SAMENVATTING
In dit proefschrift wordt een algemene oplossingsmethode voor een bepaalde klasse van problemen uit de twee-dimensionale elastid-teitstheorie aangegeven. Het betreft hier problemen die als gemeen-schappelijk kenmerk hebben dat het elastische lichaam de vorm heeft van een beneden-halfvlak met een iets gewijzigde bovenrand, waarop als belasting uitsluitend het eigen gewicht van het materiaal werkt. Deze klasse van problemen omvat onder meer het probleem van een dijk, bestaande uit elastisch materiaal, gebouwd op een elastisch halfvlak, en ook de problemen van een ontgraving of een ontgronding in een lichaam dat oorspronkelijk een halfvlak innam.
Na een beschrijving van het algemene probleem in hoofdstuk 2,
en de wiskundige formulering ervan in hoofdstuk 3, wordt in de hoofdstukken 4 en 5 de eigenlijke oplossingsmethode behandeld. Deze valt uiteen in twee gedeelten. In de eerste plaats wordt in hoofdstuk 4 beschreven hoe de conforme afbeelding van het gebied, ingenomen door het elastische lichaam, op het inwendige van de eenheidsdrkel in standaardvorm kan worden gebracht. Deze stan-daardvorm bestaat uit een singulier gedeelte, dat er voor zorgt dat op het oneindige het gebied een halfvlak benadert, en een regulier gedeelte, dat geschreven kan worden in de vorm van een reeks van Taylor. Bewezen wordt dat deze Taylor-reeks in het algemeen con-vergeert, niet alleen binnen, maar ook op de eenheidsdrkel, mits keerpunten in de contour worden uitgesloten. Ook wordt aangegeven hoe de coefficienten van de termen uit de Taylor-reeks kunnen worden berekend. Daarbij wordt gebruik gemaakt van een methode van Pilon voor de numerieke berekening van trigonometrische integralen. Van de Taylor-reeks worden vervolgens alleen de eerste n termeo in aanmerking genomen. Dit betekent dat niet het oorspronkelijke probleem wordt Opgelost, maar een probleem met een iets afwijkende vorm van de rand. Door voldoende termen van de Taylor-reeks in aanmerking te nemen kan de afwijking kleiner gemaakt worden dan elke willekeurig kleine maat. Afgezien van deze benadering van de rand is de oplossingsmethode exact.
De oplossing van het randvoorwaarde-probleem wordt, in een algemene vorm, gegeven in hoofdstuk 5. Deze oplossing wijkt alleen af van de bekende technieken (zoals ontwikkeld door Muskhelishvili) doordat de afbeeldingsfunctie een singulariteit, namelijk een pool van
de eerste orde, heeft op de rand van de eenheidsdrkel. Dit leidt tot enige complicaties, maar verhindert niet dat een algemene oplossing kan worden gegeven. Uitwerking van de oplossing voor een spedfiek geval vereist alleen algebraIsche bewerkingen. Daarbij is de meest gecompliceerde bewerking het oplossen van een stelsel van 2 n
lineaire vergelijkingen met 2 n onbekenden (n is het aantal termen
van de afgebroken reeks van Taylor). In hoofdstuk 6 zijn de uit te voeren bewerkingen verzameld.
Bij wijze van voorbeeld wordt vervolgens in hoofdstuk 7 be-schouwd het geval van een halfvlak met een uitsnijding in de vorm van een drkelboog. Enige numerieke resultaten worden gegeven. Voor een speciaal geval blijkt een exacte oplossing te bestaan, en dit maakt een toetsing van de benaderingsmethode mogelijk. Een goede overeenstemming met de exacte oplossing toont aan dat de methode tot vrij nauwkeurige resultaten leidt, behalve voor punten juist op (of zeer dicht bij) de rand gelegen. In paragraaf 7.2 wordt ook ver-klaard waarom de methode onnauwkeurig is voor raodpunten. In paragraaf 7.3 worden de resultaten van de benaderde complexe berekeningsmethode nog vergeleken met enige resultaten verkregen met een (exacte) methode die gebruik maakt van Fourier-integralen. Ook daar blijkt de overeenstemming uitstekend te zijn in punten in het inwendige van het gebied.
Als een tweede type van voorbeelden wordt in hoofdstuk 8 het probleem van een dijk op een halfvlak beschouwd. Ook voor dit geval worden enige numerieke resultaten gegeven. In hoofdstuk 9 tenslotte wordt een generalisatie hiervan, namelijk het geval van een halfvlak met een kerf in de vorm van een willekeurige veelhoek, behandeld. Het blijkt mogelijk te zijn een keten van procedures samen te stellen waarbij, uitgaande van de coordinaten van de hoek-punten van de rand, als resultaat de spanningen in het inwendige worden verkregen.
