Liniowa zależność i niezależność funkcji

(1)

Liniowa zależność i

niezależność funkcji

Autorzy:

Julian Janus

(2)

Liniowa zależność i niezależność funkcji

Autor: Julian Janus

DEFINICJA

Definicja 1: Liniowej zależności zbioru funkcji

Mówimy, że zbiór funkcji zbiór funkcji określonych na przedziale jest liniowo zależnyliniowo zależny, jeżeli istnieją stałe nie wszystkie równe zero, takie że dla każdego .

DEFINICJA

Definicja 2: Liniowej niezależności zbioru funkcji

Mówimy, że zbiór funkcjizbiór funkcji określonych na przedziale jest liniowo niezależny liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny. Inaczej mówiąc, równość zachodzi dla każdego jedynie w przypadku, gdy wszystkie współczynniki są równe zero.

UWAGA

Uwaga 1:

Z liniowej zależności funkcji wynika, że jedną z nich można przedstawić jako kombinację pozostałych. Na przykład: jeśli to

Stąd wynika, że dwie funkcje i są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała taka, że .

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Funkcje określone na są liniowo zależne. Istotnie jeśli weżmiemy to otrzymamy tożsamość

co oznacza, że funkcje są liniowo zależne.

(t), …, (t)

f

1

f

n

I ⊂ R

, …,

c

1

c

n

c

1

f

1

(t) + ⋯ +

c

n

f

n

(t) = 0 ,

t ∈ I

(t), …, (t)

f

1

f

n

I

(t) + ⋯ +

(t) = 0

c

1

f

1

c

n

f

n

t ∈ I

, i = 1, …, n

c

i

(t), …, (t)

f

1

f

n

≠ 0,

c

1

(t) = −

(t) −

(t) − ⋯ −

(t).

f

1 cc21

f

2 c3 c1

f

3 cn c1

f

n

f(t) g(t)

c

f(t) = cg(t)

(t) = t, (t) = , (t) = 4t − 3

f

1

f

2

t

2

f

3

t

2

R

= −4,

= 3,

= 1,

c

1

c

2

c

3

−4 (t) + 3 (t) + (t) = −4t + 3 + 4t − 3 = 0

f

1

f

2

f

3

t

2

t

2

(t), (t), (t)

f

1

f

2

f

3

(3)

(1)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Pokażemy, że funkcje są liniowo niezależne. Należy zatem pokazać, że następująca tożsamość

zachodzi jedynie w przypadku gdy .

Z równości ( 1 ) dla wynika, że . Uwzględniając, że i podstawiając do równości ( 1 ) za kolejno i otrzymujemy następujący układ równań

którego jedynym rozwiązaniem jest i co kończy dowód liniowej niezależności.

(t) = 1, (t) = t, (t) =

f

1

f

2

f

3

t

2

(t) +

(t) = 0 dla t ∈ R

c

1

f

1

c

2

f

2

c

3

f

3

= = = 0

c

1

c

2

c

3

t = 0,

c

1

= 0

c

1

= 0

t

−1 1,

{ − + = 0

c

2

c

3

+ = 0,

c

2

c

3

= 0

c

2

c

3

= 0,

(4)

(2) (3) (4)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA: ZAŁOŻENIA:

Zakładamy, że funkcje określone na przedziale są krotnie różniczkowalne i wyznacznik

nie jest równy zero przynajmniej dla jednego z przedziału .

TEZA: TEZA:

Wtedy funkcje są liniowo niezależne. Powyższy wyznacznik będziemy oznaczać i nazywać WrońskianemWrońskianem, inaczej wyznacznikiem macierzy Wrońskiegowyznacznikiem macierzy Wrońskiego.

