Über die theorie der turbulenzentstehung

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n.

Oeift Univers/ly of Technology Ship tly,trocIL.:.-,ai.lcs Laboratory

Library

Meketweg 2 - 2628 CO OeIft The Netherlands

Ph0ne: 31 15 788873 - 31 15 781838

-auf 'dem Gebiete des Ingenieurwesens

I. Einleitung

Das Problem der Turbulenzentstehung, d. h. die Frage des Umschlages der laminaren in die turbu-lente Stromung, ist em n wichtiges Teilgebiet der StrOL

mungsforschung, auf weichem in den letiten Jahren entscheidende Fortschritte. erreicht worden sind. Die ersten systematischen eiperimentellen

Untersiichun-gen des laminar-turbulenten. mschlages w-urden

1883 von.0. Reynolds veroffentlicht, nachdem schon kurz vorher (1880) Lord Rayleigh einige theoretische Oberlegungen angestellt hatte. Seitdem ist die Frage

der Turbulenzentstehung ala eines der wichtigsten

Grundlagenprobleme der V StrOmungsmechanik

so-wohl theoretisch -els auch experimentell sehr

ein-gehend bearbeitet worden. Dat bei den theoretischen Untersuchungen am meisten verwendete Verfalaren

ist eine Stabilitatstheorie nach der Methode der

kleinen Schwingungen. Einen Oberblick hieriiber gab L. :Prandll 1935 [1]. Durch .viele Jahrzehnte waren

diese Bennihungen wenig erfolgreich, weil das Problem ..rnEithematiSch zu stark vereinfacht worden: war, urn die sehr groBen rechnerischen Schwierigkeiten zu

ver-mindern. Die ersten befriedigenden theoretischen Er-gebnisse wurden vor rd. iwanzig Jahren durch Arbei-ten von W. Tolimien und H. Schlichling erzielt. Aber such danach wurcle die Theorie noch lange stark an-gezweifelt, vor weil es zunachst:nicht

gelang, den von der Theorie vorausgesagten Mecha-nismus der Turbulenzentstehung durch Versuche zu

bestatigen. Die 'entscheidende e30erimentelle Be statigung dieser theoretischen :Ergebnisse konnte erst 1940 durch sorgfaltige Messungen erbracht

wet-1) Hach einem Vortrag .auf der Hauptversammlmig des Vereines Deutscher Ingenieure in Detsseldori, 6. September 1949.

den, die im National Bureau of Standards,

Washing-ton, .unter Leitung von H. L. Dryden von G. B.

Scizubauer und H. K. Skranzslad ausgefiihrt wurden2).

Damit ist jetzt in diesen.i.Probleinkreis ein gewisser endgiiltiger AbschluB erreicht worden, der eine zu-sammenfassende Darstellung rechtfertigt.

Im folgenden soil em n kUrzgefaBter Oberblick

ge--geben werden ilber die .wesentlichsten theoretischen Ergebnisse, ihre experithentelle Bestatigting-und die

praktischen Nutzanwendungen, die diese Erkenntnisse

neuerdings bei Tragfliigelprofilen mit sehr kleinem Widerstand (Laminarprofile) gefunden haben.

H. Die praktisehe Bedentung des Umsehlages laminar-turbulent

Bei der Rohrstromung konnte 0. Reynolds [2] den

laminar-turbulenten Umschlag durch einen

Farb-faden unmittelbar sichtbar machen. Er wurde dabei

auf das nach ihm benannte Ahnlichkeitsgesetz

ge-fart, und er stellte fest, 'dell maBgeblich fiir den

Umschlag die nach ihm' benannte dimensionslose

Reynoldssche Zahl ist: w d

Re

Dahei bedeuten w die fiber den Rohrquerschnitt

ge-mittelte Geschwindigkeit, d den Rohrdurchmesser

und v die kinematische Zahigkeit. Per Umschlag tritt

em, wenn die Reynoldssche Zahl eine gewisse Grenze,

die kritische Reynoldssche Zahl, aberschreitet. Mit

den physikalischen Ursachen des Umschlages

beschaftigte sich 1880 zuerst Lord Rayleigh [3], der

9 In Deutschland Bind die Ergebnisse dieser Messungen erst

nach Kriegsende bekanntgeworden.

Band 16

Dasseldorf 1949150'

Nr. 3

'Ober die Theorie der Turbulenzentstehung

ZusamraenfasSender Bericht

Von H. S6liehtIng, Braunschweig')

Es wird em n zusarnmenlassender -Bericht gegeben fiber das Problem des Umschlages der larninaren

in die turbulente Stromung ( Turbulenzentstehung). Die theorelisciten Untersuchungen zu diesem

Pro blemkreis, die von. der Reynoldsschen Vermutung der Instabilitat der Laminarstromung oberhalb der krittschen Reynoldsschen, Zahl ausgehen, hab.en nach langen vergeblichen Be-mlihurzgen schlie Mich in den letzten zwanzig .Jahren vor allem .durch deutsche Arbeiten zirm-Erfolg get art. Die noch ausstehende experirnentelle Bestdtigung der theoretischen Ergebnisse .konnte erst in neuester Zeit durch sehr sorgfaltige amerikariische Messungen

f

Or die Stromung

fangs einer ebenen Platte erbra6ht werden. Damitnunmehr das Problem der Turbulenzent-stehung als endgilltig geklart iznzuseizen. Die praklische Anwendung der neuen theoretischen Erkenntnisse bei der Konstruktion von' Prof ilen mit sehr geringem Widerstand (Laminarprofile) Wird erldutert. Auch wird die Anwendung der Stabiliteitstheorie-auf eine Reihe von Sonderf alien (Einflup von Zentrifugalkraften, .Wdrmeschichtung, Kompressibilitiit, Absaugung) besprochen.

H. S'e hli c hti n g: tiller die Theorie der "Turbulenzentstehung

-.

spater mehrfach auf. dieses Problem zurOckkam. wohl Lord, Rayleigh wie aucb Reynolds [5] stellten

die Vermutung auf, daB der Umschlag auf eine

Instabilitat der Laminarstromung zurOckzufiihren

sei,,in dem Sinne, daB diese oberhalb einer gewissen Grenze (kritische Reynoldssche Zahl) instabil- wird

und deshalb in die turbulente StrOinung Obergeht. Diese Reynoldssche Vermhtung bildet den

AuS-gangspunkt der meisten theoretischen Untersuchun-gen "und ist neuerdings, Wie weiter unten ansgefiihrt wird, auch voll bestatigt worden.

*Bevor wir auf die theoretischeSeite des Problems naher eingehen, mOge an einigen Beispielen gezeigt

werden, in .Welcher Form. der laminar-turbulente

Umschlag bei praktischen. StrOmungsproblemen in Erscheinung tritt.

Rohrstromung

FUr die StrOmung in leinem geraden Rohr voh gleichformigem Kreisquerschnitt ist die kritische

ReynoldSsche Zahl

Aekrit

()k = 2300 .

V

Der .Zahlenwert k,ann sich jedoch nach oben hin noch

in weiten Grenzen anciern und je hach dem .Grad der Storungsfreiheit der Stromung am Rohreinlauf Werte his 40000 annehmen. DaB die GraBe der Starungen

in der ZustrOmung einen sehr starken EinfluB auf

den Umschlag hat, gilt auch far andere Falle. Beim

Rohr ist mit dem Umschlag eine sehr starke Zunahnae

des Widerstandes verbunden, die .v.on'dem Energie-verbrauch der turbulenten Mischbewegung herruhrt.

Druckwiderstand stampfer Korper

Eine andere sehr bekannte und wichtige Erschei-nung, die mit dem Umschlag laminar-turbulent zu-sammenhangt, ist. der plotzliche Abfall des Wider-standsbeiwertes mit wachsender Reynddszahl bei der

'Kugel, beim Kreiszylinder und ähnlichen

Karper-formen. Bild 1 zeigt far die Kugel den

Widerstands-beiwert in Abhangigkeit von der Reynoldsschen Z-ahl. Die kritische Reynoldssche Zahl, bei welcher der

platzliche Abfall des Widerstandsbeiwertes eintritt,'

betragt Rekrj = (wd1v)kr = 2,5 105. An Hand der Stromungsbilder in Bild 2 und 33) hat Prandll [4] im Jahre 1914 gezeigt, daB es sich hier um em n Tur

bu-lentwerden der Grenzschicht handelt.

Unter-s) Entnommen aus: A. Betz: Ziele, Wege und konstruktive Aus-.

wertung der StrOmungsforschung. Z. VDE Bd. 91 (1949) S. 253/58.

Bild 1 bis 3. Widerstand von Kugeln.

-Forschung 16. Bd./Heft 3

halb RC5rjt 1st die Grenzschicht laminar; ,diese last

sich weit vorn áb und gibt infolgecl,essen em n breites

Totwasser mit groBem Widerstand. Oberhalb Rekr,

ist, 'die Grenzschicht turbulent; diese lost sich erst

weiter hinten ab und gibt em n schniales Totwasser mit geringem Widerstand. Das -Turbulentwerden der

Grenzschicht hat also hier eine ganstige Wirkung; es bewirkt eine starke .Verminderung des Wider-standes, und zwar des DruckwiderWider-standes, der bei

solchen stumpfen Korperformen den hberwiegenden Anteil des gesamten Widerstandes ausmacht.

