Rozwa˙zmy zbi´ or C

Cia lo liczb rzeczywistych be

‘ dziemy oznacza´ c symbolem R, pier´scie´n liczb ca lkowi- tych – symbolem Z, a zbi´or liczb naturalnych – symbolem N. Przyjmujemy, ˙ze 0 / ∈ N.

Rozwa˙zmy zbi´ or C

∼ = R × R uporza ‘ dkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, · w naste

‘ puja

‘ cy spos´ ob:

(a 1 , b 1 ) + (a 2 , b 2 ) = (a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ), (a 1 , b 1 ) · (a 2 , b 2 ) = (a 1 a 2 − b 1 b 2 , a 1 b 2 + a 2 b 1 ).

Tr´ ojka C = (C

∼ , +, ·) jest cia lem. Nazywamy je cia lem liczb zespolonych, a pary (a, b) ∈ C

∼ – liczbami zespolonymi.

Piszemy z ∈ C zamiast z ∈ C _∼ .

Odwzorowanie R ∋ a 7→ (a, 0) ∈ C ustala zanurzenie cia la R w cia lo C. Dlatego te˙z liczbe

‘ zespolona

‘ (a, 0) uto˙zsamia´ c be

‘ dziemy z liczba

‘ rzeczywista

‘ a.

Liczby zespolone postaci (0, b) nazywamy liczbami urojonymi.

Liczbe

‘ (0, 1) nazywamy jednostka

‘ urojona

‘ i oznaczamy przez i.

Ka˙zda

‘ liczbe

‘ zespolona

‘ (a, b) mo˙zna przedstawi´ c w postaci a + ib, zwana

‘ postacia kanoniczna ‘

‘ . Niech dana be

‘ dzie liczba zespolona

z = a + ib, a, b ∈ R.

Liczbe

‘ a nazywamy cze

‘ ´ scia

‘ rzeczywista

‘ liczby z i oznaczamy Re z.

Liczbe

‘ b nazywamy cze

‘ ´ scia

‘ urojona

‘ liczby z i oznaczamy Im z.

Liczbe

‘ a − ib nazywamy sprze ‘ ˙zeniem z i oznaczamy z.

Liczbe

‘

√ a ² + b ² nazywamy modu lem liczby z i oznaczamy |z|.

W dalszym cia

‘ gu znak · przy mno˙zeniu liczb zespolonych be ‘ dziemy pomija´ c.

W lasno´ s´ c 1. Dla dowolnych z, z ₁ , z ₂ ∈ C zachodza ‘ naste

‘ puja

‘ ce w lasno´ sci:

(a) Re(z 1 + z 2 ) = Re z 1 + Re z 2 ; Re(z 1 − z 2 ) = Re z 1 − Re z 2 ; Im(z ₁ + z ₂ ) = Im z ₁ + Im z ₂ ; Im(z ₁ − z 2 ) = Im z ₁ − Im z 2 ;

Re(z 1 z 2 ) = Re z 1 Re z 2 −Im z 1 Im z 2 ; Im(z 1 z 2 ) = Re z 1 Im z 2 +Im z 1 Re z 2 . (b) z = z; z z = |z| ² ; z + z = 2 Re z; z −z = 2i Im z;

z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ; z 1 − z 2 = z 1 − z 2 ; z 1 z 2 = z 1 z 2 ; z ₁ /z ₂ = z ₁ /z ₂ , z ₂ ̸= 0.

(c) |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |; |z 1 − z 2 | ≥ ||z 1 | − |z 2 ||.

(d) |z 1 z ₂ | = |z 1 | |z 2 |; |z 1 /z ₂ | = |z 1 |/|z 2 |, z 2 ̸= 0;

| Re z| ≤ |z|; | Im z| ≤ |z|; |z| ≤ | Re z| + | Im z|.

Ponadto, r´ owno´ sci w (c) zachodza

‘ wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z liczb jest pro- porcjonalna do drugiej z nieujemnym wsp´ o lczynnikiem proporcjonalno´ sci.

W zbiorze C wprowadzamy odleg lo´s´c mie ‘ dzy punktami z ₁ , z ₂ ∈ C, wzorem

|z 1 − z 2 |.

Tak okre´ slona odleg lo´ s´ c jest metryka

‘ , kt´ ora

‘ nazywamy metryka

‘ euklidesowa

‘ .

Na podstawie: J. Cha

‘ dzy´ nski, Wste

‘ p do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.

Niech z ∈ C \ {0}. Po l´o˙zmy

(1) arg z = {φ ∈ R : Re z = |z| cos φ, Im z = |z| sin φ}.

Ka˙zdy element zbioru arg z nazywamy warto´ scia

‘ argumentu liczby z. Warto´ s´ c ar- gumentu liczby z nale˙za

‘ ca

‘ do przedzia lu ( −π, π⟩ nazywamy argumentem g l´ownym liczby z i oznaczamy Arg z.

Dla liczby z ∈ C \ {0}, z (1) mamy

(2) z = |z|(cos φ + i sin φ),

gdzie φ ∈ arg z. Prawa

‘ strone

‘ w (2) nazywamy postacia

‘ trygonometryczna

‘ liczby z.

W lasno´ s´ c 2. Je˙zeli z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ), gdzie φ ₁ , φ ₂ , r ₁ , r ₂ ∈ R, to

(a) z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )],

(b) z ₁ /z ₂ = (r ₁ /r ₂ )[cos(φ ₁ − φ 2 ) + i sin(φ ₁ − φ 2 )], je´ sli r ₂ ̸= 0.

