Beitrag zur theorie der instationären tragflügelströmung

ARCHIEF

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Theorie

der instati

on ireii

Tragil iieIströinti iig

vo n

DipL-Ing. Helmut Schwaneeke

Mi1tciltin der VersurhsanstaR lür Wasserbau und Sehilibau. Berlin

Sonderdruck aus Scliifftechnik, Band 5

1958), Heft 27

Lab.

y.

Scheepcho!!wkJnck

Technscìe

INH A LT S t BElt SI C HT

Einleitung 3

Theoretischer Teil 3

2,1 Allgemeine Beziehungen für instationäres

Geschwindigkeitsfeld und Tragflügel 3 2,2 Störeinfluß des Tragflügels

auf das Geschwindigkeitsfeld 6

2,3 Induzierter widerstand des Tragfiügels 7

2,4 Bestimmung des Störfaktors, der Beiwerte

des induzierten Widerstandes und

der Gütegrade des Tragflügels 8

2,5 Einführung einer

veränderlichen Fortschrittsgeschwindigkeit 11 2,6 Induziertes Gesthwindigkeitsfeld

vor dem Tragflügel 12

2,7 Abwindfeld hinter einem Drehflügel 14

Meßtechnischer Teil 15

3,1 Meßapparatur und Versuchsdurchf ii h rung 15

3,2 Ergebnisse 16

Zusammenfassung und Schlußfolgerungen 18

Anhang 19

5,1 Tabelle der Funktion T (pt) 19 5,2 Liste der Bezeichnungen 19

i

Beitrag zur Theorie der instationiiren Tragilügeiströmung

Helmut Schwanecke, Berlin1)

1. Einleitung

Bei der Untersuchung der Strömungsverhältnisse im Bereich des Hinterschiffes von propellergetriebenen Wasserfahrzeugen

bzw. beim Entwurf der Propeller sowie beim Entwurf von

Leitilächen, Rudern, Rudersteven usw., die im Propellerstrahl angeordnet sind, zeigt es sich in immer stärkerem Maße, daß Rechnungen auf der Grundlage stationärer

Strömungsverhäh-nisse nicht mehr ausreichen. Es miissen zusätzlich auch die instationären Vorgänge berücksichtigt werden. Ein instatio-närer Strömungszustand tritt beispielsweise an den Fliigein eines Schraubenpropellers auf, da diese infolge der

periphe-rialen Ungleichförmigkeit des Zustromes periodischen Anstell-winkeländerungen unterworfen werden. Ferner tritt an einem

im Propellerstrahl liegenden Ruder oder an einem Propeller-Leitapparat der instationäre Strömungszustand infolge der endlichen Flügelzahl des Propellers auf und ist um so aus-geprägter, je höher der Propeller belastet ist und je weniger Flügel er hat. Der Natur der Sachlage entsprediend, handelt es sich hier um ein Sondergebiet der instationären

Strömun-gen, und zwar um periodische Vorgänge, die sich im

Gegen-satz zu den nicht periodischen instationären Vorgängen, wie

z. B. Anlauf. oder Bremsvorgängen, sowohl nachteilig als

auch vorteilhaft für die von der Strömung beaufschlagten

Organe auswirken können.

Der Effekt einer Widerstandsminderung eines Tragilügels

in einem periodischen instationären Strömungsfeld ist aus der

Luftfahrttechnik unter dem Namen K n oller. B e t z Effekt

bekannt. Jedoch fehlen bisher Angaben über die Größe dieser

Widerstandsverminderung und ihre Abhängigkeit von den charakteristischen Werten des Strömungsfeldes. Den Fall

eines schwingenden Tragflügels in einer ungestörten Strömung

haben u. a.

y. Kármán-Sears [1], Küssner

[4]2),

Birnhaum [7], Schmeidler [9] und Jaeckel [101

be-irachtet. Ansätze zur Berechnung der Strömungskräfte an

einem ruhenden Tragfluigel in einem instationären

Strömungs-feld finden sich bei Küssner [5] und Schwarz [12], jedoch unter der physikalisch nicht sehr einleuchtenden Annahme

einer sich harmonisch verformenden Platte. Schließlich

berech-net Lerbs [15] den Wirbelverlust eines Tragfiögels in

insta-tionärer Strömung.

Das Ziel der vorliegenden, auf Anregung von Professor Dr.-Ing. Amt she r g und mit Unterstützung der Gesellschaft

von Freunden der Technischen Universität Berlin durchgeführ-ten Arbeit ist, die an einem starren, ebenen Tragflügel großer

Von der Fakuttät für Maschnenwesen der Technischen Uni-versität Bertin genehmigte Dissertation. - Berichter: Prof. Dr-Ing. JI. Amts b e r g, Prof. Dr-Ing. R. Wille. Eingereicht am 16. 4. 57, müncil. Prüfung am 10. 12. 57.

Zahlen in eckigen Klammern [. ..1 siehe Abschnitt .5,5 (Schrifttum)

Spannweite in einem periodischen instationären Strömungs-feld auftretenden Strömungskräfte und ihre Abhängigkeit

von den charakteristischen Werten des Strömungsfeldes zu er-mitteln. Dabei wird in der Hauptsache der Widerstand

unter-sucht, da dieser für die Leistungsbilanz wesentlich ist, wäh-rend der Auftrieb und das Moment, die im allgemeinen im

zeitlichen Mittel verschwinden, mehr für die konstruktive

Ausbildung der von der instationären Strömung

beaufschlag-ten Organe bzw. als Quelle von Erschütterungen,

Schwin-gungserstheinungen oder Kraftschwankungen von Bedeutung

sind.

Zunächst werden in einem theoretischen Teil der Arbeit für

ein vorgegebenes instationäres Geschwindigkeitsfeld die an

einem in diesem Geschwindigkeitsfeld befindlichen Tragflügel

erzeugte Zirkulation und der zugehörige induzierte

Wider-stand bestimmt. Dabei muß die Störung des

Geschwindigkeits-feldes durch den Tragflügel, der für quer zu seiner Ebene

gerichtete Geschwindigkeitskomponenten undurchdringlich ist,

berücksichtigt werden. Da bei den

späteren

experimen-tellen Untersuchungen das instationäre Strömungsfeld durch einen vor dem Tragflügel angeordneten Drehflügel erzeugt

wird, erweist sich die rechnerische Ermittlung des

Ab-windfeldes eines Drehflügels als zweckmäßig. Um

weiter-hin mögliche Rückwirkungen des Tragflügels auf den vor ihm

liegenden Drehifiigel abschätzen zu können, wird zusätzlich

das von dem Tragflügel vor ihm induzierte Geschwindigkeits-feld bestimmt.

Die Ergebnisse des theoretischen Teiles der Arbeit werden in einem meßtechnischen Teil nachgeprüft. Dabei werden die Widerstände zweier Tragflügel verschiedener Profiltiefe, die sich im Abwindfeld eines Drehflügels befinden, in Abhängig-keit von der Drehfrequenz und dem Abstand vom Drehflügel gemessen. Aus dem Vergleich der theoretisch und experimen-täll ermittelten Ergebnisse werden Rückschlüsse auf den

Zähigkeitseinfluß gezogen.

2. Theoretischer Teil

2,1 Allgemeine Beziehungen für instationäres

Geschwindigkeitsfeld und Tragflügel

Es wird ein ebener Tragflügel großer Spannweite in einem Geschwindigkeitsfeld untersucht, das sich quer zu seiner Fort-schrittsrichtung periodisch ändert. Znr theoretischen Behand-lung dieses Problems werden folgende Vereinfachungen bzw. Voraussetzungen gemacht:

I. Zähigkeitsfreies und inkompressibles Medium, Ebener Strömungszustand,

Gültigkeit der Theorie dünner Profile (Profile durch ge-bundene Wirbelflächen ersetzt),

Quergeschwindigkeiten klein im Verhältnis zur

Fort-schrivtsgeschwindigkeit, so daß die an der Hinterkante

des Tragflügels abgehende Wirbelschieppe als auf der Spur des Tragflügels liegend angesehen werden kann,

Linearer Zusammenhang zwischen Zirkulation und indu-zierter Geschwindigkeit (lineare Theorie).

Konstante Fortschrittsgeschwindigkeit.

Das Geschwindigkeitsfeld kann in einem körper- und raum-festen Koordinatensystem in allgemeiner Form durch die Be-ziehung

/

vi

\

w(,t) =

f0 exp (in vr-

) (1)

n=O vo

i

angegeben werden. Dabei laufen die Querkomponenten der Geschwindigkeit, in den weiteren Betrachtungen als Quer-geschwindigkeiten w (, r) bezeichnet, wellenförmig mit der

konstanten Fortschrittsgeschwindigkeit V0 ii Richtung der

positiven x-Achse über den Tragflügel hinweg.