In ahnlicher Weise hat die Turbulenz in der Grenz-schicht auch eine gunstige Wirkung bei

Stromlinien-korpern, TragflOgeln und Turbinenschaufeln. Der

turbulenten Grenzschicht ist es in ellen diesen Fallen zu verdanken, daB keine Ablosung eintritt und des-halb die Stromungsverluste klein bleiben..

e) VerminderUng des Reibungswiderstandes dureh Laminarhaltung der Grenzschicht (Laminarprofile) Bei solchen Korperformen, wo grundsatzlich keine Ablosungsgefahr besteht, kann man den Widerstand dadurch noch weiter verringern, daB man die -Grenz-schicht, die an sich bei groBen Reynaldsschen Zahlen turbulent sein warde, durch besondere Ma13nahmen laminar erhalt. Diesleruht darauf, daB der Reibungs-beiwert bei laminarer Grenzschicht sehr viel kleiner

ist als bei turbulenter. Am einfachsten kann man

diese Verhaltnisse bei der in ihrer Langsrichtung an-gestromten ebenen Platte iibersehen (AnstrOmungs-geschwindigkeit U..). Bei dieser. nimmt die

Grenz-schichtdicke 6 mit dem Abstand x von der

Platten-vorderkante (Lauflange") zu. Vorn ist

die Rei-bungsschicht immer laminar, weiter stromabwarts

wird sic turbulent. Die Umschlagstelle liegt dort,, wo

die mit der Grenzschichtdicke gebildete Reynolds-sche Zahl Uc.61v = Rea den kritiReynolds-schen Wert ober-.

schreitet. Dieser ist '

, Re6 k = 3000 .

V. k

Da the Grenzschichtdicke im laminaren Bereich nhch

dem Gesetz a = 5 /v x/U. zunimmt, ergibt dies filr

die auf die Lauflange bezngene kritische

Reynolds-sche Zahl:

3,6 - 105.

V k

Welche Bdtrage an VViderstand durch die

La-niinathaltung der Grenzschicht eingespart werden

gqtril 2,s

ge, 2 5 r5 2 J fo

ER3 - Re-44

BUd 1. Der Widerstandsbeiwert _E

lli111116

Mid 2. Totwasser hinter einer Kugel bei la mi-narer Grenischicht.

in Abhangigkeit von der

Rey-noldsschen Zahl;

Rekrit 2,5

Bild 3. Totwasser hinter einer Kugel bei.

turbu-len t e r Grenzschicht. a Drahtring, Mit dem kahet-lich die Turbulenz erzeugt wird. .

I:949 150 H. S c hl ichtin g: Uber die Theorie der Turbulenzentstehung 67

konnen, zeigt das: Widerstandsdiagrainm der langs-angestromten ebenen Platte, Bild 4.1-fiernach betragt z. B. bei Rex = 107 die Widerstandsersparnis etwa 80% des turbulenten Widerstandes. Wahrend jedoch

bei der ebenen Platte die Aufrechterhaltung einet

laminaren Grenzschicht bei Reynoldsschen Zahlen 'Rex> 5. 105 im allgerneinen recht schwierig ist, ge-lingt dies wesentlich leichter bei Profilierten KOrpern (Stromlinienkorper, Tragfltigel). Auch 'bei solchen Korperformen ist

die durch Laminarhaltung der

Grenzschicht erzielte Widerstandsverminderung von

- der gleichen GroBenordnung wie bei der ebenen Platte, da der Widerstand solcher Korperformen

fiberwiegend aus Reibungswiderstand besteht: Auf die Moglichkeit der Widerstandsverminderung dtirch Lanainarhaltung der Grenzschicht wurde man etwa seit 1938 von seiten der Flugtechnik her aufmerksam.

Man hate in Windkanal- und Flugversuchen fest-gestellt, daB die MOglichkeit der, Laminarhaltung stark von der KOrperform abhangt. thinstig sind KOrperformen mit groBer DickenrUcklage

(Laminar-Profile, vgl. Bud 'S). Der physikalische Grund hierftir

ist, daB der Druckgradient der. AuBenstromung

einen sehr groBen EinfluB auf die Lage des Urn-. schlagspunktes hat. Umschlag tritt im allgemeinen nicht im Druckabfallgebiet em, aber em n geringer Druckanstieg fiThrt sofurt zUm Umschlag. Man erhdlt deshalb lange laminare Laufstrecken der

Grenz-schicht und damit geringen Widerstand bei

KOrper-formen mit weit hinten liegender grater Dicke, da

bei diesen das Druckminimum weit hirden liegt. Als Beispiel hierfUr -sind in Bild 5 die Druckverteilung und der Widerstandsbeiwert von zwei symmetrischen

Tragfltigelprofilen angegeben, von denen das eine emn

,normales Profil mit einer Dickenrucklage von

0,3 I, das andere ein-Laminarprofil mit der Dickem-rilcidage,0,45 list. Das Druckminimum liegt bei den normalen Profil bei 0,1 I, dagegen bei dem Laminar-piof ii bei 0,65 I. Die Widerstandsbeiweite des Lami-narprofiles sind nur etwa halb so groB wie diejenigen

des normalen" Profils.

In Amerika sind solche Laminarprofile in groBem

Umfang untersucht worden. Schon wahrend des Krie-ges habensie in der Flugtechnik Anwen dung gefunden._

10009.

105 s to, s

vr2

5 _1vs 21

p

IStfianee -e" T lufisrlugei

= W I0q; (W Widerstand; 0 benetzte Oberflache; q Staudruck)

Dieser seinerzeit sehr Uberraschende stirke

Ein-fluB des' Druckgradienten auf den Umschlag konnte

spater durch die Stabilitatstheorie der

Laminar-stromung vollig geklart werden.

Auch durch AbSaugUng kann die Laminarhaltung erreicht werden. Die dabei erreichten Widerstands:. ersparnisse sind ebenfalls sehr betrachtlich (Bild 4). Auch diesen Effekt erklart die Stabilitatstheorie.

.111. Die theoretisehe Behandlung des DtasehlagprOblems

-a) Allgetheines

Die meisten theoretischen Untersuchungen

des-Umschlagproblems gehen von de'r. Reynoidsschen

Vermutung der Instabilitat der Laminarstromung

aus. Hiernach wird angenommen, daB die'

Laminar-stromung, welche an sich fiir beliebige Re-Zahlen

eine , LOsung der hydrodynamischen

Differential-gleichungen darstellt, oberhalb der kritischen

Re-Zahl gegentiber kleinen StOrungen instabil ist. Durch die Anfachung solcher instabilen Storungen soll dann

der Umschlag in

die. turbulente Stromungsform

,herbeigeftihrt werden. Das Umschlagproblem ist also

nach dieser Auffassing em n Stabilitdtsproblern. Auf-.

gabe der Stabilitatstheorie ist es, das Vorhandensein

solcher instabilen StOrungen nachzuw.eisen. Das Ziel der theoretisch.en Untersuchungen ist die rein thecire-tische Berechnu:ng der krithecire-tischen Reynoldsschen

Zahl. fiir eine vorgelegte .Laminarstromung. Dartiber hinaus wird von der Theorie auch AufschluB darilber erwartet, welche Parameter fiir den Umschlag wesentlich sind (z. B. Form, des laminaren

Geschwin-digkeitsprofils, Wellenlange und Frequenz der

Sto-rungen).

Fragestellung ist hier ahnlich wie helm

Knick-problem der Festigkeitslehre: Der gerade Stab mit Druckbelastun'g an den Ender' ist an sich eine LOsung der Grundgleichungen der Statik ftir jede beliebig

groBe Belastung. 'Die Erfahrung lelirt jedoch, daB

10004,,,,p 2.5 9 8 7 5 s-gclersland 5 I

3 Is,

'to'

or. 4.1 Mid 5. Widerstandsbei: werte -und Druckvertei: lung

eines normalen"

Profils und eines

Lami-narprofiles nach [31].

Clop= W IFq (W Widerstand, F =

bl Grundriaprojektion, q

Stau-druck) a Widerstandsbeiwert

der lfaigsangestromten ebenen Platte bei laminarer Reibungs-schicht, b bei turbulenter Rei-bungsschicbt, c vorn laminar. hinten turbulent, Rexe =5 104

,

L1

hek/enf s'... -.... lornintr-'-..."--,<AArougunggros*sle --...---..,' ..._ r

....

...., lantfung flogzeuge av

111111111111

11111111111111111110

Bild 4. Widerstandsbeiwert der langsangestreqmten

ebenen Platte-bei laminarer und turbulenter

Reibungs-schicht_sowie bei laminarer Reibungsschicht mit

Ab-cr al

5 009

saugung.

Cl.m/kuck"-- miTtinu" RIM

Die Absaugung geschieht mit der Mindestmenge, die zur

oberhalb einer gewissen GrOBe der Belastung em n

Aus-kninken des Stabes

eintritt.

Die kritische Last

(Knicklast) laBt sich nach Euler als

Stabilitats-problem in guter ebereinstimmung mit der Erfah-rung berechnen. Gleichzeitig gibt die Eulersche

Knickformel auch AufschluB dariiber, von welchen 'Parametern die Knicklast abhangt (Stablange, Stab-querschnitt, Elastizitatsmodul).

b) Die Grundgleiehungen der Stabilittitstheorie Bei der mathernatischen Formulierung der

Stabi-litatsuntersuchung beschranlien *ir uns auf ebene

Stromungen mit den

Geschwindigkeitskompo-nenten u und o, die von den rechiwinkligen Ortskoordinaten x, y abhangig sind. Der auf

Stabilitat zu untersuchenden Larainarstramung (drundstrOmung) mit den Komponen ten U, V Wird eine von der Zeit abhang,ige ebene

Sto-rungsbewegung u' (x, y, I), v' (x, y, t) ilberlagert.

In der resultierenden StrOmung sibd darn die Geschwindigkeitskomponenten und der Druck:

p=P+p'

(1).1

Dabei wird vorausgesetzt, daB die StOrungsgrOBen klein.sind im Vergleich zu den Werten- der Grund7' stromung. Urn die Stabilitat einer solchen gestorten Bewegung zu erortern, ist der zeitliche Verlauf der

Storungsbewegung u', p' zu untersuchen. Aus der

sehr umfangreichen Literatur dieses Problems moge hier nur diejenige Richtung beriicksichtigt werden,

welche schlieBlich zu einem v011en Erfolg geffihrt hat.

