Zajecia

(1)

pierwsze kolokwiumprzykªadowe rozwi¡zania

Zadanie 1. Znajd¹wszystkieli zbyzespolonebd¡ erozwi¡zaniami

równa-nia: i)

z

2

_{= −3 + 4i,}

ii)

z

2

_{− 3z + (3 − i) = 0}

.

Rozwi¡zanie 1. i) pierwszy sposób: wiemy, »e je±li

w = a + bi

oraz

z

2

_{= w}

,to

z = ±

b

p2(|w| − a)

+ i

r

|w| − a

2 !

.

W naszym przypadku

w = −3 + 4i

oraz

|w| =

√

3

2

_{+ 4}

2

_{= 5}

o po

podstawieniu dowzoru daje

z = ±(1 + 2i).

drugi sposób: nie h

z = p + qi

, wtedy

z

2

_{= p}

2

_{− q}

2

_{+ 2pqi}

. Daje to ukªad równa«







p

2

_{− q}

2

_{= −3}

2pq = 4

p

2

_{+ q}

2

_{= 5}

(ostatnie równanie bierze si z równo± i

|z|

2

_{= |w|}

). Dodaj¡ do siebie

pierwsze i trze ie równanie otrzymujemy

p

2

_{= 1}

, zatem

p = ±1,

o uwzgldniaj¡ drugie daje

q = ±2

. Zatem

z = ±(1 + 2i).

ii) je±li

az

2

_{+ bz + c = 0}

, to

z =

−b±

√

b

2 −4ac

2a

. Obli zamy

∆ = b

2

_{− 4ac =}

(−3)

2

_{−4(3−i) = −3+4i.}

Zpoprzedniegopunktumamy

√

∆ = ±(1+2i)

. Zatem

z =

3+(1+2i)

2

= 2 + i

lub

z =

3−(1+2i)

2

= 1 − i

. Zadanie 2. Obli z z±¢ rze zywist¡ i urojon¡ li zby

i)

5+14i

4+i

,

ii)

(−1 + i

√

3)

11

_.

Rozwi¡zanie 2. i) mno»ymy li znik i mianownik przez li zb sprz»on¡

domianownika,aby sprowadzi¢dzielenieprzezli zbzespolon¡do

dzie-lenia przez li zb rze zywist¡,

5 + 14i

4 + i

=

(5 + 14i)(4 − i)

(4 + i)(4 − i)

=

20 − 5i + 56i + 14

4

2

_{− i}

2

=

34 + 51i

17 = 2 + 3i.

Cz±¢ rze zywista to

2

a z±¢ urojona to

3

.

(2)

ii) pierwszysposób:przedstawmyli zb

z = −1+i

√

3

wposta i

trygono-metry znej,tj.

z = |z|(cos ϕ+i sin ϕ)

.Mamy

|z| =

q

(−1)

2

_{+ (}

√

₃₎

2

_{= 2}

. Zatem

cos ϕ = −

1

2

sin ϕ =

√

₂

3

K¡t to

ϕ =

π

2

+

π

6

=

2π

3

bo

cos

π

2

+

π

6

= − sin

π

6

= −

1

2

oraz

sin

π

2

+

π

6

=

cos

π

6

=

√

3

2

.

Zewzoru de Moivre'a mamy

(−1 + i

√

3)

11

=

2 cos

2π

3 + i sin

2π

3

11

= 2

11

cos

22π

3 + i sin

22π

3 =

= 2

11

cos

7π +

π

3 + i sin

7π +

π

3 = 2

11

cos

π +

π

3 + i sin

π +

π

3 =

= 2

11

_{− cos}

π

3 − i sin

π

3 = 2

11

₋

1

2 − i

√

3

2 !

.

Cz±¢ rze zywista to

−2

10

a z±¢urojonato

−2

10

√

₃

.

drugi sposób: zauwa»amy, »e

z = 2ε

3

gdzie

ε

3

to pierwiastek pierwotny trze iego stopnia z

1

. Zatem

z

11

_{= 2}

11

_ε

11

3

= 2

11

ε

2

3

a to ju» mo»emy obli zy¢ ze wzoru skró onegomno»enia.