Bild i

Tragflügel im zeitlich veränderlichen Quergeschwindigkeitsfeld (schematisch)

Eine schematische Darstellung dieser Verhältnisse mit star-ker Überhöhung der Quergeschwindigkeit zeigt Bild 1. Die f

sind komplexe Amplitudenfunktionen, die den Verlauf und

die Zuordnung der Quergeschwindigkeitsanteile kennzeichnen. y = 2 rf ist die Kreisfrequenz der

Quergeschwindigkeitsände-rungen. T die Zeit, i die halbe Profiltiefe und i =

Nach Voraussetzung sind die Quergeschwindigkeiten

klein. In diesem Fall können für jeden Teilbetrag der Quer-geschwindigkeit die zugehörigen Strömungskräfte getrennt

berechnet werden. Das Gesamtergebnis wird dann durch

Über-lagerung der Teilergebnisse erhalten. Man kann also für die weiteren Betrachtungen j = 2 setzen. Damit ist keine

Ein-schränkung der Allgemeingültigkeit des Ansatzes (1)

verbun-den, da jeder Fall j > 2 analog dem Fall j = 2 behandelt

werden kann. Der Fall j = O ergibt eine konstante

Quer-anströmung, die sich mit der nach Voraussetzung ebenfalls konstanten Fortschrittsgeschwindigkeit zu einer konstanten

Schräganströmung des Tragflügels zusammensetzt. Da hierbei

keine Kräfte infolge instationärer Strömung auftreten, kann das Glied j = n = O bei den weiteren Betrachtungen f

ort-gelassen werden. Damit ergibt sich ein Quergesthwindigkeits-feld der Form

w (x t) f1 exp ( vi \

(

vi \

=

ivri----)+f2exp 2ivt_2i_5t).

vo

_I

vo _/ (la) Infolge der nicht stationären Anströmung wird an dem Trag. flügel eine ebenfalls nicht stationäre Zirkulation erzeugt. Bei

jeder Änderung der Zirkulation geht bekanntlich wegen der Bedingung der verschwindenden Gesamtzirkulation in einer ursprünglich wirbelfreien Flüssigkeit ein Wirbelelernent am Tragflügel ab. das die gleiche Größe wie die

Zirkulations-änderung, aber entgegengesetzten Drehsinn hat. Die Gesamt. heit aller abgehenden Wirbel, die sog. Wirbelsdileppe, die sich mit der Geschwindigkeit y) in Richtung der positiven x-Achse fortbewegt, induziert ihrerseits sowohl hinter dem Tragfiögel

als auch am Ort desselben und vor ihm ein Querge keitsfeld. Diese induzierten Quergeschwindigkeite

nach dem Gesetz von Biot-Savart bestimmt werden. Zunächst sei ein Stabwirbel am Ort 5 mit der z

linderlichen Wirbelstärke

I' (t) = F) exp (ivt)

betrachtet. Ändert sich im Zeitraum dt die Wirbe1

den Betrag

ar(t)

dr,

at

so geht ein Element gleicher Größe und entgege

Drehrichtung von dem Stabwirbel al) und wird von mung fortgetragen. ist das Wirbelelement zur Zeit

entstanden, so ist es zur Zeit t an den Ort getr

den, wobei t - t1

- '

list. Zur Zeit t befinde

vo

an der Stelle

ein freies Wirbelelement mit de

stärke

de (, t) =

a

(ri. exP[

ivi - i

d oder, wegen ¿ = V0,

dt

de (i, t) =

-:

(r0

exp

[ivi

- i

d. h. - vi

f

vi

de (x, t) = i

F exp

IVT 1 (x - x1) vo

Wird die am Tragflügel vorhandene Zirkulatior von Birnbaum [7[ angegebenen Verteilung über

tiefe angesetzt zu

(i t) = y01 exp (ivi) g (i,)

/

1-=

volexp(ivi)[2a0

y

+

('

exp Ii -

¡ vi .3

\

vo

i_i

5c)t uXuXj. vi

( - i)

vo V))

+4V1_(

\ n=i (4)

so ergibt sich die von diesen gebunden e n Wirbeln im Auf.

punkt induzierte Quergeschwindigkeit aus der Beziehung

+1

-

i

(

yI1(1,t)

w (, r) = -

dx, . (5a)

2t J

2i=-i

Die von den freien Wirbeln im Aufpunkt induzierte Quer-geschwindigkeit folgt aus

(5h)

Dann induriert das Gesamt-Wirbelsystem im At fpunkt

eine Quergeschwindigkeit

w(,t) =wG(,t) + w.(,t)

chwindig. n können itlidi ver-(2) tärke um ngesetzter der Strö-t1 am Ort agen wor-t sich also r Wirbel-J)

dt

d O

d.

(3)

mit der

er

Profil-i

2t

(i t) exp

(

--1

I

vo

= Call ('

-r) und vi exp +1 1Y11 (ii1, t) vi O

dx1i

J

x1

V0 -1

(

vi vo C (6)

/

vi exP(__i V

did1

Wird in dem Doppelintegral des Ausdruckes (6) der

Inte-grationsweg über i in die Absdinitte

i

+ i

und

+ i

oc aufgeteilt und auf den ersten der dabei ent-stehenden beiden Ausdrücke bezüglich der Integrations-grenzen bzw. der Reihenfolge der Integrationen der Satz von Dirichiet angewendet. so kann gesetzt werden

X

jIi (i1, t) exp

(

i

i

(ii,

t)

ex(

i vo

_/

vi vo vi vo

=

a/i

(i,t)

Damit geht (6) über in die Birnbaumsche Darstellung [71

w (E.

t) = -

di1 +

di +

2t

.

Ei1

xl

-dx'.

(6a)

J *

₊₁

Werden die Integrationshereiche unter Beachtung der

Gren-zen zusammengefaßt, so kann anstelle von (6a) auch dieU von

K ii s s n e r 14] bevorzugte Form

-'/1 (ii, t) + e/i (i,t)

w(E,t)

= ---

-

dx

(7)

2tJ

Ei

gesetzt werden. Wird die Substitution i1

=

cosw eingeführt,

so geht der Zirkulationsansatz (4) über in ' (ç, t)

=

v I exp (iv-r) g ()

1+cosç

sinn i

=

v, i exp (ivi) [2h0

+ 4

b - i. (8)

sinql

n1

n _j

Mit diesem Ansatz und der Einführung der ,,reduzierten

Frequenz" vi , wobei die halbe Fliigeltiefe t/2

=

i ge-vo

setzt wird, gelang Küssner die Lösung der Integralgleichung

(7) für den Bereich - i <E

+ i in geschlossener Form.

Sie lautet

w (qlt, t)

=

v, exp (ivi) exp (it cos ) b0 --- - i H0(2) (t)

i

2\

Hi(2))

+b,, j1

Hn(21()]

_+b11

(9)

) di1

cosr q1

Dabei sind die b0 die zunächst unbekannten Beiwerte des

Zirkulationsansatzes (8) und H11(2> (t)

=

J0 (r-e) - iN0 (It) die

Hankel'schen Zylinderfunktionen zweiter Art.

Die Beiwerte b0 werden durch die Erfüllung der kinema-tischen Grenzbedingung bestimmt. Diese Bedingung besagt,

daß infolge der Undurchdringlichkeit des Tragflügels die von den gebundenen Wirbeln und den freien Wirbeln am Ort des

Tragfiügels induzierten Quergeschwindigkeiten den dort

tat-sächlich herrschenden Quergeschwindigkeitsverlauf

wieder-geben müssen. Das gilt sowohl für den Fall, daß die Quer.

geschwindigkeiten am Ort des Tragflügels durch

Eigenbewe-gungen desselben hervorgerufen werden, als auch für den Fall, daß sie dem Strömungsfeld durch vor dem Tragflügel

liegende Störungen aufgeprägt worden sind.

Zunächst entwickelt man die Quergeschwindigkeit am Ort

des Tragflügels in eine trigonometrische Reihe [41. Dann ist

w (ql,t) = y0exp (ivi) (A0

+ 2A0 cos

ns:).

(10)

Die Air werden dabei als Fourierkoeffizienten bestimmt.

So-dann wird der zweite Teil des Ausdruckes (9) entsprechend

dem angegebenen Bildungsgesetz für b1, b2 . . . b entwickelt.

Die dabei auftretenden Potenzen von cos q werden mit Hilfe von bekannten trigonometrischen Beziehungen durch Vielfache

des Argumentes ql/ ersetzt. Der damit entstehende Ausdruck

wird identisch gleich der Entwicklung (10) gesetzt, d. h. A0 + 2A1 cos + 2Aa cos 2cp + 2A3 cos 3p + .

2

/2\2

/2\

b1 --- 1)-r + 2 ( CO5 ql

-it

\it/

\i_tJ

/2\

2

/2\2

--b.1 21 -

-) +

+4(

I cosCÇ

\iIL/

it

\i1.LJ

+ 2 (

2 )Cos2

+

Beginnend mit dem Beiwert mit dem höchsten n können

dann alle b0 bis zu b1 schrittweise als Funktionen der A11 be-stimmt werden. Daraus ergibt sich die Beziehung (vergl. [41)

il_t _iII

b

= -

A01 ± n A11 + - - A00 i (n

=

1,2,3....)

2 2

_(ii)

Zur Bestimmung des noch unbekannten Beiwertes b1, der

Grundfunktion der Zirkulationsverteilung wird die Beziehung (11) in den ersten Teil des Ausdruckes (9) eingesetzt. Der sich damit ergebende Ausdruck muß verschwinden, da die

Bezie-hung (10) bereits durch die br nach (li) identisch befriedigt wird. Es ist also

il_t

i H0(2) (li) - H12) (pt) }

texp(il_tcosq) [ b0

2

i''j-- A11nA11---

An+i)H1(2) (l_t)]

=

0.

n=1

\2

2

Da dieser Ausdruck für alle qll gelten soll, muß sein

itt b -- - {i H02) (li) + H1(2) (l_t))

=

2 A₀₊₁₎

\H (2)()

n

A01 n A0

-n=i

\2

2

Durch Umformung wird daraus

b0 {i H112 (ii) + H(2) (It))

=

A0 H12 (ii) - i A1 H02>(IL)

/ _9n

( i)' A1, H1 () (tt)

H11(2) (l_t) + H0 (2) (11)

-n=1 l_t

(12).

Nach der bekannten Rekursionsformel [201 für

Zylinder-funktionen itt o vi

1

exp vo k=Q

(_i)k

(n_k_1)( i1i)Zk1 n-2k-1 (i

vi vo x=x

Z114()

+Z1() =

(13)

verschwindet der Ausdruck unter dem Summenzeichen in (12), so daß sich der Beiwert der Grundfunktion ergibt zu

b

A0H12Qi)+ iA1H)(t)

(14) i HØ(2) (ri) + H12 (It)

Mit Hilfe der von Küssner eingeführten Funktion T Qi)

kann der Beiwert b0 auch in der Form [5]

b0

i + T(t)

(A0A1)

A1 (14a) 2

angegeben werden. Dabei ist nach [41

iH 2(It) + H ()Qt)

T(t)

=

- T'(i)

+ i T"(t)

(15) i H0(2)(1t) + H1(2)Qt)

(Tabelle siehe Abschnitt 5,1).

