie sami w ychodzą z inicjatyw ą poznania nowych treści.
LITERATURA
Bugajska-Jaszczołt B.. Czajkow ska M.. Some examples using IC T to create the concept image o f mathem atical object w: M athematics at school today and tomorrow. Katolicka Univerzita
w Ruzomberoku . płyta CD, ISBN 9 7 8 -8 0 -8 0 8 4 -2 6 2 -8 , 2007.
Czajkow ska M ., Czynności o charakterze motywacyjnym podejm ow ane przez studentów kierunków ekonom icznych w toku rozwiązywania zadań m atematycznych w: Edukacja matematyczna na studiach ekonomicznych (red. G. Treliński) W ydawnictwo W SEiA, s.223 - 243. K ielce 2006.
Sobczyński M., Przewidywanie sprzedaży towarów, http://www.mim uw.edu.pl /~eler/ntwnm /
prace.html
Rozporządzenie M inistra N auki i Szkolnictwa Wyższego w sprawie standardów kształcenia dla poszczególnych kierunków oraz poziom ów kształcenia, a także trybu tworzenia i warunków, ja kie musi spełniać uczelnia, by prow adzić studia miądzykierunkowe oraz makrokierunki z 12
lipca 2007r. Standardy kształcenia dla kierunku Ekonomia http://ww w.bip.nauka.gov.pl /_ g A llery/23/39/2339/22_ek on om ia.p d f
Treliński G„ Rola i miejsce matematyki jako przedmiotu nauczania w systemie kształcenia mate-matycznego na studiach ekonomicznych, w: Edukacja matematyczna na studiach ekonomicz-nych, W ydaw nictw o W SEiA, K ielce, 2006, s. 3 1 -5 0 .
Monika Czajkowska
W O R K W I T H Л G R A P H I C C A L C U L A T O R D U R I N G C L A S S E S ON Q U A N T I T A T I V E O B J E C T S
Graphic calculator is one o f the tools which can help students in cognitive process experi-menting in the course o f hard problem solving. This can favour various mathematical skill d evel-opment such as observing, analyzing, generalizing, formulating and review in g hypotheses. In this article it w ill be demonstrated how it is possible to use the graphic calculator during the classes on 4uantitative subjects to ponder the problems that are inaccessible to students w h ile using the tradi-tional m ethods and demonstrative means.
