Podstawy wytrzymałości materiałów
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji
Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz B2, II p., pok. 206
E-mail: machniew@agh.edu.pl
IMiR - MiBM - Wykład Nr 4 Analiza stanu naprężenia
Stan naprężenia w punkcie, tensor naprężenia, klasyfikacja stanów naprężenia, analiza jednoosiowego stanu naprężenia, analiza płaskiego stanu naprężenia, koło naprężeń Mohra.
z
x
y
4.1. Stan naprężenia w punkcie
𝟏
𝑷ഥ𝟏
𝑷ഥ𝒏
L
𝒑
A𝑷ഥ𝟏
𝑷ഥ𝒏
𝑷ഥ𝟐
L
𝒑𝟐
A OO
𝑷ഥ𝟏
𝑷ഥ𝒊
𝑷ഥ𝟑 𝑷ഥ𝒏
𝑷ഥ𝟐
L
OP
𝑷ഥ𝟏
𝑷ഥ𝒊
𝑷ഥ𝟑 𝑷ഥ𝒏
L P
𝑷ഥ𝟐 O
1. Naprężenie w danym punkcie na powierzchni myślowego przekroju zależy od orientacji tego przekroju.
2. Jednoznaczny opis stanu naprężenia w punkcie wymaga w związku z tym określenia naprężeń na wszystkich ściankach tzw. elementarnego prostopadłościanu otaczającego dany punkt.
𝒑𝟏 ≠ 𝒑𝟐
𝑷ഥ𝟏
𝑷ഥ𝒊
𝑷ഥ𝟑 𝑷ഥ𝒏
L P
𝑷ഥ𝟐 O
𝝉𝒙𝒛𝟐
𝝉𝒙𝒚𝟐
𝝈𝒚𝟐 𝝉𝒚𝒛𝟐
𝝈𝒛𝟐 𝝉𝒛𝒚𝟐 z
x O y
𝝈𝒛𝟏 𝝉𝒛𝒚𝟏
𝝈𝒚𝟏 𝝉𝒚𝒛𝟏
𝝉𝒙𝒛𝟏
𝝉𝒙𝒚𝟏
18 składowych stanu naprężenia
4.1. Stan naprężenia w punkcie
𝝉𝒙𝒛𝟐
𝝉𝒙𝒚𝟐
𝝈𝒚𝟐 𝝉𝒚𝒛𝟐
𝝈𝒛𝟐 𝝉𝒛𝒚𝟐 z
x O y
𝝈𝒛𝟏 𝝉𝒛𝒚𝟏
𝝈𝒚𝟏 𝝉𝒚𝒛𝟏
𝝉𝒙𝒛𝟏
𝝉𝒙𝒚𝟏 𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒚
𝝉𝒚𝒛
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚 z
x O y
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚
𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚 1) Założenie:
Brak sił masowych (sił ciężkości i bezwładności).
2) Warunki równowagi:
σ𝒊=𝟏𝒏 𝑷𝒊𝒙 = 𝟎, σ𝒊=𝟏𝒏 𝑷𝒊𝒚 = 𝟎, σ𝒊=𝟏𝒏 𝑷𝒊𝒛 = 𝟎
18 składowych stanu naprężenia 9 składowych stanu naprężenia:
3 naprężenia normalne: x, y, z
6 naprężeń stycznych: xy, xz, yx, yz, zy, zy 𝝈𝒊𝟏 = 𝝈𝒊𝟐 𝐨𝐫𝐚𝐳 𝝉𝒊𝒋𝟏 = 𝝉𝒊𝒋𝟐
4.1. Stan naprężenia w punkcie
Tensor stanu naprężenia:
9 składowych stanu naprężenia:
3 naprężenia normalne: x, y, z
6 naprężeń stycznych: xy, xz, yx, yz, zy, zy
𝑻𝝈 =
𝝈𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒙𝒛 𝝉𝒚𝒙 𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛 𝝉𝒛𝒙 𝝉𝒛𝒚 𝝈𝒛
𝑖=1 𝑛
𝑀𝑖𝑥 = 0
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒚
𝝉𝒚𝒛
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚 z
x
O y
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚
𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚
dy
dz
𝜏𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑑𝑦 − 𝜏𝑧𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0 𝝉𝒚𝒛 = 𝝉𝒛𝒚
𝑖=1 𝑛
𝑀𝑖𝑦 = 0 𝜏𝑧𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑧 − 𝜏𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 0 𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒛𝒙
𝑖=1 𝑛
𝑀𝑖𝑧 = 0 𝜏𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 𝜏𝑦𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑑𝑦 = 0 𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙
Naprężenia styczne w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych, prostopadłe do krawędzi przecięcia się tych płaszczyzn, są sobie równe i skierowane do lub od krawędzi.