Die verwendete Methode ist die Methode der

kleinen Schwingungen. Bei dieser wird

ange-nommen, daB neben der GrundstrOmung, die als LaminarstrOmung den hydrodynamischen Grund-gleichungen geniigt, auch die durch Cberlagerung mit der Storungsbewegung erhaltene resultierende

Bew.egung die hYdrOdynamiSchen Beviegtingsgleil

chungen (NavierStokessche Gleichungen) -zu

er-fallen bat. Die Navier-Stokesschen Gleichungen fiir die ebehe Stromung einer inkompressiblen

Fhissig-keit lauten:

Dabei bedeutet e die Dichte.

Die zugrunde gelegte Grundstromung soil noch

insofern besonders einfach seini als-die Komponente nur von y abhangig ist, wahrend V fiberall gleich

null sein soli. Solche .Grundstromungen, die man auch Schichtenstromungen" nennt, liegen bei der ausgebildeten Rohr:- und Kanalstramung (in

ge-nilgender Entfernung vom Einlauf) exakt vor. Aber auch die GrenzschichtstrOmungen kOnnen mit guter Naherung als eine solche Schichtenstromung ange7, sehen werden, da hier die Abhang,igkeit von U von

der Langskoordinate x sehr viel geringer ist als von

der Quefkoordinate y. Es sei also eine

Grundstro-mung vorgelegt mit

' U (y), V= 0; P (x, y)

... .

. . (3).

Durch Einsetzen von GI. (1) in Gl. (2) erhalt man unter Beachtung dessen, daB die Grundstromung

Gl. (3) filr sich al/ein GI.. (2) und

unter'Ver-nachlassigung der in den. Storungsgeschwindigkeiten quadratischen

Glieder (gemaB der Methode der

kleinen Schwingungen) für die StorungsbeWegung

u', o', p' das Gleichungssystem te

au'

d U

1.93

'

/02

'

2

\

Tt± (77:9

+VI CT=---

y

eax

. ax2

'ay2

v

lap'

1.92 v' 02v'\

W-hu-0-;---"k+

Q ay ax2 ay2

u' v'

- - +(5.; - -

.-Dies sind drei Gleichungen -ftir te; v", p'. Die

zu-gehorigen Randbedingungen sind, daB die

SUirungs-geschwindigkeiten an den begrenzenden Wander

verschwinden (Haftbedingurtg).

Als Form der Storungsbewegung wird eine in der Hauptstromungsrichtung ,(x-Richtuiag) fortlaufende

Wellenbewegung angenommen. Dabei kann Man sinh eine beliebige WellenbewegUng nach Fourier in Partialschwingungen zerlegt denken. Da die

Stii-rungsbewegung zweidimensional ist, laBt sich diese eine Stromfunktion v (x, y, I) einfiihren, wodurch

die Kontinuitatsgleichung (4c) integriert ist. Fill. die

Stromfunktion einer PartialschWingung der

StOrungs-bewegung wahlt, man den Ansatz:

v,(x,Y,t) Cy (Y) i x - P" (5)4).

Hierbei ist.a rein reell, und es bedeutet A 2 n/as die

Wellenlange der StOrung. 'Pie GrOBe fi ist komplex,

= fir+ i fit, und es bedeutet 13, die Kreisfrequenz der

Partialschwingung, wahrend die AnfachungsgroBe fit fiber die Anfachung oder .Dampfung der

Partial-schwingung entscheidet. Far fit < 0 'wird die

Schivingung gedampft, es ist also die Grundstromung stabil, wahrend .fiir i9> 0 Instabilitat vorhanden ist. Schwingungen mit

fit = 0 geben die

Stabilitats-grenze, sie heiBen neutrale ,,8chwingungen. '

Es-ist zweckmaBig, neben a und ft auch noch 'die aus ihnen gebildete GrOBe c = cr ict einzu-fiihren. Dabei bedeutet cr-die Wellenfortpflanzungs-geschwindigkeit (PhasengesChwindigkeit), wahrend ci dumb sein Vorzeichen wiederuni fiber Anfachung oder Dainpfung der Partialschwingung entscheidet.

Aus GI. (5) ergibt sich ffir die Komponenten der StOrungsbewegung: . 971 (y) 0L( x x at); oI!

-v

(y) ei x X (4a, b, c)

4).Hierbei ist die bequeme komPlexe Schreihiveise verwendet. Der physikalisch allein sinnvolle Realteil der Btromfunktion 1st

file(Ip)= efl fp, cos (a t) (a x,8, I)), wo p (g)= +

die komplexwertige Amplitudenfunktion bedeutet.

au

au

au-, 1 p 1,024 p21A

av

at

av

ax-av

ay.

lap

e ey

av

(a2v .a21

x2 ay2 (2)..

Ox. Oy

1949/50 H. S c hlic h tin g: tlber Theorie der Turbulenzentstehung 69

Setzt man dies in GI. (4a, b) em, so, ergibt sich nach Elimination des Druckes far die Amplitudenfunktion

d,er Storungsbewegung q (y) die folgende gewohnliche Differentialgleichung Vierter ,Ordnung (Starungs-..

differentialgleichung), welche den Ausgangspunkt der

StabilitatStheorie der Laminarstromung bildet:

(U c) (TH

_{U" =}

Re C99".

2 as, 4_ xi 9,)

Dabei sind dimensionslose GroBen eingefahrt worden,

indem alle Langen auf ein'e geeignet gewahlte

Be-zugslange 6 (z. B. die Grenzschichtdicke) und alle

Geschwindigkeiten auf die Maxinialgeschwindigkeit Um der Grupdstroinung bezogen wurden. Der Strich

bedeutet die Differentiation nach der

dimensions-losen GroBe y/6, und es bedeutet

. Uth 6

.Re =

I-die far -I-die vorgelegte Laminarstromung (

Grund-stromung) U(y/6) charakteristische Reynoldssche

Zahl. Die Glieder der linken Seite von 'Gl. (6) rahren her von den Tragheitsgliedern, diejenigen der rechten

Seite von, den Reibungsgliedern der Bewegungs-gleichungen. Die Ranclbedingungen sind bei einer

Kanalstramung .das Verschwinden beider- StOrungs-konponenten an beiden Wanden, wahrend bei einer

Grenzschichtstromung an der Wand (y = 0) und

in groBem ,Wandabstand (AuBenstramung, y

die Storungsgeschwindigkeiten verschwinden massen. Ftir den letzteren Fall hat man somit:

y 0 :

u' = = 0 :

= = 0 1 y = rn:

= = 0 :

g)-(7). tcYzy,0

tori

w EKE r

Bild 6. Stromlinienbild und Geschwindigkeitsvertei-lung einer neutralen StOrung in der Grenzschicht an

der langsangestrOmten, ebenen Platte.

Parameter entsprechend der neutralen StOrmig 1 in Mid 9; Wellen-lange der StOrung A = 13,9 6 (g-Richtung ilberlitiht!)

Zur Veranschaulichung der Storungsbewegung sind in Bild 6 far das Beispiel der Grenzsehicht an

der langsangestramten ebenen Platte (Blasius- Grenz-schicht) das Stromlinienbild und die

Geschwindig-keitsverteilung der resultierenden Stramung

dar-gestellt. Hierbei ist eine neutrale zugrunde

gelegt. Man ersieht aus Bild 6, daB aber einen Teil

der Wellenlange bin in Wandnahe Rackstromung vorhanden 1st.

e) Das Eigenwertproblem der

Storttngsdifferential-gleiehung

-Die Stabilitatsuntersuchung ist nun em Eigenwert7

problem der Storungsdifferentialgleichung (6) mit den Randbedingungen Gl. (7). Wenn die

Grimd-,

stroll-Mug (Larninaistromung) vorgegeben ist, enthalt Gl. (6) vier Parameter, namtich a; Re, Cr, Ci. Von

diesen ist die Reynoldssche Zahl der Grundstramung

Re alg gegeben anzuseheri. Far Partialschwingung

der Starungsbewegungkann man auch dieWellenlarige

= 2a-/a vorgeben. Die Differentialgleichung (6) mit

den Randbedingungen GI. (7) liefert dann

zu jedem Wertepaar (a, Re) eine

funktion fp(y) und einen kornplexen Eigen-wert c=cr-Fici. Dabei gibt Cr die

Phasenge-schwindigkeit der v,orgegebenen Partialstorung,

wah-rend C durch sein Vorzeichen aber die Anfachung (ci >0) oder.Dampfung (ckO) entscheidet. Der

Grenz-fall ci =0, der identisch it mit Pi =0, gibt die neutralen

(indifferenten) Starungen. Man kann das Ergebnis

der Stabilitatsrechnung far eine yorgelegte Laminar-Strambng in der Weise darstellen, daB jedem Punkt

der Re,a-Ebene ein Wertepaar Cr, ci zugeordnet wird.

Die Kurve Ci = 0 in der Re, a-Ebene trennt die

stabilen Von den instabilen Starungen, sie heiBt

In-differenzkurve. Bei den ausgefahrten

Stabilitats-rechnungen hat man sich meist mit der Berechnung dieser Indifferenzkurve begnagt. In dem. spater noch naher zu besprechenden Bild9 ist far die Grenzschicht an der langsangestrointen ebenen Platte die

Indiffe-renzkurve angegeben. Ganz allgemein ergibt diese Indifferenzkurve durch ihre Tangente parallel zur a-Achse auch gleichzeitig als besonders wichtiges Ergebnis die kritische Reynoldssche Zahl, die als Stabilitatsgrenze"

bezeichnet wird. Denn diese

Tangente gibt diejenige

Reynoldssche -Zahl an,

unterhalb welcher alle Partialschwingungen gedampft werden; wahrendoberhalb von ihr wenigstens einige angefacht werden.

Das hiermit kurz umiissene Stabilitatsproblem 1st

in seiner' mathematischen Durchfahrung

auBer-ordentlich schwierig, so daB es, an dieser Stelle nicht moglich ist, auf weitere mathematische Einzelheiten einzugehen. Wegen dieser mathematischen Schwie-rigkeiten wurde das erstrebte. Ziel der Berechnung

der kriiischen Reynoldsschen Zahl trotz graBter

Anstiengung zunachst jahrzehntelang nicht erreicht. d) Ergebnisse filterer Stabilititsuntersnehungen

Als erster untersuchte nach dieser Methode Lord

Rayleigh [3] verschiedene KanalprOfile. Um die.