Damit ist der Zirkulationsansatz (8) für eine vorgegebene

Geschwindigkeitsverteilung am Ort des Tragflügels bestimmt.

Hinsichtlich der am Tragflügel auftretenden Kräfte gilt, daß bei nicht stationärer Strömung im Gegensatz zur statio-nären Strömung auch im ebenen Fall in idealer Flüssigkeit ein Widerstand entsteht. Der allgemeine Ausdruck für den Widerstand eines aus einem Tragflügel großer Spannweite

herausgeschnittenen Streifens von der Breite b

=

i in idealer

Flüssigkeit lautet im Falle der instationären Strömung

+1

W

=

gl _$

w* (t t) "/l (i t) d1

(16) wobei w (i1, t) die Relativ-Quergeschwindigkeit an der

Trag-flügeloberfläche ist. Die Quergesdiwindigkeit am Ort des Tragflügels setzt sich aus einem lokalen und einem

konvek-tiven Anteil zusammen

d 3

w(1,t)

=

(x1,t)l

(1,t)1+v0(x1,t). (17)

dt

3t

Das konvektive Glied ist gleichbedeutend mit der Relativ-quergesclìwindigkeit an der Tragflügeloberfläche und ist eine Folge der gebundenen und der freien Wirbel. Unter

Beriìck-sichtigung der Tatsache, daß ein induzierter Widerstand nur aus der Induktionswirkung der freien Wirbel entsteht, kann aus dem allgemeinen Ausdruck (16) eine Beziehung für den induzierten Widerstand des Tragfiiigels abgeleitet werden,

wenn von der Relativ-Quergeschwindigkeit y0 (ii, t)

ent-3x1

sprechend (17) noch der von den gebundenen Wirbeln herriih-rende Anteil der Relativ-Quergeschwindigkeit w1

(ii, t)

ab-gezogen wird. Für einen Streifen der Breite b i des Trag.

flügels ergibt sich damit der induzierte Widerstand zu

±1

_3(1,t)

W1

=

1 $ 'y!!(x1, r) v dx

3X1

+1

-

1

f y!1(,

t) w1* (, t) d1

=

W1 + W.>. (18)

Der zweite Integralausdruck, der den Einfluß der

gebun-denen Wirbel darstellt, wird in der Tragflügeltheorie als

Saugkraft bezeichnet. Die Saugkraft ist im instationären Fall

eine Funktion der Zeit und tritt, wie Birnbauni [6] gezeigt hat, nur bei einer Zirkulationsverteilung entsprechend der

Grund-funktion (ctg-Verteilung) auf. Sie ist daher nur von dem Zir-kulationsheiwert b abhängig und hat die Größe

W1., =-2ltv02 b02 exp (2 ivI).

(19)

In dieser Beziehung tritt die Zeitfunktion quadratisch auf.

Daraus folgt, daß die Saugkraft einen von Null verschiedenen zeitlichen Mittelwert hat, der sich unter Berücksichtigung des

komplexen Charakters von b0 ergibt zu

(W1)10

= -

Q I t v (b0'2 + b0"2) bzw.

(W1.>)1

= -

l t v.>2 b.> 2 ₍₂₀₎

wenn mit b0 der Betrag des komplexen Ausdruckes b0

=

b0' + i b.>" gekennzeichnet wird. In dem ersten Integralaus-druck der Beziehung (18) tritt, wie aus den Gleichungen (4) und (9) ersichtlich ist, die Zeitfunktion ebenfalls quadratisch auf. Es ergibt sich also auch für den Teilbetrag W1 ein von Null verschiedener zeitlicher Mittelwert. Mit den komplexen

Ansätzen für die Zirkulation und die Quergeschwindigkeit lautet der zeitliche Mittelwert des induzierten Widerstandes

in allgemeiner Form

(W1)11

=

Qi1j

(W*'

()

'II (it) +

w" ()y"/l

(1))d1_

_vo2Ibo

2]. ₍₂₁₎

Zur Vervollständigung der allgemeinen Beziehungen dieses

Abschnittes werden noch die Ausdrücke für Auftrieb und Moment um den Sehnénmittelpunkt eines Tragflügels im

instationären Strömungsfeld angegeben. Beide Ausdrücke

ver-schwinden im zeitlichen Mittel, da die Zeitfunktion nur

ein-fach darin auftritt. Die Augenblickswerte sind

A

=

iv02 exp (ivi) J g (j) d51 (22)

itI=-1 und

-l-1

M.>

=

912 v.>2 exp (ivi) J

g ()

i d1 - (23) Damit sind die Grundlagen für die folgenden Untersuchun-gen gegeben.

2,2 Störeinfluß des Tragflügels auf das Quer.

ge sch w in d igke itsf eid

Das instationäre Quergeschwindigkeitsfeld ist durch die Gleichung (la) gegeben. Wird in dieser Beziehung 2 y

=

gesetzt, so sind beide Teilausdrücke von der gleichen Form.

Es genügt daher, zunächst nur einen der beiden Ausdrücke zu untersuchen. Damit ergibt sich, wenn die reduzierte Frequenz

It

=

eingefiihrt und f1

=

w gesetzt wird, für die

un-gestörte Geschwindigkeitsverteil ung vor dem Tragfl ilgel

w (, t)

=

wi exp (ivtiIt) -

(24)

Da der Tragifügel für quergerichtete Geschwindigkeitskom-ponenten undurchdringlich ist, wird das Geschwindigkeitsfeld

am Ort des Tragflügeis durch denselben gestört. Hinter dem Tragflügel ist dann nur noch ein mehr oder weniger großer

Restbetrag der ursprünglich in dem Strömungsfeld

vorhan-denen Quergeschwindigkeiten vorhanden. Eine schematische Darstellung dieser Vorgänge zeigt Bild 2.

Die Störung des Geschwindigkeitsfeldes durch den Trag-flügel wird durch Einführung eines Abkiingungsgesetzes für

--_..,(j)Fü, 6.0 ..ffi fo, 605 A,eVitd.

ifi-i.ìI ---

if1-]

Bild 2

Abnahme der Quergeschwindigkeit w (5t) im Bereich des Tragfiuigels (schematisch)

die Quergeschwindigkeitsamplituden berücksichtigt. Es wird ein Exponentialgesetz gewählt, so daß

iwi= iwiexP(_

[1+}).

(25)

Da nach Voraussetzung die Quergeschwindigkeiten klein sind, kann der Exponentialausdruck durch seine

Reihenent-wicklung, die nach dem linearen Glied abgebrochen wird, er-setzt werden. Dann ist

iw1iwi(i

- [1+].

(25a)

\

2

_/

Der zunächst unbekannte Störfaktor a geht als Parameter in die folgenden Rechnungen ein und wird später durch eine Energiebetrachtung bestimmt. Seine Größe liegt zwischen

n = O und n = i und ist von der reduzierten Frequenz

ab-hängig.

Die am Ort (les Tragfluigels herrschende Geschwindigkeits-verteilung wird nunmehr durch die Beziehung

w (1,t) =

_{Iwi(1_}

a [1 +

l])exP(ivt_il)

dargestellt.

2,3 Induzierter Widerstand des Tragflügels

Der induzierte Widerstand des Tragflügels (W1)0, ergibt

sich aus der Gleichung (21). Da im vorliegenden Fall der

Trag-flügel in Ruhe ist und den Abstellwinkel a = 00 hat, ver-z(x1,t)

schwindet der Ausdruck y0

und damit der

Teil-widerstand (W11)n - Der induzierte Widerstand hat dann den

zeitlichen Mittelwert

[W1 (a, IL)],, (Wj)11 = t y02 b0 2 (27)

Zur Bestimmung desselben ist zunächst die am Tragflügel vorhandene Zirkulation mit Hilfe der Beziehung (26) zu er-mitteln. Entsprechend (10) wird der Ausdruck (26) in eine trigonometrische Reihe entwickelt. Mit der Substitution i = - ens q ergibt sich dann

w

(i

- -

- [1 cos_q)])exp (ivt + i ens q))

= y0 exp (ivT) [A,, + 2 A,, ens n q)] n=1 d.h.

wi (i

a [1_cns])exP(icos

2 A0cosncp (28) n=1

Die A, werden als Fourierkoeffizienten bestimmt zu

It

A0 =

- i

+

eos q)) ens nq exp (it' ens q)) dp,

V0TJ\

2 2

iwiu/

n a

(29)

(n =0,1,2,..

Wird dieser Ausdruck aufgeteilt, so ergibt sich mit ens nq ens q) = 0,5 [ens (n - 1) q) + ens (n + 1) (p] für die A0

't

A0 = iw

1-0,5a C

ens n exp (lIt COS q)) dq)

vo

t

j

o

ens (n - 1) q) exp (it' ens q)) dq) (30)

wi a y0

4t

o q)) (26)

+

a

Jcos(n + 1)q)exp(it'cnsq))dq),

(n0,1,2,...).

Die in (30) auftretenden Integrale sind Besselfunktionen in der Hansenschen Darstellung [211, [20]

1

J ens na exp (± i]3 ens u) du = (± i)fl J,, (n). (31)

Damit ergeben sich die A,1 zu

iwiÍ(

a a A,, =

_{1 -___)i1'J,}

c

+

2,

4 a

+

n±l J1

(n=0,1,2,...).

Wird hier die Rekursinnsformel (13) angewendet, so geht (32)

über in n

2u

J, (lL) + i Jn (t') t' a (32a)

(n =0,1,2,...).

Mittels der A,1 können die Zirkulationsheiwerte entsprechend den Beziehungen (11) und (14a) berechnet werden. Es ergibt sich nach Zusammenfassung der Real- und Imaginärteile

a

1+T'Qi)

b0 =

J,, (t') -

T (u) +

y0 2 ( u

1a 1 T'(ti)

+J1(t') T (IL) -_

+1

a

+Jl(IL)IT'(t')

I

a-1

+--+

1 a o

T"() \),

211 /1 und wi a n ln.-1 J,,(),

_{(n = 1,2,...).}

(34) y, 2 IL

Damit ist die Zirkulationsverteilung am Tragflügel bekannt.