Prawo równości naprężeń stycznych w płaszczyznach prostopadłych:
𝝉
𝝉
𝝉
𝝉
Ostatecznie:
Stan naprężenia w punkcie opisać można przy użyciu sześciu niezależnych składowych stanu naprężenia:x,y,z,xy(=yx),xz(=zx),yz(=zy)
4.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:
Tensor dowolnego przestrzennego stanu naprężenia 𝑻𝝈 =
𝝈𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒙𝒛 𝝉𝒚𝒙 𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛 𝝉𝒛𝒙 𝝉𝒛𝒚 𝝈𝒛
4.2.1. Dowolny przestrzenny stan naprężenia:
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒚
𝝉𝒚𝒛
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚 z
x O y
𝝈𝒛 𝝉𝒛𝒚
𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛
𝝉𝒙𝒛
𝝉𝒙𝒚
W każdym punkcie ciała można tak zorientować trzy osie prostokątnego układu współrzędnych, że na płaszczyznach prostopadłych do tych osi nie wystąpią naprężenia styczne.
𝑻𝝈 =
𝝈𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝝈𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝝈𝟑
Tensor
przestrzennego stanu naprężenia określonego
kierunkami głównymi Osie te nazywamy kierunkami głównymi i
oznaczamy liczbami1, 2, 3.
Płaszczyzny prostopadłe do kierunków głównych noszą nazwę płaszczyzn głównych, zaś naprężenia normalne w nich działające – naprężeń głównych:
𝝈𝟏 ≥ 𝝈𝟐 ≥ 𝝈𝟑
y x
O
4.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:
Tensor płaskiego (dwuosiowego)
stanu naprężenia 𝑻𝝈 = 𝝈𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝉𝒚𝒙 𝝈𝒚
4.2.2. Płaski stan naprężenia:
𝝉𝒙𝒚
𝝈𝒚 x
O y
𝝈𝒚 𝝉𝒙𝒚
Tensor płaskiego stanu naprężenia określonego kierunkami głównymi z
𝑷ഥ𝟏
𝑷ഥ𝒊
ഥ 𝒒𝒊 𝑷ഥ𝟐
𝑻𝝈 = 𝝈𝟏 𝟎 𝟎 𝝈𝟐
Płaski (dwuosiowy) stan naprężenia można opisać przy użyciu:
trzech niezależnych składowych tensora naprężenia:
x, y, xy(= yx)
𝑷ഥ𝟏
𝑷ഥ𝒊
ഥ 𝒒𝒊 𝑷ഥ𝟐
z
dwóch wartości naprężeń głównych: 1, 2
(i ewentualnie kąta określającego ich kierunek)
𝑷ഥ
4.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:
4.2.3. Jednoosiowy stan naprężenia:
Stan naprężenia reprezentowany jest tylko przez jedno niezerowe naprężenie główne:
=
1np. rozciąganie, ściskanie, czyste zginanie
1 𝑷ഥ
= 1
4.3. Analiza jednoosiowego stanu naprężenia
𝑷ഥ 1
=1
𝑷ഥ 𝑷ഥ
𝑷ഥ
n
1
𝑻ഥ𝒏
𝑷ഥ
n
1
𝝈 = 𝝈
𝟏= 𝑷 𝑨
𝑷ഥ
𝑷
𝒏= 𝑷 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝑇
𝑛= 𝑃 ∙ sin 𝛼 𝝈
𝒏= 𝑃
𝑛𝐴
𝑛= 𝑃 ∙ 𝑐𝑜𝑠
2𝛼
𝐴 = 𝝈 ∙ 𝒄𝒐𝒔
𝟐𝜶
𝑨
𝒏= 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝜶
𝝉
𝒏= 𝑇
𝑛𝐴
𝑛= 𝑃
𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝜎 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝝈
𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝜶
4.3. Analiza jednoosiowego stanu naprężenia
𝑷ഥ 1
=1
𝑷ഥ
n
1
𝝈
𝒏= 𝝈 ∙ 𝒄𝒐𝒔
𝟐𝜶
𝑷ഥ
n
1
𝑻ഥ𝒏
𝝉
𝒏= 𝝈
𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝜶
Dla
𝜶 = 𝟒𝟓° 𝝉
𝒏= 𝝉
𝒎𝒂𝒙= 𝝈 𝟐
Płaszczyzny poślizgu o kącie 𝜶 = 𝟒𝟓° Linie Lüdersa
𝑷ഥ
𝑷ഥ
Ceramiczna próbka poddana ściskaniu
4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia
4.4.1. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych
2
2
1
1 1
2
n t
n
n1
2
n t
n n
1
A
A
2A
10 sin
cos
0 1 1 2 2
P A A nAi
in
;
1 Acos
A A2 Asin
; 0sin
cos2 2 2
1
Pn A A nA0 cos
sin cos
sin 2
1
Pt A A nA0 cos
sin
0 1 1 2 2
P A A nAi
it
n 1cos2 2sin2 n
12
sin cos Uwzględniając:
2 2 cos cos2 1
2 2 cos sin2 1
2 2 cos sin
sin
x
n
cos2 2
2
2 1 2 1
xy
n
sin2
2
2 1
Otrzymujemy:
1
2
n≡x
n≡
xy 1 y
4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia
4.4.1. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych
2
2
1
1 1
2
n
t n
n1
2
n
t n
n
1
A
A
2A
1
cos2
2 2
2 1 2 1 ) (
x
sin2
2
2 1 )
(
xy
1
2
x
1 y
) 2 180 2 cos(
2
2 1 2 1 ) 90
( o α
y o
xy
yx
sin2 ) 2
2 180 2 sin(
2 1 2
1 )
90 (
Ostatecznie:
𝝈
𝒙= 𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐 + 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝈
𝒚= 𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐 − 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶
𝝉
𝒙𝒚= − 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶
| 2
| 45
dla o xy max12
4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia 4.4.1. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych
𝝈
𝒙= 𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐 + 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝈
𝒚= 𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐 − 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝉
𝒙𝒚= − 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶
2
2
1
1 1
2
y
x
Umowy dotyczące znaków:
Kąt uznajemy za dodatni gdy odmierzany jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Naprężenie styczne
xyuznajemy za dodatnie gdy ma zwrot zgodny z osią y na ściance o wyższej współrzędnej x.