Przyk lad 1. Obliczymy modu l oraz cze

‘ ´ s´ c rzeczywista

‘ i urojona

‘ liczby zespolonej z = 1 + 2i

3 − 4i . Mamy

|z| =   1 + 2i

3 − 4i

  = |1 + 2i|

|3 − 4i| =

√ 1 ² + 2 ²

√ 3 ² + 4 ² =

√ 5 5 , z = (1 + 2i)(3 − 4i)

(3 − 4i)(3 − 4i) = (1 + 2i)(3 + 4i)

(3 − 4i)(3 + 4i) = −5 + 10i

25 = − 1 5 + i 2

5 , wie ‘ c Re z = − ¹ ₅ , Im z = ² ₅ .

Przyk lad 2. Obliczymy cze

‘ ´ s´ c rzeczywista

‘ i urojona

‘ naste

‘ puja

‘ cej liczby zespolonej z = (1 − √

3i) ³⁰ (1 − i) ²⁰ . Niech z 1 = 1 − √

3i oraz z 2 = 1 − i. W´owczas |z 1 | = 2, |z 2 | = √ 2, wie

‘ c z ₁ = |z 1 | (cos φ + i sin φ) = 2

( 1 2 − i

√ 3 2

)

, z ₂ = |z 2 | (cos ψ + i sin ψ) = √ 2

(√ 2 2 − i

√ 2 2

) ,

dla pewnych φ, ψ ∈ R. Sta

‘ d mamy na przyk lad φ = − ^π ₃ , ψ = − ^π ₄ i z w lasno´ sci 2, z = z ³⁰ ₁

z ²⁰ ₂ = 2 ³⁰ (

cos( −30 ^π ₃ ) + i sin( −30 ^π ₃ ) )

√ 2 ²⁰ (

cos( −20 ^π ₄ ) + i sin( −20 ^π ₄ ) ) = 2 ²⁰ cos( −10π) + i sin(−10π)

cos( −5π) + i sin(−5π) = −2 ²⁰ . Zatem Re z = −2 ²⁰ oraz Im z = 0.

Na podstawie: J. Cha dzy´ nski, Wste p do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.

§2. Zbiory p laskie

Ka˙zdej liczbie zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, mo˙zna w spos´ob wzajemnie jednoznaczny przyporza

‘ dkowa´ c punkt o wsp´ o lrze

‘ dnych (x, y) na p laszczy´ znie 0xy.

Dlatego te˙z zbi´ or liczb zespolonych C nazywamy r´ownie˙z p laszczyzna

‘ zespolona

‘ , a liczby zespolone — punktami tej p laszczyzny. Zbi´ or liczb rzeczywistych R nazy- wamy osia

‘ rzeczywista

‘ , zbi´ or liczb urojonych — osia

‘ urojona

‘ . Zbi´ or liczb rzeczy- wistych nieujemnych (kt´ ory oznaczamy R + ) nazywamy dodatnia

‘ p´ o losia

‘ rzeczywista

‘ , a zbi´ or liczb rzeczywistych niedodatnich (kt´ ory oznaczamy R − ) — ujemna

‘ p´ o losia rzeczywista ‘

‘ . Niech r be

‘ dzie liczba

‘ rzeczywista

‘ dodatnia

‘ .

Ko lem otwartym lub ko lem o ´ srodku w punkcie z 0 ∈ C i promieniu r nazywamy zbi´ or {z ∈ C : |z − z 0 | < r}.

Ko lem domknie

‘ tym o ´ srodku w punkcie z 0 ∈ C i promieniu r nazywamy zbi´or {z ∈ C : |z − z 0 | ≤ r}.

Sa ‘ siedztwem punktu z 0 ∈ C nazywamy zbi´or {z ∈ C : 0 < |z − z 0 | < r}.

Okre ‘ giem o ´ srodku w punkcie z ₀ ∈ C i promieniu r nazywamy zbi´or {z ∈ C : |z − z 0 | = r}.

Niech z 1 , z 2 ∈ C i z 1 ̸= z 2 .

Zbi´ or {z ∈ C : z = z 1 + (z ₂ − z 1 )t, 0 ≤ t ≤ 1} nazywamy odcinkiem, a punkty z 1 , z 2 nazywamy ko´ ncami tego odcinka.

Niech be

‘ dzie dany sko´ nczony cia

‘ g punkt´ ow z ₁ , . . . , z _n ∈ C taki, ˙ze z k ̸= z k+1

dla k = 1, . . . , n − 1. Niech I k oznacza odcinek o ko´ ncach z k , z k+1 . Zbi´ or L = I ₁ ∪ . . . ∪ I n −1 nazywamy lamana

‘ , a punkty z ₁ , z _n — jej ko´ ncami.

Niech a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ R oraz a 1 < a 2 , b 1 < b 2 .

Zbi´ or {z ∈ C : a 1 ≤ Re z ≤ a 2 , b 1 ≤ Im z ≤ b 2 } nazywamy prostoka ‘ tem normalnym. Punkty z ₁ = a ₁ + ib ₁ , z ₂ = a ₂ + ib ₁ , z ₃ = a ₂ + ib ₂ , z ₄ = a ₁ + ib ₂ nazywamy wierzcho lkami tego prostoka

‘ ta, a punkt z 0 = [(a 1 + a 2 ) + i(b 1 + b 2 )]/2

— jego ´ srodkiem.