Storungsdifferentialgleichung (6) zu vereinfachen, vernachrassigte er die Zahigkeit (Re = pc), d. h. er rechnete mit der sogenan.nten reibungslosen St&

rungsdifferentialgleichung, die aus Gl. (6') dadurch entsteht, daB man die auf der rechten Seite stehenden Reibungsglieder fortlaBt.. Diese Vereinfachung ist naheliegend, da man die Stabilitatsgrenze bei hohen

Reynoldsschen Zahlen erwartet, wo die mit dem

kleinen Faktor 1/Re behafteten Reibungsglieder

gegeniiber den Tragheitsgliedern der linken Seite in Gl. (6) klein sind. Auch ersetzte er aus Granden der mathematischen Vereinfachung gekrammte Ge-schwindigkeitsprofile durch -Polygonzilge.. Er erhielt

das bemerkenswerte Ergebnis, dal3

Geschwiridigkeits-profile rnit lather konvexen Ecken (vgl. Bild 8a, b)

stabil sind, daB aber im Fall einer einspringenden

Ecke (Bud 8c, d) Instabilitat auttreten kann: In

Analogie hierzu konnte Lord Rayleigh_ far stetig

70 H. S c hli c h tin g: tTher die Theorie der Turbulenzentstehung Forschung 1.6. Bd./Heft 3

Vorhandensein eines Wendepunktes (Bud 8g) insta-bile Schwing-ungen auftreten kiinnen (notwendige

Bedingung). Erst sehr viel spater 1st von W.

Toll-mien [11] gezeigt worden, daB -das

Vorhanden-sein eines Wendepunktes auch eine hinreichende Be-dingung filr das Vorhandensein angefachter Schwin-guitgen 1st. Es gilt somit der einfache wichtige Satz.:

Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkt

sind'instabil5)

Dieses Wendepunktkriterium tst von

grundlegen-der Bedeutung ffir die ganze Stabilitatstheorie, da es tinter dem Vorbehalt einer Korrektur infolge des vernachlassigten Zahigkeitseinflusses eine erste

grobe Klassifizierung aller Laminarstromungen gibt. Auch praktisch ist es von sell': groBer Wichtigkeit, da das Vorhandensein eines Wendepunktes im-

Ge-schwindigkeitsprofil unmittelbar mit dem

Druck-gradienten der StrOmung zusammenhan-gt. Bei der KanalstrOmung, Bild 7a, hat man im konvergenten

Kanal mit Druckabfall- sehr vollige

Geschwindig-keitsprofile _ohne Wendepunkt, dagegen im diver-genten Kanal mit Druckanstieg spitze

Geschwindig-keitsprofile mit Wendepunkt. Die gleichen

Form-unterschiede der Geschwindigkeits profile. hat ,man

aber auch in der laminaren Grenzschicht an einem

umstromten Korper, Bild 7b. Nach der Grenzschicht-theorie hat man im Druckalifallgebiet immer vollige

Geschwindigkeitsprofile (ohne. Wendepunkt) und

somit Stabilitat,

dagegen- im Druckanstieggebiet

immer Geschwindigkeitsprofile mit Wendeptinkt

und deshalb Instabilitat. Das Wendepunktkriterium

koneeried divergent

Oruckatibt Druckaneieg

daickablie Druck/WV

Bild 7. Geschwindigkeitsverteilung im Haim' a und in

. , der Grenzschicht b.

W Wendepunkt des. Geschwindigkeitsprofils

ist somit gleichbedeutend mit dem EinfhiB des

Druck-gradienten der AtiBenstromung auf die Stabilitat der.

-Grenzschicht: Drucka-bfall wirkt

stabilisie-rend, Druckanstieg instabilisierend. Der

Ilmschlagspiinkt

liegt

also

in

erster

grober Naherung irn Diuckminimum.

Auf diesem grundlegenden Satz der

Stabilitats-theorie beruht die Existenz der Laminarprofile, fiber

die schoii in Abschnitt II, c bericbtet wurde. Der

hier noch vernachlassigte EinfluB der Zahigkeit

andert nur wenig an dem Ergebnis.'

°) Da dieser Satz aus der reibungslosen

SiOrungsdifferential-gleichung hergeleitet ist, gilt er nur ffir sehr groBe

Reynolds-Zahlen. Bei kleineren Re-Zahlen tritt durch den starkeren EinfluB

der Zitbigkeit eine groBere Dlimpfung em, so dal3 hier u. U. solche Geschwindigkeitsprofile doch stabil sein kfinnen.

. Bei den weiteren theoretischen Untersuchungen

nach Rayleigh besclutnkte man sich zunachst

aus-schlieBlich auf die Couettestromung, d. i die

lineare Geschwindigkeitsverteilung zwischen zwei

parallelen ebenen Wanden6). Die sehr ausfiihrliche

Disktission mit voller Berticksichtigung der-Zahigkeit durch A. ',§ommerfeld [6], R. v. Mises [7] und L. Hopf

[8] ergab Stabilitat fiir

alle -Re-Zahlen und ,alle Storurigswellenlangen. Nach diesem. negativen

Er-gebnis man eine. Zeitlang die Methode der

klehien Schwingungen far ungeeignet zur Losung des Turbulenzproblems. Doch erwies sich diese Ansicht als unberechtigt, da die Couettestromung em allzu spezielles Beispiel und die Kriimmung des

Geschwin-digkeitsprofils, sO wesentlich 1st, daB man sie nicht vernachlassigen darf.

e) Neuere Stabilitatsuntersuchungen,

-,Plattengrenzsehieht

Im Jahre 1921 griff dann L. Prandll [9] dis

Stabi-litatsproblem wieder auf. Urn die Stabilitat einer

laminaren. Grenzschicht langs einer ebenen Wand zu behandeln, wurde ebenso vvie bei Lord Rayleigh aus

Urn "MIN MEI IOW Mr . k.

. er8

r

. , h ; 1 BEI . Oeschpfiii*ke U

BM 8.. Zur Stabilitatsuntersuchung der

Laminar-, strOmung.

W Wendepunkt des Geschwindigkeitsprofils, d Grenzschichtdicke; 6' V erdrangungsdicke der Grenzschicht

Profile vom Typus a, 6, e, f sind filr Re ---). m stabil Profile vom Typus c, d, g instabil

Profile vom Typus e liegen vor bei Druckabfall, f bei Gleichdruck und g bei Druckanstieg.

GrUnden der mathematischen Einfachheit mit

Ge-schwindigkeitsprofilen gearbeitet, die aus Geraden-stiicken bestehen, Bild 8a bis d. Eine von 0. Tiellens

[10] auf Grund der reibungslosen

Sthrungsdifferential-gleichung durthgefiihrte Rechnung ergab, daB auch Reibungsschichten mit lauter konvexen ECken, Bild

8a, 13, Stabilitat ergeben, wahrend einspringende

Ecken, Bild 8c, d, immer Instabilitat ergeben. Damit lag die Vermntung nahe,'daB Grenzschichtprofile mit Wendepunkt instabil sind, was-dann wie schon

er-wahnt von W. Tollmien spater bewiesen wurde [11].

Urn fiir Profile vom instabilen Typus, Bild Sc, d, eine durch die Reynoldssche Zahl gegebene Stabili-tatsgrenze zu erhalten, beriicksichtigte Tieljens jetzt auch die grOBten Reibungsglieder in der StOrUngs-differentialgleichung. Man erwartete von der Zahig-keit, naturgemaB eine Dampfung, erhielt jedoch das

ganz unerwartete Ergebnis, daB sich infolge der

Zahigkeit nicht nur fiir Profile vom instahilen Typus,

') Sie entsteht, wenn sich die eine Wand relativ zur anderen in ihrer eigenen Ebene mit konstanter Geschwiedigkeit bewegt.

1949/50 H. Schlichting: tlber die Theorie 'der Turbulenzentstehung 71

Bild Sc,. d, keine Dampfung ergab, sondern daB sogar hei PrOfilen vom stabilen Typus, Bild 8a, b,

far alle Re-Zahlen, auf welche die Naherungsrech-nung anwendbar war, eine Anfachung auftrat. Diese instabilisierende Wirkung der Zahigkeit ist auf .einen

Energietransport von der Hauptbewegung auf die

Nebenbewegung zurackzuffihren. Das eigentliche

Ziel der Stabilitatsrechnung, die Ermittlung der

kritischen Reynoldsschen Zahl,-war also immer noch

nicht erreicht. Bald darauf hatte die

Stabilitats-theorie, eine zweite Krise durchzumachen. F.

Noeiher [12] behauptete, den Beweis erbracht zu

haben, daB es bei stetigen

Geschwindigkeitsvertei-lungen aberhaupt keine

neutralen, Eigenschwin-gungen gibt, wenn man die Untersuchung asympto-tisch far groBe Re ausfiihrt, wie es bisher geschehen ,war. Trotz der abwegigen Kritik von N °ether wurden die Prandll-T ieljensschen Untersuchungen von W.

Tollmien [13]. weitergefuhrt. Tollmien zeigte, daB. es

weientlich ist, mit stetig gekrummten

Geschwindig-keitsprofilen (d2U/dy2 0) zu rechnen und

gleich-zeitig die graten Reibungsglieder in der

Storungs-differentialgleichung zti berilcksichtigen. Die Losung des Eigenwertproblems gestaltet sich in diesem Fall

besonders schwierig. Tollmien fahrte seine

Rech-nungen far_das Beispiel der Laminarstromung, langs

der ebenen Platte. (Blasiusprofil) durch. Dieses

Ge-n 1/..,

OHM Ke--p-- .