1 x>0
1 1
x
<0 1
x y
xy< 0xy< 0
yxyx x
y
xy> 0xy> 0
yxyx
4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia 4.4.2. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach głównych
x x y
xy
x
xy
yxy
yxy
2 2
1
2 1
1
Ostatecznie:
𝜎𝑥 = 𝜎1 + 𝜎2
2 +𝜎1 − 𝜎2
2 cos 2𝛼 (1) 𝜎𝑦 = 𝜎1 + 𝜎2
2 − 𝜎1 − 𝜎2
2 cos 2𝛼 (2) 𝜏𝑥𝑦 = −𝜎1 − 𝜎2
2 sin 2𝛼 (3)
𝝈
𝟏= 𝝈
𝒙+ 𝝈
𝒚𝟐 + 𝟏
𝟐 𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚 𝟐+ 𝟒𝝉
𝒙𝒚𝟐𝐭𝐠 𝟐𝜶 = 𝟐𝝉
𝒙𝒚𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚𝝈
𝟐= 𝝈
𝒙+ 𝝈
𝒚𝟐 − 𝟏
𝟐 𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚 𝟐+ 𝟒𝝉
𝒙𝒚𝟐- uwzględniając umowę dotyczącą znaków
2
1
(2)
(1) x y
2 cos
1 2
2 2
2
2 1 2 1 1
y x y
x
2 22 2 2
2 2
2 4 2 1
2 tg 2
2 tg 2 1
2 cos
1 2
; 2 tg 2 1
cos 1
xy y
x y
x y
x
y x y
x
cos2
) (
)cos2 (
(2)
(1) x y 1 2 1 2 x y
2 tg2
cos2 2
sin2 2 (3)
2
1 x y
xy y
x xy xy
2 cos
1 2
2 2
2
2 1 2 1 2
y x y
x
4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia
4.4.2. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach głównych
y
x x
xy
x
xy
yxy
yxy
2 2
1
2 1
1
Ostatecznie:
𝝈
𝟏= 𝝈
𝒙+ 𝝈
𝒚𝟐 + 𝟏
𝟐 𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚 𝟐+ 𝟒𝝉
𝒙𝒚𝟐𝐭𝐠 𝟐𝜶 = 𝟐𝝉
𝒙𝒚𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚𝝈
𝟐= 𝝈
𝒙+ 𝝈
𝒚𝟐 − 𝟏
𝟐 𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚 𝟐+ 𝟒𝝉
𝒙𝒚𝟐x y
xy
xy
yx
yx1 x
y
xy
xy
yx
yx1 Kierunek naprężeń głównych 1 przechodzi
przez te ćwiartki układu współrzędnych x-y gdzie naprężenia styczne skierowane są do siebie.
4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia
4.4.3. Koło Mohra: a) wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych
𝝈
𝒙= 𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐 + 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝈
𝒚= 𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐 − 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝝉
𝒙𝒚= − 𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶
2
2
1
1 1
2
y
xyy
xyy
x
xy
2
1𝝈
𝟏+ 𝝈
𝟐𝟐
𝝈
𝒚2
𝝈
𝒙𝝉
𝒙𝒚x
y
𝝈
𝟏− 𝝈
𝟐𝟐
Dane:
1,
2, Szukane:
x,
y,
xy4.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia 4.4.3. Koło Mohra: b) wyznaczanie naprężeń głównych
xy
2
1𝝈
𝒚𝝈
𝒙𝝉
𝒙𝒚2 1
𝝈
𝒙− 𝝈
𝒚𝟐
y
x x
xyx
xy
yxy
yxy
2
1
2
1
1
𝝈𝟏 = 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐 + 𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 𝟐
𝟐
+𝝉𝒙𝒚𝟐
𝐭𝐠 𝟐𝜶 = 𝟐𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 𝝈𝟐 = 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝟐 − 𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 𝟐
𝟐
+𝝉𝒙𝒚𝟐