Der induzierte Widerstand ergibt sich dann aus (27) zu

iTh' J111 (t') + (32) 1w1 a A,, =

i'1

y0 2

+T'(t')(

,,

1n

J0(t')T (IL)

+

a (33)

und ist als Funktion der reduzierten Frequenz t' mit dem

Störfaktor a als Parameter in Bild 3 angegeben.

E5 zeigt sich, daß der Beiwert des induzierten Widerstandes

bei höheren reduzierten Frequenzen (t'> ntIs) nahezu unab' hängig vom Störfaktor ist. Für große reduzierte Frequenzen

ergibt sich wegen

7

+T"(t')-+

+

-1 +j0

Ji (t') t' a-

_4t'-j

ÍiT(

J2( L

1\

1

14

4\

+T'

+ T

1 1 (35) } (t') (t')(

-

)

11/ t'

\a2

a,

t'o

J

Der zugehörige Widerstandsbeiwert hat die Größe

[W1 (a, t')] (36) c,, (n, t') liw 2

o2Í.

.1 2

i\

(W1 (a, lL)]rn = - 1r w 2 J« (li) T (t') ii 1

t--- +

4 - n

2,5

Bild 3

Theoretisthe Widerstandsbeiwerte C)

- als Funktion der reduzierten Frequenz t mit dem Störfaktor o als Parameter

T' (p.) ; T" (p.); 1 1 für p. » I t_t

t_t-mit z. B. q= i die einfache Beziehung

(p.) [J02 (t_t) + J1 (p.)]

4

Für großes Argument gilt folgende asymptotische Darstellung der Besselfunktionen [201

cosp

it mit

_p=

3-(n+ 0,5)

2 (37) Damit wird für p. > i

cos(p.it)

cos(p.L9r)

und J1 (ti) J0 (t_t) ti t_t

Für große Werte von p. hat dann der Beiwert des induzierten Widerstandes die Form

c )

1

cos2 (p.

) + cos2

(p.-2p.

und mit einigen trigonometrischen Umformungen

c1(p.)--

fürp.»1.

(38)

Für p.-- m verschwindet der Beiwert und damit der

indu-zierte Widerstand.

Für kleine reduzierte Frequenzen (p.

'

1) ergibt sich

da-gegen wegen

T'(0) =J0(0) = i

T" (0) = J1 , (0) = O als untere Grenze für den Beiwert

c (q) =

it (1 - + 0,25 n) -

(39)

2,4 Bestimmung des Störfaktrs, der

Bei-werte des induzierten Widerstandes und

der Gütegrade des Tragflügels

Es ist zunächst der noch unbekannte Störfaktor zu bestim-men. Zu diesem Zweck wird die in dem instationären Strö-mungsfeld enthaltene Energie je Sekunde ermittelt.

LU (O2 i-, 2

ds,

(mit ds = Linienelement n = äußere Normale ekund-r dem

die Amplitude der freien Wirbelstärke. Die Verteilung der freien Wirbel ist wellenförmig. Die zugehörige Wellenlänge

in dimensionsloser Form ist

X 2it

(44)

¡ p.

Wird ein Punkt der Wirbeischleppe betrachtet, der soweit hinter der Tragfluigelaustrittskante liegt, daß dort die von den freien Wirbeln induzierten Quergeschwindigkeiten w () einen nahezu reien Sinus-Verlauf haben, so gilt die folgende

Beziehung zwischen den freien Wirbeln und den ihnen um voreilenden Quergeschwindigkeiten

=

F(p.) E

2

(45)

Zwischen den beiden Seiten der Wirbelschicht besteht eine Potentialdiflerenz der Größe

- I

F=I

d= -

F(p.)

sinp..

(46)

i

Ji

p.

Wird ein Streifen dieser Wirbelschicht mit der Breitt b=1 betrachtet, so ist die in diesem Streifen enthaltene ku etische

Energie bekanntlich [2] gegeben durch r

-- () -

F (p.) cos p. (42)

Dabei ist

+1

F (p.)

iti J -i-- (ii) exp (ip.1) d1

(43)

Hat die in der instationären Anströmung enthaltene

liche Energie die Größe L) und die im Abstrom hint

Tragflügel enthaltene die Größe L1, so gilt

L0 = L,L1

(40)

wobei L1 eine am Tragulügel auftretende Leistung ist. Sie kann. je nach der Größe von L0 und L1, positiv oder negativ sein.

Der Energiebetrag des Abstromes L1 besteht aus zivei

An-teilen. Der eine Anteil entspricht dem sog. Wirbelverl ust des

mit L9

Tragflügels und wird in den weiteren Untersuchungen

zurück-bezeichnet. Er stellt die in den hinter dem Tragflügel

bleibenden freien Wirbeln enthaltene Energie je S

ekunde

dar. Der zweite Anteil, im folgenden mit L3 bezeichnet, tritt nur auf, wenn o<1 ist, d.h. wenn die Quergeschwindigkeiten im Teil der Anströmung beim Passieren des Tragflügels nur zi abklingen, so daß eine von der Anströmung herrührencte

Rest-ia dem Quergeschwindigkeit auch noch hinter dem Tragflügel Strömungsfeld vorhanden ist.

Zunächst wird der Wirbelverlust L-, des Tragflügeh

ermit-telt. Für die freie Wirbelstärke im Abstrom des Tra flügels

ergibt sich nach Integration der Gleichung (3)

+1

r---

-(, t) = - q_t exp (ivtip.)

J

- (x1)

exp (it_txj) d1. (41)

Zur Ermittlung der in diesem Wirbelfeld enthaltenen I nergie sind Phasenlage und Zeitabhängigkeit nicht von Bed Lutung, so daß an Stelle von (41) gesetzt werden kann

Mit Hilfe dieser Beziehung wird nun die kinetische Energie in einem eine Wellenlänge der freien Wirbel umfassenden Gebiet berechnet. Bei der Auswertung des Umlaufintegrales entfällt der Beitrag in z-Richtung, da diese zweimal in

ent-gegengesetzter Richtung durchlaufen wird. Die dritte Grenze

des Bereiches wird durch eine weit entfernte Stromlinie

ge-bildet, die von der Wirbelschleppe nicht mehr beeinflußt wird;

sie liefert daher ebenfalls keinen Beitrag. Nach der Theorie

der kleinen Störungen kann nun für die vierte Grenze gesetzt werden

und

ds s- dx.

Damit ergibt sich die kinetisehe Energie je Wellenlänge der Wirbelschleppe für einen Streifen mit der Breite b = i zu

EKIfl0> = I w

und mit (45) und (46) zu Ql2

E- () =

_tm

il

Da nach Voraussetzung v = konstant ist, kann gesetzt

werden

TV.

Hiermit ergibt sich gemäß (48a) für t = i die Energie je

Zeit-einheit in dem betrachteten Wirbelfeld zu

i _l FQt) 2

EKinIs

8t

V0

= L.

(49)

i

Zur Bestimmung des Rest-Energiebetrages L ist zunächst

die in der instationären Anströmung enthaltene Energie je Sekunde L zu ermitteln. Zwischen den Amplituden einer Wirbelsdiicht mit sinusförmigem Verlauf der Wirbelstärken

und den Amplituden der von diesen Wirbeln induzierten

Quergescliwindigkeiten, deren Verlauf ebenfalls sinusförmig ist, gilt entsprechend (42) und (45)

w =

e/IJ. (50)

Für die weiteren Betrachtungen ist es zweckmäßig, das

Quergesthwindigkeitsfeld vor dem Tragflügel durch sein ,,er-zeugendes" Wirbelfeld zu ersetzen. Die in dem Strömungsfeld

vor dem Tragflügel enthaltene Energie je Zeiteinheit kann dann mit Hilfe der Gleichung (49) ermittelt werden, wenn

F Qi)

a

s---w

d n dz (48) (48 a) F (ii)

dort anstelle der Wirbelamplitude

geschwindigkeitsamplitude 2 w eingesetzt wird. Es ergibt

sich

Lo

1 l

v01w12. (51)

2

i

Jetzt ist noch der Energiebetrag L:1 zu bestimmen. Beim

Passieren des Tragflügels nehmen die Quergeschwindigkeits-amplituden nach dem Gesetz (25a) ah. Am Ort der Austritts-kante,

= + 1, haben sie die Größe

Jw

wI(1o).

Die zugehörige Amplitude der erzeugenden Wirbel ist

nach (50)

E

= 2w (1o).

i O

Für den Fall o < i

tritt dann zu dem den Wirbelverlust

des Tragflügels darstellenden Wirbelfeld (41) noch das

Wirbel-feld

die doppelte

Quer-- (,t) = i2w (1 o) exp

(ivT

it)

(52)

hinzu. Die zugehörige Rest-Energie im Abstrom ergibt sich

analog (51) zu

i

lp ₂

L3=r----v0[w(1o)] .

(53)

2p.

Zur Ermittlung der Gesamt-Abstromenergie L1 ist die aus

cien beiden Wirhelfeldern (41) und (52) resultierende

Wirbel-chung (49) einzusetzen. Es ergibt sich

Mit den Ausdrücken (51) und (54) kann nach Gleichung (40) die am Tragflügel auftretende Leistung L1 bestimmt werden.

Sie stellt nichts anderes dar als das Produkt des mittleren induzierten Widerstandes. der hier, da aus

Energiebetrach-tungen gewonnen, mit (W1)1111 bezeichnet wird, und der

Ge-schwindigkeit y0. Für einen Streifen mit der Breite b = i

er-gibt sich

bezeichnet wird, in die

Glei-Für den betrachteten Fall einer sinusförmigen und zum

Tragflügel symmetrischen Anströmung werden nun die

Funk-tion

G()

und die in ihr enthaltene Funktion FQi) , die heide

I i

nur von der reduzierten Frequenz t und dem Störfaktor o

abhängen, errechnet. Nach (41) und (43) ist, wenn

= cosw

gesetzt wird,

O

-

exp (icosq) sinqdqi.