DOWÓD: DOWÓD:

Dowód twierdzenia podamy w przypadku, gdy Dla większych dowód jest podobny. Zakładamy, że istnieje dla którego

Dla dowodu nie wprost zakładamy, że funkcje i są liniowo zależne. To oznacza, że istnieją stałe jednocześnie nie równe zero takie, że dla każdego zachodzi równość

Różniczkując stronami równość ( 3 ) dostajemy

Dla z równości ( 3 ) i ( 4 ) otrzymujemy układ równań

o niewiadomych i dla którego wyznacznik

Zatem układ ten posiada jedynie rozwiązanie zerowe i co jest sprzeczne z założeniem, że i nie są jednocześnie równe zero.

Oznacza to, że funkcje i są liniowo niezależne.

WNIOSEK

Wniosek 1:

Jeżeli funkcje są - krotnie różniczkowalne na i są liniowo zależne, to dla każdego

(t), …, (t)

f

1

f

n

I ⊂ R

n − 1

∣

(t)

f

1

(t)

f

′ 1

⋮

(t)

f

₁(n−1)

(t)

f

2

(t)

f

′ 2

⋮

(t)

f

₂(n−1)

…

⋱

…

(t)

f

n

(t)

f

_n′

⋮

(t)

f

n(n−1)

∣

t

I

(t), …, (t)

f

1

f

n

W( (t), …, (t))

f

1

f

n

n = 2.

n

∈ I,

t

0

W( ( ), ( )) ≠ 0.

f

1

t

0

f

2

t

0

(t)

f

1

f

2

(t)

c

1

,

c

2

t ∈ I

(t) +

(t) = 0.

c

1

f

1

c

2

f

2

(t) +

(t) = 0.

c

1

f

1′

c

2

f

2′

t = ,

t

0

{

c

1

f

1

( ) +

t

0

c

2

f

2

( ) = 0

t

0

( ) +

( ) = 0

c

1

f

₁′

t

0

c

2

f

₂′

t

0

c

1

c

2

,

W( ( ), ( )) ≠ 0.

f

1

t

0

f

2

t

0

= 0

c

1

c

2

= 0,

c

1

c

2

(t)

f

1

f

2

(t)

(t), …, (t)

f

1

f

n

n − 1

I

W( (t), …, (t)) = 0,

f

1

f

n

t ∈ I.

(5)

UWAGA

Uwaga 2:

Z tego, że wrońskian dla funkcji jest równy zero dla każdego nie wynika, że funkcje są liniowo zależne. Na przykład: funkcje są różniczkowalne w i

dla każdego . Funkcje te są liniowo niezależne, ponieważ nie istnieje takie, że dla każdego .

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Pokażemy, że funkcje i są liniowo niezależne. W tym celu obliczamy ich wrońskian

Stąd, na mocy twierdzenia 1, funkcje i są liniowo niezależne.

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Pokażemy, że funkcje są liniowo zależne.

Ponieważ zatem

dla każdego .

Ponieważ współczynniki przy nie są równe zero, więc funkcje są liniowo zależne.

(t), …, (t)

f

1

f

n

t ∈ I

(t), …, (t)

f

1

f

n

f

1

(t) = , (t) = t|t|

t

2

f

2

R

W( (t), (t)) = 0,

f

1

f

2

t ∈ R

c ∈ R

(t) = c (t),

f

1

f

2

t ∈ R

(t) = , (t) = t

f

1

e

2t

f

2

e

2t

f

3

(t) =

e

t

W( (t), (t), (t)) =

f

1

f

2

f

3

=

∣

e

2t

2e

2t

4e

2t

te

2t

(2t + 1)e

2t

(4t + 4)e

2t

e

t

e

t

e

t

∣

e

2t

e

2t

3e

2t

te

2t

(t + 1)e

2t

(3t + 4)e

2t

e

t

0

0 ∣

∣

⋅

= [ (3t + 4) − (3t + 3) ] =

≠ 0.

