Zestaw 5: Przekształcenia liniowe

1 Przeksztaªcenia liniowe.

1. Które z poni»szych funkcji s¡ odwzorowaniami liniowymi? (V ,W - ustalone przestrzenie liniowe nad ciaªem k) (a) T : V → W, T (x) = Θ; (b) T : V → V , T (x) = x; (c) T : R → R, T (x) = 2x + 1; (d) T : R → R, T (x) = 2x; (e) T : R → R, T (x) = x2; (f) _{T : R → R}2, T (x) = [x, 3x]; (g) T : R2→ R2_{, T ([x} 1, x2]) = [x1+ x2, x22]; (h) T : R2→ R, T ([x1, x2]) = x1x2; (i) T : R2→ R2_{, T ([x} 1, x2]) = (j) T : R3→ R2, T ([x1, x2, x3])= [x1+ 2x2, x1+ x2]; [x1+ x2, 2x2+ 3x3]; (k) T : CR→ CR, T (z) = z; (l) T : CC→ CC, T (z) = z; (m) T : R[x]2→ R[x]2, T (ax2+ bx + c) = (n) T : R[x]3→ R[x]3, T (f) = f0; 2ax + (a − c); (o) T : R3_{→ R[x]} 2, T ([a, b, c]) = (p) T : R[x]2→ R, T (ax2+ bx + c) = (a + b)x2_{+ (b + 1); 2a − b +}c 2; (q) T : R[x]2→ R2, T (f ) = (r) T : R[x]2→ R2, T (f ) = [f (1), f0(1) + 2f (1)]; [f (1), f0(1) + 1]; (s) T : M2(R) → M2(R), T ( h_{a b} c d i ) = (t) _{T : M}2(R) → R4, T ( h _{a b} c d i ) = h _{c d} a + b 0 i ; [a, a + b, d, c].

2. Uzasadnij, »e poni»ej zdeniowane funkcje s¡ odwzorowaniami liniowymi.

(a) Ustalmy n ∈ N, a1, a2, . . . , an∈ R. Deniujemy funkcj¦ T : Rn→ R kªad¡c

T ([x1, . . . , xn]) = a1x1+ . . . + anxn, dla ka»dego [x1, . . . , xn] ∈ Rn.

(b) Ustalmy ciaªo k, liczby n, m ∈ N oraz macierz A ∈ Mn×m(k). Deniujemy funkcj¦

T : km_{→ k}n _{kªad¡c T (x) = A · x, dla ka»dego x = [x}

1, . . . , xm]t∈ km.

3. Przeksztaªcenie liniowe F : R2

→ R2_{zadane jest przez poni»sze przyporz¡dkowania. Wyznacz wzór}

na warto±¢ F ([x1, x2]).

(a) [1

2, 0] 7→ [1, 2], [0, 2] 7→ [5, 5]; (b) [1, 1] 7→ [0, 1], [1, 0] 7→ [1, 0];

(c) [1, 3] 7→ [1, 1], [3, 7] 7→ [5, 7]; (d) [4, 5] 7→ [4, 7], [3, 4] 7→ [3, 5].

4. Przeksztaªcenie liniowe F : R[x]2 → R2 zadane jest przez poni»sze przyporz¡dkowania. Wyznacz

wzór na warto±¢ F (ax2_{+ bx + c).}

(a) 1 7→ [2, 2], 2x 7→ [2, 3], x27→ [2, 3]; (b) 1 + x 7→ [1, 0], x + x2_{7→ [1, 1], x}2_{7→ [0, 1];}

(c) 1 + x2_{7→ [0, 0], x 7→ [2, 1], 5 7→ [0, 0]; (d) 2 + x 7→ [1, 2], x}2_{7→ [2, 1], x 7→ [0, 1].}

5. Wyznacz bazy j¡der i obrazów odwzorowa« liniowych zdeniowanych w zadaniach 1, 3, 4. 6. W±ród powy»szych odwzorowa« liniowych wska» monomorzmy, epimorzmy i izomorzmy. 7. Jakie wymiary mo»e mie¢ j¡dro odwzorowania zdeniowanego w zadaniu 2.(a)?

8. Spróbuj wypracowa¢ ogólny przepis na znajdowanie bazy j¡dra i obrazu dla odwzorowa« takich, jak w zadaniu 2.(b) i nast¦pnie zastosowa¢ go do znalezienia tych baz dla odwzorowa« zadanych przy pomocy poni»szych macierzy.

(a)  01 12 0 0  , (b)  11 23 22 2 4 4  , (c)  21 42 63 84 4 8 12 16  , (d)    1 0 0 0 0 2 2 2 0 0 3 3 3 0 0 4 4 4 4 0 5 5 5 5 5   .