§3. Pierwiastki liczby zespolonej Niech z ∈ C oraz n ∈ N, n > 0. Liczbe ‘ zespolona

‘ w nazywamy pierwiastkiem stopnia n z liczby z, je´ sli w ⁿ = z. Pierwiastki stopnia n z liczby z = 1 nazywamy pierwiastkami stopnia n z jedynki.

Jedynym pierwiastkiem stopnia n z liczby z = 0 jest liczba 0.

Twierdzenie 1. Niech n ∈ N, n > 0. Dla ka˙zdej liczby zespolonej z ∈ C \ {0}

istnieje dok ladnie n pierwiastk´ ow stopnia n z liczby z. Ponadto, je´ sli z = |z|(cos φ + i sin φ),

gdzie φ ∈ R, to pierwiastki stopnia n z liczby z wyra˙zaja

‘ sie

‘ wzorami:

w _k = √ ⁿ

|z|

(

cos φ + 2kπ

n + i sin φ + 2kπ n

)

, k = 0, . . . , n − 1.

Twierdzenie 2. Pierwiastki stopnia n z jedynki wyra˙zaja

‘ sie

‘ wzorami:

w _k = cos 2kπ

n + i sin 2kπ

n , k = 0, . . . , n − 1.

Uwaga 1. Wszystkie pierwiastki stopnia n z liczby zesopolonej z ̸= 0 le˙za ‘ na okre

‘ gu o ´ srodku w punkcie (0, 0) i promieniu √ ⁿ

|z|.

Uwaga 2. Wszystkie pierwiastki stopnia n z jedynki le˙za

‘ na okre

‘ gu o ´ srodku w punkcie (0, 0) i promieniu 1. Tworza

‘ one grupe

‘ z dzia laniem mno˙zenia.

§4. Podstawowe twierdzenie algebry

M´ owimy, ˙ze cia lo K jest algebraicznie domknie ‘ te, gdy ka˙zdy wielomian dodat- niego stopnia o wsp´ o lczynnikach w ciele K ma w ciele K pierwiastek.

Twierdzenie 3. (Podstawowe twierdzenie algebry). Cia lo C jest algebraicznie domknie

‘ te. To znaczy, ˙ze ka˙zdy wielomian dodatniego stopnia o wsp´ o lczynnikach w ciele C ma pierwiastek w ciele C.

§5. Cia

‘ gi i szeregi liczbowe Niech be

‘ dzie dany cia

‘ g {a n } liczb zespolonych oraz liczba zespolona g. M´owimy,

˙ze cia

‘ g {a n } jest zbie˙zny do liczby g, co zapisujemy lim n →∞ a n = g, gdy

∀ ε>0 ∃ N ∈N ∀ n>N |a n − g| < ε.

Twierdzenie 4. Cia

‘ g {z n } ⊂ C jest zbie˙zny do granicy z 0 ∈ C wtedy i tylko wtedy, gdy

n lim →∞ Re z _n = Re z ₀ oraz lim

n →∞ Im z _n = Im z ₀ . Niech be

‘ dzie dany cia

‘ g {a n } liczb zespolonych. Wyra˙zenie a 0 + a 1 + . . . lub kr´ ocej ∑ _∞

n=0 a _n nazywamy szeregiem niesko´ nczonym lub szeregiem. Cia

‘ g s ₀ = a ₀ , s 1 = a 0 + a 1 , . . . nazywamy cia

‘ giem sum cze

‘ ´ sciowych tego szeregu, a a 0 , a 1 , . . . jego wyrazami. Je´ sli cia

‘ g {s n } jest zbie˙zny do granicy s ∈ C, to m´owimy, ˙ze szereg

∑ _∞

n=0 a n jest zbie˙zny i piszemy (1)

∑ ∞ n=0

a n = s.

W przeciwnym razie szereg w (1) nazywamy rozbie˙znym.

Szereg ∑ _∞

n=0 a n nazywamy bezwzgle

‘ dnie zbie˙znym, gdy zbie˙zny jest szereg ∑ _∞

n=0 |a n |.

Niech α _n = Re a _n , β _n = Im a _n . Jako latwy wniosek z twierdzenia 1 otrzymujemy Twierdzenie 5. Na to, by szereg ∑ _∞

n=0 a n by l zbie˙zny, potrzeba i wystarcza, by zbie˙zne by ly szeregi ∑ _∞

n=0 α n i ∑ _∞

n=0 β n . Ponadto ∑ _∞

n=0 a n = ∑ _∞

n=0 α n +i ∑ _∞

n=0 β n .

Na podstawie: J. Cha dzy´ nski, Wste p do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.

Twierdzenie 6.

(a) Je˙zeli szereg ∑ _∞

n=0 a _n jest zbie˙zny, to a _n → 0, gdy n → ∞.

(b) Je˙zeli szereg jest bezwzgle

‘ dnie zbie˙zny, to jest zbie˙zny.

(c) Je˙zeli |a n | ≤ A n i szereg ∑ _∞

n=0 A _n jest zbie˙zny, to szereg ∑ _∞

n=0 a _n jest bezwzgle

‘ dnie zbie˙zny.

Warunek (a) nazywamy warunkiem koniecznym zbie˙zno´ sci szeregu, a (c) kry- terium por´ ownawczym zbie˙zno´ sci szeregu.

Twierdzenie 7.