e

t

∣

_3e

e

2t_2t

_{(3t + 4)e}

(t + 1)e

2t_2t

∣

∣ e

t

_e

4t

_e

4t

_e

5t

(t) = , (t) = t

f

1

e

2t

f

2

e

2t

f

3

(t) =

e

t

(t) = sin t, (t) = cos t, (t) = sin(t + )

f

1

f

2

f

3 π₆

(t) = sin(t + ) = sin tcos + cos tsin =

sin t + cos t =

(t) +

(t),

f

3 π₆ π₆ π₆ √₂3 1₂ √₂3

f

1 1₂

f

2

(t) +

(t) − (t) = 0

3 √ 2

f

1 12

f

2

f

3

t ∈ R

(t), (t), (t)

f

1

f

2

f

3

f

1

(t), (t), (t)

f

2

f

3

(6)

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Pokażemy, że dla dowolnego funkcje są liniowo niezależne. I-sposób:

I-sposób:

Należy pokazać prawdziwość następującej implikacji:

Wynika ona bezpośrednio z faktu, że wielomian niezerowy o współczynnikach rzeczywistych stopnia ma co najwyżej różnych pierwiastków rzeczywistych. Ponieważ wielomian ma nieskończenie wiele pierwiastków więc musi być wielomianem zerowym, czyli wszystkie jego wspóczynniki są równe zero.

II-sposób: II-sposób:

Ponieważ wrońskian funkcji :

jest różny od zera, więc liniowa niezależność funkcji wynika z twierdzenia 1.

WNIOSEK

Wniosek 2:

Z przykładu 5 wynika, że funkcje są liniowo niezależne.

n

1, t, , …,

t

2

_t

n

1 + t + ⋯ +

= 0, t ∈ R ⟹

= = ⋯ =

= 0.

c

0

c

1

c

n

t

n

c

0

c

1

c

n

1 + t + ⋯ +

c

0

c

1

c

n

t

n

1, t, , …,

t

2

_t

n

W(1, t, … ) =

t

n

= 1!2!3! …n!

∣

1

0

0 ⋮

0 t

1!

0

0 ⋮

0 t

2

2t

2!

0 ⋮

0 t

3

3t

2

3!t

3!

⋮

0 …

…

⋱

…

t

n

nt

n−1

n(n − 1)t

n−2

n(n − 1)(n − 2)t

n−3

⋮

n!

∣

, t ,

, …,

e

λ

_e

λ

_t

2

_e

λ

_t

n

_e

λ

(7)

(5)

PRZYKŁAD

Przykład 6:

Funkcje są liniowo niezależne.

Jeżeli weźmiemy liniową kombinację tych funkcji i przyrównamy ją do zera

a w miejsce podstawimy wówczas i Zatem

równość ta zachodzi, gdy ponieważ niezerowy wielomian może mieć co najwyżej różnych pierwiatków rzeczywistych.

Analogicznie, jeżeli w tożsamości ( 5 ) w miejsce podstawimy dla których i to otrzymujemy równość

a ta zachodzi, gdy i to kończy dowód liniowej niezależności danego zbioru funkcji.

WNIOSEK

Wniosek 3:

Z przykładu 6 wynika, że funkcje

są liniowo niezależne.

PRZYKŁAD

Przykład 7:

Funkcje są liniowo niezależne, jeżeli gdy W celu pokazania liniowej niezależności powyższych funkcji, liczymy ich wrońskian

sin(αt), tsin(αt), …, sin(αt), cos(αt), tcos(αt), …, cos(αt)

t

n

_t

n

( sin(αt) + cos(αt)) = 0, t ∈ R

∑

i=0 n

t

i

_c

i

d

i

t

k

=

π(4k+1)_2α

, (k ∈ Z)

sin(α ) = 1

t

k

cos(α ) = 0.

t

k

1 +

+ ⋯ +

= 0, k ∈ Z

c

0

c

1

t

k

c

n

t

nk

= = ⋯ =

= 0,

c

0

c

1

c

n

c

0

1 + t + ⋯ +

c

1

c

n

t

n

t

t~

k

=

2πk_α

, (k ∈ Z),

sin(α ) = 0

t~

k

cos(α ) = 1,

t~

k

1 +

+ ⋯ +

= 0, k ∈ Z,

d

0

d

1

t~

k

d

n

t~

nk

=

= ⋯ =

= 0

d

0

d

1

d

n

sin(αt),

t sin(αt), …,

sin(αt), cos(αt), tcos(αt), …,

cos(αt)

e

λ

_e

λ

_e

λ

_t

n

_e

λ

_e

λ

_e

λ

_t

n

,

, …,

e

λ1t

e

λ2t

e

λnt

λ

_i

≠ ,

λ

_j

i ≠ j.