9. Wska» (o ile to mo»liwe!) przykªad odwzorowania liniowego T speªniaj¡cego poni»sze warunki. (a) T : R3_{→ R}2_{, dim}

k(ker T ) = 1;

(b) T : R4_{→ R}4_{, dim}

k(ker T ) = 2, dimk(im T ) = 2;

(c) T : R4→ R3_{, dim}

k(im T ) = 2, [1, 3, 7] ∈ im T, [2, 1, 1, 1] ∈ ker T;

2 (e) T : R3_{→ R}2_{, T  epimorzm;} (f) T : R3_{→ R}2_{, T  monomorzm;} (g) T : R2→ R2_{, ker T = { [x} 1, x2] : x1= 0 ∨ x2= 0 }; (h) T : R2→ R2_{, im T = { [x} 1, x2] : x1+ x2= 0 };

(i) T : R3→ R2_{, ker T = lin({ [1, 1, 1], [1, 1, 0] });}

(j) T : R2

→ R3_{, im T = lin({ [1, 0, 0], [1, 0, 1] });}

(k) T : R3

→ R3_{, ker T = lin({ [1, 0, 0], [0, 1, 0] }), im T = lin({ [1, 0, 1], [1, 1, 2] });}

(l) T : R3_{→ R}3_{, ker T = lin({ [1, 1, 2], [2, 2, 4] }), im T = lin({ [1, 0, 1], [1, 1, 2] });}

(m) T : R[x]2→ R2, ker T = lin({ x2+ 2x + 3 }), T  epimorzm;

(n) T : M2(R) → R2, lin

nh_{0 0}

1 1

i

,h 0₀ 0₁ io⊆ ker T, im T = lin({ [2, 1] }).

10. Zbadaj, czy poni»sze pary przestrzeni liniowych nad ciaªem R s¡ izomorczne. Je»eli s¡, wska» konkretny izomorzm.

(a) M2(R), R3; (b) M2(R), R4; (c) R[x]4, R4; (d) R[x]3, R4; (e) R4, C2; (f) M3×2(R), C3. 11. Ustalmy odwzorowanie F : R2_{→ R}3_{dane wzorem F ([x}

1, x2]) = [x1+ 2x2, x1− 2x2, x2]. Wyznacz

macierz AB,C(F ), gdy B,C s¡ nast¦puj¡cymi bazami przestrzeni R2 i R3:

(a) B = ( [1, 0], [0, 1] ), C = ( [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] ); (b) B = ( [1, 1], [1, 2] ), C = ( [1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1] ).

12. Ustalmy odwzorowanie F : R[x]2→ R2 dane wzorem F ([ax2+ bx + c]) = [c + a, c + 2b]. Wyznacz

macierz AB,C(F ), gdy B,C s¡ nast¦puj¡cymi bazami przestrzeni R[x]2 i R2:

(a) B = ( 1, x, x2_{), C = ( [1, 0], [1, 1] ); (b) B = ( 1 + x, x, 3x}2_{), C = ( [1, 6], [0, 6] ).}

13. Ustalmy odwzorowanie F : M2(R) → R[x]2dane wzorem F

h_{a b}

c d

i

= ax2_{+(b+c)x+d. Wyznacz}

macierz AB,C(F ), gdy B,C s¡ nast¦puj¡cymi bazami przestrzeni M2(R) i R[x]2:

(a) B = h 1 0 0 0 i ,h 0₀ 2₀i,h0₃ 0₀ i,h 0₀ 0₄i , C = ( x2_{+ x + 1, x}2_{+ x, x}2_); (b) B = h 1 1 1 1 i ,h 0₂ 2₂i,h₃0 ₃0 i,h 0₀ 0₄i , C = ( 1, x, 1 + x2).

14. Poni»ej dane s¡ przeksztaªcenia R-liniowe F : V → W okre±lone przez macierz AB,C. Wyznacz

wzór na F (v), dla dowolnego v ∈ V . (a) V = R2_{, W = R}2_{, B = ( [1, 0], [0, 1] ), C = ( [1, 0], [0, 1] ), A} B,C = h _{1 −3} 8 −5i; (b) V = R2_{, W = R}2_{, B = ( [8, 2], [7, 1] ), C = ( [6, 7], [4, 5] ), A} B,C = h _{1 2} 1 −1i; (c) V = R2, W = R[x]2, B = ( [1, 1], [1, 0] ), C = ( 1 + x, x, x2), AB,C =  _{1 0} −1 0 1 1  .

15. Ustalmy odwzorowania R-liniowe F : M2(R) → R2oraz G : R2→ C okre±lone wzorami: F

h _{a b}

c d

i = [a + 2b + 3c + 4d, a + d], G([x1, x2]) = (x1+ 5x2) + 2x1i. Stosuj¡c wzór na macierz zªo»enia A(G◦F )

(w dowolnych bazach) wyznacz wzór na (G ◦ F )ha b c d i.

16. Znajduj¡c macierz odwzorowania F : R3

→ R3 _{zadanego wzorem F ([x}

1, x2, x3]) = [x1, x1 +

2x2, x1+ 2x2+ 3x3](w dowolnej wybranej bazie R3) wyka», »e F jest izomorzmem.

17. Dane jest przeksztaªcenie T : R2 _{→ R}2 _{zadane w bazie standardowej przez macierz} h 7 −3 10 −4 i.

Znajd¹ macierz tego przeksztaªcenia w bazie ( [1, 2], [3, 5] ). 18. Dane jest przeksztaªcenie T : R2

→ R3 _{zadane w bazach z 11.(b) przez macierz}

_{1 0}

1 1 2 2



. Znajd¹ macierz tego przeksztaªcenia w bazach ( [0, 1], [1, 0] ), ( [1, 0, 0], [1, 1, 1], [0, 0, 1] ) przestrzeni R2_{i R}3_,

odpowiednio.

19. Dane jest przeksztaªcenie T : R[x]2→ R2zadane w bazach z 12.(b) przez macierz

h_{1 2 3}

0 1 1i. Znajd¹

macierz tego przeksztaªcenia w bazach ( x2_{+ x + 1, x + 1, 1 ), ( [1, 2], [1, 0] ) przestrzeni R[x]} 2 i R2,