(58)

= icJ

''

o

Die gebundene Zirkulation folgt mit (33) und (34)

aus der Gleichung (8) zu

= jw °

L (It)

(

+ T'Qi)

T'(

+

i

\

(1

/

+J)(T"(Ñ

(i

i)

\

_1T'Qi)

-o

_/

21t

il

+

_{T"Qi) (}

i

-

+ J1Qi)(T'CL) [i

-

₊

o]

in-1 JQc) sin ncç i

T"Qi)\\ll + cosq

2

2t

-0, (59)

Wird (59) in (58) eingesetzt, so treten Integralausdrücke der Form auf

L1 = [W1 (o, )]niE

y0 = L1 - L0 =

1 _i

fGQi) 2

=

-voI

-

41w2).

(56)

8 t

_\

I

Der zugehörige Widerstandsbeiwert hat die Größe

(o, t) I ioE 1 O

4

-lw2

BIt w 2 (57) 1 _l

L1=--

y0 G(It) 2 (54) 8

i

wobei G(u) F(t)

= i2 w( (1o) +

. (55)

amplitude,

die mit

'0=1 (1+cos)exp(itcos)d

und

= Ç sin nw sin w exp (-it cos w) dw

(n=1,2,3...).

Mit sin nw sin w = 0,5 Ecos (n-1) wcos (n + 1)q]

wird aus dem zweiten Integral

= 0,5 J cos(n-1)exp(icos)d

0,5 F cos(n + 1)wexp(iltcosw)dw.

o

Es handelt sich hier wiederum um Besselfunktionen in der Harisenschen Integraldarsteliung (31). Dann ist

=

_{[J0(i) iJiOi)}}

und

=

[(i)'' J1 (t)

(_j)fl±l J _{+ jOt)]} 2

Mit der Rekursionsformel (13) wird hieraus

=

_{(_j)fl_l n J(t)}

Damit lautet die Beziehung für die Funktion

lG

FQt)

=_

wj ir

¿ J02Qt) T"(t)

+

G

1_G)

/T"(u)

+ J0(t) J1(t)

+

J12O)( -1(2

T"

\ 2t

G-1 \

+ 2T'(i)

)i(J2()

('

+:'

T'())+

/

G-1

1 T(1i) + J12Qi) (T'()

+ - +

₊

a a 2

₎

1a 1T'(t)\

+ J0() Ji() ( T"Lt)

-G

2t

2

nJ2(lL))}.

n

ni

(Î

Bild 4 Widerstandsbeiwerte CWiE entsprechend Energiedifferenz

je Zeiteinheit L1L0 zwischen den Strömungszuständen hinter

und vor dem Tragfiügel 10

Hiermit kann nun nach (55) die Funktion G(t) und nach

(57) der Widerstandsbeiwert c,,,- E bestimmt werden. Der

Ver-lauf dieses Beiwertes ist in Bild 4 aIs Funktion von i mit G als Parameter dargestellt.

1/

i'

Bild 5 Störfaktor n und instationärer Gütegrad

i

Aus der Gleichsetzung dieses auf Grund von

Energie-betrachtungen ermittelten Beiwertes cj

des induzierten

Widerstandes eines Tragflügels im instationären

Strömungs-feld [Cl. (57), Bild 41 mit dem Beiwert c.j [Cl. (36), Bild 31, wie er sich aus den Strömungsverhältnissen am Tragflügel

selbst ergibt, kann nunmehr der Störfaktor für gleiche

redu-zierte Frequenzen ermittelt werden. Der Verlauf des

Störfak-+

_{tors G ist in Bild 5 dargestellt. Es zeigt sich, daß für}

_{t <r/2}

der Störfaktor G mit ahnehmender reduzierter Frequenz stark

abnimmt und im Grenzfall t-0 verschwindet. Für

t > jt/2

geht der Störfaktor n--1 - wie es auch für große p.

durch-geführte Grenzbetrachtungen bestätigen. Für p = /2 wird

i.

2r

=4, d.h. X=41=2t, also gleich der

i IL

doppelten Profiltief e. Das bedeutet, daß die Quergeschwindig-keiten völlig abklingen, wenn die Profiltiefe größer ist als eine

(60) halbe Wellenlänge. Tritt also ein Körper mit kleinen

Abmes-sungen in ein langwelliges Störungsfeld ein, so wird er die Störungen selbst nicht wesentlich beeinflussen können; sie

werden nach dem Durchgang des Körpers praktisch noch genau so groß sein wie vorher. Befindet sich dagegen ein Körper mit großen Abmessungen in einem kurzwelligen Störungsfeld, so wird er die Störungen mehr oder weniger, im Grenzfall völlig,

auslöschen. Dem ersten Fall entspricht p. 1, dem zweiten

Lt» 1. Mittels des Störfaktors aQi) nach Bild 5 kann nun

der endgültige Beiwert des induzierten Widerstandes c Qt)

nach Cl. (36) bestimmt werden. Seinen Verlauf als Funktion von i zeigt das Bild 6.

Als weitere Kenngröße eines in einem instationären Strö-mungsfeld befindlichen Tragflügels kann ein ,,instationärer

Gütegrad" definiert werden:

L L1

mfl5t - (61)

Mit L1L1 = cj (p.) lp y0 w nath

(56)

und L0 gemäß (51) ergibt sich der Gütegrad zu

1jnst = - c(p.) 2p..

(61a)

Er ist als Funktion von p. in Bild 5 angegeben. Sein

Grenz-wert für p. > 1 kann mittels des GrenzGrenz-wertes des BeiGrenz-wertes

des induzierten Widerstandes nach (38) bestimmt werden. Mit

O--8 02 1 ¿û 70 0 -/0

wird

1inst 1,0

fur t»1.

Der Gütegrad pendelt oberhalb

lt = 2, wie Bild 5 zeigt,

leicht um den Wert 1,0. Der Störfaktor. der angibt, wieweit

die Quergeschwindigkeitsamplituden beim Passieren des Trag-flügels verkleinert werden, also ein Maß für die dem

instatio-nären Strömungsfeld entnommene Energie darstellt, ist bei kleinen Werten t

zunächst größer als der Giitegrad und

später, bei größeren Werten It, abwechselnd größer oder

klei-ner. Dieser Vorgang ist offenbar auf den Einfluß des

Wirbel-verlustes zurückzuführen und soll im folgenden kurz

unter-sucht werden.

Die sekundliche Energie, die nach dem Passieren des Trag-flügels von der sekundlichen Energie der Anströmung Lo noch vorhanden ist, hat nach Gl. (53) die Größe

L3 - v0wJ2 (1 2a + a2)

211

Auf den Abbau der Quergeschwindigkeiten entfällt mit L0

nach (51) ein sekundlicher Energiebetrag der Größe

L3L0 =l@v0w2

a-2ø

(62)

Bildet man mit Gl. (62) einen Beiwert, so ergibt sich c[I(l1) =

lQv0 w2 2IL

L3L0

a2-2o

Der Verlauf dieses Beiwertes in Abhängigkeit von der

redu-zierten Frequenz ist in Bild 6 dargestellt. Die Differenz der beiden Beiwerte c0Qt) nach (36) und CLI(lt) nach (63) ist

durch den Wirbelverlust des Tragflügels bedingt. Bei kleinen Werten 1 ist der Wirbelverlust positiv, so dali der Beiwert c.j

kleiner ist als der Beiwert c11. Für t> 2

ist der

Wirbel-verlust abwechselnd positiv oder negativ. Dadurch pendelt der Beiwert c11 leicht um den Beiwert c,1. Die Differenz der Bei-werte in diesem Bereich ist jedoch vernachlässigbar klein. Dar-aus folgt, daß für größere reduzierte Frequenzen die Wirkung des Tragflügels fast ausschließlich auf dem Abbau der Quer-geschwindigkeiten, d. h. auf der Glättung des Strömungsleldes beruht.

3i ¿ 3

A'

(63)

Bild Theoretischer Beiwert des induzierten Widerstandes

bei sinusformiger symmetrischer Anströmung

Bei den bisherigen Untersuchungen wurde mit dem verein-fachten Ansatz (24)

w (, t) = w exp (iv-t

iItk)

für das Quergeschwindigkeitsfeld vor dem Tragflügel

gerech-net. Bei der Bestimmung des induzierten Widerstandes nach (21) trat die Zeitfunktion quadratisch auf, wodurch sich ein

von Null verschiedener zeitlicher Mittelwert ergab. Bei einem

zwei- oder mehrgliedrigen Ansatz für die Quergeschwindig.

Bild 7 Geschwindigkeitsverhältnisse an einem nicht angestellten Traglliigelprofil (schematisch)

Wie aus Bild 7h zu ersehen ist, läßt sich die veränderliche

Fortschrittsgeschwindigkeit y durch eine entsprechende Kor-rektur der Quergeschwindigkeit auf die konstante

Fortschritts-11

keit entsprechend (la)

w(*,t)

= f1 exp

(ivtiiS)

+ f2exp(2ivt-2i)

würden Produkte der Art

exp (in v-r) exp (im vt) (n, ni ganzzahlig)

auftreten. Die Integration über eine Periode ergibt aber nur dann einen von Null verschiedenen Wert, wenn n

m ist.