=

∣

it

∣

(8)

Ostatni wyznacznik w powyższej równości liczymy następująco: mnożymy -ty wiersz przez i odejmujemy od wiersza, i następnie korzystamy z własności wyznacznika

Mnożąc teraz w ostatnim wyznaczniku w powyższej równości -ty wiersz przez i odejmując od wiersza, otrzymamy analogicznie, jak powyżej, następującą zależność:

Postępując tak dalej otrzymamy

Stąd wynika, że i kończy to dowód liniowej niezależności funkcji .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

W(

e

λ1t

, …,

e

λnt

) =

=

∣

e

λ1t

λ

1

e

λ1t

⋮

λ

n−1 1

e

λ1t

e

λ2t

λ

2

e

λ2t

⋮

λ

n−1 2

e

λ2t

…

⋱

⋯

e

λnt

λ

n

e

λnt

⋮

λ

n−1 n

e

λnt

∣

∏

i=1 n

e

λit

∣

1 λ

1

⋮

λ

n−1 1

1 λ

2

⋮

λ

(n−1)₂

…

⋱

…

1 λ

n

⋮

λ

n−1 n

∣

⋅

.

e

∑n t i=1λi

∣

1 λ

1

⋮

λ

n−1 1

1 λ

2

⋮

λ

n−1 2

…

⋱

…

1 λ

n

⋮

λ

n−1 n

∣

i

λ

1

i + 1

i = 1, …, n − 1

=

∣

1 λ

1

⋮

λ

n−1 1

1 λ

2

⋮

λ

n−1 2

…

⋱

…

1 λ

n

⋮

λ

n−1 n

∣

1

0 ⋮

0

1 −

λ

2

λ

1

⋮

−

λ

n−1 2

λ

n−22

λ

1

…

⋱

…

1 −

λ

n

λ

1

⋮

−

λ

n−1 n

λ

n−2n

λ

1

∣

=

∣

1

0 ⋮

0

1 −

λ

2

λ

1

⋮

( − )

λ

n−2 2

λ

2

λ

1

…

⋱

…

1 −

λ

n

λ

1

⋮

( − )

λ

n−2 n

λ

n

λ

1

∣

−

λ

2

λ

1

⋮

( − )

λ

n−1 2

λ

2

λ

1

…

⋱

…

−

λ

n

λ

1

⋮

( − )

λ

n−1 n

λ

n

λ

1

∣

( − ).

∣

1 λ

2

⋮

λ

n−2 2

…

⋱

…

1 λ

n

⋮

λ

n−2 n

∣

∏

i=2 n

λ

i

λ

1

i

λ

2

i + 1

i = 1, …, n − 2,

=

( − ).

∣

1 λ

2

⋮

λ

n−2 2

1 λ

3

⋮

λ

n−2 3

…

⋱

…

1 λ

n

⋮

λ

n−2 n

∣

1 λ

3

⋮

λ

n−3 3

…

⋱

…

1 λ

n

⋮

λ

n−3 n

∣

∏

n i=3

λ

i

λ

2

=

( − )

( − ) ⋯ ( −

).

∣

1 λ

1

⋮

λ

n−1 1

1 λ

2

⋮

λ

n−1 2

…

⋱

…

1 λ

n

⋮

λ

n−1 n

∣

∏

i=2 n

λ

i

λ

1

∏

i=3 n

λ

i

λ

2

∏

i=n n

λ

i

λ

n−1

W(

e

λ1t

, …,

e

λnt

) ≠ 0

e

λ1t

,

e

λ2t

, …,

e

λnt

(9)

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:15:00

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=11ea28c416d2b5a9fe43d1af3aaae000