Zadanie 3. Podaj rozwi¡zanie ogólne ukªadu równa« liniowy h, wyra»aj¡

zmienne zwi¡zane przez parametry.







x

1

− 2x

2

+ 2x

3

− 4x

4

+ x

5

− 4x

6

= −4

2x

1

+ x

2

+ 4x

3

− 3x

4

− 2x

5

− x

6

= 9

−3x

1

+ 5x

2

− 6x

3

+ 11x

4

− 2x

5

+ 11x

6

= 9

Rozwi¡zanie 3. Tworzymy ma ierz ze wspóª zynników i sprowadzamy j¡

opera jamielementarnyminawiersza hdoposta is hodkowejzredukowanej:





1 −2

2 −4

1 −4 −4

2

1 _{4 −3 −2 −1}

9 −3

5 −6 11 −2 11

9 



w

2 −2w

1 w

3 +3w

1

−→





1 −2 2 −4

1 −4 −4

0 5 0

_{5 −4}

7

17 0 −1 0 −1

1 −1 −3





w

1 −2w

3 w

2 +5w

3

−→





1 _{0 2 −2 −1 −2}

2

0 0 0

0

1

2

2 0 −1 0 −1

1 −1 −3





w

1 +w

2 w

3 −w

2

−→





1 _{0 2 −2 0}

0

4

0 0 0

0 1

2

2 0 −1 0 −1 0 −3 −5





(−1)w

3 w

2 ↔w

3

−→





1 0 2 −2 0 0 4

0 1 0

1 0 3 5

0 0 0

0 1 2 2





(3)

Parametramis¡

x

3

, x

4

, x

6

. Wra amy dorówna«.







x

1

+ 2x

3

− 2x

4

= 4

x

2

+ x

4

+ 3x

6

= 5

x

5

+ 2x

6

= 2

I wyra»amy zmienne zwi¡zane przez parametry







x

1

= 4 − 2x

3

+ 2x

4

x

2

= 5 − x

4

− 3x

6

x

5

= 2 − 2x

6

, x

3

, x

4

, x

6

∈ R.

Zadanie 4. i) znajd¹ baz zbioru rozwi¡za« ukªadu równa«,

x

1

− 2x

2

+ x

3

+ 2x

4

+ 2x

5

= 0

−3x

1

+ 7x

2

− 4x

3

− 2x

4

− 6x

5

= 0

ii) sprawd¹ zy wektor

v = (3, 3, −1, −1, 3)

nale»y do tej przestrzeni, je±li tak,to znajd¹ jego wspóªrzdne wznalezionejbazie.

Rozwi¡zanie 4. i) Tworzymy ma ierz ze wspóª zynników ukªadu i

spro-wadzamy j¡ do posta i s hodkowej zredukowanej (pomijamy ostatni¡

kolumn,bo ukªad jest jednorodny)

1 −2

1

2

2 −3

7 −4 −2 −6

w

2 +3w

1

−→

1 −2

₀

_{1 −1 4 0}

1 2 2

w

1 +2w

2

−→

1 0 −1 10 2

0 1 −1

4 0

Parametrami s¡

x

3

, x

4

, x

5

. Wra amy do równa« przenosz¡ parametry napraw¡ stron.

x

1

= x

3

− 10x

4

− 2x

5

x

2

= x

3

− 4x

4

, x

3

, x

4

, x

5

∈ R.

Ka»dy wektor speªniaj¡ y ukªad równa« jest posta i

(x

3

− 10x

4

− 2x

5

, x

3

− 4x

4

, x

3

, x

4

, x

5

), x

3

, x

4

, x

5

∈ R

Przedstawmy gow posta i

(x

3

−10x

4

−2x

5

, x

3

−4x

4

, x

3

, x

4

, x

5

) = x

3

(1, 1, 1, 0, 0)+x

4

(−10, −4, 0, 1, 0)+x

5

(−2, 0, 0, 0, 1)

Wektory

(1, 1, 1, 0, 0), (−10, −4, 0, 1, 0), (−2, 0, 0, 0, 1)

rozpinaj¡zbiór roz-wi¡za«is¡liniowoniezale»ne,zatemtworz¡bazprzestrzenirozwi¡za«.

(4)

ii) wektor

v = (3, 3, −1, −1, 3)

nale»y do przestrzeni rozwi¡za« bo speªnia oba równania, patrz¡ naostatnie trzywspóªrzdne zauwa»amy, »e

(3, 3, −1, −1, 3) = −(1, 1, 1, 0, 0) − (−10, −4, 0, 1, 0) + 3(−2, 0, 0, 0, 1),