Zastosowania ca÷ ki Riemanna
1. Zastosowania ca÷ek wielokrotnych w geometrii
(a) Pole powierzchni obszaru p÷askiego Je·zeli D R2 jest zbiorem mierzalnym (w sensie Jordana), to pole powierzchni (miara dwuwymi- arowa) zbioru D wynosi
m (D) = ZZ
D
dxdy.
(b) Obj ¾eto´s´c bry÷y Je·zeli V R3 jest zbiorem mierzalnym (w sensie Jordana), to obj ¾eto´s´c (miara trójwymiarowa) zbioru V wynosi
m (V ) = ZZZ
V
dxdydz.
(c) Obj ¾eto´s´c bry÷y obrotowejJe·zeli V jest bry÷¾a powsta÷¾a z obrotu zbioru mierzalnego D [0; 1) R dooko÷a osi OY , to obj ¾eto´s´c (miara trójwymiarowa) zbioru V wynosi
m (V ) = 2 ZZ
D
xdxdy.
2. Zastosowania ca÷ek wielokrotnych w …zyce
(a) Masa obszaru p÷askiegoD o rozk÷adzie g ¾esto´sci (x; y) wynosi mD=
ZZ
D
(x; y)dxdy.
Masa bry÷yV o rozk÷adzie g ¾esto´sci (x; y; z) wynosi mV =
ZZZ
V
(x; y; z)dxdydz.
(b) ´Srodek ci ¾e·zko´sci obszaru p÷askiegoD o rozk÷adzie g ¾esto´sci (x; y) ma wspó÷rz ¾edne
x0= 1 mD
ZZ
D
x (x; y)dxdy , y0= 1 mD
ZZ
D
y (x; y)dxdy.
´Srodek ci ¾e·zko´sci bry÷yV o rozk÷adzie g ¾esto´sci (x; y; z) ma wspó÷rz ¾edne x0 = 1
mV ZZZ
V
x (x; y; z)dxdydz , y0= 1 mV
ZZZ
V
y (x; y; z)dxdydz ,
z0 = 1 mV
ZZZ
V
z (x; y; z)dxdydz.
1
(c) Moment bezw÷adno´sci bry÷yV o rozk÷adzie g ¾esto´sci (x; y; z) wzgl ¾edem ´srodka uk÷adu wspó÷rz ¾ednych wynosi
I0= ZZZ
V
x2+ y2+ z2 (x; y; z)dxdydz,
wzgl ¾edem osi OX wynosi IX=RRR
V
y2+ z2 (x; y; z)dxdydz, wzgl ¾edem osi OY wynosi IY =RRR
V
x2+ z2 (x; y; z)dxdydz, wzgl ¾edem osi OZ wynosi IZ =RRR
V
x2+ y2 (x; y; z)dxdydz, wzgl ¾edem p÷aszczyzny OXY wynosi IXY =RRR
V
z2 (x; y; z)dxdydz, wzgl ¾edem p÷aszczyzny OXZ wynosi IXZ=RRR
V
y2 (x; y; z)dxdydz, wzgl ¾edem p÷aszczyzny OY Z wynosi IY Z =RRR
V
x2 (x; y; z)dxdydz.
Dyfeomor…zmy. Zamiana zmiennych w ca÷ ce Riemanna
Niech G Rk b ¾edzie zbiorem otwartym, f : G ! Rl. Pochodn ¾a mocn ¾a odwzorowania f w punkcie p nazywamy odwzorowanie liniowe A : Rk ! Rl takie, ·ze
hlim!
f (p + h) f (p) A (h)
khk = .
Pochodn ¾a mocn ¾a oznaczamy f0(p). Je·zeli odwzorowanie ma pochodn ¾a mocn ¾a w punkcie p, to mówimy, ·ze jest ró·zniczkowalnew tym punkcie. Macierz
h
fix0 j(p)i
i l;j k= 2 4
@f1
@x1(p) : : : @x@f1
k(p) : : : : : : : : :
@fl
@x1(p) : : : @x@fl
k(p) 3 5
nazywamy macierz ¾a Jacobiego odwzorowania f . Je·zeli l = k, to wyz- nacznik macierzy Jacobiego
J f (p) = @ (f1: : : fk)
@ (x1: : : xk)(p) =
@f1
@x1(p) : : : @x@f1
k(p) : : : : : : : : :
@fl
@x1(p) : : : @x@fl
k(p) nazywamy jakobianem odwzorowania f .
Twierdzenie o zamianie zmiennych w ca÷ce Riemanna
2
Twierdzenie: Niech U; V Rk b ¾ed ¾a zbiorami otwartymi, ' : U ! V dyfeo- mor…zmem, D V zbiorem takim, ·ze D i ' 1(D) s ¾a mierzalne oraz jakobian J' jest ograniczony na ' 1(D). Dla dowolnej funkcji ci ¾ag÷ej f : D ! R
Z
D
f = Z
' 1(D)
(f ') jJ'j .
Zamiana zmiennych w ca÷ce podwójnej i potrójnej
1. (a) Wspó÷rz ¾edne biegunowe: x = x0+ r cos ; y = y0+ r sin :
Odwzorowanie ' (r; ) = (x0+ r cos ; y0+ r sin ) jest dyfeomor-
…zmem zbioru (0; 1) (0; 2 ) na swój obraz oraz J'(r; ) = r. Je·zeli D jest ko÷em o ´srodku (x0; y0), to ' 1(D) jest prostok ¾atem.
(b) Wspó÷rz ¾edne cylindryczne(walcowe):
8<
:
x = x0+ r cos ; y = y0+ r sin ; z = z:
Odwzorowanie ' (r; ; z) = (x0+ r cos ; y0+ r sin ; z) jest dyfeo- mor…zmem zbioru (0; 1) (0; 2 ) R na swój obraz oraz J'(r; ; z) = r. Je·zeli D jest walcem, którego o´s jest zawarta w prostej x = x0
y = y0 , to ' 1(D) jest prostopad÷o´scianem.
(c) Wspó÷rz ¾edne sferyczne:
8<
:
x = x0+ r cos cos ; y = y0+ r sin cos ; z = z0+ r sin :
Odwzorowanie ' (r; ; ) = (x0+ r cos cos ; y0+ r sin cos ; z0+ r sin ) jest dyfeomor…zmem zbioru (0; 1) (0; 2 ) 2;2 na swój obraz oraz J'(r; ; z) = r2cos . Je·zeli D jest kul ¾a o ´srodku (x0; y0; z0), to ' 1(D) jest prostopad÷o´scianem.
Uwaga: We wszystkich trzech przypadkach mo·zna zast ¾api´c przedzia÷
(0; 2 ) przedzia÷em ( ; ).
3