(a) Szereg o wyrazach a _n ̸= 0 jest bezwzgle ‘ dnie zbie˙zny, gdy lim sup |a n+1 /a _n | <

1, rozbie˙zny za´ s, gdy |a n+1 /a n | ≥ 1 dla prawie wszystkich n (kryterium d’Alemberta).

(b) Szereg ∑ _∞

n=0 a _n jest bezwzgle

‘ dnie zbie˙zny, gdy lim sup √

ⁿ

|a n | < 1, rozbie˙zny za´ s, gdy lim sup √

ⁿ

|a n | > 1 (kryterium Cauchy’ego).

(c) Je´ sli szeregi ∑ _∞

n=0 a n i ∑ _∞

n=0 b n sa

‘ bezwzgle

‘ dnie zbie˙zne, to szereg ∑ _∞

n=0 c n , gdzie

c _n =

∑ n ν=0

a _ν b _{n −ν} , jest zbie˙zny oraz

( ∑ ^∞

n=0

a n

)( ∑ ^∞

n=0

b n

)

=

∑ ∞ n=0

c n . Szereg ∑ _∞

n=0 c _n nazywamy iloczynem szereg´ ow ∑ _∞

n=0 a _n i ∑ _∞

n=0 b _n w sensie Cauchy’ego.

§6. Definicja funkcji holomorficznej Przez funkcje

‘ zespolona

‘ zmiennej zespolonej (lub kr´ otko funkce

‘ zespolona

‘ ) rozu- miemy ka˙zda

‘ funkcje

‘ okre´ slona

‘ na podzbiorze zbioru C i o warto´sciach w C.

Niech f : D → C, gdzie D ⊂ C jest zbiorem niepustym, i niech z 0 ∈ C be ‘ dzie punktem skupienia zbioru D. M´ owimy, ˙ze liczba zespolona g jest granica

‘ funkcji f w punkcie z ₀ , co zapisujemy g = lim _{z →z}

₀

f (z), gdy

∀ ε>0 ∃ δ>0 ∀ z∈D (0 < |z − z 0 | < δ ⇒ |f(z) − g| < ε) .

M´ owimy, ˙ze funkcja f : D → C, gdzie D ⊂ C jest zbiorem niepustym, jest cia

‘ g la w punkcie z ₀ ∈ D, gdy

∀ ε>0 ∃ δ>0 ∀ z ∈D ( |z − z 0 | < δ ⇒ |f(z) − f(z 0 ) | < ε) . M´ owimy, ˙ze funkcja f : D → C jest cia

‘ g la, gdy jest ona cia

‘ g la w ka˙zdym punkcie zbioru D.

Niech be

‘ dzie dana funkcja zespolona f okre´ slona w otoczeniu punktu z 0 ∈ C.

M´ owimy, ˙ze funkcja ta ma w punkcie z ₀ pochodna

‘ r´ owna

‘ f ^′ (z ₀ ) ∈ C, gdy

z lim →z

0

f (z) − f(z 0 ) z − z 0

= f ^′ (z ₀ ).

M´ owimy, ˙ze funkcja zespolona f jest holomorficzna w punkcie z ∈ C, je˙zeli jest ona okre´ slona w pewnym otoczeniu tego punktu i ma pochodna

‘ w ka˙zdym punkcie tego otoczenia.

M´ owimy, ˙ze funkcja f jest holomorficzna w zbiorze D, je˙zeli jest holomorficzna w ka˙zdym punkcie tego zbioru.

Funkcje

‘ , kt´ ora w ka˙zdym punkcie z ∈ D przyjmuje warto´s´c f ^′ (z), nazywamy pochodna

‘ funkcji f i oznaczamy f ^′ .

W lasno´ s´ c 3. Je´ sli funkcja f : D → C, gdzie D ⊂ C jest zbiorem niepustym, jest holomorficzna, to jest ona cia

‘ g la.

Przyk lad 3. Funkcjami holomorficznymi w zbiorze C sa ‘ mie

‘ dzy innymi: funkcje wielomianowe f (z) = a 0 + a 1 z + · · · + a n z ⁿ , z ∈ C, gdzie a 0 , . . . , a n ∈ C sa ‘ wsp´ o lczynnikami tego wielomianu; funkcja wyk ladnicza

exp z = e ^x (cos y + i sin y) , z = x + iy ∈ C, x, y ∈ R;

funkcja sinus

sin z = exp(iz) − exp(−iz)

2i , z ∈ C;

funkcja cosinus

cos z = exp(iz) + exp( −iz)

2 , z ∈ C.

Funkcje wymierne, funkcja tangens tg z = _{cos z} ^{sin z} oraz cotangens, sa

‘ holomorficzne we wszystkich punktach, w kt´ orych sa

‘ okre´ slone. Ponadto, suma, r´ o˙znica, iloczyn i ilo- raz (przy za lo˙zeniu, ˙ze mianownik nie ma zer) funkcji holomorficznych, sa

‘ funkcjami holomorficznymi.

§7 Ca lka krzywoliniowa

Niech f : [a, b] → C. M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie t 0 ∈ [a, b] pochodna ‘ r´ owna

‘ f ^′ (t 0 ) ∈ C, gdy

t lim →t

0

f (t) − f(t 0 ) t − t 0

= f ^′ (t ₀ ).