. ,

Bild 9: Indifferenzkurve der Grenzschicht an der

langs-angestrOmten ebenen Platte 'nach W. Tollinien [13];

Wellenlange der "StOrungen A = 2 4a. schwindigkeitsprofil, Bild 8f, hat 'keinen Wende-punkt im Innern; liegt aber beziiglich des Wend&

punktkriteriums gerade auf der Grenze zwischen den

Profilen ohne und 'mit Wendepunkt insofern, als

sein Wendepunkt an der Wand liegt. Nach dem

Wendepunktkriterium ist dieses Geschwindigkeits -profil far Re-* co stabil.: Die fur groBe, aber endliche

Re-Zahleh errechnete Instabilitat_ ist die oben

er-wahnte anfachende Wirkung der Zahigkeit. Das Er-,

gehnis der Tollmiensehen. Rechming ist in Bild 9

dargestellt, wo die Indifferenzkurve

= 0) in der

Re,m-Ebene autgetragen ist.

Al§ kritische Reynolds§che Zahl ergibt sich,

be-zogen auf die Verdrangungsdicke7) der Grenzschicht, der Wert' Reif = (U.(3* Iv)k = 575. Oberhalb dieser

') Die Verdrangungsdicke ist bestimmt durch

CO

_U m [ ELT U(y)) dy

ale gibt an, urn wieviel die AuBenstrOmung durch die Reibunwir-kung von der Wand abgedrangt wird. Es gilt far die

Plattengrenz-schicht .6 3ô, vgl. Bild 8h.

Grenze wird em n bestimmter Bereich von

StOrungs-wellenlangen ang'efacht, wahrend alle abrigen Wellen-langen gedampft sind. Oberhalb der kritischen

Re-Zahl findet also eine ,selektive Anf achung

ge-wisser Storungen statt. Die gefahrlichen" Wellen-langen "sind recht groB: Die kleinste gefahrliche

Wellenlange ist etwa .gleich der zehniachen

Grenz-schichtdicke. Die zu dem Punkt I auf dem unteren Zweig der Indifferenzkurve gehorige gestarte

wegung wurde bereits in Bild 6 angegeben. In Bild10 ist das. Ergebnis der Stabilitatsrechnung far die

ge-fahrlich en" Frequenzen fir und

Wellenfortpflanzungs-Geschwindigkeiten Cr dargestellt. Auch hier ist der Bereich der angefachten Schwingungen sehr schmal. Bei der Plattenstromung bleibt die Form des

Ge-schwindigkeithprofils langs der Platte - erhalten,

wahrend die Grenzschichtdicke mit dem Abstand von der Vorderkante langsam.- anwachst (6* = 1,73 Itv x/U.). Daher entspricht der auf die Verdian-gungsdicke ô bezogenen errechneten kritischen

Re-Zahl (U.(3* Iv)k = 575 eine auf die Lauflange

bezogene kritische Re-Zahl von (U.xlv)k = 1,1.105.

Sie ist kleiner als die beobachtete, die: oben mit

3,6 105 angegeben wurde. Dies, mufl aber auch

er-wartet werden; denn die von der Theorie aufgezeigten

instabilen lang,welligen Schwingungen bedeuten noch

nicht die eigentliclie Turbulenz. Die Vorstellung ist vielmehr die, daB sich aus diesen instabilen Wellen

durch den Anfachungsvorgang erst die eigentliche

turbulente Stromung entwickelt. Der experimentelle

Um schlagspunkt ist deshalb immer stromabwarts

vom theoretischen Instabilitatspunkt zu

erwar-BiM 10. Iridifferenzkurven der Grenzschicht an der langsangestrOmten ebenen Platte; Kreisfrequenz fir

und Wellenfortpflanzungs-Geschwindigkeit Ci% ten. DaB in der .Tat solche langwelligen Storungen, wie

Sie die Theorie voraussagt, beim Umschlag im Spiel

sind,' erkennt man aus der Stromungs.aufnahnie, Bild 11, welche deh Beginn der Turbulenz bei der

Plattengrenischicht zeig-t. Die Ahnlichkeit dieser Aufnahme mit dem theoretischen Stromlinienbild einer neutialen Schwingung, Bild 6, ist unverkennhar.

Wahrend Tollmien sich lediglich auf die Ausrech-nung der Storungsparameter der neutralen StUrung.en beSchrankte, ist in zwei Arbeiten von H. Schlichting

[14; 15] daraber hinaus - einmal fiir die instabilen

Storungen die

droBe der Anfachung berechnet

worden und ferner fiir einige neutrale StOrungen auch

die Verteilung der Amplitude der Sthrungsbewegung

(Eigenfunktion y9 (y)), Bild 16, sowie die Energiebilanz

0,45 ass. ass gas as aro aos I,? a.

AM"

.

I

116

euhv 11

. - ON

stabil

RI

unload, mg , IF-Rek,, 575

i

,

, ,

.,

,22 5 412 2

5' 2

5 05 Z Se *lkirs,

linwtot

lakneufra/

ca

iiiiiui

_{WW2 .,,'"}

4-5747/112121111:1:mill,

WiEll110111109.

-"minswimisr

ais as as firelif° 1(2° a

.72 H. Schlichting, Uber die TheOrie der Turbulenzentstehung Forschung 16. Bd./Heft 3

-Bild 11. PlattenstrOmung: Entstehung der Tutbulenz aus einer anfangs langwelligen Stbrung.

[Aus L. Prandll, Neuere Ergebnisse der Turbulenzforschung. Z.

VDI Bd. 77 (1933) S. _{105.] Das Aufnahmegerat, em n langsam}

arbeitender Kinoapparat, fahrkauf einem Wagen mit der StrOmung mit, so daB dauernd dieselbe Wirbelgruppe im Gesichtsfeld bleibt.

Die StrOmung ist durch Aufstreuen von Aluminiumstaub auf die

Wasseroberfliiche .sichtbar gemacht.

(Obertragung von Energie von der Grundstrdmung

auf die Storungsbewegung und Dissipation der Energie

der Storungsbewegung).- Auf diese Weise ergab sich

em n we,sentlich tieferer Einblick in den Mechanismus

der instabilen ,und neutralen Schwingungen.

IV. Experimentelle Nitehprfifung der Theorie

Mit diesen an sich recht befriedigenden theoreti-.

schen Ergebnissen konnte aber das Umichlagspro-blem noeh keineswegs als geklart gelten. Es zeigte

sich-namlich, daB die bald danach zuerst in

Deutsch-land [16] und spater mit sehr viel grOBerern Aufwand

in den Vereinig-ten Staaten von Amerika von IL L.

Dryden [17] ausgefiihrten experimentellen

Unter-suchungen zUr Nackprtifung der -Theorie zundchst

keinerlei Bestatigung bar den von der Theorie vor-ausgesagten Mechanismus des' Umschlages zu

er-bringen vermochten. Insbesondere konnte zun'achst

troti vieler l3emaungen das Vorhandensein von

neutralen oder angefachten Schwingungen von " dein

von der Tallmicnschen Theorie vorausgesagten Typus

nicht nachgewiesen werden..- Die Versuch6 ergaben yielmehr, (fa der Umschlag mal3geblich ablidngt von den ztifalfigen StOrungen der -AuBenstromung. Ein Mag. ffir .die StorungsgroBe der AuBenstromung ist

der sogenannte Turbulenzgra d

-T=

+ 172 + w'2)/ co.,. 3

. .

worm n hier u', die unregelm'aBigen turbulenten .

Schwankungsgeschwindigkeiten bedeuten und der

Querstrich ' die zeitliche Mittelwertbildung anzeigt.

Dieser Turbillenzgrad .betragt in normalen Wind-kangen etwa 1%. Aus .diesen alteren Versuchen bildete sick damals die Ansicht, dal3 die endlich

groBen Stprungen der AuBenstromung; wie sie im

Turbulenzgrad 'zum Ausdruck kommen, den Urn-schlag herbeifiihren, '.daB aber gegentiber den

infinite-Simalensinusf6rmigen St6rungen, wie sie die

Stabili-tatstheorie zugrunde legt,

die LaminarstrOmung

stabil sei. Daraufhin wurde die .Theorie mehrfach

stark angezweifelt.

-Angeregt durch Fragestellungen, die mit den von der Flugtechnik entwickelten Lanfinarprofilen

zu-sammenhangeti, hat dann wahrend des

Krieges H. L. Dryden [18] mit semen Mitarbeitern G. B. Schubauer und H. K. Skramslad [19] im National ' Bureau of Standards, Wa§hington, die

experimen-telle Nachprdfung der Theorie nochmals .niit erheb-lich verfeinerten Mittelnin Angriff genommen Dabei wurden schlieBlich Ergebnisse erhalten, die nun die theoretischen Voraussagen his in die letzten Einzel-heiten bestatigt haben. Gleichieitig wurde'dabei auch

aufgeklart, warum die

frilheren experimentellen Untersuchungen nicht das erwartete Ergebnis

bringen konnten,

. _

Aus der fraheren irrttimlichen Annahme, daB in

jedem Fall der Turbulenzgrad- .der AuBenstromung den. Umschlag herbeiftihrt, wurde folgen, daB man

bei immer weiterer Verringerung des Turbulenz- .

.grades die .kritische .Re-Zahl beliehig weit hinauf-treiben kOnnte. Um diese uberlegung nachzuprilfen, wiederholten Schubauer und Skramsfad die fruheren

Messungen des Umschlages' in der

Plattengrenz-schicht in einem- Windkanal mit auBerordentlich

ge-ringem Turbulenzgrad. Durch Einbau sehr vieler.

.

Siebe in der

Ddsenyorkammer des Windkanals

wurde der Turbulenzgrad auf den ,bisher noah nicht eireichten Wert von T 0,02% herabgedriickt. Aus

Bild 12 ist zuerse.hen, daB zunachst nut abnehmendem

Turbulenzgrad die kritische Reynoldszahl der Platte

Rex k stetig zunimmt. enterhalb T 0,1%' bleibt

jedoch Rer k konstant niftrdem Wert von rd. 3. 106.