Der gleiche Fall tritt bei der Ermittlung der Abstromenergie

auf. In der Gleichung (48) erscheint entsprechend (45) und (46)

die Winkelfunktion quadratisch unter den Integralzeichen. Auch hier ergibt sich bei der Integration nur für n = m ein endlicher Wert. Daraus folgt, daß der Beitrag aller gemisch-ten Glieder entfällt. Der eingliedrige Quergesdiwindigkeits-ansatz (24) ist also bereits der allgemeine Fall. Der

indu-zierte Gesamtwiderstand kann durch Summation der sich mit

f1, f2...f0

(w1, 1w91...w01)

ergebenden Teilbeträge dargestellt werden. Da die Quer.

geschwindigkeitsamplituden in dem Ausdruck zur Berechnung des induzierten Widerstandes [GI. (35)] quadratisch auftreten und da allgemein

n=1

\n=i

i / i

wJ<(

wnI )2

ist, ergibt sich bei rein sinusförmigem Verlauf der

Quer-geschwindigkeiten ein Optimum des negativen induzierten

Widerstandes. Der negative induzierte Widerstand eines

Trag-flügels ist in einem Strömungsfeld, das außer der einfachen

Sinus-Form auch höhere Sinus-Formen aufweist, stets kleiner

als in einem solchen mit nur der einfachen Sinus-Form,

vor-ausgesetzt, daß die Maximalamplituden in beiden Fällen gleich

sind.

2,5

Einführung einer veränderlichen

Fo ri sch ritt sge sc hwind igk eit

Bei den bisher durchgeführten Untersuchungen wurde eine einschneidende Vereinfachung dadurch vorgenommen, daß die Fortschrittsgescbwindigkeit der sich wellenförmig

fortpflan-zenden Quergeschwindigkeiten als konstant vorausgesetzt

wurde. Im Hinblick auf Probleme der Praxis, z- B. das

Leit-flächenproblem, bei dem ein Tragflügelprofil von sich

perio-disch ändernden und schräg zu seiner Ebene gerichteten Zu-satzgeschwindigkeiten beaufschlagt wird, ist es wichtig, den

Einfluß einer sich periodisch ändernden

Fortschrittsgeschwin-digkeit bei gleichzeitiger periodischer Änderung der

Quer-geschwindigkeit zu untersuchen.

Die Fortschrittsgeschwindigkeit möge sich nach dem Gesetz

y = y0 [1 + kcos (vr + )]

(64)

ändern, worin k einen Ungleichförrnigkeitsfaktor darstellt. In

Bild 7a sind bei zunädist als konstant angenommener Quer-geschwindigkeit w die resultierenden Geschwíndigkeiten an

einem Punkt eines nicht angestellten Tragfluigels schematisch

angegeben, und zwar für die drei

Fortschrittsgesdiwindig-keiten

y = y0 ; y = v1100 ; V = Vmin.

geschwindigkeit y0 zurückführen. Bei dem nicht angestellten Profil ergibt sich der hydrodynamische Ansteliwinkel aus dem Größenverhäitnis von Quergeschwindigkeit und

Fortschritts-geschwindigkeit. Dieser Ansteliwinkel darf hei der

Reduk-tion nicht verändert werden. Dann folgt aus Bild 7b:

Aw w

Av y0 + Av

Wegen Aw<0 für Av>0 und Aw>0 für Av<O ergibt

sich als Korrekturgröße

Av

Aw w.

y0 + Av

Damit lautet der Ausdruck für die korrigierte

Quergeschwin-digkeit

Wkorr w + Aw = w

(i

Av w

Av

vo

Physikalisch sinnvoll ist nur der Fall gleicher Kreisfrequenzen

der Anderungen von Quergesthwindigkeit und Fortschritts-geschwindigkeit und des zugehörigen Phasenwinkels ô = O oder ô = . Die Anderungsgröße der

Foroschritosgeschwindig-keit kann dann in allgemeiner Form zu

Av = y0 k exp (ivi

it + iò)

(66)

angegeben werden. Mit (66), (65) und (24) ergibt sich für die korrigierte Quergeschwindigkeit

WKorr (, t) =

i

= w exp (ivi --- it) (67)

i + k exp (ivti

+ iô)

Der in diesem Ausdruck enthaltene Bruch ist die Summe einer

geometrischen Reihe, so daß an Stelle von (67) auch gesetzt

werden kann

'1,rr. (, r) = w [exp (ivi

i)ii)

k exp (2ivt - 2it) exp (iò)

+ k° exp (3ivt 3i1t) exp (2ib)

-+...

].

(67a)

Für den Sonderfall k = 0,3 ; vi = O und ô = O bzw. ô =

ist die korrigierte Quergeschwindigkeit in Bild 8 als Funktion

von dargestellt.

Bild S Korrigierte Quergeschwindigkeit Wkorr (2) für eine Fort-schrittsgeschwindigkeit entsprechend y = v (1 ± k cos [ 2 ± ô]) für

k = 0,3 und = O bzw. t

Mit Hilfe der Beziehung (67 a) kann nun der induzierte

Widerstand eines Tragflügels in einem sowohl in Fortschritts-richtung als auch quer dazu veränderlichen

Gesdiwindigkeits-feld nach der für konstante Fortsdirittsgeschwindigkeit gül-tigen Beziehung (35) berechnet werden. Auf Grund der im Abschnitt 2,4 durchgeführten Uberlegung bezüglich mehr-gliedriger Ansätze für die Quergeschwindigkeit entfallen in

dem quadratischen Ausdruck für den induzierten Widerstand

12

2,6 In d uzi erte s Geschwindigkeits fi

(65)

vor dem Tragflügel

-s1<

()>\.

die gemischten Glieder. Der induzierte Widerstand ergibt sich dann in allgemeiner Form zu

[W1 (k, i-'-)1 = lJ w 2 [c (t) + k° c (2t)

+ k4c1 (3t) + ...] .

(68)

Außer dem Anteil der reduzierten ,,Grundfrequenz" treten

hier auch Anteile der Harmonischen dieser Grundfrequenz auf.

Zur Bestimmung der Widerstandsbeiwerte dieser

Harmo-nischen kann die asymptotisthe Beziehung (38) benutzt

wer-den, wenn ni > 4 ist. Für ni. <4 gilt Bild 6. Ganz allgemein hat, wie der Ausdruck (68) zeigt, der induzierte Widerstand

im Falle einer periodisch veränderlichen Fortschrittsgeschwin-digkeit größere negative Werte als bei konstanter

Fortschritts-geschwindigkeit.

Id

Vor dem Tragflügel klingt die von ihm und von der Wirbel-schleppe induzierte Quergeschwindigkeit von sehr großen Wer-ten im Bereich der Eintrittskante mit wachsendem Abstand von

derselben stark ab und nähert sich asymptotisch dem Wert Null. Für die Anwendung der Theorie auf das

Leitflächen-problem ist es notwendig, zu wissen, wie weit sich diese

Quer-geschwindigkeiten nach vorn fortpflanzen, bzw. in welchem Abstand von der Eintrittskante des Tragflügels ihre Größe vernachlässigt werden kann. Daraus folgt dann der

Mindest-abstand zwischen dem als Leitfläche wirkenden Tragflügel und

beispielsweise einem Propeller, dessen Abstrom eine

perio-dische Änderung der Anströmung des Tragflügels hervorruft. Zur Ermittlung des induzierten Quergeschwindigkeitsfeldes

vor dem Tragflügel ist die Gleichung (6) für <-1 zu lösen. Zunächst wird das in diesem Ausdruck auftretende

Doppel-integral betrachtet. Mit der Substitution ₍

ii) = u

ergibt sich

I = it exp (

i)

N/I

(i t) exp (i1)

Jexp

u=lo(21-)

= Ii 12.

Das Integral, dessen Integrand eine Funktion von u i hält den Integralcosinus bzw. den Integralsinus. D

also [20]

= Cj<i))i

Für großes Argument können die Integralfunktionen

ihre asymptotischen Darstellungen ersetzt werden.

Für t ( ) > 1 gilt [20]

sin .t (i1 )

C1(x(1

- (i

dnd

t

cost()

S<t(x1))----2

Zur weiteren Behandlung des Ausdruckes (70) wird dh funktion

h[LL(1)]=h'[Lt(1)]

+ih"ftt(1-eingeführt. Unter Beriicksichtigung von (71) kann do

setzt werden

-

-

sinit(,)

,

C ( (Xi-4)) =

+ h [x (x1)

lt (iii und

cost(1)

S1<1i(1))=

+h"ftt(1-I' (i)

du di1 st, ent-inn ist durch Jr 2

Daraus ergibt sich die Hilfsfunktion h ftt ( - )] zu

SiflL (i)

h{(1)] = C1<t(1))

+

coslL(i_)\

2

Mit (73) geht (70) über in

¡sin t (i') +h'[1t(1)] +

+o5'

_{' (i)}

+h"[it(t_)I)).

Durch Zusammenfassung wird daraus

{h'[1)] +

it (t)

+ih"ii(i)I}.

Damit kann für (69) geschrieben werden

di exp

(_ilt)J(íl

(') exp (iit1)

{h' [it (1fl + i h" [it (i)1} du1

(74)

Die induzierte Quergeschwindigkeit vor dem Tragflügel gemäß (6), die im folgenden mit w1 (E,t) bezeichnet wird, ist damit

gegeben durch

WiT (E, t) =

'it Jii

(f1, t)

exp [it (1 -

{h' [

( fl+

+ih"[t(u1)1}dui

(75) oder WiT ('t)

=

'

_t) f [

(i - )] d,

(75 a) wobei -

-

- -

sint(u1)

= exp ['t (x1E)] C <

(xiE))

±

+

i/

S <u

(ui_))_1

. (76)

\ 2

i() /

Die Funktion f [' ( - E)] läßt sich durch elementare

Funk-tionen nicht angeben. Drückt man die IntegralfunkFunk-tionen in

(76) durch ihre Reihendarstellungen aus, so erkennt man, daß

die Funktion f [t ( - E)] als wesentlichsten Bestandteil den

hyperbolischen Ausdruck

Const.

enthält. Eine Annäherung durch diesen Ausdruck allein würde jedoch, wie genauere Nebenrechnungen gezeigt haben, im Be'

reich kleiner Werte 1 (u1E) zu ungenaue Ergebnisse liefern.