Funkcje

‘ , kt´ ora w ka˙zdym punkcie t ∈ [a, b] przyjmuje warto´s´c f ^′ (t) nazywamy pochodna

‘ funkcji f i oznaczamy f ^′ . Krzywa

‘ nazywamy pare

‘ uporza

‘ dkowana

‘ Γ = (γ, Γ

∼ ), gdzie γ : [a, b] → C jest funkcja

‘ cia

‘ g la

‘ , a Γ

∼ = γ([a, b]). W´ owczas funkcje

‘ γ nazywamy opisem parame- trycznym krzywej Γ , a zbi´ or Γ

∼ - jej podk ladem.

M´ owimy, ˙ze krzywa Γ o opisie parametrycznym γ : [a, b] → C jest regularna, gdy istnieje podzie l a = t ₀ < t ₁ < . . . < t _n = b przedzia lu [a, b] taki, ˙ze w ka˙zdym przedziale [t j −1 , t j ] funkcja γ ma cia

‘ g la

‘ pochodna

‘ . Niech γ ₁ : ⟨α 1 , β ₁ ⟩ → C, γ 2 : ⟨α 2 , β ₂ ⟩ → C be ‘ da

‘ odpowiednio opisami parame- trycznymi krzywych Γ 1 , Γ 2 . Je´ sli γ 1 (β 1 ) = γ 2 (α 2 ), to krzywa

‘ o opisie parame- trycznym γ danym wzorem

γ(t) =

{ γ ₁ (t) dla t ∈ ⟨α 1 , β ₁ ⟩,

γ 2 (t − β 1 + α 2 ) dla t ∈ ⟨β 1 , β 1 + (β 2 − α 2 ) ⟩ nazywamy suma

‘ tych krzywych i oznaczamy Γ 1 + Γ 2 .

Na podstawie: J. Cha dzy´ nski, Wste p do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.

Niech z 1 , z 2 ∈ C. Odcinkiem zorientowanym o pocza ‘ tku w punkcie z 1 i ko´ ncu w punkcie z ₂ nazywa´ c be

‘ dziemy krzywa

‘ o opisie parametrycznym γ danym wzorem γ(t) = z 1 + (z 2 − z 1 )t dla t ∈ ⟨0, 1⟩

i oznacza´ c symbolem [z 1 , z 2 ].

Niech a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ ∈ R oraz a 1 < a ₂ , b ₁ < b ₂ . Dodatnio zorientowanym brzegiem prostoka

‘ ta normalnego P = {z ∈ C : a 1 ≤ Re z ≤ a 2 , b 1 ≤ Im z ≤ b 2 } nazywamy krzywa

‘ ∂P = [z ₁ , z ₂ ] + [z ₂ , z ₃ ] + [z ₃ , z ₄ ] + [z ₄ , z ₁ ], gdzie z ₁ = a ₁ + ib ₁ , z ₂ = a ₂ + ib ₁ , z 3 = a 2 + ib 2 , z 4 = a 1 + ib 2 sa

‘ wierzcho lkami prostoka

‘ ta P .

W lasno´ s´ c 4. Dodatnio zorientowany odcinek oraz dodatnio zorientowany przeg prostoka

‘ ta normalnego sa

‘ krzywymi regularnymi.

Niech f : [a, b] → C i niech u : [a, b] → R oraz v : [a, b] → R be

‘ da

‘ funkcjami okre´ slonymi odpowiednio wzorami u(t) = Re f (t) oraz v(t) = Im f (t) dla t ∈ [a, b].

Funkcje u i v nazywamy odpowiednio cze

‘ ´ scia

‘ rzeczywista

‘ i cze

‘ ´ scia

‘ urojona

‘ funkcji f . M´ owimy, ˙ze funkcja f jest ca lkowalna w przedziale [a, b], gdy funkcje u i v sa ca lkowalne w sensie Riemanna w tym przedziale. W´ owczas przez ca lke ‘

‘ zwyczajna funkcji f rozumiemy liczbe ‘

‘

∫ b

a f (t)dt ∈ C okre´slona

‘ wzorem

∫ b a

f (t)dt =

∫ b a

u(t)dt + i

∫ b a

v(t)dt.

W lasno´ s´ c 5. Je˙zeli funkcje f i g sa

‘ ca lkowalne w przedziale [a, b], to:

(a) Re ∫ b

a f (t)dt = ∫ b

a Re f (t)dt, (b) Im ∫ b

a f (t)dt = ∫ b

a Im f (t)dt, (c) z ∫ b

a f (t)dt = ∫ b

a zf (t)dt, gdzie z jest dowolna

‘ liczba

‘ zespolona

‘ , (d) ∫ b

a [f (t) + g(t)]dt = ∫ b

a f (t)dt + ∫ b

a g(t)dt, (e) ∫ b

a f (t)dt = ∫ c

a f (t)dt + ∫ b

c f (t)dt, gdzie a < c < b, (f) | ∫ b

a f (t)dt | ≤ ∫ b

a |f(t)|dt.