Der Turbulengrad T -7.= 0,10/0 kann soinit als eine Art

von kritischem Turbulenzpe.gel angesehen

werden. Wie die

Grenzschichtmessungen -weiter zeigten, ftifiren fur T.> 0,1% die timBeren Storungen

den Umschlag herbei, wahrend fur T < 0,1% clie infinitesimalen Storungen - in Ersc'heinung treten, welche die Theorie annimmt. Die weiteren IVIessungen

5 -I I lunidem. e Rsk iannar 40 as

4aD

0-rs f007:- fa"--(Tork/eizrodi

Mid 12. Die- kritische Reynoldssche Zahl der

Dings-angestrOmten ebenen Platte in Abhangigkeit vom

Turbulenzgrad, nach Messungen von Schub auer und

1949150 H. S c hl ich tin g: ilber die Theorie der Turbulenzentstehung 73 fn XS& 8Arr Zee 2,4,8 sec w 2, 90 1, 4k --44,1Afr---AA-vvaNywAfrikt ..11;er 417 ;98 2,4fg 4.s.7 EliEl : ' t (1,71,

t

' ." _4.trot ,1 4

BIM 13. Oszillogramm der u'-Schwankungen von zu-falligen (natfirlichen") StOrungen in der laminaren

Grenzschicht an einer in Luft langsangestrOmten

ebenen Platte, nach Messungen von G. B. Schubauer und H. K. Skrarnstad [19].

. AnstrOmungsgeschwindigkeit Um = 24 mis;

Wandabstand des Hitzdrahtes 0,57 mm; Turbulenzgrad T = 0,03%

wurden beim Turbulenzgrad T 0,03% ausgefiihrt.

Das Vorhandensein angefachter sinusformiger

Schwingungen als Vorstufe des Umschlages, wie es von der Theorie angenommen wird, konnte schonin

dem Fall von natilrlichen Stdrungen" (ohne

Er-regung) einwandfrei nachgewiesen werden. Bild 13 zeigt die oszillographischen Aufzeichnungen des zeit-lichen Verlaufes der Geschwindigkcitsschwankungeri

fiir verschiedene Abstlinde von der Plattenvorder-kante. Die von der Theorie angenommenen sinus-fOrmigen Schwingungen sind hier deutliCh zu

er-kennen. Die Amplitude wachst stromabwarts an, und

bei etwa Rex = 3. 106 tritt der Umschlag em. Urn

weitet die theoretischen Voraussagen fiber die selek-tive Anfachung gewisser Storungswellenthngen (oder Storungsfrequenzen) quantitativ nachzupriifen, wur-den auch ktinstliche" Storungen untersucht. Hierbei

wurde em n diinnes Metallband in der Grenzschicht zu Schwingungen angeregt, und weitei stromabwarts

wurde die Anfachung oder Diimpfung dieser Schwin-gungen beobachtet. Das Ergebnis ist in Bild 14 dar-. gestellt. Die gemessenen Frequenzen der neutralen

Schwingungen liegen sehr gut auf der theoretischen Indifferenzkurve. In Bild 15 ist derselbe Vergleich

far die Wellenfortpflanzungs-Geschwindigkeit der neutralen Storungen dargestellt; auch hier ist die

ebereinstimmung sehr gut.

Um noch einen tieferen Einblick in den

Mechanis-mus der Storungsbewegung zu erhalten, wurde filr

zwei neutrale Storungen die Verteilung dei u'-Ampli-tude iiber die Grenzschichtdicke gemessen, Bild 16.

Der Vergleich mit der Theorie von H. Schlichling [15] zeigt auch hierfiir sehr gute Obereinstimmung.

a

if

0 800 1600 1200

EtiES Re.V.-V- -.

BIM 15. Indifferenzkurven fur neutrale Wellenfort-pflanzungs-Gescbwindigkeiten in der laminaren

Rei-bungsschicht an der langsangestromten ebenen Platte. a theoretische Ergebnisse nach W. Tollmien, b Messungen von

G. B. Schubauer und H. K. Skramstad

Bild 16. Amplitu-denverteilung der

u'-Schwingung

Ober die Grenz-schichtbreite in

der laminaren

Rei-bungsschicht an der langsange-strOmten ebenen Platte. 0 800 1600 gag -14-1. V

Bild 14. Indifferenzkurve far neutrale StO-rungsfrequenzen in der laminaren

Reibungs-schicht an der langsangestrOmten ebenen

Platte.

a theoretische Ergebnisse inch W. Tonmien [13], b

Mes-sungen von G. B. Schubauer und H. K. Skramstad[191.

Die Punkte zeigen beobachtete neutrale Schwingungen.

ts as theoretische E1-77:4;e nach H. Schlichting [15], Messungen von B. Schubauer und K. Skrarnstad. Die

mit I und II

bezeich-neten Kurven gehoren zu den neutralen Schwingungen I und II nach Bild 9. -as 11,1E1 a as 2600

\WINN A

. r zA 00 I .., li I i 11, I t ?0 II . i1 1

t---t

b . NO p I t . , . A t \ 160

lah..

\

. 80

\

_ POO 3200

74 H. S e hli chting: tiber die- Theorie der. Tuibulenzentstehung Forschung 16. Bd./Heft 3

Im ganzen ergibt sicli aus diesen sehr sorgfaltigen

ilessungen eine so vollstandige Bestatigung der

Stabilitatsthebrie auf Grund der Methode der kleinen

Schwingungen, so daB nunmehr an der Gilltigkeit

dieser Theorie nicht mehr gezweifelt werden kann. Die Reynold§sche Vermutung, daB der UmSchlag laminar-turbulent auf eine Instabilitat der Laminar-stromung zuriickzuffihren ist, ist dami,t endgfiltig

bestatigt.

Nachdem these vorziigliche Bestatigung der Theorie durch die Messungen von G. B.. Schubauer und H. K.

Skramstad bereits bekannt, -War, sind von C. C. Lin [20] sowohl die StabilitItstheorie al§ auch die. von

W . Tollmien und H. Schlichling gerechneten

'Beispiele-einer Nachrechnung unterzogen worden. Dabei hat sich in alien wesentlichen Punkten tIbereinstirnmung

ergeben.

Pie bisher besprochenen Ergebnisse beziehen sich

samtlich anf. die Grenzschicht an der langsange-strOnaten ebenen Platte. Bei dieser ist dee

Druck-gradient, der AuBenstromung gleich null. Infolge der ausgezeichneten ebereinstimmung von Theorie und Messungen in diesem Wichtigen Fall darf die Theorie jetzt voiles Vertrauen beanspiuchen. Es verlohnt sich

deshalb, 'loch kurz darauf einzugehen, welche

Er-gebnisse die Theorie fill., den allgemeinen Fall der

Umstromung -eines, KOrpers" von beliebiger Form

liefert.

V. Der Umsehlag laminar-turbulent hei einem '

beliebig en Kiirper

.Wir'heschranken tin§ bei diesen Betrachtungen auf

Korper von zylindrischer Form, die senkrecht zu den

Erzeugenden angestrOint werden. Solche

Korper-formen hat man haherungsweise bei'Tragfliigeln und Turbinenschaufeln. Die Grenzschicht an der langS-angestromten Platte ist dadurch ausgezeichnet, daB Geschwindigkeitsprofile in Nerschiedenem

Ab-stand von der Vorderkante zueinander affin sind.

Sie haben samtlich die Form nach .Bild 8f und

konnen durch eine MaBstabsanderung in der Breiten-richtung miteinancier zur Deckung gebraeht werden. Diese Affinitat ist eine Folge des konstanten Druckes. Fiir den Umschlag bedeutet dies, daB die Stabilitats-grenze, ausgedruckt durCh die auf the

Grenzschicht-dicke bezogene kritische Re-Zahl, für alle Grenz-schichtprofile- in verschiedenem Abstand von der Vorderkante gleich 'gro8 ist, niimlich ( U.= a*:/v)k

= 575, nach der Theorie..

Bei einem beliebigen

Korper, wo der

Druck-gradient Mugs der Wand von Ort zu Ort verschieden ist, sind die Grenzschichtprofile an den verschiedenen ,Stellen nicht mehr zueinander affin. Im'Druckabfall-gebiet erhalt than Geschwindigkeitsprofile ohne

Wendepunkt vom Typus Bild 8e und im

Druck-anstieggebiet solche mit Wendepunkt vom Typus

Bild 8g. Die Eolge davon fst, daB ietzt filr die, em-,

zelnen Grenzschichtprofile an den Verschiedenen

Stellen langs der Wand die

Stabilitatsgrenzaus-gedriickt durch 'die init der Grenzschichtdicke

ge-bildete kritische Re-Zahl, verschieden ist, und xwar; im DruCkabfallgebiet hOher und im

Druckanstiegge-biet niedriger als der obige Wert Rek=(Um Piv)k=575 fur, die ebehe Platte. Um nun Rix. 7ejnen vorgelegten

- / X

L/1.7

Korper die Lage des Umschlagspunktes

(Instabilit'ats-punkte) zu errechneh, hat man folgende Rechnungen

nacheinander auszufaren : 1. Druckverteilung langs 'der Korperkontur in reibungsloser- Stromung, 2. aus

der Driickverteilung Ermittlung der laininaren

Grenzschicht, 3. Stabilitatsrechnung fUF die einzel-nen Grenzschichtprofile.

Die Berechnung der Druck verteilun g beibeliebiger

KOrperform kann z. B. nach T. Theodorsen. upd

J. E. Garrick [21] ode'r nach F. Biegels [22] in

be-quemer Weise geschehen.

Fin. die Berechnung der laminaren

Grenz-schicht ist em n bequemes Rechenverfahren von, K Pohlhausen [23] angegeben worden, dos von H. Hol-stein und T. Bohlen [24] Vereinfacht wurde. Ei ergibt sich dabei, daB die Form der laminaren

Grenzschicht-profile von .dern dimensionslosen Formparameter

A 62 d

.

..

.. (8)

v d x

ahhangt, der Werte zwischen +7,05 (Staupunkt) und

12 (Ablosungspunkt) annimmt. Dabei ist_ dUm/dx

der Geschwindigkectsgradient der AuBenstromung. Irn Druckabfallgebiet (beschleunigte StrOmung) ist A 0, mm Druckanstieggebiet (verzOgerte

Ste,-mung). ist A <0. Der Fall A -= 0 eiatspricht dem

Fall der ebenen Platte mit konstantem AuBendruck. Die von H. Schlichting und .A.Ulrich [25; 26]

aus-gefiihrte Stab

t kts r e c hnuhg für diese

Grenz-schichtprofile, Bild 17, zeigt die zu erwartende starke Abhangigkeit der kritischen Re-Zahl von dem

Form-parameter A und damit vom Diuckgradienten.