Es wird daher ein Näherungsansatz der Form

- C

fi(u1Efl

---+

d,, [it (i

(77)

m=O

gewählt. Nach Einsetzen dieses Näherungsansatzes in (75 a)

ergibt sich schließlich8) ein Quergeschwindigkeitsverlauf vor

dem Tragfiügel, wie er fur den speziellen Fall

t = 1,4 in

3) Von der Wiedergabe der hierzu erforderlichen umfangreichen Zwischenrechnun gen wird abgesehen.

+i

(73)

Bild 9 als Funktion des Abstandes von der Eintrittskante des Tragflügels angegeben ist. Dabei ist die vom Tragflügel und

der Wirbeisci-ileppe induzierte Quergeschwindigkeit w)T auf die Quergeschwindigkeit der Anströmung w bezogen.

¿72

-5 -5 -4 -3 -2

O1

Bild 9 Indazierte Quergeschwindigkeit vor dem Tragfiügel für = 1,4 und v-r

O -

a) Infolge Tragflügelzirkulation, - b) Infolge

Stabwirbel gleicher Zirkulationsstärke im AuftriebsmittelpUnkt

Zum Vergleich mit diesem Ergebnis soll im folgenden ver-einfachend damit gerechnet werden, daß derTragflügel durch einen im Schwerpunkt der Tragflügelzirkulation angeordneten

Stabwirbel ersetzt wird. Zur Ermittlung des Zirkulations'

schwerpunktes sind zunächst Auftrieb und Moment des

Trag-flügels zu bestimmen. Die Integration der Gleichungen (22)

und (23) ergibt mit g (u1) gemäß (4) nach

Zwischenrechnun-gen für den speziellen Fall i. = 1,4 den Wert e = 0,484.

Da-bei ist ë =

-eder

Abstand des Zirkulationsschwerpunktes von

der Profilmitte und wird positiv in negativer u.Richtung

ge-zählt. Der Auftrieb greift also irs der Nähe des vorderen Neu.

tralpunktes an. Wird A. = r0 gesetzt, so folgt aus (6)

C

w1 (E, -r) =I1

i

- J

exp [it - '

di, exp(ivt)

27f eE

uE

C ₍₇₈₎

als Beziehung für das Geschwindigkeitsfeld eines im Punkt ë

angeordneten Stabwirbels. Mit der Lösung des Integrales in

(78) ergibt si-ch (E, t) =

tF0

i

_{+iexp[i(eE)J C1 ( (ëE)> +}

2j't

it(e-E)

+

S <t

(e_E)>\}]

exp (ivt). (79)

Für den Fall i = 1,4 ist die Quergeschwindigkeit, die mit

wist bezeichnet wird, in Bild 9 angegeben.

Aus dieser Betrachtung folgt, daß in vielen Fällen zur Ermitt-lung der induzierten Quergeschwindigkeit vor dem Tragflügel dieser durch einen in) Zirkulationsschwerpunkt angeordneten

Stabwirbel gleicher Zirkulationsstärke ersetzt werden kann. Die induzierte Quergeschwindigkeit ist nur in der Nähe der

Eintrittskante von wesentlicher Größe. In dem speziellen Fall

= 1,4 beträgt die induzierte Quergeschwindigkeit im Al). stand einer Tragflügeltiefe, also bei E = 3, nur noch etwa

3 0/ der Quergeschwindigkeit der Anströmung und kann

prak-tisch vernachlässigt werden, in diesem Fall ist

tE = 4,2.

Der Wert

t E = S kann dabei als Grenzwert angesehen

werden, d.h. für JitE >5 und in einem Abstand vor dem

Tragflügel, der größer ist als eine Flügeltiefe kann die

zierte Quergeschwindigkeit im allgemeinen vernachlässigt

werden.

2,7 Abwind feld hinter einem D rehflii gel

Bei der experimentellen Nachprüfung vorstehender theore-tischer Untersuchungen soll ein Tragflügel in einem durch

einen Drehflügel erzeugten instationären Strömungsfeld

unter-sucht werden. Es erscheint daher zweckmäßig, auch das

Ab-windfeld hinter einem solchen Drehflügel durch theoretische Rechnungen zu erfassen.

Ein Drehfluigel ist ein um eine parallel zu seiner

Eintritts-kante liegende Achse drehbarer Tragflügel. Im vorliegenden

Fall wird die Drehachse im vorderen Neutralpunkt des

Trag-flügels, also bei i

=

0,5 liegend angenommen. Wird die

Drehamplitude in Bogenmaß mit B bezeichnet, so lautet das

Bewegungsgesetz der Profilsehne in dem im Abschnitt 2,1 ein-geführten Koordinatensystem

=

B (0.5 + i) exp (ivi) . (80)

Bei konstanter Anströmgeschwindigkeit V0 hat die durch die Drehbewegung am Ort des Tragilügels hervorgerufene Quer-geschwindigkeit, die mit WID (i1, T) bezeichnet wird, gemäß (17) die Größe

WID(i1, i)

dz

(it) i

=

v0B exp (ivi) [1 + (0,5 t + ti1>I

dr

(81) oder mit ii1

=

COS (p,

wID ((p,

t =

y0 B exp (ivt) [ + i <0,5 t cos cp)i. (81 a)

Mit Hilfe dieser Beziehung (81) und den in Abschnitt 2,1 dar-gestellten allgemeingültigen Zusammenhängen zwischen Zir-kulationsverteil ung und induzierter Quergeschwindigkeit kann die Zirkulation für den Drehflui gel bestimmt werden. Es ergibt sich entsprechend (4)

y (ii, t)

=

vi B exp (ivi) g (i1)

worin nach einigen Zwisthenrechnungen für g (i1) zu setzen ist

g(i1) =[1+T'Qi)--tT"(1i) +

exp (iii)

j

dx 1exp(IvT). (83)

Die beiden ersten Integralausdrücke stellen den Abwind in-folge der gebundenen und der sich noch im Bereich des

Dreh-fluigels ( i <

+ 1) befindenden freien Wirbel dar. Die

daraus resultierende Quergeschwindigkeit ist nur in

unmittel-barer Nähe der Drehfluigelaustrittskante von wesentlicher Größe. Nach Zwisc.henredinungen hat sich ergeben, daß in einem Abstand von der Austrittskante. der größer ist als 0,2

Drehfluigeltiefe, also > 1,4, und für den .tE >5 ist, dieser

Abwindanteil, der exponentiell mit dem Abstand abklingt.

ver-nachlässigt werden kann. Es kann daher näherungsweise

ge-setzt werden

14

+ i <T" () + tT' (tt))1

/i

1

V

i+

+.Qt2-4i11) Viii2 +it2iiJ/1__i2.

(82)

Der Drehflügelabwind WiD folgt dann aus Gleichung (6) zu

+1 +1

WiD (L T) i

J

(

-

g (i1)

_{-- dxj-1l.t}

C exp ( iti)

v0B 2it

J i

J

i

ex

(ii1) di1 di _itj

(ii) exp (iti1) di1

+1

C exp (i1ii)

C

ii

di

g (i1) exp (iîtii) di1

=

-

Ex

iui<-1»

+(s1 [-1)]

(i1) exp (ii1) di1.

Für

s-oe ergibt sich wegen C<no> = Q und S<nc=

WD() exp (ivi)

+1

nTexp (i)

$ g(i1) exp (iili1) di1. (85)

In diesem Fall ist das Abwindfeld rein sinusförmig. Seine Amplitude ist von der Drehfluigelzirkulation und von der

reduzierten Frequenz abhängig. Mit genügender Genauigkeit

hat die Beziehung (85) für

.t > 20 Gültigkeit. Da der

Ab-stand zwischen Drehflügel und Tragflügel bei den experimen-tellen Untersuchungen zwischen 0,2 und etwa 1,0

Drehflügel-tiefe liegen wird, ist der Abwind nach der Gleichung (84) zu bestimmen. Mit der komplexen Zirkulation lautet dann die

endgültige Beziehung für den Drehfluigelabwind: wjD()

exp (- ivi) =

y0 B

+

_{)(J0() {i +T'()}

+J1() {1T'() +T"()}}+

+ i«Si <

1)>

+)(J0{T»

+

+ T' (t)]}

+J1() {1T'()

+T"()})

, <

(i,, (pt) {1 + T'()

T" ()} +

+ J1(t){T" (t)(1

Der Verlauf des Abwindes nach (86) als Funktion standes von der Austrittskante ist für t = 3,0 und in Bild 10, aufgeteilt in Real- und Imaginärteil (wiD und zugehörige Amplitude (IwID )

in der dimensi

w1) ,,

W"

Form x = -

_{; x =}

;

x =

-r- ;dai

y0 B V(, B

v B

Zum Vergleich ist der Abwind für > 1, berechnet n

und mit x,,', x", x

bezeichnet, eingetragen.

Die Größe der dimensionslosen Amplituden ( x ) d

flügelabwindes, die für die Auswertung der Messunt

Abschn. 3,2) von Wichtigkeit sind, wurde für verschie stände d von der Austrittskante des Drehfluigels bered

(86) des Ab-Vt = O Win) onslosen es Dreh-;en (vgl. iene Ab-met und

2t

wD () exp (ivi)

v, B

(i)

(84) gestellt. ach (85)

W.D

Bild 10 Drehflügelabwind s = L nach W. (86) für = 3,0 und

vB

' r O (d Abstand von der Austrittskante in mm)

ist in Bild 11 als Funktion der reduzierten Frequenz p mit dem

Abstand d als Parameter dargestellt.

- Ill

Bild 11 Abwindamplituden I ats Funktion der reduzierten Fre-quenz für verschiedene Anstände d von der Austrittskante des

Drehfiügels

3. Meßlechnischer Teil

3,1 Meßapparatur und Versuchsdurchführung

Mittels einer geeigneten Meßapparatur war das Ergeb-nis der theoretischen Untersuchungen nachzuprüfen. Dazu wurde ein Tragflügelprofil gewählt, das der ebenen Platte

mit verschwindender Dicke (Theorie dünner Profile) möglichst

gut entsprach. Dieses Profil bzw. seine Aufmaße sind in Bild 12 dargestellt. Es handelt sich praktisch um eine an den

Enden zugeschärf te Platte. Das Dickenverhältnis des Profiles sit = 0,057 ergab sich aus Festigkeitsrücksichten.