Niech γ : [a, b] ⟩ → C be

‘ dzie opisem parametrycznym krzywej regularnej Γ = (γ, Γ

∼ ) oraz f : Γ

∼ → C be ‘ dzie funkcja

‘ cia

‘ g la

‘ . Liczbe

‘

(1)

∫

Γ

f (z)dz =

∫ β α

f (γ(t))γ ^′ (t)dt

nazywa´ c be

‘ dziemy ca lka

‘ krzywoliniowa

‘ funkcji f wzd lu˙z krzywej Γ . W lasno´ s´ c 6. Je˙zeli Γ , Γ 1 , Γ 2 sa

‘ krzywymi regularnymi oraz f , g sa

‘ funkcjami cia ‘ g lymi na Γ

∼ (ewentualnie Γ

∼ 1 , Γ

∼ 2 ), to (a) a ∫

Γ f (z)dz = ∫

Γ af (z)dz, gdzie a — dowolna liczba zespolona, (b) ∫

Γ [f (z) + g(z)]dz = ∫

Γ f (z)dz + ∫

Γ g(z)dz, (c) ∫

−Γ f (z)dz = − ∫

Γ f (z)dz, (d) ∫

Γ

1

+Γ

2

f (z)dz = ∫

Γ

1

f (z)dz + ∫

Γ

2

f (z)dz.

Uwaga 3. Dla ca lki krzywoliniowej odpowiednik punktu (f ) we w lasno´ sci 5 nie jest prawdziwy. Zachodzi natomiast naste

‘ puja

‘ ca w lasno´ s´ c:

Je˙zeli Γ jest krzywa

‘ regularna

‘ , f : Γ

∼ → C jest funkcja

‘ cia

‘ g la

‘ , to

(3) 

 ∫

Γ

f (z)dz 

 ≤ ML, gdzie M = sup {|f(z)| : z ∈ Γ

∼ } i L = ∫ b

a |γ ^′ (t) |dt jest d lugo´scia

‘ krzywej Γ , a γ : [a, b] → C – jej opisem parametrycznym.

Przyk lad 4. Obliczymy ca lke

‘

∫

Γ (z + z)dz, gdzie Γ jest krzywa

‘ o opisie parame- trycznym γ; [0, π] → C okre´slonym wzorem γ(t) = exp(it), t ∈ [0, π].

Mamy γ(t) = cos t + i sin t, γ(t) = cos t − i sin t oraz γ ^′ (t) = − sin t + i cos t dla t ∈ [0, π], wie ‘ c z definicji ca lki krzywoliniowej mamy

∫

Γ

(z + z)dz =

∫ π 0

2 cos t( − sin t + i cos t)dt = −2

∫ π 0

sin t cos t dt + 2i

∫ π 0

cos ² t dt

Stosuja

‘ c twierdzenie o ca lkowaniu przez cze

‘ ´ sci dostajemy ∫ π

0 sin t cos t dt = 0. Pon- adto ∫

cos ² tdt = cos t sin t

2 + ¹ ₂ t + C. Zatem z podstawowego twierdzenia rachunku ca lowego, mamy ∫

Γ (z + z)dz = πi.

§8 Twierdzenie i wz´or ca lkowy Cauchy’ego dla prostoka

‘ ta Twierdzenie 8 (Cauchy). Niech G ⊂ C be ‘ dzie zbiorem otwartym i f : G → C – funkcja

‘ holomorficzna

‘ . Je˙zeli P jest prostoka

‘ tem normalnym i P ⊂ G, to

∫

∂P

f (z)dz = 0,

gdzie ∂P oznacza dodatnio zorientowany brzeg prostoka

‘ ta P .

Twierdzenie 9. Niech G ⊂ C be ‘ dzie zbiorem otwartym i f : G → C – funkcja ‘ holomorficzna

‘ . Je˙zeli P jest prostoka

‘ tem normalnym, P ⊂ G i z ∈ Int P , to f (z) = 1

2πi

∫

∂P

f (ζ) ζ − z dζ.

Uwaga 4. Twierdzenie 9 pokazuje nam, ˙ze je´ sli wiemy, ˙ze funkcja f : G → C jest holomorficzna w zbiorze otwartym G ⊂ C i P jest prostoka

‘ tem normalnym, P ⊂ G, to w Int P jest ona jednoznacznie okre´slona przez obcie ‘ cie tej funkcji do brzegu prostoka

‘ ta P .

Przyk lad 5. Funkcja sin (odpowiednio exp) jest holomorficzna w C, wie ‘ c w my´ sl twierdzenia 9, dla ka˙zdego prostoka

‘ ta normalnego P ⊂ C takiego, ˙ze 0 ∈ Int P , mamy ∫

∂P sin z

z dz = 2πi sin 0 = 0 oraz ∫

∂P exp z

z dz = 2πi exp 0 = 2πi.

Na podstawie: J. Cha dzy´ nski, Wste p do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.

§9 Rozwijanie funkcji w szereg pote

‘ gowy Szeregiem pote

‘ gowym lub szeregiem Taylora o ´ srodku z 0 ∈ C i wsp´o lczynnikach a _n ∈ C (n = 0, 1, . . . ) nazywamy szereg postaci

(1)

∑ ∞ n=0

a _n (z − z 0 ) ⁿ .

Twierdzenie 10 (Cauchy–Hadamard). Je´ sli ρ = lim sup √

ⁿ

|a n |, to promie´n zbie˙zno´sci szeregu (1) wyra˙za sie

‘ wzorem R =

 



 

+ ∞ dla ρ = 0,

1/ρ dla 0 < ρ < + ∞, 0 dla ρ = + ∞,

tj., szereg (1) jest zbie˙zny w ka˙zdym punkcie zbioru K = {z ∈ C : |z − z 0 | < R}

i rozbie˙zny w ka˙zdym punkcie zbioru {z ∈ C : |z − z 0 | > R}.

Ko lo K w powy˙zszym twierdzeniu nazywamy ko lem zbie˙zno´ sci szeregu (1).