Un-abhangig .davon wurden ahnliche Rechnungen auch

von J. Pretsch [27] ausgeilihrt. Entsprecheaa dem

cctr-Oz

-V-9 V9 ouzo'

-Re

Bild 17. Indifferenzkurven for laminare Grenzschi.

cht-profile bei Druckabfall (A >0) und DruCkanstieg

(A <0) nach H. Schlichling und A. Ulrich [261

A = Formparameter des Geschwindigkeitsprofils. nach .G1. (8).

Die Kurve it = 0 entspricht der langsangestrOmten ebentn Platte

'(Druckgradient gleich null); sie let identisch nut BIM 9

A

gi

.1to

1E'..._"- ag

.. g A-0 V% er

.. II

.

Vial

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KM

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Pld Ka LW as to 8 as to 0 as to

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1111 It1411!

011111kIll

111,15121,

i...-, , , _.

el

-2 -3 0 C" lomitarek/o:rung to to agar- 7 7 5 -logRe. s hgRe-. e 4z1:

Rayleigh-Tollmienschen Wendepunktkriterium er-geben die Geschwindigkeitspiofile mit Wendepunkt,

(im Druckanstieggebiet, A < 0) dine IndifferenzkUrve, die auch bei Re>co einen endlich groBen Be -reich von angefachten Wellenlangen aufweist und 6.berdies eine niedrige Irritische Re-Zahl besitzt, wahrend ffir die Geschwindigkeitsprofile ohne Wend

e-punkt (im Druckabfallgebiet, A> 0) bei Re--->co der

Bereich der instabilen Wellenlangen auf null zu-Sammenschrumpft. Auch 1st, ffir diese die kritisehe Re-Zahl wesentlich hOher. _ .

Mit dieser em n ffir allemal ausgefiihrten Stabllitats, rechnung laBt sich nun die Vage des theoretischen Umschlagspunktes (Instabilitatspunktes) flu einen vorgelegten K6rper verhaltnismaBig einfach

aus-fiihren. Seine Lage ist dabei noch abhangig von

der Reynoldsschen Zahl des vorgelegten .KOrpers Re = U1/v. In Bild 18 ist dIs Ergebnis für em n

syinme-trisches Tragflugelprofil bei verschiedenen Auftriebs-beiwerten angegeben. Fur symmetrische Anstromung .(ca = 0) liegt das Druckminimum bei x11 = 0,15.

Mit zunehmendem Anstellwinkel riickt das

Druck-minimum auf der Saugseite nach vorn und auf der Druckseite nach hinten, Bild 18a. Die gleiche

Wande-rung mit dem AnstelIwinkel zeigt die Lage des

Urn-schlagspunktes, Bild 18b. in einer Zeichnung des

Fliigels läl3tsich an jedem. Punkt des Profilumrisses die diesem Punkt als Stabilitatsgrenze zukommende kritische

Re.Zahl der Anstromung,

U.11v, an-khreiben, Bild 18b. Man erkennt hieraus, daB der

Umschlagspunkt (Instabilitatspunkt)fiir.die praktisch

Wichtigen Re-Zahlen zwischen U,o; Ilv 106 Mid 107

nahe beim Druckminimum M liegt. Mit wachsender Re-Zahl riickt er auf beiden Seiten de S tragflfigel-profils etwas naCh vorn. Mit Wachsendem

Anstell-winkel ruckt der Umschlagspunkt auf der

Druck-Seite nach hinten,: auf der. Saugseite nach

Als praktische Regel kann man hieraus ableiten, daB' der Umschlagspunkt bei niittleren

Reynolds-Zahlen naherungsweise im Druckminimum liegt.

AuBenstromung auf die

Lage des Umschlagspunk-tes bildet die physikalische Grundlage fiir die in

neu-ester Zeit von seit.en der

Flugtechnik

entwickelten-0.-40

Laminarprofile [28 i29;

30; 31] mit sehr geringem Formwiderstand, der durclilange laminare

Lauf-.

strecken erreicht wird. Wie schon in Abschnitt

II c angegeben, muB man bei den

Laminarpro-filen eine solche Form miahlen, bei der das

Druck-minimum weit hinten liegt.. Dazu wird die Stelle der groBten Dicke gegentiber. normalen Profilen nach hinten v,erlegt. Eine Zusammenstellung von Widerstandsbeiwerten von Laminarprofilen nach einem amerikanischen Profilkatalog [31] zeigt Bild 19.

Die Widerstandsersparnisse durch diesen

Laminar-effekt" betragen im Re-Zahl-Bereich -Re = 2. 106 his 3. 107 etw-a 30 his 50% des VViderstancles normaler

Profile. Filr sehr groBe Re-Zahlen, etwa Re.> 5. 107,

geht allerdings der Laminareffekt verloren, da hier der Umschlagspunkt stark nach vorn, weit vor das Druckminimum, riickt. Auch- diese Tatsache wird

durch die Stabilifatstheorie zwanglos erklart.

In der Flugtechnik sind die Laminarprofile mit

gutem Erfolg a'ngewendet worden. Auch bei hohen

Machschen Zahlen (unter 1) verhalten sich die

Laminarprofile gunstiger als-normale Profile. Es muB jedoch 'erwahnt 'werden, dB einige Umstande. die

praktische VerwendUng der Laminarprofile betrachi-lich erschweren. Dies iSt -einrnal der sehr hohe. An-spruch, der an die Oberflachenglatte gestellt werden muB, damit nicht durch Rauhigkeit em n vorzeitiger Umschlag heibeigefuhrt wird. Andeierseits mull der Zustrom sehr storungsfrei sein (geringer

Turbulenz-grad). Die letztere Forderung entfallt beim freien Flug, da der far die Vorgange in der Grenzschicht wirksame

Turbulenzgrad der Atmosphare immer sehr gering ist.

Die Anwendung von Laminarprofilen bei

StrO-mungsmaschinen 1st em Problem, dessen. nahere

Untersuchung dem Verfasser sehr reizvoll erscheint.

Besonders die Turbine scheint fiir die Anwendung

von Laminarprofilen grundsatzlich geeignet zu sein,.

da der Druckabfall im Schaufelgitter der Turbine

den Erfordernissen des Laminarprofils sehr

entgegen-kommt. Dabei sin& in Hochdnick-Da.mpfturbinen

die Reynoldszahlen so gra (Re = 106 bis 107), daB

durch Laminarhaltung der Reibungsschicht die'

StrOmungsverluste erheblich vermin d ert werden.

kOn-Slid 18. Lage des

theorea-schen Umsclilagspunktes

(Instabilitatspunktes) frir

em n Tragflugelprofil nach

H. Schlichting und A. Ulrich [26]. .

Symmetrisches Jotkowsky-Profil

der relativeu Dicke = 0,15;

a Druck-verteilung, b Lage des

In-stabilitatspunktes, St Staupunkt; M Druckminimumi A laminarer Ablosungspunkt, D Druckseite,

u,1

S Saugseite, Re =

.D.er hiermit aufgezeigte maBgebliche EinfluB der

DrUckverteilung der

1949/50 H. Schlichting: Ober die Theorie der Turbulenzentstehung 75

2

2

1

nen. Beim Kompressor dagegen diirfte infolge des

Druckanstiegs 'irn Gitter durch Laminarprofile nichts zu. gewinnen sein,' da dieser keine langen laminaren Laufstrecken gestattet.

Eine wichtige Frage bei mehrstufigen Stromungs-maschinen ist, oh trotz der von den vorderen Stufen herrIhrenden Sttirungen .der Stromung in den naCh-folgenden Stufen laminare ReibungsschiChten auf-. rechterhalten werden konnen. Ein erSter VorstoB in

dieser Richtung ist in der kiirzlich aus dem Institut

von Prof. Ackerelhervorgegangenen Arbeit von W. T. Sawyer [45] unternommen worden. Die eingehende experimentelle Untersuchung der .Stromung in einem Besehleunigungsgitter mit Laminarprofilen' bei

ver-schieden groBem Turbulenzgrad ,der Zustromung

ergab, daB auch bei starker. Turbilienz °der Zustro-mung infolge der ganstigen Druckverteilung an der

1.

Schaufel der laminare Stromfingszustand in der

Gr_enzschicht aufreChterhalten werden kan.n. Die _dabei gemessenen ,Stufenwirkungsgrade mit 97 his '98% (bezogen auf Energieverlust) sind sehr 'grinstig.

Allerdings sind die.'Beynoldsschen. Zahlen dieser Untersuchungen mit lie = 2 105 maximal ziemlich -klein. Oh diese Ergebnisse auch filr.hohere Re-Zahlen. bestehen bleiben, und oh auch die

Schaufelober-flachen gentigend glatt gemacht werden'keinnen, be-darf noch der riaheren Untersuchung.

VI. Anwendung der Stabilitiltstheorie

auf Sonderfiille

Die Stabilitatstheorie -der Laminarstromung ist

iiber die bisher besprochenen Fälle hinauS noch auf eine Rae von weiteren Strpmungen erfolgreich an-gewendet worden. Hieraber mogen zum SchluB noch eihige Andeutungen gemacht vierden:

3 4 5 Af4CA 0012 5712 4415 _ars 8378 1824 a 10 0,51 NACA es - 009 0 662 - 27:5 88f2151-2f6. 857-978 0 '642-v-420

17,451---

411101:11=---- a 1 ;

1 1 4 5 8 715for. f,5 1 3 4, 5 5 75rfor 41 1 U l _{441 --;} ELS2

R8--

=---"-°, , D

BIM 19. Widerstandsbeiwerte von Laminarprofilen in Abhangigkeit von der Reynoldsschen Zahl.

cwp=ly1Fq; (W- Widerstand, F GrundriBildche, q Staudruck) ,,norrnale" Profile aus NACA-Rep. 586; Laininarprofile. aus NACA-Rep. 824;

LB 24 japarusches Laminarprofil ,aus [30]. a Ebene Platte bei lanunarer Grenzschicht; -b be, turbulenter Grenzsctucht; c Ebene Platte,

- .