,=

Bild 12 Vereinfachtes Tragftügelprofil

Für die Messungen wurden zwei Tragflügelprofile mit den

Profiltiefen t = 105 mm und t = 70 mm sowie mit einer dem Versuchskanal angepaßten Breite b = 390 mm angefertigt.

Als Material diente Messing.

Der verwendete Strömungskanal hatte

eine Länge von

ca.

7 m und innerhalb der Mellstrecke eine Breite von

395 mm. Die Wassertiefe betrug 400 mm. Durch einen ge-eignet ausgebildeten Einlauf und mehrere vor demselben an-gebrachte Lochsiebe konnte im Meßquerschnitt eine nahezu konstante Geschwindigkeitsverteiiung über der Kanaibreite

erzielt werden. Die Strömungsgeschwindigkeit und der

Wasser-stand im Kanal wurden mittels der zugeführten Wassermenge und einer am Ende des Kanals angebrachten Jalousienklappe geregelt. Bei den Versuchen betrug die

Strömungsgeschwindig-keit ca. i rn/s. Sie wurde laufend mit einem Prandtl-Rohr

gemessen, das sich etwa 2,2 m hinter der Meßstrecke befand.

Die Staurohranzeige wurde, da am Ort des Staurohres ein

anderes Geschwindigkeitsprofll als in der Meßstrecke herrschte,

mit Hilfe der Messungen der Geschwindigkeitsverteilung in der Meßstrecke, die vor den Versuchen und zur Kontrolle

auch zwischen den einzelnen Meßreihen vorgenommen wurden,

geeicht.

Die mittlere Wassertemperatur ins Kanal betrug 18,50 C.

Damit ergaben sich Reynolds-Zahien der Größe

Re = 1,0- 10 für den 105-mm-Tragfluigel und

Re = 0,7 lOi fur den 70-rnm-Tragfiuigel.

Labitiseringsgswicht -'Widerstandswaage Tragerah,nen Tragfúige ,o/nung Aasgleichsgewícht

Bild 13 Schematische Darstellung der Widerstands-Meßeinrichtung

Für die beabsichtigten Widerstandsmessungen wurde eine

Meßeinrichtung gewählt, wie sie in Bild 13 schematisch dar-gestellt ist. Die Tragflügelmodelle und das unten befindliche

Ausgleichgewicht wurden an 0,5 mm starken Chromstahl-drähten aufgehängt. Geringere Drahtstärken waren ungeeig.

net, da diese Drähte infolge von Schwingungserscheinungen in

kurzer Zeit an den Knotenpunkten brachen. Um bei einem

möglichen Anliegen der Modellflügel an den Kanalwänden die

Reihung auf ein Mindestmaß herabzusetzen, wurden an den

Seiten je zwei kleine aus Weichlot bestehende Pyramiden an-gebracht, so daß eine punktförmige Anlage gewährleistet war. Das unter dem Tragflügel in einer Vertiefung der Meßstrecke angebrachte Ausgleichgewieht wurde in seiner Größe so be-messen, daß es die nach oben gerichteten Querkräfte aufhob.

Die Tragedrähte der Modelle blieben daher immer gespannt. Der durch die instationären Vorgänge am Tragflügel

ent-stehende Widerstandsanteil W1111 wurde durch

Differenz-messung und Nullabgleich der Waage gemessen. Der Aus-schlag der Waage selbst konnte nicht zur Messung heran-gezogen werden, da ihre Empfindlichkeit mit zunehmendem

Ausschlag infolge der Schwerpunktswanderung des Systems abnahm. Um die Empfindlichkeit zu erhöhen, wurde ein Labi-lisierungsgewicht angebracht. Die Genauigkeit der Waage bei dieser Meßmethode betrug etwa ± 0,5 - 10 kg. Da die

expe-rimentellen Untersuchungen nur den Zweck hatten, die Er-gebnisoe der Theorie größenordnungsmäßig nachzuprüfen,

wurde ein derartiges Meßverfahren als ausreichend genau an-gesehen. Die Differenzmessung wurde derart vorgenommen, 'laß bei zunächst stationärer Anströmung der Profilwiderstand

15

'4 -i -9,066 5244 0608 5772 0,986

und der Widerstand der Drähte ausgeglichen wurde. Dann

wurden die Modelle durch Uberlagerung der Paralleiströmung mit einem periodisch veränderlichen Quergeschwindigkeitsfeld instationär angeströmt und die sich dabei ergebenden

Wider-standsdifferenzen durch Nullabgleich der Waage gemessen. Eine mögliche Differenz der Widerstände der Tragedrähte

bei stationärer und nicht stationärer Anströmung wurde dabei

vernachlässigt.

Zur Erzeugung des instationären Strörnungsfeldes diente ein um eine durch seinen vorderen Neutralpunkt gehende Achse drehbarerTragflügel. Ein solcher Drehfliigel hat den

Vorteil, daß er ein nahezu sinusförmiges Abwindfeld erzeugt,

das mit ausreichender Genauigkeit berechnet werden kann

(vergl. Abschn. 2,7). Diese Tatsache ist von großer Bedeutung,

da es sich bei den Versuchen herausstellte, daß ein genaues

Aufmessen des Abstroines auf photographischem Wege nicht

den erwünschten Erfolg hat und andere Möglichkeiten nicht

gegeben waren. Erschwerend wirkt sich jedoch die etwa qua. dratische Abhängigkeit der Abwindamplituden von der redu-zierten Frequenz des Drehfiügels aus (vergl. Bild 11). Infolge

dieser etwa quadratischen Abhängigkeit werden die an den Tragflügelmodellen auftretenden Kräfte bei kleinen redu-zierten Frequenzen so klein, daß sie nicht mehr genau ge-messen werden können, bei hohen reduzierten Frequenzen dagegen so groß, daß die Tragedrähte überlastet werden und

die Modelle inVertikalschwingungen geraten. Auch die lineare Abhängigkeit der Abwindamplituden vom Ausschlag des

Drehflügels kann nicht voll ausgenutzt werden. Denn bei Dreh.

Iiügelausschlägen B>3,42 10 weicht die abgehende

Wirbel-schleppe so weit von der Spur des Flügels ab. daß am Ort des

auf der Spur des Drehflügels angeordneten Tragflügels

klei-nere Quergeschwindigkeitsampl i tuden auftreten als sich aus den Berechnungen ergeben. Auch macht sich bei größeren Aus-schlägen das endliche Stangenverhältnis des zum Antrieb des Drehflügels dienenden Kurbeltriebes dadurch bemerkbar, daß die Bewegung des Drehflügels mit zunehmenden Ausschlägen immer stärker von der Sinus-Form abweicht.

Aus alldem folgt, daß der Drehflügel nur für einen

begrenz-ten Bereich der reduzierbegrenz-ten Frequenz zur Erzeugung eines

instationären Geschwindigkeitsfeldes brauchbar ist. Der

tech-nisch interessierende Bereich der reduzierten Frequenz des

Tragilügels dürfte zwischen tt' = 0,3 und tT = 3,0 liegen.

Zur Erfassung dieses Bereiches wurden die Profiltiefen

t = 140 mm für den Drehflügel und t = 105 mm bzw.

t = 70 mm für die beiden Tragflügel gewählt.

Die Spannweite des Dreh flügel s betrug 392 mm. Als Ma-terial wurde Stahl verwendet. Als Drehflügelprofll diente

eben-falls das in Bild 12 dargestellte vereinfachte Profil. Der

An-trieb erfolgte durch einen elektronisch gesteuerten

Gleich-HotOi ,LGetriebe ípphebe/

16

strommotor iiber ein Untersetzungsgetriebe, einen Kurbeltrieb

mit verstellbarem Hub, einen Kipphebel und ein Gestänge.

Den schematischen Aufbau zeigt Bild 14.

Auf den Bildern 15 und 16 ist der Versuchsaufbau und die

Meßstrecke mit dem Drehflügel und dem 70-mm-Tragflügel zu erkennen. Beide Flügel befanden sich 200 mm über der

Kanalsohle bei 400 mm Wassertiefe. Die Drehfrequenz wurde mit einem AEG-Lichtblitz-Stroboskop am motorseitigen Zahn-rad des Getriebes gemessen. Die Messungen wurden bei

Dreh-fluigelausschlägen

der Größe B = 3,42

III-2 _{durchgeführt.}

Der Abstand zwischen der Eintrittskante des Tragflügels und

der Austrittskante des Drehflügels betrug

d = 30 mm.

d = 45 mm, d = 60 mm und d = 100 mm. Die reduzierten Frequenzen des Drehflügels lagen zwischen

= 0,8 und

.LD = 3,7, diejenigen des 105-mm-Tragflügels zwischen

= 0,6 und LT = 2,8 und die des 70-mm-Tragfiügels zwi.

schen T = 0,4 und = 1,8. Bei allen Messungen wurden die Tragflügelmodelle symmetrisch zu ihrer Profilsehne

an-geströmt.

Fi Id 15 Ve rsu elisa u fha u

3,2 Ergebnisse

Die unkorrigierten Ergebnisse der Differenzmessungen sind

in dimensionsloser Form als Funktion der reduzierten

Fre-quenz für verschiedene Abstände d der Tragflügelmodelle von der Austrittskante des Drehfiügels in Bild 17 dargestellt.

Meß-werte bei kleinen reduzierten Frequenzen, die instationäre

Widerstände von weniger als - i

10-2 kg ergaben, wurden nicht heriicksichtigt, da sie im Vergleich zu der Empfindlichkeit

Bild 15 Drehflügel und Tragftügel (t = 70mm) in der Meßstrecke

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