W lasno´ s´ c 7. Suma szeregu (1) jest funkcja

‘ holomorficzna

‘ wewna

‘ trz ko la zbie˙zno´ sci.

O funkcji f , kt´ ora jest suma

‘ szeregu (1) w pewnym kole K = {z : |z − z 0 | < r}, m´ owimy ˙ze rozwija sie

‘ w kole K w szereg pote

‘ gowy lub w szereg Taylora, a szereg (1) nazywamy jej rozwinie

‘ ciem.

Twierdzenie 11. Je´ sli funkcja f jest holomorficzna w punkcie z 0 , to rozwija sie

‘ w szereg pote

‘ gowy w pewnym kole o ´ srodku w punkcie z 0 i rozwinie

‘ cie to jest okre´ slone jednoznacznie.

Twierdzenie 12. Je´ sli funkcja f jest holomorficzna w pewnym zbiorze otwartym G ⊂ C, to jej pochodna r´ownie˙z jest funkcja

‘ holomorficzna

‘ w zbiorze G. Ponadto funkcja ta ma pochodne wszystkich rze

‘ d´ ow w zbiorze G i pochodne te sa

‘ funkcjami holomorficznymi.

Twierdzenie 13. Funkcje exp, sin, cos rozwijaja

‘ sie

‘ w naste

‘ puja

‘ ce szeregi pote

‘ gowe:

exp z =

∑ ∞ n=0

1

n! z ⁿ , sin z =

∑ ∞ n=0

( −1) ⁿ

(2n + 1)! z ²ⁿ⁺¹ , cos z =

∑ ∞ n=0

( −1) ⁿ

(2n)! z ²ⁿ , z ∈ C.

Przyk lad 6. Rozwiniemy funkcje

‘ f (z) = exp z w szereg pote

‘ gowy o ´ srodku w punkcie z 0 = 1. Wykorzystuja

‘ c twierdzenie 13 dla z ∈ C, mamy exp z = exp(z − 1 + 1) = e exp(z − 1) = e

∑ ∞ n=0

1

n! (z − 1) ⁿ =

∑ ∞ n=0

e

n! (z − 1) ⁿ . Zatem wsp´ o lczynniki tego rozwinie

‘ cia sa

‘ postaci a n = _n! ^e , n = 0, 1, . . . . Przyk lad 7. Rozwiniemy funkcje

‘ f (z) = _z(z+2) ² , z ∈ C \ {0, 2}, w szereg Laurenta o ´ srodku w punkcie z ₀ = 1. Wykorzystuja

‘ c wz´ or na sume

‘ szeregu geometrycznego, mamy f (z) = ¹ _z − _z+2 ¹ = _1+(z−1) ¹ − _3+(x−1) ¹ = _{1−[−(z−1)]} ¹ − ¹ _{3 1−[−} ¹

z−1

3

] , wie

‘ c f (z) =

∑ ∞ n=0

( −1) ⁿ (z − 1) ⁿ −

∑ ∞ n=0

( −1) ⁿ

3 ⁿ⁺¹ (z − 1) ⁿ =

∑ ∞ n=0

( −1) ⁿ (

1 − 1 3 ⁿ⁺¹

)

(z − 1) ⁿ

dla z ∈ C takich, ˙ze |z − 1| < 1 oraz |z − 1| < 3, czyli dla z ∈ {ζ ∈ C : |ζ − 1| < 1}.

§10 Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta, residuum

Szeregiem Laurenta o ´ srodku w punkcie z 0 ∈ C i wsp´o lczynnikach a n (n ∈ Z) nazywamy szereg postaci

(1)

+ ∞

∑

n= −∞

a n (z − z 0 ) ⁿ . Szeregi

(2)

∑ ∞ n=0

a _n (z − z 0 ) ⁿ , oraz

(3)

∑ ∞ n=1

a _−n 1 (z − z 0 ) ⁿ nazywa´ c be

‘ dziemy odpowiednio cze

‘ ´ scia

‘ regularna

‘ i cze

‘ ´ scia

‘ g l´ owna

‘ szeregu (1).

M´ owimy, ˙ze szereg Laurenta (1) jest zbie˙zny w danym punkcie z, gdy w tym punkcie zbie˙zne sa

‘ szeregi (2) i (3).

Niech R be

‘ dzie promieniem zbie˙zno´ sci szeregu (2), η = lim sup √

ⁿ

|a −n | i niech

r =

 



 

+ ∞ dla η = 0,

1/η dla 0 < η < + ∞, 0 dla η = + ∞,

Twierdzenie 14. Je˙zeli r < R, to szereg (1) jest zbie˙zny w ka˙zdym punkcie pier´ scienia

P = {z : r < |z − z 0 | < R}

i jego suma jest funkcja

‘ holomorficzna

‘ w P . Szereg (1) nie jest zbie˙zny dla z ∈ C\P . O funkcji f , kt´ ora jest suma

‘ szeregu Laurenta (1) w pewnym sa

‘ siedztwie Ω = {z ∈ C : 0 < |z − z 0 | < r} punktu z 0 , m´ owimy, ˙ze rozwija sie

‘ w sa

‘ siedztwie Ω w szereg Laurenta, szereg (1) za´ s nazywamy jej rozwinie

‘ ciem w szereg Laurenta w sa ‘ siedztwie punktu z 0 .

Twierdzenie 15. Je´ sli funkcja f jest holomorficzna w pewnym sa

‘ siedztwie punktu z 0 ∈ C, to w pewnym sa

‘ siedztwie tego punktu rozwija sie

‘ ona w szereg Laurenta postaci (1) i rozwinie

‘ cie to jest okre´ slone jednoznacznie.

