I MiBM wykład 3 - pochodne

Pochodna funkcji

Pochodną funkcji f(x) w punkcie x

nazywamy współczynnik kierunkowy

stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x

, f(x

)).

Pochodną funkcji f(x) w punkcie x

nazywamy granicę (o ile ona

istnieje):

 





 

'

_lim

f x

x

f x

f

x

x

  





 

,

5

f x



x

x



 





 



  





_

_

5

5

5

5

' 5

_lim

_lim

25 10

25

10

lim

lim

10

10

10

lim

lim

f

x

f

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  

 













    

  













 





  



 

,

7

f x



x

x



 





 



  





_

_

7

7

7

7

' 7

_lim

_lim

49 14

49

14

lim

lim

14

f

x

f

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  

 













    

  













 





  

 

,

f x



x

x



x

 





 



  





_

_

'

_lim

_lim

2

2

lim

lim

2

2

2

lim

lim

f x

x

f x

x

x

x

f

x

x

x

x

x x

x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  

 













    

  













 





  



Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja Pochodna Funkcja Pochodna

y = C y’ = 0 y = ex y’ = ex y = x y’ = 1 y = ax y’ = ax ln a x y  x y 2 1   _{y = loga x} 1 ln y x a   y = xn y’ = nxn–1 y = ln x x y  1

y = sin x y’ = cos x y = arcsin x ₂ 1 1 x y   

y = cos x y’ = – sin x y = arccos x ₂ 1 1 x y     y = tg x x y ₂ cos 1   _{y = arctg x} 2 1 1 x y    y = ctg x y  1 y = arcctg x y  1

Reguły różniczkowania

 





 

 

 





 

 

 

 





 

 

1)

2)

3)

C f x

C f

x

f x

g x

f

x

g x

f x

g x

f

x

g x



_



 



_

_









_

_







Reguły różniczkowania

   





   

   

 

 

   

 

   

 

 







 



 

4)

5)

, gdzie

0

6)

f x

g x

f

x

g x

f x

g x

f x

f

x

g x

f x

g x

g x

g x

g

x

g f x

g

f x

f

x



_

_













_

_





_

_

_



































Pochodna logarytmiczna

Pochodną funkcji y

 

 

g x





 



1. Logarytmujemy obie strony i otrzymujemy

 





ln

y



ln

f x

ln

y



g x

 

ln

f x

 

2. Różniczkujemy obie strony (traktując

ln y

 

_{       }

3. Z otrzymanej równości obliczamy

y



 





_{   }

   

 



_



















x

f

x

f

x

g

x

x

g

x

f

y

ln

Pochodną logarytmiczną stosujemy również wówczas, gdy funkcja jest ilo-czynem, ilorazem, zawiera pierwiastki, potęgi (te działania, które dają się łatwo logarytmować).