. Vbergang laminar-turbulent- .

,

Absaugung: Der Gedanke, durch Absaugung

der Reibungsschicht den Widerstand eines Korpers

zu verringern, ist schon 1904 von Prandll in seiner grundlegenden Grenzschichtarbeit angegehen worden.

-Dabei handelte es sich zunachst immer um die Ver;

meidung der Ablasung. und' damit urn die

Ver-minderung -des Druckwiderstandes. Neuerdings ist

zuerst von Ackerei [32] experimentell gezeigt worden,

.daB sich auch durch Absaugung die Reibungsschicht laminar halt-en Mt. Die Laniniarhaltung durch Ab-, saugung beruht einmal daraufAb-, daB hierbei die Grenz-schichtdicke klein wird, zum anderen aber auch, wie

die Stabilitatstheorie [33] gezeigt hat, wesentlich

darauf, daB die laminaren Geschwindigkeitspiofile

mit Absaugung eine wesentlich hohere kritische

Ree-Zahl besitzen als diejenigen ohne Absaugung. Die

durch Laminarhaltung mit Absaugung zu erreichen-den Widerstandsersparnissp sind sehr erheblich, wie man_aus Bild 4 ersieht, wo die Widerstandskurve

die langsangestromte Platte 'mit Absaugung nach

theoretischen Rechnungen [34] mit eingetragen

Durch experimentelle Untersuchungen an

Trag-iflugeln mit Absaugung [35] werden diese Ergebnisse

bestatigt.

Fliehkraft: Besondere Eischeinungen treten beini. Umschlag laminar-turbulent auf, wenn der

StrOmung aUBere Krafte aUfgepragt sind, wie z.

, die Fliehkraft bei Striimungen Mugs gekrtimmter

Wande.. So tritt bei der Stromung zwischen zwei

konzentrischen rotierenden Zylindern, von denen der

auBete umlauft und der imiere ruht, eirie .starke

Stabilisierung (Erhohung der -kritischen

auf [36], da sich hierbei die achnelleren

FliisSigkeits-teile mit der groBeren Zentrifugalkraft auBen, da-gegen die langsameren mit. der geringeren Zentri-fugalkraft innen befinden. Dies kommt einer stark

,

\

\

111111/1/4"CA :9 IIRAN 11111111112111M

iiiiiIMEMIll

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111

141

-

76 H. Schlic h tin g: Uber die Theorie der TUrbulenzentstehung Forschung 16. Bd. /Heft 3

7

s

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stabilen Schichtung gleich, da sich .die auf3eren Teile einem Transport nach, Innen widersetzen und urn-gekehrt. Dagegen bei stillstehendem auBeren -und umlaufendem inneren Zylinder tritt eine starke

In-stabilisierimg auf. Hierbei bilden sich zwischen den - Zylindern regelmaBige Sekundarstromthigen aus in

Forth von zellularen Wirbeln. mit Achsen in der

Umfangsriehtung, die 'von G. J. Taylor [37] schon

sehr friihzeitig in glanzender Obereinstimmung von

Theorie und Experiment untersucht worden sind. Diese

Art von Instabilitat, die man als stehende Wellen be-zeichnen kann, ist in ihrem Charakter,grundsatzlich verschieden. von den fortlaufenden Tollmien-Wellen

nach Bild 6: Solche Instabilitaten treten nach H.

GO'rller

[38]. auch in

der Reibungsschicht langS

ruhender konkaver Wande. auf. Die Storungswirbel

'haben die in Bild 20 dargestellte Form, wobei die

Wirbelachsen parallel zur Grundstromung sind.

Mes-sungen von H. W. Liepmann [39] haben das Auf-treten dieser Art von Instabilitat sehr gut bestatigt.

Bild 26. Storungswirbel von dreidimensionalen

StO-rungen in der StrOmung an einer konkaven Wand nach H. Gortler [38].

3. DichteSchichtung: In gewisser Weise

ver-wandt mit dem EinfluB der Zentrifugalkrafte bei der Stromting einer homogenen Fliissigkeit langs einer

gekriimmten Wand ist die Stromung langs einer

ebenen horizontalen Wand mit Dichteunterschieden

in der vertikalen Richtung. Dieser Effekt spielt bei verschiedenen meteorologischen Vorgangen eine

_ga-wisse Rolle, z. B. bei dem abends zu beobachtenden

Einschlafen" des .Windes infolge Abkiihlung der

bodennahen Luftschichten, sowie auch beim Stromen von Salzivasser Ober StiBwasser ohne wesentliche .Vermischung (Kattegat). Die Laminarstromung langs einer horizontalen ebenen Wand mit einem

Dichte-gradienten senkrecht zur Wand ist von H. Schlich-ling

[40]. nach der

Stabilitatstheorie untersueht worden, wobei sich vollstandige ubereinstirnmung mit Messungen ergab. Auch die Vorgange an den

Grenzflachen zweier verschiedener Fliissigkeiten wie

das Entstehen von Wasser_wellen durch Wind, konnen._

durch die Stahilitatstheorie geklart werden [41].

4. Mac

a hl: In einigen neueren

amerikani-schen Arbeiten [42; 43] wurde die Stabilitatstheorie

auch auf kompressible laminare

GrenzschiChten (Unterschall) ausgedefint. Dabei hat sich ergeben,

daB einmal der Warmedbergang zwischen Wand 'und Fliissigkeit 'die Stabilitat wesentlich 'b.eeinfluBt. Warmeabergang von der Fliissigkeit, auf die Wand wirkt stabilisierend, dagegen von der Wand auf die Fliissigkeit instabilisierend [44]. 1st andererseits kein Warmeabergang vorhanden (Therrnometerproblem),

so ,tritt mit wachsender Machscher Zahl eine

Er-niedrigung der kritisChen Reynoldsschen Zahl em.

VII. Zusammenfassung

'Die vorstehenden Betrachtungen zeigen, daB das Problem der Turbulenzentitehung als grundsatzlich geklart gelten kann. Es ist sicher, daB der Urnschlag laminar-turbulent em n StabilitalspirOblem im Sinne

der Reynoldsschen Vermutung -ist. In v011iger Ober-einstimmung vori Theorie und Experiment ergibt

sich, daB oberhalb einer gewissen Re-Zahl eine

seek-tive Anfachung you kleinen sinusfOrmigen Storungen stattfindet. Solche StOrungen kiinnen von der

AuBen-stromung, von Wandraphigkeit oder auch von Schall-.

schwingurigen- herrtihren.

Die bisherigen theoretischen Ergebnisse und auch' die meisten Versuche beziehen sich auf das Umstro-s

murtgsproblem eines Ktirpers. Hierbei hangt die Lage

des Umschlagspunktes auBer von der Re-Zahl staik

ab vom Druckgradienten der AuBenstromung und

darnit von der Form des umstromten Korpers.

Druck-alfaIl wirkt stabilisierend, Druckanstieg

sierend. Far die

praktisch, wichtigen - Re-Zahlbn zwischen 106 und 107 liegt der Umschlagspunkt nahe beim Druckminimum. Hieraus ergibt sich die M8g-. lichkeit, Korperformen mit sehr geringem Reibungs-widerstand dadurch zu erhalten, daB man das Druck-minimum moglichst weit nach hinten verlegt. Dies 'ergibt

Profilformen mit graer

Digkenriicklage. Praktische Arthendung haben diese Erkenntnisse bisher in der Flugtechnik gefunden bei der

Kon-struktion der widerstandsarmen Laminarprofile. Auch fiir eine groBe Anzahl von Sonderfallen (Ab-saugung, Zentrifugalkrafte, Dichteschichtung, Koni-pressibilitatseinfluB) ist die Stabilitatstheorie erfolg-reich angewendet worden.

.Schrifttum

[i] L. Prandtl: The mechanics of viscous fluids. In: W. F.' Durand: Aerodynamic Theory, Bd. III.

Berlin 1935.

0. Reynolds: Phil.Trans.Roy. §oc. Lond. Bd. 174 (1883) S. 935 oder Collected Papers, Bd. II, S. 51.

Lord Rayleigh: Scientific Papers, Bd. I (1880) S. 474; Bd. III (1887) S. 17; Bd. IV (1895) S. 203; Bd. VI (1913) S. 197. ' - .

L. Prandil: Ober den Luftwiderstand von

kugeln. Gottinger Nachrichten 1914, S. 177/190.

0. Reynolds: On the dynamical theory of

incompressible viscous fluids and the determination of the criterion. Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. (1895);

or Scientific Papers Bd. II, S. 535.

[6]_ A. Sommerfeld: Atti d. IV. Congr. mt. Mathem. Rom 1909.

R. v. Mises: Heinrich Weber, Festschrift 1912;

Jahresbericht der deutsch. Mathem. Vereinigung 1912.

L. Hop/: Der Verlauf kleiner Schwingungen in einer Stromung reibender Fliissigkeit. Ann. d. Phys.

Bd. 44 (1914) S. 1 und: Zur theorie der Turbulenz.

Ann. d. Phys. Bd. 59 (1919) S. 538.

L. Prandll: Bemerkungen iiber die Entstehung der Turbulenz. Z. angew. Math. Mech. Bd. 1 (1921) S. 431. und Phys. Z. Bd. 23 (1922) S. 19.

0. Tielf ens: Beitrage zur Entstehung der

Tur-bulenz. Diss. Gottingen 1922 und Z. angew. Math.

Mech. Bd. 5 (1925) S. 200.

-W. Tollmien: Ein allgemeines Kriterium der Instabilitat laminarer Geschwindigkeitsverteilungen.

Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math. Phys. Klasse,

Fachgruppe I. Bd. I. (1935) S. 79.