Je´ sli funkcja f jest holomorficzna w sa

‘ siedztwie punktu z 0 , to punkt z 0 nazy- wamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji f . W´ owczas funkcja rozwija sie

‘ w szereg Laurenta postaci (1) w sa

‘ siedztwie punktu z 0 . Je´ sli cze

‘ ´ s´ c g l´ owna (3) tego rozwinie´ cia znika, to punkt z ₀ nazywamy punktem pozornie osobliwym funkcji f . Je´ sli cze

‘ ´ s´ c g l´ owna (3) tego rozwinie´ cia ma sko´ nczona

‘ lecz dodatnia

‘ ilo´ s´ c wyraz´ ow r´ o˙znych od zera, to punkt z ₀ nazywamy biegunem funkcji f . Je´ sli cze

‘ ´ s´ c g l´ owna (3) tego rozwinie´ cia ma niesko´ nczenie wiele wyraz´ ow r´ o˙znych od zera, to punkt z 0

nazywamy punktem istotnie osobliwym funkcji f . Niech f be

‘ dzie funkcja

‘ holomorficzna

‘ w sa

‘ siedztwie punktu z 0 i niech szereg (1) bdzie jej rozwinie

‘ ciem w szereg Laurenta w sa

‘ siedztwie punktu z ₀ . W´ owczas wsp´ o lczynnik a ₋₁ nazywamy residuum funkcji f w punkcie z 0 i oznaczamy res z

0

f .

Na podstawie: J. Cha dzy´ nski, Wste p do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.

Przyk lad 8. Rozwiniemy funkcje

‘ f (z) = _z(z+2) ² , z ∈ C \ {0, 2} w szereg Laurenta o ´ srodku w punkcie z ₁ = 0 oraz w szereg Laurenta o ´ srodku w punkcie z ₂ = −2 i z tych ro. Podobnie jak w przyk ladzie 7,

f (z) = 1

z − 1

z + 2 = z ⁻¹ − 1 2

1

1 + ^z ₂ = z ⁻¹ +

∑ ∞ n=0

( −1) ⁿ 2 ⁿ z ⁿ dla z ∈ C takich, ˙ze 0 < |z| < 2. Zatem cze

‘ ´ scia

‘ g l´ owna

‘ tego rozwinie

‘ cia jest z ⁻¹ . W konsekwencji, res 0 f = 1.

Podobnie jak wy˙zej, mamy

f (z) = − 1

z + 2 + 1

−2 + (z + 2) = − 1

z + 2 + −1 2

1

1 − ^z+2 ₂ = −(z+2) ⁻¹ +

∑ ∞ n=0

−1

2 ⁿ⁺¹ (z+2) ⁿ dla z ∈ C takich, ˙ze 0 < |z + 2| < 2. Zatem cza ‘ ´ scia

‘ regularna

‘ tego rozwinie

‘ cia jest

−(z + 2) ⁻¹ oraz res ₋₂ f = −1.

§11 Twierdzenie o residuach dla prostoka

‘ ta

Niech G ⊂ C be ‘ dzie zbiorem otwartym. M´ owimy, ˙ze funkcja f jest regularna w G, gdy istnieje zbi´ or A izolowany i domknie

‘ ty w G taki, ˙ze f jest okre´ slona i holomorficzna w G \ A. Przypomnijmy, ˙ze podzbi´or A przestrzeni C nazywamy izolowanym, gdy dla ka˙zdego a ∈ A istnieje otoczenie U takie, ˙ze A ∩ U = {a}.

W lasno´ s´ c 8. Zbi´ or A w powy˙zszej definicji jest przeliczalny i jest zbiorem punkt´ ow osobliwych odosobnionych funkcji f .

Twierdzenie 16 (o residuach dla prostoka

‘ ta). Je˙zeli f jest funkcja

‘ regularna w zbiorze otwartym G ⊂ C, P jest prostoka ‘

‘ tem normalnym zawartym w G i takim,

˙ze f nie ma punkt´ ow osobliwych odosobnionych na ∂P

∼ , to (1/2πi)

∫

∂P

f (z) dz =

∑ n k=1

res z

k

f,

gdzie z ₁ , . . . , z _n sa

‘ wszystkimi punktami osobliwymi odosobnionymi funkcji f le˙za

‘ cymi w prostoka

‘ cie P .

Przyk lad 8. We´ zmy funkcje

‘ f (z) = _z(z+2) ² , z ∈ C \ {0, 2} i niech P ⊂ C be ‘ dzie prostoka

‘ tem normalnym o wierzcho lkach −1 − i, 1 − i, 1 + i, 1 − i. Obliczymy ca lke

‘

∫

∂P f (z)dz. Funkcja f ma dwa punkty osobliwe odosobnione (kt´ ore nie sa punktami pozornie osobliwymi) i sa ‘

‘ nimi z 1 = 0 oraz z 2 = −2. Zatem funkcja f nie ma punkt´ ow osobliwych na brzegu prostoka

‘ ta P . Oczywi´ scie z ₁ ∈ Int P , a z 2 ∈ P . / W my´ sl zadania 7, mamy res 0 f = 1. Zatem stosuja

‘ c twierdzenie 16 o residuach dla prostoka

‘ ta, mamy

∫

∂P

f (z)dz = 2πi res ₀ f = 2πi.